A-Level Física

Una magnitud física 物理量 tiene dos partes: un número (su magnitud 大小) y una unidad 单位. El número solo no te dice nada. También debes indicar qué se mide y en qué unidad.

Ejemplo: "la longitud es 1.5" no está completo. "La longitud es 1.5 m" sí es una magnitud física.

Hacer estimaciones

Debes ser capaz de estimar 估算 el tamaño de las magnitudes físicas en este programa de estudios. El Paper 1 suele comenzar con una pregunta como esta. Aprende estos valores aproximados:

• masa 质量 de un adulto humano: $\sim 70\ \text{kg}$; de un coche: $\sim 1000\ \text{kg}$; de una manzana: $\sim 0.1\ \text{kg}$
• peso 重力 de un adulto humano: $\sim 700\ \text{N}$; de una manzana: $\sim 1\ \text{N}$
• altura de un adulto humano: $\sim 1.7\ \text{m}$; altura de una habitación: $\sim 3\ \text{m}$
• velocidad al caminar: $\sim 1.5\ \text{m s}^{-1}$; un coche en una autopista: $\sim 30\ \text{m s}^{-1}$
• velocidad del sonido en el aire: $\sim 340\ \text{m s}^{-1}$; velocidad de la luz en un vacío 真空: $3.0 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}$
• aceleración 加速度 de la caída libre 自由落体: $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$
• densidad 密度 del agua: $1000\ \text{kg m}^{-3}$; del aire: $\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$; del acero: $\sim 8000\ \text{kg m}^{-3}$
• presión atmosférica 大气压强: $\sim 1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$
• temperatura ambiente: $\sim 20\ ^{\circ}\text{C} \approx 293\ \text{K}$
• potencia de una hervidora: $\sim 2\ \text{kW}$; de una persona subiendo escaleras: $\sim 300\ \text{W}$
• longitud de onda de la luz visible: $\sim 5 \times 10^{-7}\ \text{m}$; diámetro de un átomo: $\sim 10^{-10}\ \text{m}$; de un núcleo: $\sim 10^{-15}\ \text{m}$

Una buena estimación tiene la orden de magnitud 数量级 correcta (la potencia de diez adecuada). Para un humano, 70 kg es una buena suposición; 7 kg no lo es.

Para estimar una magnitud que no esté en la lista, constrúyela a partir de otras que sí estén. La energía cinética de un coche en movimiento es $\tfrac{1}{2}mv^{2} \approx \tfrac{1}{2} \times 1000 \times 30^{2} \approx 5 \times 10^{5}\ \text{J}$. La presión bajo una persona de pie es $700\ \text{N} / 0.02\ \text{m}^{2} \approx 4 \times 10^{4}\ \text{Pa}$. Siempre verifica que la potencia de diez parezca razonable antes de pasar a lo siguiente.

Unidades base

El sistema SI tiene siete cantidades básicas 基本量; cinco de ellas se utilizan en este tema. Debes conocer estas cinco y sus unidades:

• masa — kilogramo, $\text{kg}$
• longitud 长度 — metro, $\text{m}$
• tiempo — segundo, $\text{s}$
• corriente 电流 — amperio 安培, $\text{A}$
• temperatura 温度 — kelvin 开尔文, $\text{K}$

Cada otra unidad en este programa de estudios se construye a partir de estas cinco.

Unidades derivadas

Una unidad derivada 导出单位 se forma multiplicando o dividiendo unidades base. Debes poder escribir cualquier magnitud de este programa de estudios en unidades base.

Construye una unidad derivada a partir de la ecuación que la define:

• velocidad 速率 = distancia / tiempo, por lo tanto su unidad es $\text{m s}^{-1}$
• aceleración = cambio en la velocidad 速度 / tiempo, por lo tanto su unidad es $\text{m s}^{-2}$
• fuerza 力 = masa × aceleración, por lo tanto su unidad es $\text{kg m s}^{-2}$. El newton 牛顿 es $1\ \text{N} = 1\ \text{kg m s}^{-2}$.
• trabajo 功 y energía 能量 = fuerza × distancia, por lo tanto la unidad es $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$. El joule 焦耳 es $1\ \text{J} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$.
• potencia 功率 = energía / tiempo, por lo tanto la unidad es $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$. El watt 瓦特 es $1\ \text{W} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$.
• presión 压强 y tensión mecánica 应力 = fuerza / área, por lo tanto la unidad es $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$. El pascal 帕斯卡 es $1\ \text{Pa} = 1\ \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$.

Cuando una pregunta solicite las unidades base SI de una magnitud, sustituye cada unidad nombrada por sus unidades base y luego simplifica. Ejemplo: las unidades base SI del watt son $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$.

Verificar que las unidades coincidan

Una ecuación es homogénea 量dimensionalmente consistente cuando ambos lados tienen las mismas unidades base. En palabras sencillas: las unidades en ambos lados coinciden.

Escribe cada lado en unidades base y compara. Toma la ecuación $v^{2} = u^{2} + 2as$:

• lado izquierdo: $(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• lado derecho, primer término: $(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• lado derecho, segundo término: $\text{m s}^{-2} \cdot \text{m} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$

Ambos lados dan $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, por lo que las unidades coinciden.

Ten cuidado: que coincidan las unidades no demuestra que toda la ecuación sea correcta. Todavía podría tener un número equivocado o un factor de 2 faltante. Pero si las unidades no coinciden, la ecuación está segura que es incorrecta.

Ejemplo resuelto. La fuerza de arrastre sobre una bola que cae viene dada por $F = kv^{2}$, donde $v$ es la velocidad. Encuentra las unidades SI base de la constante $k$.

Despeja: $k = F / v^{2}$. En unidades base, $F$ es $\text{kg m s}^{-2}$ y $v^{2}$ es $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, así que

Una pregunta de opción múltiple a menudo pide "¿cuál ecuación podría ser correcta?". Revisa las unidades base de cada opción; solo una ecuación homogénea puede ser correcta. Un número puro (como 2, $\pi$ o $\tfrac{1}{2}$) no tiene unidad, por lo que nunca cambia el análisis.

Prefijos

Un prefijo 词头 es una letra que se coloca delante de una unidad para hacerla más grande o más pequeña en potencias de diez. Debes conocerlos:

Para cambiar una unidad con prefijo a unidades base, sustituye el prefijo por su factor y luego simplifica. Ejemplo: cambia $0.25\ \text{kN mm}^{-2}$ a $\text{N m}^{-2}$:

Presta especial atención a las unidades al cuadrado como $\text{mm}^{2}$: también debes elevar al cuadrado el factor.

Cada medición 测量 tiene alguna incertidumbre 不确定度 — nunca estamos completamente seguros del valor. Un buen experimentador sabe de dónde proviene la incertidumbre, hace una estimación justa de ella y la lleva hasta la respuesta final.

Errores sistemáticos y aleatorios

Un error sistemático 系统误差 cambia todas las lecturas en la misma cantidad y en la misma dirección. No puedes encontrarlo repitiendo la medición. Causas comunes:

• un error de cero 零点误差 (la escala no marca cero cuando el valor verdadero es cero)
• un error de calibración 校准 (la propia escala es incorrecta)
• paralaje 视差 (tu ojo siempre está a un lado de la escala)

Un error sistemático reduce la exactitud 准确度, pero no afecta a la precisión 精密度.

Un error aleatorio 随机误差 hace que las lecturas varíen por encima y por debajo del valor verdadero sin ningún patrón. Las causas incluyen la precisión al leer la escala, cambios en las condiciones y el paso más pequeño que puede mostrar el instrumento 仪器. Si repites la medición muchas veces y calculas la media 平均值 (el promedio), los errores aleatorios se cancelan parcialmente entre sí.

Un error aleatorio reduce la precisión. Sin embargo, con suficientes repeticiones, la media puede seguir siendo exacta.

En una gráfica, ambos errores se ven distintos. Un error sistemático desplaza todos los puntos la misma cantidad, por lo que la recta de mejor ajuste mantiene su pendiente pero deja de pasar por el origen: cambia el intercepto 截距. Los errores aleatorios dispersan los puntos por encima y por debajo de la línea; trazar una recta de mejor ajuste a través del centro de esa dispersión sigue proporcionando una pendiente fiable.

Precisión y exactitud

La precisión es qué tan cercanas están las lecturas repetidas entre sí. Las lecturas precisas están muy agrupadas.

La exactitud es qué tan cercana está una lectura (o la media de varias lecturas) al valor verdadero.

Un conjunto de lecturas puede ser:

• preciso y exacto — cercano entre sí y cerca del valor verdadero
• preciso pero no exacto — cercano entre sí, pero lejos del valor verdadero (un error sistemático)
• exacto pero no preciso — dispersos, pero la media está cerca del valor verdadero
• ninguno de los dos — dispersos y lejos del valor verdadero

Cuando una pregunta presenta una tabla de lecturas repetidas, analiza la dispersión (precisión) y la media (exactitud) por separado.

Estimación de la incertidumbre en una lectura

Antes de combinar incertidumbres, necesitas una incertidumbre razonable para cada lectura bruta:

• Una lectura única en una escala analógica: la mitad de la menor división 分度 (una regla métrica lee hasta $1\ \text{mm}$, por lo que una lectura tiene $\pm 0.5\ \text{mm}$). Una longitud requiere dos lecturas, una en cada extremo, por lo que su incertidumbre es $\pm 1\ \text{mm}$.
• Un medidor digital: $\pm 1$ en el último dígito mostrado (un cronómetro que muestra $2.47\ \text{s}$ tiene $\pm 0.01\ \text{s}$).
• Una medición cronometrada manualmente: tu tiempo de reacción 反应时间 importa más que la pantalla. Aproxima entre $\pm 0.1$ y $0.2\ \text{s}$, y cronometra muchas oscilaciones en lugar de una, para que la misma incertidumbre se comparta entre todas ellas.
• Lecturas repetidas: la incertidumbre es la mitad del rango 极差的一半. Tres cronometrados de $2.42$, $2.48$ y $2.45\ \text{s}$ tienen una media de $2.45\ \text{s}$ y un rango de $0.06\ \text{s}$, por lo tanto $t = (2.45 \pm 0.03)\ \text{s}$.

Sé honesto. Si el borde de una sombra es difícil de ver, la incertidumbre en su posición es de varios milímetros, sin importar cuán fina sea la escala. Los examinadores no aceptan "la menor división" como la incertidumbre de una lectura difícil.

Incertidumbre en una cantidad derivada

Una medición suele escribirse como $x \pm \Delta x$. Aquí $\Delta x$ es la incertidumbre absoluta 绝对不确定度. La incertidumbre porcentual 百分比不确定idad es

Una cantidad derivada 导出量 es aquella que calculas a partir de valores medidos. Su incertidumbre se halla mediante reglas sencillas:

• Sumar o restar — suma las incertidumbres absolutas. Si $y = a + b$ o $y = a - b$, entonces $\Delta y = \Delta a + \Delta b$.
• Multiplicar o dividir — suma las incertidumbres porcentuales. Si $y = \dfrac{a \cdot b}{c}$, entonces
  $$\frac{\Delta y}{|y|} = \frac{\Delta a}{|a|} + \frac{\Delta b}{|b|} + \frac{\Delta c}{|c|}.$$
• Potencias — multiplica la incertidumbre porcentual por el exponente. Si $y = a^{n}$, entonces $\dfrac{\Delta y}{|y|} = |n| \cdot \dfrac{\Delta a}{|a|}$.

Ejemplo resuelto. El diámetro 直径 de una bola se mide como $d = (5.26 \pm 0.02)\ \text{cm}$. El volumen 体积 de una esfera es $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (d/2)^{3}$, por lo tanto $V \propto d^{3}$ ($V$ depende de $d$ al cubo).

La incertidumbre porcentual en $d$ es

Dado que $V \propto d^{3}$, la incertidumbre porcentual en $V$ es tres veces esta, aproximadamente $1.14\%$. El volumen es $\tfrac{4}{3}\pi(2.63)^{3} \approx 76.2\ \text{cm}^{3}$. Por lo tanto, la incertidumbre absoluta es $0.0114 \times 76.2 \approx 0.87\ \text{cm}^{3}$. La respuesta final es $V = (76.2 \pm 0.9)\ \text{cm}^{3}$.

¿Concuerdan dos valores? Las preguntas prácticas suelen preguntar si dos valores calculados de una constante apoyan una relación sugerida. No digas simplemente "están cerca". Calcula la diferencia porcentual 百分比差异 entre ellos,

y compárala con la incertidumbre porcentual en $k$ (o con el criterio que dé la pregunta, habitualmente 10%). Si la diferencia es menor, los dos valores concuerdan dentro de la incertidumbre y la relación está respaldada. Si es mayor, no concuerdan.

Significant figures

Al escribir una cantidad calculada, da la misma cantidad de cifras significativas 有效数字 que la medición menos precisa que usaste — usualmente dos o tres en este programa. Demasiadas cifras significativas hacen que la respuesta parezca más exacta de lo que realmente es. Pocas cifras significativas pierden información útil.

Los exámenes prácticos te piden que justifiques el número que has elegido. Nombra las lecturas brutas: "$a$ se da con 2 cifras significativas porque $L$ y $t$ fueron medidos cada uno con 2 cifras significativas". La frase "debido a los datos brutos" por sí sola no otorga la puntuación. En una tabla de resultados, juzga cada fila basándote en la lectura bruta menos precisa de esa fila; no fuerces todas las filas al mismo número de cifras.

Incertidumbres en un gráfico

El Examen 5 te pide que propagues las incertidumbres a través de un gráfico:

• Dibuja cada punto con una barra de error (error bar) cuya longitud muestre la incertidumbre absoluta de ese valor.
• Traza la línea de mejor ajuste (line of best fit) a través de los puntos, y luego la línea aceptable más desfavorable (worst acceptable line): la recta más empinada (o más plana) que aún pasa por todas las barras de error.
• La incertidumbre en la pendiente es la diferencia entre las dos pendientes, $\Delta m = |m_{\text{best}} - m_{\text{worst}}|$. La incertidumbre en la ordenada en el origen se encuentra de la misma manera.
• Cuando graficas un logaritmo, la incertidumbre absoluta en $\ln x$ es $\Delta x / x$ (y en $\lg x$ es $0.434\,\Delta x / x$). Cálculo para los valores más grandes y más pequeños de $x$ por separado.

Una incertidumbre porcentual en la pendiente luego se propaga a cualquier cantidad que calcules a partir de ella, usando las reglas anteriores.

Un escalar tiene solo magnitud. Un vector tiene tanto magnitud como dirección.

Ejemplos del programa de estudios:

• escalares: masa, tiempo, temperatura, energía, trabajo, potencia, distancia, rapidez, presión, densidad, carga eléctrica
• vectores: desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza (incluyendo peso), momento lineal

Prueba rápida: si tiene sentido preguntar "¿en qué dirección?", la cantidad es un vector. No puedes preguntar "¿en qué dirección está la temperatura?", por lo que la temperatura es un escalar. Puedes preguntar "¿en qué dirección está la velocidad?", por lo que la velocidad es un vector.

Suma y resta de vectores

Un vector se dibuja como una flecha: la dirección de la flecha indica la dirección de la cantidad, y la longitud de la flecha (dibujada a escala) indica la magnitud.

Para sumar dos vectores coplanares (vectores en el mismo plano plano), dibújalos punta con cola. El vector resultante va desde la cola de la primera flecha hasta la punta de la segunda.

Para encontrar $\vec{X} - \vec{Y}$, suma el inverso de $\vec{Y}$: $\vec{X} + (-\vec{Y})$. El inverso de $\vec{Y}$ tiene la misma magnitud que $\vec{Y}$ pero apunta en dirección opuesta.

Si los dos vectores están en ángulo recto (90°), la magnitud del resultante es

y su dirección viene de $\tan\theta = Y / X$.

Ejemplo resuelto. Un nadador se dirige hacia el norte a $1.2\ \text{m s}^{-1}$ cruzando un río que fluye hacia el este a $0.5\ \text{m s}^{-1}$. Encuentra la magnitud y la dirección de la velocidad resultante.

Las dos velocidades son perpendiculares, por lo tanto

en un ángulo $\tan\theta = 0.5/1.2$, lo que da $\theta \approx 23°$ al este del norte.

Si dos vectores tienen la misma magnitud $F$ con un ángulo $2\alpha$ entre ellos, el resultante tiene magnitud $2F\cos\alpha$ y se sitúa a lo largo de la línea que divide el ángulo por la mitad.

Ejemplo resuelto. Dos fuerzas de $6.0\ \text{N}$ actúan sobre un objeto con $60°$ entre ellas. Encuentra el resultante.

Aquí $2\alpha = 60°$, por lo que $\alpha = 30°$ y $R = 2 \times 6.0 \times \cos 30° = 10.4\ \text{N}$, a lo largo de la línea intermedia entre las dos fuerzas. La resolución da la misma respuesta: cada fuerza tiene un componente $6.0\cos 30°$ a lo largo de esa línea, y sus componentes perpendiculares a ella se cancelan.

Para dos vectores en cualquier otro ángulo, ya sea haz un dibujo a escala del triángulo de vectores y mide el resultante, o resuelve ambos vectores en componentes perpendiculares, suma los componentes y recombínalos con $\sqrt{X^{2} + Y^{2}}$.

Ejemplo resuelto. Una pelota que se mueve hacia el este a $5.0\ \text{m s}^{-1}$ es golpeada de modo que se mueva hacia el norte a $5.0\ \text{m s}^{-1}$. Encuentra su cambio de velocidad.

Un cambio en la velocidad es una resta vectorial: $\Delta\vec{v} = \vec{v}_{\text{final}} - \vec{v}_{\text{initial}}$. Dibuje $5.0\ \text{m s}^{-1}$ hacia el norte, luego añada el inverso de la velocidad inicial, $5.0\ \text{m s}^{-1}$ hacia el oeste. Los dos son perpendiculares, por lo que $|\Delta\vec{v}| = \sqrt{5.0^{2} + 5.0^{2}} = 7.1\ \text{m s}^{-1}$ apunta al noroeste. La rapidez no cambió, pero la velocidad sí. Por eso debió actuar una fuerza sobre la pelota (tema 3).

Descomponer un vector en partes perpendiculares

Cualquier vector puede dividirse en dos componentes 分量 perpendiculares 垂直 (en ángulo recto). Usualmente estas son horizontales 水平 y verticales 竖直, o paralelas y perpendiculares a una superficie. Para un vector $\vec{v}$ con un ángulo $\theta$ respecto a la horizontal:

Elija las direcciones que faciliten el problema. En una pendiente (un plano inclinado 斜面), descomponga el peso en una parte paralela a la pendiente y otra perpendicular a ella:

donde $\theta$ es el ángulo de la pendiente respecto a la horizontal.

Descompone un vector en componentes cada vez que necesites saber cuánto de él actúa en una dirección determinada. Por ejemplo: la parte de una fuerza que actúa a lo largo de una pendiente, o las partes horizontal y vertical de la velocidad de una pelota después de ser lanzada.

Una pregunta de definición se califica según un texto fijo. Aprende estas definiciones exactamente, y da solo una respuesta.

• Da a cada respuesta una unidad, y verifica la homogeneidad: ambos lados de una ecuación deben tener las mismas unidades base.
• Distingue entre error aleatorio (se reduce repitiendo y promediando) y error sistemático (un error de cero o de calibración que las repeticiones no eliminan).
• Combina las incertidumbres: suma las incertidumbres absolutas al sumar/restar, suma las incertidumbres porcentuales al multiplicar/dividir (y multiplica el % por cualquier potencia).
• Distingue entre precisión (pequeña dispersión) y exactitud (cercanía al valor verdadero).
• Descompón un vector en componentes perpendiculares ($F\cos\theta$, $F\sin\theta$); suma vectores punta a cola o mediante componentes.

Errores comunes

• Sustituir 5 cm como 5, o 20 g como 20. Convierta el prefijo primero: 0.05 m, 0.020 kg.
• Dar la incertidumbre porcentual en $T^{2}$ como la misma que en $T$. Elevar al cuadrado la duplica; una raíz cuadrada la reduce a la mitad.
• Tratar la incertidumbre porcentual y la incertidumbre absoluta como el mismo número.
• Citar "la división más pequeña" como la incertidumbre de una lectura difícil de tomar.
• Ofrecer dos respuestas a una definición. Comprométete con una sola.

Estas cinco magnitudes aparecen en casi todas las preguntas de cinemática. Aprende las palabras exactas — el examinador otorga puntos por una redacción precisa.

• distancia (distancia) — la longitud total del camino recorrido. Un scalar (escalar).
• desplazamiento (desplazamiento) — la distancia en línea recta desde el punto inicial hasta el final, con una dirección. Un vector.
• velocidad (velocidad escalar) — la tasa de cambio de la distancia con respecto al tiempo. Un escalar.
• velocity (velocidad vectorial) — la tasa de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo. Un vector.
• acceleration (aceleración) — la tasa de cambio de la velocidad con respecto al tiempo. Un vector.

La unidad de velocidad y velocidad vectorial es $\text{m s}^{-1}$; la unidad de aceleración es $\text{m s}^{-2}$.

Dos frases más que usa el examinador: uniform acceleration (aceleración uniforme) significa aceleración constante (una línea recta en un gráfico de velocidad-tiempo), y la acceleration of free fall (aceleración de caída libre) $g$ es la aceleración de un objeto que cae libremente en un uniform gravitational field (campo gravitatorio uniforme) cuando la resistencia del aire es negligible (pequeña como para ignorarla).

Un error común: deceleration (desaceleración) simplemente significa aceleración en la dirección opuesta a la velocidad. No es una cantidad separada.

A veces se dan velocidades en $\text{km h}^{-1}$. Convierte antes de calcular: $85\ \text{km h}^{-1} = 85 \times 1000 / 3600 = 23.6\ \text{m s}^{-1}$.

Muchos puntos provienen de leer o dibujar gráficos de movimiento, los graphical methods (métodos gráficos) que menciona el programa. Dos gráficos son importantes.

Gráfico de desplazamiento–tiempo

El gradient (pendiente) de un gráfico de desplazamiento–tiempo en un punto da la velocidad en ese instante.

• línea horizontal → el objeto está en reposo.
• línea recta inclinada → velocidad constante (pendiente = velocidad).
• línea curva → velocidad cambiante. Dibuja una tangente (tangente) en el punto y encuentra su pendiente.

Gráfico de velocidad–tiempo

La pendiente de un gráfico de velocidad–tiempo da la aceleración en ese instante.

El área (área) entre la línea y el eje del tiempo da el desplazamiento en ese tiempo.

• línea horizontal → velocidad constante (aceleración cero).
• línea recta inclinada → aceleración uniforme (aceleración constante).
• línea curva → aceleración cambiante.
• el área por encima del eje del tiempo es desplazamiento positivo; el área por debajo es negativa (el objeto se movió hacia atrás).

Para encontrar el desplazamiento, divide el área en triángulos y rectángulos, o cuenta los cuadros de la cuadrícula. El área de un triángulo es $\tfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$; el área de un rectángulo es $\text{base} \times \text{height}$.

Ejemplo resuelto. El gráfico muestra la velocidad de un ascensor. Encuentra la aceleración en cada etapa y la distancia total recorrida.

• Etapa A: pendiente $= \dfrac{3.0 - 0}{4.0} = 0.75\ \text{m s}^{-2}$.
• Etapa B: la línea es horizontal, así que la aceleración es cero.
• Etapa C: pendiente $= \dfrac{0 - 3.0}{2.0} = -1.5\ \text{m s}^{-2}$ (una desaceleración de $1.5\ \text{m s}^{-2}$).
• Distancia: triángulo A $= \tfrac{1}{2} \times 4.0 \times 3.0 = 6.0\ \text{m}$, rectángulo B $= 6.0 \times 3.0 = 18\ \text{m}$, triángulo C $= \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 3.0 = 3.0\ \text{m}$; total $27\ \text{m}$.

Cuando el gráfico es una curva, el área sigue siendo el desplazamiento: cuenta los cuadros bajo la curva (media cuadra o más cuenta como una) y multiplica por el valor de una cuadra.

Para el movimiento en línea recta con aceleración uniforme, usamos cinco símbolos: velocidad inicial $u$, velocidad final $v$, aceleración $a$, desplazamiento $s$ y tiempo $t$. Cuatro ecuaciones las relacionan:

Cada ecuación usa cuatro de los cinco símbolos. Para elegir la correcta: escribe lo que sabes y lo que quieres, luego elige la ecuación que tenga exactamente esos cuatro.

Ejemplo resuelto. Un automóvil acelera uniformemente desde $8\ \text{m s}^{-1}$ hasta $20\ \text{m s}^{-1}$ sobre una distancia de $56\ \text{m}$. Encuentra su aceleración.

Sabemos $u$, $v$ y $s$ y queremos $a$, así que usamos $v^{2} = u^{2} + 2as$:

De dónde provienen las ecuaciones SUVAT

Deberías poder obtener estas de las definiciones de velocidad y aceleración. Piensa en el gráfico de velocidad–tiempo del movimiento: una línea recta desde $u$ en $t = 0$ hasta $v$ en el tiempo $t$.

• $v = u + at$: la aceleración es la pendiente, $a = (v - u)/t$, por lo tanto $v = u + at$.
• $s = \tfrac{1}{2}(u + v) t$: el desplazamiento es el área bajo la línea, un trapecio 梯形 con lados paralelos $u$ y $v$ y anchura $t$, por lo tanto $s = \tfrac{1}{2}(u + v)t$.
• $s = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$: sustituye $v = u + at$ en el área: $s = \tfrac{1}{2}(u + u + at)t = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$.
• $v^{2} = u^{2} + 2as$: de la primera ecuación $t = (v - u)/a$; sustituye esto en $s = \tfrac{1}{2}(u + v)t$ para obtener $2as = (v + u)(v - u) = v^{2} - u^{2}$.

Una pregunta de "derivar" requiere exactamente estos pasos, comenzando cada uno con una definición o una ecuación ya establecida, sin usar números.

Si una pregunta pregunta "¿qué ecuación se puede encontrar usando solo la pendiente de un gráfico de velocidad–tiempo?", la respuesta es $v = u + at$ (la pendiente es la aceleración).

Preguntas de "Demostrar que". Cuando la pregunta da la respuesta ("demostrar que la altura es 3.2 km"), los puntos son para el método. Indica la ecuación, sustituye cada valor con su unidad y da el resultado con una cifra significativa más que el valor citado ($3.24\ \text{km}$, que se redondea a $3.2\ \text{km}$). Llegar al valor citado no demuestra nada por sí mismo.

Elegir una dirección positiva

Elige una dirección positiva al principio y mantenla. Todo lo que apunte en la otra dirección recibe un signo menos. Para una pelota lanzada recta hacia arriba, si "hacia arriba" es positivo: $u$ es positivo, $a = -g$ (gravedad 重力 tira hacia abajo), y en el punto más alto el desplazamiento es positivo pero la velocidad es cero.

Cuando la resistencia del aire 空气阻力 se puede ignorar, un objeto en caída libre 自由落ite tiene una aceleración constante $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$ hacia abajo. Esto es lo mismo para toda masa.

Para una pelota soltada desde el reposo y que cae una distancia $h$:

Para una pelota lanzada recta hacia arriba con velocidad $u$:

• altura máxima: sustituye $v = 0$ en $v^{2} = u^{2} - 2gh$, dando $h = u^{2}/(2g)$.
• tiempo para llegar a la parte superior: sustituye $v = 0$ en $v = u - gt$, dando $t = u/g$.
• tiempo total para volver a caer a la altura inicial: $2u/g$ (el movimiento es simétrico 对称).

Ejemplo resuelto. Una pelota se lanza recta hacia arriba a $20\ \text{m s}^{-1}$. Encuentra la altura máxima que alcanza (toma $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

En el punto más alto $v = 0$, por lo tanto de $h = u^{2}/(2g)$:

Cuando la resistencia del aire no es despreciable

Las ecuaciones anteriores asumen que la única fuerza es el peso. Con resistencia del aire, la fuerza resultante sobre un objeto en caída es menor que su peso, por lo que la aceleración es menor que $g$; y como la resistencia del aire aumenta con la velocidad, la aceleración sigue disminuyendo a medida que el objeto acelera. En un gráfico de velocidad–tiempo, la línea se curva, su pendiente disminuyendo hacia cero a medida que el objeto se acerca a la velocidad terminal 收尾速度 (tema 3). Para un proyectil, la resistencia del aire acorta el alcance y reduce la altura máxima, y la trayectoria deja de ser una parábola 抛物线 simétrica: el objeto desciende más abruptamente de lo que ascendió. Una pregunta de "indica y explica" desea primero la fuerza, luego su efecto sobre la aceleración, y finalmente el efecto sobre el movimiento.

Experimento para hallar $g$

Un método común: dejar caer un objeto desde el reposo, luego medir la distancia $h$ que cae y el tiempo $t$ que tarda. Entonces

Repita para varias alturas y represente $h$ frente a $t^{2}$. La pendiente de la mejor línea recta es $g/2$, por lo que $g$ es el doble de la pendiente. Repetir reduce el error aleatorio 随机误差. Un temporizador electrónico —usando portas de luz 光电门 o un interruptor que golpea la bola— elimina el error de tiempo de reacción 反应时间.

Cuando un objeto se mueve con velocidad constante en una dirección (digamos horizontal 水平) y acelera en una dirección perpendicular a ella (digamos vertical 竖直, bajo gravedad), los dos movimientos no se afectan entre sí. Analice cada dirección por separado, usando su propia ecuación SUVAT.

Lanzamiento horizontal

Un objeto lanzado horizontalmente con velocidad $u_{\text{H}}$ desde una altura $h$, ignorando la resistencia del aire:

• horizontal: velocidad constante $u_{\text{H}}$. Después de un tiempo $t$, la distancia horizontal es $x = u_{\text{H}} t$.
• vertical: parte del reposo y acelera hacia abajo a $g$. Después de un tiempo $t$, ha caído una distancia $y = \tfrac{1}{2} g t^{2}$ y tiene una velocidad vertical $v_{\text{V}} = g t$.

El tiempo para llegar al suelo depende únicamente de la altura $h$, no de $u_{\text{H}}$. Despeje $h = \tfrac{1}{2} g t^{2}$ para obtener $t$; luego el alcance 射程 horizontal es $u_{\text{H}} t$.

Ejemplo resuelto. Una bola se lanza horizontalmente a $15\ \text{m s}^{-1}$ desde la cima de un acantilado de $20\ \text{m}$ de altura. Encuentre el tiempo que tarda en tocar el suelo y la distancia desde la base donde aterriza (tome $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

El movimiento vertical proporciona el tiempo: de $h = \tfrac{1}{2}g t^{2}$,

El movimiento horizontal proporciona entonces el alcance: $x = u_{\text{H}} t = 15 \times 2.0 \approx 30\ \text{m}.$

La gráfica de velocidad horizontal es una línea plana en $u_{\text{H}}$. La gráfica de velocidad vertical es una línea recta que pasa por el origen con pendiente $g$.

Comparación de dos objetos. Si el objeto A se deja caer y el objeto B se lanza horizontalmente desde la misma altura al mismo tiempo, ambos llegan al suelo simultáneamente: sus movimientos verticales son idénticos. Si en cambio B se lanza con un componente ascendente, tarda más, porque primero debe subir y volver a la altura inicial antes de caer la misma distancia. Su velocidad al impactar aún se calcula mediante energía: la energía cinética ganada es igual a la energía potencial perdida, independientemente de la dirección del lanzamiento, por lo que una bola lanzada con cualquier ángulo pero con la misma velocidad y desde la misma altura impactará con la misma velocidad (tema 5).

Proyectil en un ángulo

Un proyectil 抛体 lanzado con velocidad $u$ en un ángulo $\theta$ sobre la horizontal:

• componente 分量 horizontal de la velocidad inicial: $u_{\text{H}} = u \cos\theta$ (permanece constante durante todo el vuelo).
• componente vertical de la velocidad inicial: $u_{\text{V}} = u \sin\theta$ (disminuye, llega a cero en la parte superior y luego aumenta hacia abajo).

En el punto más alto, $v_{\text{V}} = 0$, pero $v_{\text{H}}$ sigue siendo $u\cos\theta$. El tiempo para alcanzar la parte superior es $t_{\text{up}} = u\sin\theta / g$; el tiempo total de vuelo (de vuelta a la altura inicial) es $2t_{\text{up}}$.

Dibujar las gráficas de velocidad. Los examinadores suelen pedirte que dibujes $v_{\text{H}}$ y $v_{\text{V}}$ frente al tiempo en los mismos ejes, tomando hacia arriba como positivo. La componente horizontal es una línea plana en $u\cos\theta$ durante todo el vuelo. La componente vertical es una línea recta con pendiente $-g$: comienza en $+u\sin\theta$, cruza cero en la parte superior del vuelo, y alcanza $-u\sin\theta$ al aterrizar a la misma altura inicial. Etiqueta cada línea, marca los tiempos en los que las líneas comienzan y terminan, y haz que el cruce esté exactamente en $t_{\text{up}}$.

Ejemplo resuelto. Una pelota sale del suelo con una rapidez inicial de $18\ \text{m s}^{-1}$ en un ángulo de $60°$ respecto a la horizontal. Demuestre que alcanza su altura máxima en $t = 1.6\ \text{s}$.

$u_{\text{V}} = 18 \sin 60° = 15.6\ \text{m s}^{-1}$. En la parte superior $v_{\text{V}} = 0$, es decir, desde $v = u + at$ con $a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$: $t = 15.6 / 9.81 = 1.59\ \text{s} \approx 1.6\ \text{s}$.

Pelota rebotadora

Cuando una pelota rebota, su gráfica velocidad-tiempo es un conjunto de líneas rectas inclinadas (aceleración constante $g$) con un salto repentino en cada rebote (la velocidad cambia de dirección y disminuye si se pierde algo de energía 能量). Suma los tiempos y las distancias a través de los rebotes.

Lee esta gráfica con cuidado: la pendiente de cada línea inclinada es la misma aceleración $g$; la pelota está en su punto más alto donde la línea cruza el eje del tiempo; y la altura de cada rebote proviene del área del triángulo por encima (o por debajo) del eje para ese trayecto.

Cuando dos objetos se mueven a lo largo de la misma línea de maneras diferentes, escribe una ecuación de desplazamiento para cada uno. Usa el mismo tiempo inicial y la misma dirección positiva. Luego iguala los dos desplazamientos (o establece su diferencia como una distancia dada).

Para un tren de carga a velocidad constante $u_{\text{G}}$ y un tren expreso que parte del reposo con aceleración $a$, ambos pasando por el mismo punto en $t = 0$:

Vuelven a estar al mismo nivel cuando $s_{\text{G}} = s_{\text{E}}$, lo que da como resultado $t = 2 u_{\text{G}} / a$.

1. Dibuja un diagrama y marca la dirección positiva.
2. Enumera los símbolos SUVAT con sus valores conocidos y desconocidos, incluyendo los signos.
3. Elige la ecuación SUVAT que tenga exactamente los cuatro símbolos que posees, más el que deseas encontrar.
4. Para el movimiento de proyectiles, divide en problemas SUVAT horizontales y verticales, conectados únicamente por el tiempo $t$.
5. Siempre verifica las unidades de tu respuesta y que su magnitud sea sensata.

Una pregunta de definición se califica según un texto fijo. Aprende estas definiciones exactamente, y da solo una respuesta.

• Utiliza las ecuaciones SUVAT únicamente para aceleración constante; enumera $s, u, v, a, t$ y selecciona la ecuación que no contenga tu incógnita.
• Elige una dirección como positiva y mantén la coherencia en los signos (usualmente $g = -9.81\ \text{m s}^{-2}$).
• En un gráfico de velocidad-tiempo, la pendiente $=$ representa la aceleración y el área $=$ representa el desplazamiento.
• Para los proyectiles, tratar el movimiento horizontal (velocidad constante) y vertical ($a = g$) por separado, vinculados por el mismo tiempo.

Errores comunes

• Decir que la bola más pesada toca el suelo primero, o más rápido, cuando se ignora la resistencia del aire. Ambas caen con la misma aceleración y aterrizan a la misma velocidad.
• Calcular la pendiente de un gráfico $v$–$t$ cuando la pregunta pide el área, o el área cuando pide la pendiente. La pendiente es la aceleración; el área es el desplazamiento.
• Dibujar una curva en un gráfico $v$–$t$ para un cuerpo bajo aceleración constante. La aceleración constante representa una línea recta; solo cambia el signo de $v$ en un rebote.
• Usar $g = +9.81$ para una bola lanzada hacia arriba con "hacia arriba" como positivo. Una vez que hacia arriba es positivo, $a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$ durante todo el vuelo, también al bajar.
• Usar una ecuación SUVAT cuando la aceleración está cambiando (resistencia del aire, una gráfica curva). En ese caso, solo los métodos basados en gráficos funcionan.

Masa

La masa 质量 indica lo difícil que es cambiar el movimiento de un objeto. Cuanto mayor sea la masa, mayor será la fuerza 力 necesaria para producir una determinada aceleración 加速度. La masa se mide en kilogramos ($\text{kg}$) y es una magnitud escalar 标量.

Momento

El momento lineal 动量 es el producto de la masa por la velocidad:

El momento es una magnitud vectorial 矢量 — tiene la misma dirección que la velocidad 速度. Su unidad es $\text{kg m s}^{-1}$, que equivale a $\text{N s}$.

La fuerza como tasa de cambio del momento

La segunda ley de Newton, en su forma general: la fuerza resultante 合力 sobre un objeto es igual a la tasa de cambio de su momento.

Cuando la masa es constante, esto se convierte en $F = ma$, porque $\Delta p = m\,\Delta v$ y $\Delta v / \Delta t = a$. Las preguntas de Cambridge suelen pedir que utilices $F = \Delta p / \Delta t$ directamente para una colisión 碰撞 o un impulso 冲量: la fuerza promedio es igual al cambio en el momento lineal dividido por el tiempo de contacto.

Una pelota golpea una pared con un momento lineal $p_{1}$ y rebota con un momento lineal $p_{2}$ en dirección opuesta. El cambio en el momento lineal es $\Delta p = p_{2} - p_{1}$ (asigne la signo correcto a cada dirección). La fuerza promedio es $\Delta p / \Delta t$, donde $\Delta t$ es el tiempo de contacto.

Ejemplo resuelto. Una $0.20\ \text{kg}$ golpea una pared a $8.0\ \text{m s}^{-1}$ y rebota directamente hacia atrás a $6.0\ \text{m s}^{-1}$. El contacto dura $0.050\ \text{s}$. Encuentre la fuerza promedio sobre la bola.

Tome la dirección del rebote como positiva, por lo que $u = -8.0\ \text{m s}^{-1}$ y $v = +6.0\ \text{m s}^{-1}$:

Cuando conoces el momento lineal pero no la velocidad, el cambio en la energía cinética 动能 es

Esto proviene de $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} m v^{2} = p^{2} / (2m)$.

Gráficos de momento lineal frente al tiempo

Debido a que $F = \Delta p / \Delta t$, la pendiente de un gráfico de momento lineal frente al tiempo es la fuerza neta, al igual que la pendiente de un gráfico de velocidad frente al tiempo es la aceleración. Una línea recta indica una fuerza neta constante; una línea horizontal indica una fuerza neta cero; una línea con pendiente descendente indica una fuerza que actúa contra el movimiento.

Ejemplo resuelto. El gráfico muestra el momento lineal de una motocicleta. Calcula la fuerza neta sobre ella durante los primeros $10\ \text{s}$.

Gradiente $= \Delta p / \Delta t = 5000 / 10 = 500\ \text{N}$. Entre $10\ \text{s}$ y $16\ \text{s}$ el momento lineal es constante, por lo que la fuerza resultante es cero: la fuerza motriz simplemente equilibra las fuerzas de resistencia. Desde $16\ \text{s}$ hasta $20\ \text{s}$ el momento lineal disminuye en $2000\ \text{kg m s}^{-1}$, por lo que la fuerza resultante es $-500\ \text{N}$, actuando hacia atrás.

Si una pregunta indica que la velocidad está cambiando mientras la fuerza resultante se mantiene constante, esa fuerza no puede ser la resistencia del aire: la resistencia depende de la velocidad, por lo que cambiaría a medida que cambia la velocidad, y la resistencia siempre actúa en contra del movimiento.

Primera ley

Un objeto permanece en reposo, o continúa moviéndose a velocidad constante en línea recta, a menos que actúe sobre él una fuerza externa 外力 resultante. En resumen: una fuerza resultante nula implica una aceleración nula.

Segunda ley

La fuerza resultante sobre un objeto es igual a su tasa de cambio de momento lineal, y actúa en la misma dirección que dicho cambio. En unidades del SI,

La aceleración y la fuerza resultante siempre apuntan en la misma dirección.

Tercera ley

Cuando el cuerpo A ejerce una fuerza sobre el cuerpo B, el cuerpo B ejerce sobre el cuerpo A una fuerza igual y opuesta. Las dos fuerzas:

• actúan sobre objetos diferentes,
• son del mismo tipo (ambas gravitatorias, ambas de contacto, ambas electrostáticas 静电, etc.),
• tienen la misma magnitud y direcciones opuestas.

Una trampa común: el peso 重力 de un bloque sobre una mesa y la fuerza normal de contacto 支持力 de la mesa no forman un par de tercera ley (actúan sobre el mismo objeto y son de diferente tipo). El par de tercera ley correspondiente al peso del bloque es la atracción que el bloque ejerce sobre la Tierra. El par de tercera ley correspondiente a la fuerza de contacto de la mesa es la presión que el bloque ejerce sobre la mesa.

Para nombrar a un pareja de la tercera ley, intercambia los dos cuerpos en la oración. "La rueda trasera de una bicicleta empuja hacia atrás sobre el camino" se empareja con "el camino empuja hacia adelante sobre la rueda trasera", y ese empuje hacia adelante es lo que impulsa la bicicleta. "La Tierra atrae a la Luna" se empareja con "la Luna atrae a la Tierra", con la misma magnitud de fuerza.

Para un cohete: la empuje 推力 sobre el cohete y la fuerza sobre los gases forman un par de la tercera ley (el motor empuja al gas hacia abajo, el gas empuja al motor hacia arriba). El peso y la resistencia del aire no forman parte de este par.

El peso es la fuerza sobre un objeto debida a un campo gravitatorio 重力场. Cerca de la superficie de la Tierra,

donde $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$ es la aceleración de caída libre. El peso es un vector que apunta hacia el centro de la Tierra. No lo confundas con la masa: la masa es igual en todas partes, pero el peso cambia según el lugar.

En la Luna $g$ es aproximadamente $1.6\ \text{m s}^{-2}$, por lo que la masa de un astronauta permanece sin cambios pero su peso es aproximadamente una sexta parte de su valor en la Tierra. Cuando una pregunta de opción múltiple pide qué afirmación describe el peso, la respuesta es aquella que dice "la fuerza sobre el objeto debido a un campo gravitatorio", no "masa por aceleración" ni "la fuerza resultante".

Fuerzas de fricción y resistencia

Una fuerza de fricción 摩擦力 entre dos superficies sólidas actúa a lo largo de la superficie y se opone al deslizamiento. Una fuerza viscosa 黏性 o de arrastre 阻力 es la fuerza resistente que ejerce un fluido 流体 (un líquido o un gas) sobre un objeto que se mueve a través de él; la resistencia del aire es el caso para el aire. No necesitas usar ningún coeficiente 系数 de fricción o viscosidad.

Un modelo simple: la resistencia aumenta a medida que lo hace la velocidad. A velocidad cero, la resistencia es cero. La resistencia también crece con el área transversal 横截面积 del objeto y con la densidad del fluido; un paracaídas funciona al aumentar significativamente el área y, por tanto, la resistencia. Estas fuerzas de fricción y las fuerzas de resistencia son todas fuerzas resistentes: actúan en dirección opuesta al movimiento y transfieren energía cinética a energía térmica.

Un objeto cayendo a través del aire

Para un objeto soltado desde el reposo y cayendo a través del aire:

1. Al principio, solo actúa el peso, por lo que el objeto acelera hacia abajo con $g$.
2. A medida que aumenta la velocidad, la resistencia ascendente también crece. La fuerza resultante disminuye, por lo que la aceleración se vuelve menor.
3. Finalmente, la resistencia iguala al peso. La fuerza resultante es cero, la aceleración es cero y la velocidad permanece constante — esta es la velocidad terminal 收尾速度.

En una gráfica de velocidad–tiempo, la línea comienza recta con pendiente $g$, luego se curva y se aplanará en la velocidad terminal. Esta forma (inicio rápido, luego aceleración decreciente, luego velocidad constante) es cómo difiere "caer con resistencia del aire" de "caída libre en vacío" en un campo gravitatorio uniforme 匀强重力场. En una gráfica de aceleración–tiempo, la aceleración comienza en $g$ y disminuye, curvándose hacia cero.

Dos esferas del mismo tamaño pero diferente densidad tienen diferentes velocidades terminales: la esfera más densa tiene mayor peso, por lo que necesita una resistencia mayor para equilibrarlo, y la resistencia solo alcanza ese valor a una velocidad más alta. También es por eso que un paracaídas cambia todo: cuando se abre, la resistencia supera repentinamente al peso, la fuerza resultante es hacia arriba y el paracaidista desacelera (la aceleración es hacia arriba mientras la velocidad aún es hacia abajo) hasta que la resistencia vuelve a igualar al peso en una nueva velocidad terminal mucho más baja.

Cae a través de un líquido: tres fuerzas

Una bola que cae a través de un líquido tiene tres fuerzas actuando sobre ella: su peso hacia abajo, el empuje 浮力 hacia arriba y la resistencia viscosa hacia arriba. El empuje proviene de la presión hidrostática 流体静压强: la presión en un líquido aumenta con la profundidad, por lo que el líquido empuja con más fuerza en la parte inferior de la bola que en la superior, y la resultante de estos empujes es hacia arriba. Su magnitud es igual al peso del líquido desplazado por la bola, $U = \rho_{\text{liquid}} V g$ (tema 4). La resistencia crece con la velocidad. Cuando el peso $=$ empuje $+$ resistencia, la fuerza resultante es cero y la bola cae a su velocidad terminal. Una pregunta tipo "dibuja flechas etiquetadas" requiere exactamente estas tres, con el empuje y la resistencia ambos hacia arriba y el peso hacia abajo.

Ejemplo resuelto. Una bola de acero de radio $2.0\ \text{mm}$ y peso $2.56 \times 10^{-3}\ \text{N}$ cae a través de aceite de densidad $850\ \text{kg m}^{-3}$. La resistencia viscosa sobre ella es $F = 6\pi \eta r v$, donde $\eta$ es la viscosidad 黏度 del aceite y $v$ la velocidad. (a) Encuentra las unidades fundamentales del SI de $\eta$. (b) Demuestra que el empuje sobre la bola es $2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$. (c) Tomando $\eta = 0.20$ en unidades del SI, encuentra la velocidad terminal.

(a) $\eta = F / (6\pi r v)$, por lo que sus unidades son $\text{N} / (\text{m} \cdot \text{m s}^{-1}) = \text{kg m s}^{-2} / (\text{m}^{2}\ \text{s}^{-1}) = \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-1}$.

(b) $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (2.0 \times 10^{-3})^{3} = 3.35 \times 10^{-8}\ \text{m}^{3}$, por lo que $U = 850 \times 3.35 \times 10^{-8} \times 9.81 = 2.79 \times 10^{-4}\ \text{N} \approx 2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$.

(c) A la velocidad terminal, la resistencia $= W - U = 2.56 \times 10^{-3} - 2.8 \times 10^{-4} = 2.28 \times 10^{-3}\ \text{N}$. Entonces $v = F / (6\pi \eta r) = 2.28 \times 10^{-3} / (6\pi \times 0.20 \times 2.0 \times 10^{-3}) = 0.30\ \text{m s}^{-1}$.

Energía durante una caída a velocidad terminal

A velocidad terminal, un paracaidista 跳伞者 tiene energía cinética constante. Pero la energía potencial gravitatoria 重力势能 sigue disminuyendo a medida que desciende. ¿Adónde va? Casi toda se convierte en energía térmica 热能 del aire circundante. No se convierte en energía cinética del paracaidista —esa permanece constante.

Ciclista o automóvil a velocidad constante

Un vehículo a velocidad constante en una carretera plana tiene fuerza resultante nula. La fuerza motriz 驱动力 es igual y opuesta a la fuerza total resistente (fricción, resistencia del aire y resistencia a la rodadura). A mayor velocidad, la resistencia es mayor, por lo que la fuerza motriz también debe ser mayor —y por tanto la potencia 功率 debe ser mayor.

En una pendiente, el peso tiene una componente a lo largo de la carretera. Subiendo a velocidad constante, la fuerza motriz debe equilibrar la fuerza resistente y la parte del peso que tira cuesta abajo, $W\sin\theta$; bajando, esa misma componente ayuda al movimiento.

Ejemplo resuelto. Un auto de masa $1500\ \text{kg}$ sube por una carretera inclinada $12°$ respecto a la horizontal a una velocidad constante de $30\ \text{m s}^{-1}$. La fuerza total resistente es $1600\ \text{N}$. Encuentra la fuerza motriz y la potencia útil de salida del motor.

Velocidad constante significa fuerza resultante nula a lo largo de la pendiente: $D = 1600 + 1500 \times 9.81 \times \sin 12° = 1600 + 3060 = 4660\ \text{N} \approx 4700\ \text{N}$. La potencia es fuerza por velocidad (tema 5): $P = Dv = 4660 \times 30 = 1.4 \times 10^{5}\ \text{W}$.

El principio

Para un sistema sin fuerza externa resultante, el momento total se mantiene constante. Esto es conservación del momento 动量守恒. Enunciado para los dos puntos que da el examinador: el momento total de un sistema de objetos permanece constante siempre que no actúe sobre el sistema ninguna fuerza externa resultante. Se necesitan ambas partes: "el momento total es constante" solo otorga uno.

Siempre se cumple cuando no hay fuerza externa resultante: en colisiones, explosiones 爆炸 y receso 反冲. En dos dimensiones, el momento se conserva a lo largo de cada dirección por separado.

Ejemplo resuelto. Un $2.0\ \text{kg}$ carro y un $3.0\ \text{kg}$ carro están sujetos contra un resorte comprimido, luego se sueltan desde el reposo. El $2.0\ \text{kg}$ carro sale volando a $6.0\ \text{m s}^{-1}$. Encuentra la velocidad del otro carro.

El momento total se mantiene en cero (comenzó en reposo), así que

en la dirección opuesta.

Colisiones elásticas e inelásticas

En toda colisión, el momento se conserva (si no hay fuerza externa resultante).

Una colisión elástica 弹性碰撞 es aquella en la que la energía cinética total también se conserva. Una prueba rápida: en una colisión elástica, la velocidad relativa 相对速率 de aproximación es igual a la velocidad relativa de separación.

En una colisión inelástica 非弹性碰撞, el momento se conserva pero la energía cinética disminuye — parte se convierte en energía térmica, sonora o de deformación 形变. Si los dos objetos quedan unidos, la colisión es perfectamente inelástica.

Resolver problemas de colisión (una dimensión)

Para dos objetos con masas $m_{1}, m_{2}$ y velocidades iniciales $u_{1}, u_{2}$ que chocan frontalmente 正面, escribe

Usa velocidades con signo (positiva en una dirección elegida). Si la colisión es elástica, añade la ecuación de velocidad relativa

o, lo mismo, $\tfrac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} = \tfrac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}$. Eso da dos ecuaciones para dos incógnitas.

Ejemplo resuelto. Un coche de $1500\ \text{kg}$ que se mueve a $12\ \text{m s}^{-1}$ choca contra un coche estacionado de $1000\ \text{kg}$ y se bloquean juntos. Encuentra su velocidad común justo después de la colisión.

El momento se conserva (los coches se unen, así que $v_{1} = v_{2} = v$):

Las preguntas suelen seguir preguntando qué fracción de la energía cinética se transfiere a otras formas. Antes: $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} \times 1500 \times 12^{2} = 1.08 \times 10^{5}\ \text{J}$. Después: $\tfrac{1}{2} \times 2500 \times 7.2^{2} = 6.48 \times 10^{4}\ \text{J}$. Así que $4.3 \times 10^{4}\ \text{J}$, que representa $40\%$ de la energía cinética original, se convierte en energía térmica, sonido y deformación de los coches. El momento se conserva; la energía cinética no.

Ejemplo resuelto. Un núcleo estacionario de masa $222\,u$ decae emitiendo una partícula alfa α粒子 de masa $4\,u$ a $1.6 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$. Encuentra la velocidad del núcleo restante.

Antes del decaimiento, el momento total es cero, así que después los dos momentos son iguales y opuestos: $218\,u \times v = 4\,u \times 1.6 \times 10^{7}$, lo que da $v = 2.9 \times 10^{5}\ \text{m s}^{-1}$ en dirección opuesta a la partícula alfa. La unidad $u$ se cancela, por lo que su valor nunca es necesario. En un decaimiento, el momento, la carga (número de protones), el número de nucleones y la energía-masa total se conservan (tema 11).

Un resultado útil para una colisión elástica frontal de masa $m$ contra una masa estacionaria 静止 $M$:

Colisiones en dos dimensiones

Si los objetos se mueven en dos dimensiones, descompón las velocidades en componentes 分量 perpendiculares 垂直 y aplica la conservación del momento a lo largo de cada dirección por separado. Para una colisión donde los objetos chocan en ángulo, elige un eje a lo largo del movimiento del primer objeto y otro perpendicular a él. El momento total se conserva a lo largo de cada eje.

Ejemplo resuelto. Sobre una superficie sin fricción, la bola A tiene un momento $4.0\ \text{N s}$ hacia el este y la bola B tiene un momento $3.0\ \text{N s}$ hacia el norte. Chocan y se unen. Encuentra el momento del objeto combinado.

El momento se conserva a lo largo de cada eje: $4.0\ \text{N s}$ hacia el este y $3.0\ \text{N s}$ hacia el norte después de la colisión, exactamente como antes. El momento total es la suma vectorial, $\sqrt{4.0^{2} + 3.0^{2}} = 5.0\ \text{N s}$ a $\tan^{-1}(3.0 / 4.0) = 37°$ al norte del este; el objeto combinado se mueve en esa dirección a $5.0\ \text{N s}$ dividido por la masa total. Un diagrama de opción múltiple con dos flechas de momento está pidiendo exactamente esto: suma las flechas punta con cola.

Cohete / expulsar masa

Un cohete expulsa gas a velocidad $u$ (relativa a sí mismo) a una tasa de flujo másico 质量流率 $\dot m$ (kg por segundo). Siente un empuje

que proviene de $F = \Delta p / \Delta t$. El momento dado al gas cada segundo es igual a la empuje del cohete (Tercera ley de Newton: el cohete empuja el gas en una dirección y el gas empuja al cohete en la dirección opuesta). Un motor que expulsa $90\ \text{kg}$ de gas por segundo a $190\ \text{m s}^{-1}$ produce un empuje de $90 \times 190 = 1.7 \times 10^{4}\ \text{N}$.

Ejemplo resuelto. Un cohete de peso $W$ sale del suelo con una aceleración inicial $a$. ¿Qué empuje produce su motor?

Se toma hacia arriba como positivo. La fuerza resultante es el empuje menos el peso, por lo tanto $T - W = ma$. Con $m = W / g$, $T = W + Wa / g = W(1 + a / g)$. Un cohete de peso $2.0 \times 10^{6}\ \text{N}$ que acelera a $4.0\ \text{m s}^{-2}$ necesita un empuje de $2.0 \times 10^{6} \times (1 + 4.0 / 9.81) = 2.8 \times 10^{6}\ \text{N}$. El empuje debe exceder al peso antes de que el cohete se mueva en absoluto.

Una pregunta de definición se califica según un texto fijo. Aprende estas definiciones exactamente, y da solo una respuesta.

• La segunda ley de Newton es $F = \Delta p / \Delta t$ (tasa de cambio del momento); $F = ma$ es el caso especial para masa constante.
• Identifica correctamente los pares de tercera ley: el mismo tipo de fuerza actuando sobre dos cuerpos diferentes; no las fuerzas equilibradas sobre un solo cuerpo.
• El momento se conserva en toda colisión; la energía cinética se conserva solo en una colisión elástica.
• Para la velocidad terminal, explica que la resistencia aumenta con la velocidad hasta que la resistencia $=$ al peso, por lo que la aceleración se vuelve cero.

Errores comunes

• Escribir "las fuerzas están equilibradas" o "las fuerzas se cancelan". Di "la fuerza resultante sobre el objeto es cero".
• Sumar ambas velocidades en una colisión frontal porque el momento es "total". Elige una dirección positiva, asigna signo negativo a la velocidad opuesta y luego suma.
• Calcular la energía cinética a partir de un componente de la velocidad. La energía cinética utiliza la rapidez total de cada cuerpo.
• Llamar par de tercera ley al peso y a la fuerza de contacto normal sobre un solo objeto. Un par actúa sobre dos objetos diferentes y es de un solo tipo de fuerza.
• Enunciar la conservación del momento sin la condición correspondiente. Solo se cumple cuando no actúa sobre el sistema ninguna fuerza externa resultante.

Centro de gravedad

El peso 重力 de un objeto grande puede considerarse como una fuerza que actúa en un único punto, llamado centro de gravedad 重心 (el mismo que el centro de masa 质心 en un campo gravitatorio uniforme). Para una forma regular y uniforme —un rectángulo, una esfera, una barra uniforme—, el centro de gravedad se encuentra en la mitad.

Al dibujar un diagrama de cuerpo libre 受力图, siempre coloca la flecha del peso en el centro de gravedad.

Para una forma irregular, halla el centro de gravedad mediante experimento. Cuelga el objeto libremente de una chincheta: en equilibrio, se asentará con su centro de gravedad verticalmente debajo de la chincheta, porque solo así el peso no produce momento respecto a la chincheta. Una plomada 铅垂线 colgada de la misma chincheta marca esa vertical. Cuelga el objeto desde un segundo punto y traza la segunda línea; el centro de gravedad está donde se cruzan ambas líneas. Este mismo hecho responde al "explica por qué la lámina cuelga así" de los exámenes: su centro de gravedad está directamente debajo del soporte, por lo que la línea de acción del peso pasa por el punto de apoyo y no hay par resultante.

Para una barra no uniforme 非均匀, el centro de gravedad no está en la mitad. Hálalo equilibrando la barra sobre un pivote o calculando momentos: si el peso de la barra $W$ equilibra un peso conocido, la distancia de su centro de gravedad al pivote es la que hace que ambos lados sean iguales.

Momento de una fuerza

El momento 力矩 de una fuerza respecto a un punto es

donde $F$ es la magnitud de la fuerza 力 y $d$ es la distancia perpendicular 垂直距离 desde el punto hasta la línea de acción 作用线 de la fuerza. Unidad: $\text{N m}$.

Si la fuerza actúa en un ángulo $\theta$ respecto a un brazo de palanca 力臂 de longitud $r$ desde el pivote 支点, entonces $d = r\sin\theta$, por lo tanto $M = F r\sin\theta$. Solo la componente de la fuerza perpendicular 垂直 al brazo de palanca produce giro.

Ejemplo resuelto. Se aplica una fuerza de $50\ \text{N}$ en el extremo de una llave inglesa de $0.40\ \text{m}$ de largo, en un ángulo de $30°$ respecto a la llave. Calcula el momento de la fuerza respecto a la tuerca.

Un momento es ya sea horario 顺时针 o antihorario 逆时针 respecto al punto elegido.

Par de fuerzas y par motor

Un par de fuerzas 力偶 es un par de fuerzas que son:

• iguales en magnitud,
• opuestas en dirección,
• con sus líneas de acción separadas por una distancia perpendicular.

Un par de fuerzas hace girar únicamente el cuerpo —su fuerza resultante es cero, por lo que no produce aceleración lineal—.

El par motor 力偶矩 de un par de fuerzas es el efecto de giro que produce:

donde $F$ es la magnitud de una de las fuerzas y $d$ es la distancia perpendicular entre las dos líneas de acción. Unidad: $\text{N m}$. El par motor es el mismo respecto a cualquier punto —una propiedad especial de los pares de fuerzas—.

Una trampa común de opción múltiple: dos fuerzas iguales en la misma dirección no constituyen un par de fuerzas (tienen una fuerza resultante y causan traslación 平动). Un par de fuerzas requiere igual magnitud y dirección opuesta.

Observa la distancia en la fórmula. Para un par de dos fuerzas $F$ cada una actuando a una distancia $d$ desde un pivote central, en lados opuestos, la distancia perpendicular entre las dos líneas de acción es $2d$, por lo tanto el par motor es $F \times 2d = 2Fd$. Al tomar momentos respecto al pivote se obtiene el mismo resultado, $Fd + Fd$. La definición de dos puntos pide ambas partes: el producto de una de las fuerzas y la distancia perpendicular entre las líneas de acción de las fuerzas.

Condiciones de equilibrio

Un cuerpo está en equilibrio 平衡 cuando:

1. la fuerza resultante 合力 es cero (no hay aceleración lineal), Y
2. el momento resultante respecto a cualquier punto es cero (no hay aceleración angular 角加速度).

Ambas deben cumplirse. Un cuerpo sin fuerza resultante aún puede estar girando; un cuerpo sin momento resultante aún puede moverse en línea recta.

El caso clásico de opción múltiple: cuatro fuerzas, dos pares iguales apuntando en direcciones opuestas pero no a lo largo de las mismas líneas. La fuerza resultante es cero, por lo que el centro de masa no acelera, pero los pares forman pares de fuerzas con un par resultante, por lo que el objeto gira cada vez más rápido mientras su centro de masa se mueve a velocidad constante. Solo cuando se cumplen ambas condiciones está el cuerpo en equilibrio.

Principio de los momentos

Para un cuerpo que no gira, el momento horario total respecto a cualquier punto es igual al momento antihorario total respecto al mismo punto. Este es el principio de los momentos 力矩原理.

Para resolver un problema de equilibrio:

1. Elige un pivote —generalmente donde actúa una fuerza desconocida, para que dicha fuerza se anule (su distancia es cero)—.
2. Enumera cada fuerza y su distancia perpendicular al pivote.
3. Iguala $\sum M_{\text{clockwise}} = \sum M_{\text{anticlockwise}}$.
4. Usa $\sum F = 0$ si necesitas una segunda ecuación.

Una regla equilibrada sobre un pivote con masas en cada lado se resuelve así. Para una barra pesada y uniforme, recuerda incluir su peso actuando en su centro de gravedad. Enunciado para los puntos: para un cuerpo en equilibrio, la suma de los momentos horarios respecto a cualquier punto es igual a la suma de los momentos antihorarios respecto a ese mismo punto.

Ejemplo resuelto. Una viga uniforme de longitud $4.0\ \text{m}$ está articulado en su centro. Una carga de $40\ \text{N}$ cuelga a $1.5\ \text{m}$ del pivote en un lado. ¿A qué distancia del pivote, en el otro lado, debe colgar una carga de $30\ \text{N}$ para equilibrar la viga?

El propio peso de la viga actúa en el centro (el pivote), por lo que no produce momento. Igualando momentos horarios $=$ antihorarios:

Ejemplo resuelto. Una barra uniforme de longitud $L$ y peso $W = 28\ \text{N}$ está articulada a una pared en un extremo y mantenida horizontal por un cable desde su otro extremo. El cable forma un ángulo de $40°$ con la barra. Calcula la tensión $T$ en el cable.

Tome momentos respecto a la bisagra, para que la fuerza desconocida de la bisagra se anule. El peso actúa en el centro, a una distancia $L/2$ de la bisagra; su momento es $W \times L/2$, en sentido horario. La tensión actúa en el extremo, pero no perpendicularmente a la varilla, por lo que su momento es $T\sin 40° \times L$, en sentido antihorario (solo la componente de $T$ perpendicular a la varilla lo hace girar). Iguale los momentos:

La longitud $L$ se cancela, por eso la pregunta no necesita dársela. Si también cuelga una carga de la varilla, añada su momento al lado horario. Esta es la forma de casi todas las preguntas de momentos: elija el punto de apoyo donde actúa la fuerza desconocida, use la componente perpendicular de cualquier fuerza inclinada y deje que las longitudes desconocidas se cancelemente.

Ejemplo resuelto. Una viga uniforme de peso $200\ \text{N}$ y longitud $9.0\ \text{m}$ descansa sobre dos soportes, X a $1.0\ \text{m}$ del extremo izquierdo e Y a $6.5\ \text{m}$. Una persona de peso $700\ \text{N}$ está de pie a $1.7\ \text{m}$ de Y, más allá de este. Calcule la fuerza de cada soporte.

Dos fuerzas desconocidas, $R_{\text{X}}$ y $R_{\text{Y}}$, así que tome momentos respecto a X para eliminar $R_{\text{X}}$. El peso de la viga actúa en su centro, $3.5\ \text{m}$ desde X; Y está a $5.5\ \text{m}$ de X; la persona está a $7.2\ \text{m}$ de X:

Luego la fuerza resultante es cero: $R_{\text{X}} + R_{\text{Y}} = 200 + 700$, por lo que $R_{\text{X}} = 900 - 1040 = -140\ \text{N}$. Una respuesta negativa significa que la viga se levantaría de X: con la persona tan lejos más allá de Y, X debe sujetar la viga hacia abajo, no hacia arriba. Las preguntas a menudo preguntan dónde puede estar de pie una persona antes de que la vica vuelque; esa es la posición en la que $R_{\text{X}}$ se vuelve cero.

Triángulo vectorial

Tres fuerzas en el mismo plano que están en equilibrio pueden dibujarse como un triángulo vectorial cerrado 矢量三角形 — dibujadas punta a cola, las tres flechas regresan al inicio. Este es un método de dibujo en lugar de descomponer en componentes 分量.

Use la ley de senos 正弦定理 o la ley de cosenos 余弦定理 en el triángulo para encontrar tamaños o direcciones desconocidos, o dibuje el triángulo a escala en papel milimetrado.

También puede descomponer cada fuerza en componentes horizontales 水平 y verticales 竖直 e igualar $\sum F_{x} = 0$ y $\sum F_{y} = 0$.

Para dibujar el triángulo para los puntos: dibuje primero el peso (vertical, a escala), luego agregue las otras dos fuerzas punta a cola en sus direcciones reales, para que la tercera flecha cierre el triángulo; etiquete cada lado con su fuerza y marque los ángulos. Para un bloque reposando sobre una pendiente, las tres fuerzas son el peso (vertical), la fuerza de contacto normal (perpendicular a la pendiente) y la fricción (a lo largo de la pendiente), por lo que el triángulo es rectángulo con el peso como hipotenusa. Para un cuadro colgado de una cuerda sobre un pasador, las dos tensiones iguales forman un triángulo isósceles con el peso. La prueba de cualquier respuesta es que el triángulo se cierre; si no lo hace, el objeto no está en equilibrio.

Ejemplo resuelto. Una polea de peso despreciable está sostenida por un resorte. Un solo cable pasa debajo de la polea, y cada lado del cable forma un ángulo de $30°$ con la vertical. La tensión en el cable es $T = 60\ \text{N}$. Calcule la fuerza del resorte y la extensión del resorte, dado que su constante elástica es $2000\ \text{N m}^{-1}$.

Como es un cable continuo, la tensión es la misma en ambos lados. Las dos tensiones tiran hacia abajo y hacia afuera; sus componentes horizontales se cancelan y sus componentes verticales se suman, por lo que el resorte debe tirar hacia arriba con $F = 2T\cos 30° = 2 \times 60 \times 0.866 = 104\ \text{N}$. De la ley de Hooke (tema 6), $x = F / k = 104 / 2000 = 0.052\ \text{m}$. Si el ángulo con la vertical aumenta, $\cos\theta$ disminuye, por lo que la fuerza del resorte y la extensión disminuyen: el cable está tirando más hacia los lados y menos hacia arriba.

La densidad 密度 es la masa por unidad de volumen:

Unidad: $\text{kg m}^{-3}$ (o $\text{g cm}^{-3}$; $1\ \text{g cm}^{-3} = 1000\ \text{kg m}^{-3}$). La densidad es una escalar 标量.

Algunas densidades útiles que debes conocer:

• agua: $1000\ \text{kg m}^{-3}$
• aire en condiciones ambiente: $\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$
• hierro / acero: $\sim 7800\ \text{kg m}^{-3}$

Medir la densidad es, en realidad, una pregunta práctica disfrazada. Para un prisma rectangular, mide la masa con una balanza y las tres longitudes de los lados con una regla o un calibrador, luego $\rho = m / (xyz)$. Dado que la densidad es un producto y cociente, la incertidumbre porcentual en $\rho$ es la suma de las incertidumbres porcentuales en $m$, $x$, $y$ y $z$ (tema 1). Un error cero en la balanza, o el extremo desgastado de una regla, constituyen errores sistemáticos; repetir las lecturas no los elimina, pero restar la lectura cero sí lo hace.

Ejemplo resuelto. Un bloque tiene masa $(120 \pm 1)\ \text{g}$ y lados $(4.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$, $(3.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$ y $(2.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$. Encuentra su densidad y la incertidumbre porcentual.

$\rho = 120 / (4.0 \times 3.0 \times 2.0) = 5.0\ \text{g cm}^{-3} = 5000\ \text{kg m}^{-3}$. Las incertidumbres porcentuales son $0.8\%$, $2.5\%$, $3.3\%$ y $5.0\%$, por lo que la densidad tiene una incertidumbre de $12\%$, aproximadamente $\pm 600\ \text{kg m}^{-3}$. El lado más corto contribuye más, razón por la cual una pregunta pide qué medición mejorar primero.

Presión 压强 es la fuerza por unidad de área, donde la fuerza actúa perpendicularmente a la superficie:

Unidad: $\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$. La presión es una escalar.

La fuerza es aquella que presiona perpendicularmente a la superficie, y el área es el área de contacto. Un tronco de árbol con peso $9.0\ \text{kN}$ parado sobre un poste de diámetro $0.28\ \text{m}$ ejerce una presión de $p = F / A = 9000 / (\pi \times 0.14^{2}) = 1.5 \times 10^{5}\ \text{Pa}$; el mismo peso sobre un poste más ancho produce una presión menor. Convierte los diámetros en radios, y los centímetros en metros, antes de elevar al cuadrado.

Presión hidrostática

Considera una columna de fluido 流体 con densidad $\rho$, área transversal 横截面积 $A$ y altura $\Delta h$. Su peso es

Este peso presiona hacia abajo sobre el área $A$ en la parte inferior, por lo que la presión adicional en el fondo comparada con la parte superior es

Esta es la ecuación de presión hidrostática 流体静压强. Depende únicamente de la densidad del fluido y la profundidad 深度 —la forma del contenedor no importa.

Ejemplo resuelto. Calcula la presión adicional debida al agua en el fondo de una piscina de $2.5\ \text{m}$ de profundidad. (Densidad del agua $1000\ \text{kg m}^{-3}$, $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$.)

Para un submarino a una profundidad $h$ bajo la superficie, la presión ejercida por el agua es $\rho_{\text{seawater}}\, g\, h$. Para obtener la presión total, se suma la presión atmosférica 大气压强 en la superficie (aproximadamente $1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$).

Empuje y principio de Arquímedes

Cuando un objeto está sumergido 浸没 en un fluido, la presión en la parte inferior del objeto es mayor que la presión en la parte superior (en una cantidad igual a $\rho g \Delta h$, donde $\Delta h$ representa la altura del objeto). Esta diferencia genera una fuerza neta hacia arriba conocida como empuje 浮力.

Para un objeto de volumen $V$ (el volumen de fluido desplazado 排开), el empuje es

Este es el principio de Arquímedes 阿基米德原理: el empuje sobre un cuerpo en un fluido es igual al peso del fluido que desplaza.

Ejemplo resuelto. Un bloque metálico de volumen $2.0 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$ está completamente sumergido en agua. Calcule el empuje sobre él. (Densidad del agua $1000\ \text{kg m}^{-3}$, $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$.)

Para un objeto completamente sumergido, $V$ es su volumen total. Para un objeto flotante 漂浮, $V$ es solo el volumen por debajo de la superficie: el objeto flota cuando el empuje sobre la parte sumergida iguala su peso.

Si un objeto flota o no depende de las densidades: para un objeto completamente sumergido, la relación entre el empuje y el peso es $\rho_{\text{fluid}} V g / \rho_{\text{object}} V g = \rho_{\text{fluid}} / \rho_{\text{object}}$, por lo que flota si es menos denso que el fluido y se hunde si es más denso. Reducir a la mitad la densidad del objeto duplica esa relación; cambiar su volumen o la profundidad no altera nada.

Ejemplo resuelto. Un cilindro de masa $11\ \text{kg}$ y diámetro $0.78\ \text{m}$ flota verticalmente en agua de densidad $990\ \text{kg m}^{-3}$. Encuentre la profundidad $y$ de su base por debajo de la superficie.

Flotar significa que el empuje $=$ al peso. El volumen sumergido es el área de la base por la profundidad, $A y$, con $A = \pi \times 0.39^{2} = 0.478\ \text{m}^{2}$:

Cada newton adicional de carga en el cilindro necesita una profundidad adicional de $1 / (\rho g A)$, por lo que la profundidad aumenta en línea recta con el peso añadido, sin importar dónde se coloque sobre el cilindro.

Equilibrio de fuerzas con empuje

Un bloque mantenido bajo el agua por una cuerda atada al fondo del recipiente está en equilibrio bajo tres fuerzas verticales: peso (hacia abajo), tensión (hacia abajo) y empuje (hacia arriba). Establece $F_{\text{upthrust}} = W + T$ para encontrar la tensión.

Un bloque sumergido colgado de un dinamómetro indica menos que su peso en el aire debido al empuje: lectura $= W - F_{\text{upthrust}}$.

Ejemplo resuelto. Un cilindro de peso $25.0\ \text{N}$ cuelga de un dinamómetro completamente sumergido en agua, y el instrumento marca $10.0\ \text{N}$. Halla el volumen del cilindro.

El empuje es la fuerza faltante $15.0\ \text{N}$, y el empuje $= \rho g V$, por lo tanto $V = 15.0 / (1000 \times 9.81) = 1.53 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$. El mismo método permite hallar la densidad del cilindro: $25.0 / (9.81 \times 1.53 \times 10^{-3}) = 1670\ \text{kg m}^{-3}$.

El empuje depende de la densidad del fluido y del volumen desplazado, no del material del objeto ni de la profundidad (para un fluido incompresible 不可压缩). En un planeta con una gravedad menor $g$, el empuje es menor en la misma proporción que el peso, por lo que un objeto flotante sigue flotando con la misma fracción sumergida.

Una pregunta de definición se califica según un texto fijo. Aprende estas definiciones exactamente, y da solo una respuesta.

• Tomar momentos respecto a un punto de pivote elegido; para el equilibrio, los momentos totales en sentido horario $=$ los momentos totales en sentido antihorario y la fuerza resultante es cero.
• Un cuerpo en equilibrio bajo tres fuerzas da lugar a un triángulo cerrado de fuerzas.
• La presión de fluidos $= \rho g h$; empuje $=$ peso del fluido desplazado (Arquímedes).
• Diferenciar masa, peso y densidad, e indicar la unidad base cada vez.

Errores comunes

• Resolver con $\cos\theta$ cuando la geometría requiere $\sin\theta$. Dibuje el triángulo y verifique qué lado está adyacente al ángulo antes de elegir.
• Sustituir el peso del objeto donde la pregunta se refiere al empuje sobre él. El empuje es el peso del fluido desplazado, $\rho_{\text{fluid}} V g$.
• omitir el peso de una viga uniforme. Actúa en el centro, y tiene un momento respecto a cualquier pivote que no esté en el centro.
• Usar la distancia a lo largo de la barra para una fuerza inclinada. El momento necesita la distancia perpendicular, o la componente perpendicular de la fuerza.
• Tomar el par de un par de fuerzas como $Fd$ con $d$ medido desde el pivote. La distancia está entre las dos líneas de acción, por lo que un par simétrico da $2Fd$.

Trabajo realizado por una fuerza

Se realiza trabajo 功 cuando una fuerza desplaza su punto de contacto a lo largo de la línea de acción de dicha fuerza. Para la definición de una marca, escriba: el trabajo realizado es el producto de la fuerza por la distancia recorrida en la dirección de la fuerza. El trabajo realizado por una fuerza constante $F$ que provoca un desplazamiento 位移 $s$ es

donde $\theta$ es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento. Solo la componente 分量 de la fuerza a lo largo del desplazamiento realiza trabajo.

Ejemplo resuelto. Un niño tira de un trineo $5.0\ \text{m}$ sobre la nieve con una cuerda, aplicando una fuerza de $20\ \text{N}$ a $60°$ respecto al suelo. Calcule el trabajo realizado por la cuerda.

Unidad: $\text{J} = \text{N m}$. El trabajo es una magnitud escalar 标量.

Casos especiales:

• fuerza en la misma dirección que el movimiento ($\theta = 0$): $W = Fs$, trabajo positivo, energía 能量 entregada al objeto.
• fuerza perpendicular al movimiento ($\theta = 90°$): $W = 0$. La fuerza de contacto normal 支持力 sobre un coche en una carretera plana no realiza trabajo.
• fuerza opuesta al movimiento ($\theta = 180°$): $W = -Fs$, trabajo negativo, energía extraída del objeto (por ejemplo, fricción 摩擦力).

Para un objeto que se mueve cuesta arriba por una pendiente con ángulo $\alpha$ respecto a la horizontal 水平, el trabajo realizado contra la gravedad al ascender una altura $h$ es $mgh$, mientras que el trabajo realizado por un empuje horizontal a lo largo de la longitud de la pendiente $L$ utiliza $\cos\alpha$.

Dos pruebas de opción múltiple sobre la definición: no se realiza trabajo sobre un objeto que desliza a velocidad constante sobre una superficie sin fricción (no hay fuerza a lo largo del movimiento), ni sobre uno que simplemente se mantiene quieto (no hay distancia recorrida); sí se realiza trabajo cuando una fuerza lo levanta. Y cuando se empuja una caja a velocidad constante sobre un suelo rugoso, el trabajo realizado por el empuje es $F \times d$ para toda la distancia, independientemente de cómo se divida la trayectoria en etapas.

Ejemplo resuelto. Se empuja un bloque de masa $4.9\ \text{kg}$ a velocidad constante por una pendiente rugosa de longitud $8.0\ \text{m}$ que asciende $1.5\ \text{m}$, mediante una fuerza de $12\ \text{N}$ actuando a lo largo de la pendiente. Calcule el trabajo realizado contra la fricción.

La velocidad constante implica que no hay cambio en la energía cinética, por lo que el trabajo realizado por el empuje se reparte entre el aumento de energía potencial gravitatoria y el trabajo realizado contra la fricción. Trabajo del empuje: $12 \times 8.0 = 96\ \text{J}$. Aumento de EPg, utilizando el ascenso vertical: $4.9 \times 9.81 \times 1.5 = 72\ \text{J}$. Por tanto, el trabajo realizado contra la fricción es $96 - 72 = 24\ \text{J}$, y la fuerza de fricción es $24 / 8.0 = 3.0\ \text{N}$. Utilizar la longitud de la pendiente en $mgh$ es el error más común en este tipo de ejercicio.

Conservación de la energía

La energía nunca se crea ni se destruye; solo cambia de una forma a otra o se transfiere de un objeto a otro. En un sistema cerrado 封闭系统, la energía total permanece constante. Esto es la conservación de la energía 能量守恒, formulado para las marcas como: la energía no puede crearse ni destruirse; solo puede transferirse de una forma a otra (por lo que la energía total de un sistema cerrado es constante).

Al escribir una ecuación energética, enumere todas las formas en las que comienza y termina la energía. Formas comunes en este programa: energía cinética, energía potencial gravitatoria, energía potencial elástica 弹性势能, energía eléctrica 电能, térmica, sonora, energía química 化学能.

Una bola que rueda cuesta abajo por una pendiente 斜坡 sin fricción 无摩擦 convierte energía potencial gravitatoria 重力势能 en energía cinética 动能: $mgh = \tfrac{1}{2} m v^{2}$, por lo que $v = \sqrt{2gh}$. Con fricción, parte de esta energía se transforma en energía térmica 热能 de la rampa y del aire.

Ejemplo resuelto. Una bola se suelta desde el reposo en la parte superior de una rampa suave $1.2\ \text{m}$ de altura. Encuentre su velocidad en la base (tomar $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

Toda la energía potencial gravitatoria se convierte en energía cinética, por lo que $v = \sqrt{2gh}$ (la masa se cancela):

La misma idea se lee en un gráfico. Para una bola que cae desde una altura $H$ con resistencia del aire despreciable, la energía potencial gravitatoria (GPE) disminuye en línea recta con la altura ($mgh$), la energía cinética (KE) aumenta en línea recta ($mg(H - h)$), y ambas suman la constante $mgH$ a cada altura.

La cadena de energía puede pasar a través de un resorte. Un bloque que golpea un resorte con energía cinética $110\ \text{J}$ mientras desliza ligeramente cuesta abajo, de modo que su energía potencial gravitatoria disminuye en otros $20\ \text{J}$ antes de que el resorte lo detenga, almacena $110 + 20 = 130\ \text{J}$ de energía potencial elástica en la máxima compresión, si no se pierde nada por fricción. La gráfica de fuerza–compresión del resorte entonces da la compresión: la energía almacenada es el área bajo la línea, $\tfrac{1}{2} F_{0} x_{0}$ para un resorte que cumple la ley de Hooke (tema 6), por lo que una fuerza máxima de $2600\ \text{N}$ significa $x_{0} = 2 \times 130 / 2600 = 0.10\ \text{m}$. En ese instante, la fuerza neta sobre el bloque es la fuerza del resorte menos la componente del peso hacia abajo por la pendiente, y su aceleración se sigue de $F = ma$ (tema 3).

Eficiencia

La eficiencia 效率 de un sistema es

La misma idea con la potencia:

La eficiencia siempre es menor del 100% en un sistema real, porque parte de la energía de entrada se convierte en formas "inútiles" — usualmente energía térmica. Si se suministra una energía total $E$ y se desperdicia una cantidad $Q$, la salida útil es $E - Q$ y la eficiencia es $(E - Q) / E$; un motor con una entrada nominal de $1.7\ \text{kW}$ y una eficiencia de $53\%$ entrega $0.53 \times 1.7 = 0.90\ \text{kW}$ de salida útil.

Para un motor eléctrico que eleva una carga con una eficiencia $\eta$ a un voltaje 电压 $V$ y una corriente 电流 $I$, la potencia de salida útil es $\eta V I$. A partir de esto, puedes calcular una fuerza, una velocidad de elevación o una tensión 张力.

Ejemplo resuelto. Un motor eléctrico eleva una carga de $50\ \text{kg}$ a velocidad constante de $0.40\ \text{m s}^{-1}$ mientras consume $250\ \text{W}$ de potencia eléctrica. Hallar su eficiencia (tomar $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

La potencia de salida útil es $P = mgv = 50 \times 9.81 \times 0.40 = 196\ \text{W}$, por lo tanto

Ejemplo resuelto. Un motor eleva un bloque con una fuerza de $240\ \text{N}$ a través de una distancia vertical de $12\ \text{m}$ en $60\ \text{s}$. La potencia de entrada al motor es $900\ \text{W}$. Encuentre la potencia útil de salida y la eficiencia.

Trabajo realizado sobre el bloque: $W = Fd = 240 \times 12 = 2880\ \text{J}$. Potencia útil de salida: $P = W / t = 2880 / 60 = 48\ \text{W}$. Eficiencia: $48 / 900 \times 100\% = 5.3\%$. La mayor parte de la entrada se convierte en energía térmica en el motor y su cable. A la inversa, un motor de elevación con una potencia útil de salida de $20\ \text{kW}$ que eleva $1500\ \text{kg}$ a través de $20\ \text{m}$ consume $t = mgh / P = 1500 \times 9.81 \times 20 / 20\,000 = 15\ \text{s}$.

Potencia 功率 es la tasa de realizar trabajo, o la tasa de transferir energía:

Unidad: $\text{W} = \text{J s}^{-1}$. La potencia es una magnitud escalar.

Potencia, fuerza y velocidad

Para un objeto que se mueve con velocidad 速度 $v$ y una fuerza $F$ en la dirección del movimiento, en un breve intervalo de tiempo $\Delta t$ el desplazamiento es $v\,\Delta t$ y el trabajo realizado es $F v\,\Delta t$. Dividiendo por $\Delta t$:

Este es uno de los resultados más útiles en mecánica. Una respuesta para "deducir $P = Fv$" necesita exactamente esas tres líneas: $P = W / t$, $W = Fs$ para una fuerza a lo largo del movimiento, y $s / t = v$; luego úsela para resolver problemas en los que un vehículo o una carga se mueve a velocidad constante.

Ejemplo resuelto. Un coche viaja a una velocidad constante de $25\ \text{m s}^{-1}$ contra una fuerza resistiva total de $600\ \text{N}$. Encuentre la potencia de salida de su motor.

A velocidad constante, la fuerza motriz es igual a la fuerza resistiva, por lo que

• Para un automóvil que se mueve a velocidad constante $v$ en una carretera plana, la potencia del motor debe equilibrar la fuerza de resistencia total: $P = F_{\text{resist}} \cdot v$. Si la resistencia aerodinámica 阻力 crece con $v^{2}$, duplicar la velocidad aproximadamente cuadruplica la potencia necesaria.
• Para elevar verticalmente un peso 重力 $mg$ a velocidad constante $v$, la potencia útil de salida es $P = mg \cdot v$.
• Para una aeronave en vuelo estacionario a una altura fija, la fuerza de sustentación iguala al peso, y se requiere una gran potencia porque el aire debe ser empujado hacia abajo continuamente.
• Una grúa que eleva $600\ \text{kg}$ a una velocidad constante de $12\ \text{m}$ por minuto lo hace a $v = 0.20\ \text{m s}^{-1}$, por lo que su potencia útil de salida es $mgv = 600 \times 9.81 \times 0.20 = 1.2\ \text{kW}$. Convierte primero la velocidad a $\text{m s}^{-1}$.
• Un velero empujado por una fuerza de viento constante a velocidad constante también debe experimentar una fuerza resistente igual del agua: una velocidad constante significa una fuerza nula, por lo que la potencia del viento $Fv$ se destina completamente al trabajo contra el agua.

En un campo gravitatorio uniforme (cerca de la superficie de un planeta), el cambio en la energía potencial gravitatoria de una masa 质量 $m$ que sube o baja a través de una altura $\Delta h$ es

Origen del concepto

El trabajo realizado contra la gravedad para elevar una masa $m$ lentamente (sin cambio en la energía cinética) a través de una altura $\Delta h$ es igual a la energía potencial gravitatoria ganada:

• la fuerza gravitatoria sobre la masa es $mg$ hacia abajo,
• la fuerza necesaria para levantarlo lentamente es $mg$ hacia arriba,
• el trabajo realizado por esta fuerza es $W = F \cdot s = mg \cdot \Delta h$,
• este trabajo se convierte en $\Delta E_{\text{P}}$.

Así $\Delta E_{\text{P}} = mg \Delta h$. Para usarlo necesitas $m$ y $\Delta h$ (y $g$). No necesitas la velocidad ni el tiempo. La derivación de dos marcas quiere las mismas cuatro líneas, con la condición declarada: el bloque se eleva a velocidad constante, así que la fuerza de elevación es igual al peso $mg$, y el trabajo realizado por esa fuerza sobre la distancia vertical $\Delta h$ es $mg\Delta h$, que es la ganancia en energía potencial gravitacional. Un objeto $100\ \text{g}$ cayendo $10\ \text{m}$ pierde $0.100 \times 9.81 \times 10 = 9.8\ \text{J}$, aproximadamente $10\ \text{J}$; la masa debe estar en kilogramos.

La energía cinética de un objeto de masa $m$ que se mueve a una velocidad $v$ es

Origen del concepto

Aplica una fuerza resultante $F$ a una masa $m$ que parte del reposo. Acelera uniformemente desde $0$ hasta $v$ a lo largo de un desplazamiento $s$. Partiendo de $v^{2} = u^{2} + 2as$ con $u = 0$,

El trabajo realizado sobre la masa es

Todo este trabajo se convierte en energía cinética, de modo que $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$. En el examen, indica las suposiciones a medida que avanzas: el objeto parte del reposo, la fuerza es constante, por lo que la aceleración es uniforme, y $F = ma$ es la segunda ley de Newton.

Porque $E_{\text{K}} \propto v^{2}$, cuadruplicar la velocidad multiplica la energía cinética por dieciséis: un objeto con $1500\ \text{J}$ a $10\ \text{m s}^{-1}$ tiene $24\,000\ \text{J}$ a $40\ \text{m s}^{-1}$. La misma relación cuadrada es la razón por la que una fuerza de frenado se determina a partir de la energía: una bola de masa $1.2\ \text{kg}$ que se mueve a $3.0\ \text{m s}^{-1}$ y que es detenida por un cojín durante $0.020\ \text{m}$ pierde $\tfrac{1}{2} \times 1.2 \times 3.0^{2} = 5.4\ \text{J}$, por lo que la fuerza promedio sobre ella es $5.4 / 0.020 = 270\ \text{N}$: el trabajo realizado por el cojín es igual a la energía cinética perdida.

Energía cinética y momento

Combinando $p = mv$ y $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$:

Esto es útil cuando se conoce el momento 动量 pero no la velocidad. Para un cambio de momento desde $p_{1}$ hasta $p_{2}$ con masa constante, el cambio en la energía cinética es $(p_{2}^{2} - p_{1}^{2}) / (2m)$.

Un plan útil para problemas que combinan fuerzas y energía:

1. Encuentra los estados inicial y final. Escribe las energías cinéticas y potenciales en cada uno.
2. Lista cualquier trabajo realizado por fuerzas externas (fricción, un empujón). La fricción generalmente extrae energía; un empujón puede añadirla.
3. Conservación de la energía: $E_{\text{start}} + W_{\text{in}} = E_{\text{end}} + W_{\text{lost as heat etc.}}$.

Ejemplos:

• Una caja empujada a velocidad constante por una rampa de longitud $L$ que asciende $h$: $E_{\text{K}}$ no cambia, por lo que el trabajo realizado por el empuje se destina a $\Delta E_{\text{P}}$ más el trabajo realizado contra la fricción.
• Un bloque que se desliza hacia un resorte 弹簧 con energía cinética $E_{\text{K}}$ sobre una superficie sin fricción: en la compresión 压缩 máxima $x$, toda la energía cinética se ha convertido en energía potencial elástica $\tfrac{1}{2} k x^{2}$ (donde $k$ es la constante del resorte 劲度系数).
• Una bola que cae desde una altura $h_{1}$ y rebota hasta una altura $h_{2}$: la razón $h_{2}/h_{1}$ es la fracción de energía mecánica conservada, $h_{2}/h_{1} = (v_{\text{up}}/v_{\text{down}})^{2}$.
• Un proyectil lanzado a la misma altura con diferentes ángulos: la velocidad final es la misma (solo importa la altura); usa componentes para determinar su dirección.
• Un saltador de bungee: desde la plataforma hasta el punto en que la cuerda se tensa, la energía potencial gravitatoria se convierte en energía cinética; a partir de ahí, la cuerda se estira y almacena energía como energía potencial elástica, por lo que la energía cinética alcanza su máximo cuando la tensión de la cuerda iguala por primera vez al peso, luego disminuye hasta cero en el punto más bajo, donde la pérdida de energía potencial gravitatoria $=$ la energía potencial elástica almacenada (más cualquier energía térmica).

Una pregunta de definición se califica según un texto fijo. Aprende estas definiciones exactamente, y da solo una respuesta.

• Trabajo $=$ fuerza $\times$ distancia recorrida en la dirección de la fuerza — usa $Fs\cos\theta$ cuando están en ángulo.
• Usa conservación de la energía: pérdida de EPG $=$ ganancia de EC ($+$ trabajo realizado contra la resistencia).
• Potencia $=$ trabajo $/$ tiempo $= Fv$; eficiencia $=$ salida útil $\div$ entrada total.
• La energía potencial gravitatoria utiliza la altura vertical alcanzada, no la distancia a lo largo de una pendiente.

Errores comunes

• Dar el cambio de altura como respuesta a una pregunta sobre el cambio de energía. Termina el cálculo: $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$.
• Utilizar la distancia a lo largo de una pendiente como altura en $mg\Delta h$, o usar la masa donde se necesita el peso. Utilizar la altura vertical ganada y verificar si la cantidad buscada está en kg para $m$ o en N para $W$.
• Incluir la fuerza resistente en $P = Fv$ para un coche que está acelerando. $F$ es la fuerza motriz; solo a velocidad constante es igual a la fuerza resistente.
• Una eficiencia superior al 100 %, o una eficiencia calculada como salida dividida por desperdiciada. Es la salida útil dividida por la entrada total, y la entrada total siempre es el número mayor.
• Leer la pendiente de un gráfico fuerza–elongación cuando la pregunta pide la energía. La energía almacenada es el área bajo la línea, no su pendiente.

Cuando una fuerza actúa sobre un sólido a lo largo de su longitud, el objeto cambia de forma (deformación 形变). Dos casos (tratados aquí como unidimensionales):

• una fuerza tractiva 拉伸 estira el objeto — produce una extensión 伸长量 $x$,
• una fuerza compresiva aprieta al objeto — produce una compresión 压缩, tratada como una extensión negativa.

La fuerza aplicada es la carga 负载. El cambio respecto a la longitud natural es la extensión (o compresión).

Ambas se miden desde la longitud natural sin estirar, nunca desde la longitud bajo carga: en un diagrama de un resorte con una caja encima, la distancia que ha acortado el resorte es su compresión. La masa propia del resorte suele considerarse despreciable 可忽略 de, por lo que las únicas fuerzas que actúan sobre él son la carga y la tensión que proporciona.

Para muchos materiales, en extensiones pequeñas, la extensión es proporcional a la carga — esto es la ley de Hooke 胡克定律. La constante que los une es la constante del resorte 劲度系数 $k$:

Unidad de $k$: $\text{N m}^{-1}$.

Ejemplo resuelto. Un resorte se estira $4.0\ \text{cm}$ cuando se le cuelga una carga de $2.0\ \text{N}$. Calcule su constante del resorte.

Convirtiendo la extensión a metros ($4.0\ \text{cm} = 0.040\ \text{m}$):

Para la pregunta de una marca "enuncie la ley de Hooke", escríbala en palabras: la extensión es directamente proporcional a la fuerza aplicada (carga), siempre que no se exceda el límite de proporcionalidad. La constante del resorte es la fuerza por unidad de extensión; los distractores de opción múltiple son "extensión por unidad de fuerza" (eso es $1/k$) y $\tfrac{1}{2}Fx$ (la energía almacenada).

Lectura de una gráfica:

• Una gráfica de fuerza-extensión ($F$ frente a $x$) tiene pendiente $k$ en la región de la ley de Hooke.
• Una gráfica de extensión-fuerza ($x$ frente a $F$) tiene pendiente $1/k$ en la región de la ley de Hooke.

Trampa común: si una gráfica representa la longitud $L$ frente a la fuerza, aún puede obtenerse la constante del resorte a partir de la pendiente (ya que $L = L_{0} + F/k$, la pendiente es $1/k$ — léala con cuidado).

Ejemplo resuelto. Un resorte tiene longitud $90\ \text{mm}$ bajo una fuerza de $0.80\ \text{N}$ y $115\ \text{mm}$ bajo $1.30\ \text{N}$. Calcule la constante del resorte y la longitud sin estirar.

La fuerza adicional $0.50\ \text{N}$ produce la extensión adicional $25\ \text{mm} = 0.025\ \text{m}$, por lo tanto $k = 0.50 / 0.025 = 20\ \text{N m}^{-1}$. A $0.80\ \text{N}$ la extensión es $x = F/k = 0.80 / 20 = 0.040\ \text{m}$, así que la longitud sin estirar es $90 - 40 = 50\ \text{mm}$. En una gráfica de longitud frente a fuerza, la intersección con el eje de longitud es $L_{0}$, la pendiente es $1/k$, y el trabajo realizado para estirar el resorte es el triángulo entre la línea y el nivel $L = L_{0}$, no toda el área hasta el eje de fuerza: el rectángulo debajo de $L_{0}$ corresponde a la longitud sin estirar multiplicada por la fuerza, lo cual carece de significado físico.

Límite de proporcionalidad

La ley de Hooke solo se cumple hasta el límite de proporcionalidad 比例极限. Más allá de este punto, la línea de $F$ frente a $x$ se curva y deja de ser recta. El material puede seguir siendo elástico 弹性 (recupera su longitud original al retirar la carga) un poco más, para luego volverse plástico 塑性.

resortes en serie y en paralelo

Puede que necesite combinar constantes de resortes:

• En serie 串联 (un resorte cuelga de otro): la misma carga pasa a través de ambos, la extensión total es la suma, por lo tanto $\dfrac{1}{k_{\text{total}}} = \dfrac{1}{k_{1}} + \dfrac{1}{k_{2}}$.
• En paralelo 并联 (dos resortes lado a lado sosteniendo la misma carga): cada uno soporta la mitad de la carga (si son idénticos), las extensiones son iguales, por lo tanto $k_{\text{total}} = k_{1} + k_{2}$.

Ejemplo resuelto. Dos resortes con constantes de resorte $6.0\ \text{N cm}^{-1}$ y $4.0\ \text{N cm}^{-1}$ están unidos extremo con extremo y una carga de $80\ \text{N}$ cuelga de ellos. Calcule la extensión total.

Cada resorte soporta la carga completa de $80\ \text{N}$, por lo que las extensiones son $80/6.0 = 13.3\ \text{cm}$ y $80/4.0 = 20\ \text{cm}$; en total $33\ \text{cm}$ (lo mismo que obtenería de $k = 2.4\ \text{N cm}^{-1}$ usando $1/k = 1/6.0 + 1/4.0$). Tres resortes idénticos dan la constante combinada mayor cuando los tres están en paralelo ($3k$) y la menor cuando los tres están en serie ($k/3$). Cuando una carga es compartida por dos resortes idénticos en paralelo, cada uno soporta la mitad de la fuerza y almacena así un cuarto de la energía de un solo resorte que sostuviera toda la carga; el par en conjunto almacena la mitad de la energía que almacenaba el resorte individual. Una constante de resorte en $\text{N cm}^{-1}$ es $100$ veces menor que la misma constante en $\text{N m}^{-1}$; utilice la unidad que solicite el problema.

Para un alambre de sección transversal uniforme bajo una carga de tracción:

• Tensión 应力 $\sigma = \dfrac{F}{A}$, donde $F$ es la carga y $A$ es el área de sección transversal 横截面积. Unidad: $\text{Pa}$.
• Deformación 应变 $\varepsilon = \dfrac{x}{L_{0}}$, donde $x$ es la extensión y $L_{0}$ es la longitud original. La deformación no tiene unidad (es una razón entre longitudes).

Para las definiciones de un punto: la tensión es la fuerza por unidad de área de sección transversal (la fuerza que actúa perpendicularmente al área); la deformación es la extensión por unidad de longitud original. La unidad de tensión, $\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$, equivale a $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$ en unidades base. El área de un alambre redondo se obtiene a partir de su diámetro $d$: $A = \pi d^{2}/4 = \pi r^{2}$, y sustituir $d$ en lugar de $r$ hace que el área sea cuatro veces demasiado grande. Convierta $\text{mm}^{2}$ a $\text{m}^{2}$ utilizando $10^{-6}$.

Ejemplo resuelto. Una fuerza de tracción de $18\ \text{N}$ actúa sobre un alambre de área transversal $3.2\ \text{mm}^{2}$. Calcule la tensión.

$\sigma = F/A = 18 / (3.2 \times 10^{-6}) = 5.6 \times 10^{6}\ \text{Pa}$. La misma fuerza actúa a lo largo de todo el alambre, por lo que un perno cuyo diámetro es $2d$ en un extremo y $d$ en el otro tiene cuatro veces la tensión en el extremo más estrecho ($\sigma \propto 1/d^{2}$), y un alambre con tres veces el radio presenta una novena parte de la tensión.

El módulo de Young 杨氏模量 es la razón entre la tensión y la deformación en la región de la ley de Hooke:

Unidad: $\text{Pa}$ (aproximadamente $10^{11}$ para metales; p. ej., acero $\approx 2.0 \times 10^{11}$ Pa).

Ejemplo resuelto. Un alambre de acero de longitud $2.0\ \text{m}$ y área transversal $1.5 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$ se estira $1.0\ \text{mm}$ bajo una carga de $15\ \text{N}$. Calcule el módulo de Young.

El módulo de Young es una propiedad del material; no depende de la forma ni del tamaño del alambre. La constante del resorte $k$ depende tanto del material como del tamaño: $k = EA/L_{0}$.

Para la definición de un solo punto: el módulo de Young es la razón entre la tensión y la deformación (para un material deformado dentro de su límite de proporcionalidad). Perteneciendo al material, un alambre más grueso del mismo metal tiene el mismo módulo de Young: se estira menos bajo la misma carga porque su área es mayor, no porque el metal sea más rígido. Una pregunta de "demuestre que $k = EA/L_{0}$" requiere dos líneas: $k = F/x$ y $E = FL_{0}/(Ax)$, por lo tanto $E = kL_{0}/A$. De esto se derivan dos cosas: la constante del resorte de un alambre permanece constante mientras se cumpla la ley de Hooke, sin importar la fuerza, y un alambre del mismo metal con el doble de diámetro tiene cuatro veces la constante del resorte.

Ejemplo resuelto. Un alambre de cobre de longitud $1.7\ \text{m}$ y diámetro $0.64\ \text{mm}$ tiene un módulo de Young de $1.2 \times 10^{11}\ \text{Pa}$. Calcule su constante del resorte.

$A = \pi (0.32 \times 10^{-3})^{2} = 3.2 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$, por lo tanto $k = EA/L_{0} = 1.2 \times 10^{11} \times 3.2 \times 10^{-7} / 1.7 = 2.3 \times 10^{4}\ \text{N m}^{-1}$.

En un gráfico de tensión-deformación, la pendiente de la parte recta es $E$, por lo que de dos materiales trazados en los mismos ejes, la línea más empinada corresponde al material más rígido, y un alambre con el doble del módulo de Young se representa como una línea que pasa por el origen con el doble de pendiente. En un gráfico de fuerza-elongación, la pendiente es $EA/L_{0}$ y el módulo de Young es la pendiente multiplicada por $L_{0}/A$; solo un gráfico de tensión-deformación tiene una pendiente igual a $E$ mismo.

Experimento para encontrar el módulo de Young de un alambre metálico

Un montaje estándar:

1. Sujete un extremo de un alambre largo y delgado a un soporte fijo. Pase el alambre sobre una polea 滑轮 por el borde de la mesa para que cuelgue recto hacia abajo.
2. Mida la longitud original $L_{0}$ entre la abrazadera y un marcador cerca de la polea, usando una regla métrica.
3. Mida el diámetro 直径 $d$ del alambre en varios lugares con un micrómetro 螺旋测微器 y tome el promedio. Calcule $A = \pi d^{2}/4$.
4. Cuelgue los pesos uno a uno. Registre la carga $F$ y la extensión $x$ (cuánto se mueve el marcador contra una escala fija).
5. Grafique $F$ contra $x$. En la región lineal, la pendiente es $EA/L_{0}$, por lo tanto $E = \text{gradient} \times L_{0}/A$.

¿Por qué un alambre largo y delgado? Para que la extensión sea lo suficientemente grande como para medirse bien. ¿Por qué repetir lecturas y medir $d$ en varios lugares? Para reducir el error aleatorio 随机误差 y verificar que el alambre sea uniforme.

Una respuesta "describa un experimento" obtiene sus puntos por las cantidades medidas y cómo ($L_{0}$ con una regla métrica; $d$ con un micrómetro en varios puntos; la carga desde las masas o un newtonímetro; la extensión desde un marcador leído contra una escala fija o una escala vernier), la gráfica ($F$ contra $x$, pendiente $EA/L_{0}$, o tensión contra deformación, pendiente $E$) y las precauciones: gafas de seguridad en caso de que el alambre se rompa, una carga pequeña primero para enderezar las torceduras, y tomas de lectura tanto al cargar como al descargar para verificar que el alambre permaneció elástico.

A medida que aumenta la carga:

1. Elástico y recto (se obedece la Ley de Hooke) — hasta el límite de proporcionalidad. Al retirar la carga, el objeto vuelve a su primera longitud.
2. Elástico pero curvo — entre el límite de proporcionalidad y el límite elástico 弹性极限. La extensión ya no es recta respecto a la carga, pero al descargar, el objeto todavía vuelve a su primera longitud.
3. Plástico — más allá del límite elástico. Al descargar, el objeto no vuelve a su primera longitud; queda una extensión permanente.

La ley de Hooke solo se cumple en la región elástica y recta.

En palabras: deformación elástica significa que el objeto vuelve a su longitud original (o forma) cuando se retira la carga; deformación plástica significa que no lo hace, y permanece una extensión permanente; el límite elástico es la carga máxima (o extensión) para la cual la deformación sigue siendo elástica; el límite de proporcionalidad es el punto más allá del cual la extensión deja de ser proporcional a la carga. En una gráfica, el límite de proporcionalidad es donde la línea deja de ser recta. El límite elástico está un poco más allá y no puede leerse solo a partir de la línea de carga. Por lo tanto, en un elemento de opción múltiple "cuál afirmación debe ser correcta", el final de la parte recta es el límite de proporcionalidad, pero si un punto posterior es el límite elástico o el punto de ruptura no se puede determinar a partir de la forma de la línea de carga.

En una gráfica de fuerza–extensión para un material llevado a la región plástica y luego descargado, la línea de carga y la línea de descarga son diferentes. La línea de descarga es paralela a la primera línea de Hooke pero desplazada hacia la derecha (la extensión permanente que queda cuando la carga llega a cero). El área entre las líneas de carga y descarga es la energía convertida en energía térmica 热能 en el material.

Una goma elástica 橡皮筋 también tiene curvas de carga y descarga diferentes, pero vuelve a su longitud original: su deformación es elástica. El área entre las dos curvas es nuevamente energía disipada como energía térmica (histéresis elástica 弹性滞后), y la energía recuperada al descargar es el área bajo la curva inferior. La respuesta de dos puntos "explique por qué el trabajo realizado al estirar el alambre no es igual a la energía recuperada cuando se retira la fuerza" dice que el alambre fue llevado más allá de su límite elástico, por lo que parte de la deformación es plástica y queda una extensión permanente, y que parte del trabajo realizado se convirtió en energía térmica en el alambre.

El trabajo realizado al estirar un material de $0$ a extensión $x$, mientras la carga crece de $0$ a $F$, es el área bajo la gráfica de fuerza–extensión.

¿Por qué el área: el trabajo realizado es fuerza multiplicada por la distancia recorrida, pero aquí la fuerza crece a medida que el material se estira, por lo que el trabajo es la suma de $F\,\Delta x$ sobre muchas extensiones pequeñas, lo cual es el área bajo la línea. Dentro del límite de proporcionalidad, la fuerza aumenta uniformemente de $0$ a $F$, por lo que la fuerza promedio es $\tfrac{1}{2}F$ y el trabajo es $\tfrac{1}{2}Fx$. En una gráfica de fuerza–extensión, la pendiente es la constante del resorte.

Material que obedece la Ley de Hooke

Cuando se cumple la Ley de Hooke, la gráfica de $F$ contra $x$ es una línea recta que pasa por el origen. El área bajo ella de $0$ a $x$ es un triángulo:

Esta es la energía potencial elástica 弹性势能 almacenada en un resorte o alambre estirado dentro de su límite de proporcionalidad. Una forma equivalente:

Ejemplo resuelto. Un muelle de constante elástica $50\ \text{N m}^{-1}$ se estira una distancia $0.20\ \text{m}$, dentro de su límite de proporcionalidad. Encuentre la energía potencial elástica almacenada.

Ejemplo resuelto. Un alambre de constante elástica $2.0 \times 10^{4}\ \text{N m}^{-1}$ ya está extendido en una cantidad $2.0\ \text{mm}$. Encuentre el trabajo realizado para aumentar su extensión hasta $3.0\ \text{mm}$.

La energía almacenada aumenta de $\tfrac{1}{2} k x_{1}^{2}$ a $\tfrac{1}{2} k x_{2}^{2}$: $W = \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 10^{4} \times \left[(3.0 \times 10^{-3})^{2} - (2.0 \times 10^{-3})^{2}\right] = 0.050\ \text{J}$. Esta es la zona trapezoidal bajo la línea entre las dos extensiones, no $\tfrac{1}{2} k (x_{2} - x_{1})^{2}$. Dado que $E_{\text{P}} \propto x^{2}$ a una extensión fija $k$, duplicar la extensión de un alambre almacena cuatro veces la energía ($0.65\ \text{J}$ se convierte en $2.6\ \text{J}$), y la energía almacenada proporciona la extensión como $x = \sqrt{2E_{\text{P}}/k}$: un resorte de $k = 400\ \text{N m}^{-1}$ que almacena $0.32\ \text{J}$ está comprimido por $\sqrt{2 \times 0.32 / 400} = 0.040\ \text{m}$. Para dos alambres unidos extremo con extremo, la tensión es la misma en ambos, por lo que la energía total almacenada es $\tfrac{1}{2}F x_{1} + \tfrac{1}{2}F x_{2}$ con la propia extensión de cada alambre.

Material no hookeano

Para una gráfica que no es una línea recta (una banda de goma estirada o un resorte más allá de su límite de proporcionalidad), encuentre el área contando cuadrados de la cuadrícula o utilizando trapecios 梯形. La misma idea se mantiene: el área bajo la gráfica fuerza–extensión es el trabajo realizado sobre el material. Para estimar el trabajo realizado hasta el punto de rotura, cuente los cuadrados bajo toda la curva (cuadrados parciales como mitades) y multiplique por la energía que representa un cuadrado, el paso de fuerza multiplicado por el paso de extensión; decir que el área se encontró contando cuadrados otorga la marca de "explique su razonamiento".

Comparación de energía almacenada

Un caso común de opción múltiple: dos materiales se estiran con la misma fuerza o con la misma extensión. Utilizando $E_{\text{P}} = \tfrac{1}{2} F x$:

• misma $F$, menor $k$ (menos rígido) → mayor $x$ → más energía almacenada.
• misma $x$, mayor $k$ (más rígido) → mayor $F$ → más energía almacenada.

Un boceto de $E_{\text{P}}$ frente a la extensión o compresión es una curva que pasa por el origen y se vuelve más pronunciada ($E_{\text{P}} \propto x^{2}$), no una línea recta. De dos alambres de la misma longitud y área bajo la misma carga, aquel con el módulo de Young menor se extiende más y, por tanto, almacena más energía.

Cuando un resorte estirado se libera sobre una masa, la energía potencial elástica se convierte en energía cinética 动能 (y energía potencial gravitatoria si la masa asciende). Iguale $\tfrac{1}{2} k x^{2}$ con $\tfrac{1}{2} m v^{2}$ (más cualquier $mgh$) para encontrar la velocidad o la altura.

Una pregunta de definición se califica según un texto fijo. Aprende estas definiciones exactamente, y da solo una respuesta.

• La ley de Hooke ($F = kx$) solo se cumple hasta el límite de proporcionalidad.
• Esfuerzo $= F/A$, deformación $= x/L$, módulo de Young $=$ esfuerzo$/$deformación (pendiente de la parte recta de la gráfica esfuerzo-deformación) — comprueba las unidades (Pa).
• Energía almacenada $=$ área bajo la gráfica fuerza-extensión $= \frac{1}{2}Fx$ en la región elástica.
• Distinga entre deformación elástica (recupera su forma) y plástica (permanente).

Errores comunes

• Usar el diámetro como radio en $A = \pi r^{2}$, o dejar un área en $\text{mm}^{2}$. Dividir primero el diámetro a la mitad; $1\ \text{mm}^{2} = 10^{-6}\ \text{m}^{2}$.
• Leer el trabajo realizado en una gráfica de longitud–fuerza como toda el área hasta el eje. Solo el triángulo por encima de $L_{0}$ es trabajo.
• Tratar la energía almacenada como proporcional a la extensión. Varía según $x^{2}$: duplicar la extensión, cuadruplica la energía; y el trabajo realizado entre dos extensiones es la diferencia de dos valores de $\tfrac{1}{2}kx^{2}$.
• Enunciar la ley de Hooke sin su condición. "Siempre que no se exceda el límite de proporcionalidad" forma parte de la ley.
• Intercambiar el límite de proporcionalidad (el final de la línea recta) y el límite elástico (el final del comportamiento elástico, un poco más allá).
• Decir que un alambre más grueso tiene un módulo de Young mayor. El módulo es del material; el alambre más grueso tiene una constante de resortes mayor.

Una onda transporta energía de un lugar a otro sin mover materia en general. Las partículas del medio oscilan alrededor de sus posiciones de reposo fijas; solo la perturbación (y su energía) se propaga. Ejemplos: una onda transversal en una cuerda, una onda longitudinal en un resorte tipo slinky, ondas en el agua y el sonido en el aire. Una onda que viaja y transporta energía es una onda progresiva.

El movimiento ondulatorio es una serie de oscilaciones de las partículas de un medio, cada una pasando la perturbación a la siguiente: sacuda un extremo de una cuerda, empuje un extremo de un resorte o toque la superficie del agua en un tanque de ondas, y la oscilación viaja lejos de donde comenzó. Para la definición de un punto, una onda progresiva transfiere energía de un lugar a otro sin transferir materia; las partículas solo oscilan alrededor de sus posiciones de reposo.

Key terms

• desplazamiento $y$ — qué tan lejos se ha movido una partícula desde su posición de reposo en un momento dado. Es un vector.
• amplitud $A$ — el mayor desplazamiento desde la posición de reposo.
• longitud de onda $\lambda$ — the shortest distance along the wave between two points that move in phase (for example, two next-door crests).
• período $T$ — el tiempo necesario para una oscilación completa de una partícula.
• frecuencia $f$ — el número de oscilaciones completas por segundo; $f = 1/T$. Unidad: hercios, $\text{Hz}$.
• velocidad $v$ — qué tan rápido viaja una cresta a lo largo del medio.
• diferencia de fase — la fracción de un ciclo por la cual una oscilación va por delante o por detrás de otra. Se expresa en radianes (un ciclo completo es $2\pi$) o grados (un ciclo completo es $360°$).

Dos puntos separados por una longitud de onda están en fase (diferencia de fase 0 o $2\pi$). Dos puntos separados por media longitud de onda están exactamente fuera de fase (diferencia de fase $\pi$).

Para encontrar la diferencia de fase entre dos puntos desde un gráfico de desplazamiento–distancia, divide su separación por la longitud de onda y multiplica por $360°$ (o $2\pi$): dos puntos $0.50\ \text{m}$ apartados en una onda de longitud de onda $2.0\ \text{m}$ ($v = 600\ \text{m s}^{-1}$, $f = 300\ \text{Hz}$) difieren en fase por $0.25 \times 360° = 90°$. Solo importa la fracción de ciclo, así que $450°$ es lo mismo que $90°$. Desde dos gráficos de desplazamiento–tiempo, lee el cambio de tiempo entre los picos como una fracción del período. ¿En qué dirección se mueve un punto en el instante que muestra el gráfico? Todo el perfil se mueve a lo largo, así que cada punto toma el desplazamiento que su vecino en el lado desde el que viene la onda tiene ahora; un punto en una cresta o un valle está momentáneamente en reposo.

Ejemplo resuelto. Los puntos R y T en una cuerda están separados $0.62\ \text{cm}$ y desfasados un cuarto de ciclo. La velocidad de la onda es $0.27\ \text{m s}^{-1}$. Calcule la frecuencia.

Un cuarto de ciclo equivale a un cuarto de longitud de onda, por lo tanto $\lambda = 4 \times 0.62 = 2.5\ \text{cm}$ y $f = v / \lambda = 0.27 / 0.025 = 11\ \text{Hz}$.

The wave equation

En un periodo $T$, la onda avanza una longitud de onda $\lambda$. Por tanto, la velocidad $= \text{distance} / \text{time} = \lambda / T = \lambda f$:

Esto proviene directamente de las definiciones de velocidad, frecuencia y longitud de onda, y funciona para cada onda progresiva. Para la derivación de dos marcas escribe ambos pasos: en un período $T$ la onda recorre una longitud de onda $\lambda$, así que $v = \lambda / T$; y $f = 1/T$, así que $v = f\lambda$. Dado que $v$ está fijada por el medio, una mayor frecuencia significa una menor longitud de onda. Una pregunta sobre el período es la misma ecuación al revés: la luz de longitud de onda $460\ \text{nm}$ tiene $f = c / \lambda = 6.5 \times 10^{14}\ \text{Hz}$ y $T = 1/f = 1.5 \times 10^{-15}\ \text{s}$.

Reading a CRO trace

Un osciloscopio de rayos catódicos (ORC) dibuja una señal de voltaje — por ejemplo, la salida de un micrófono para el sonido — contra el tiempo. Dos controles son importantes:

• base de tiempo (segundos por división horizontal): convierte la distancia horizontal en la pantalla en tiempo. Lea el período $T$ como la distancia entre dos picos consecutivos, luego $f = 1/T$.
• ganancia Y (voltios por división vertical): convierte la distancia vertical en voltaje. La amplitud en voltios es la altura máxima desde la línea central.

Si la base de tiempo es $5\ \text{ms}/\text{div}$ y un ciclo completo tarda $4$ divisiones, entonces $T = 4 \times 5\ \text{ms} = 20\ \text{ms}$ y $f = 50\ \text{Hz}$.

La base de tiempo es el tiempo representado por una división (o un centímetro) a través de la pantalla, en $\text{s}\ \text{div}^{-1}$. Para ajustarla para una señal dada, trabaja hacia atrás: un sonido de $2000\ \text{Hz}$ tiene $T = 0.50\ \text{ms}$, así que para que un ciclo abarque $2.5\ \text{cm}$ la base de tiempo debe ser $0.50 / 2.5 = 0.20\ \text{ms cm}^{-1}$. Para la amplitud, multiplica la altura máxima en divisiones por la ganancia y: $2.0$ divisiones a $3.5\ \text{mV cm}^{-1}$ es $7.0\ \text{mV}$. Cuando la intensidad del sonido se reduce a una cuarta parte a la misma frecuencia, la traza mantiene su período y sus picos se reducen a la mitad en altura, porque $I \propto A^{2}$.

Intensity of a wave

Una onda transporta energía. La intensidad en un punto es la potencia que pasa a través de la unidad de área perpendicular a la dirección de viaje:

Unit: $\text{W m}^{-2}$.

La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud:

Para una fuente puntual que emite energía por igual en todas direcciones, los frentes de onda son esferas; el área superficial a una distancia $r$ es $4\pi r^{2}$, por lo tanto

Duplicar la distancia reduce la intensidad a una cuarta parte, lo que significa que la amplitud se reduce a la mitad (ya que $I \propto A^{2}$).

Ejemplo resuelto. Una lámpara emite $60\ \text{W}$ de luz uniformemente en todas direcciones. Calcule la intensidad de la luz a $2.0\ \text{m}$ de distancia.

Ejemplo resuelto. Luz de potencia $750\ \text{W}$ incide perpendicularmente sobre un panel solar cuadrado de lado $1.2\ \text{m}$. Calcule la intensidad.

$I = P/A = 750 / 1.2^{2} = 520\ \text{W m}^{-2}$. Un panel más pequeño en la misma luz recibe la misma intensidad pero menos potencia, proporcional a su área. Al revés, una lupa de radio $r$ recoge una potencia $I \times \pi r^{2}$ y la concentra en un pequeño punto.

Dos reglas en las que se basan las preguntas de opción múltiple. Debido a $I \propto A^{2}$, la razón de dos intensidades es el cuadrado de la razón de las amplitudes: ondas de amplitud $3.0\ \text{cm}$ y $2.0\ \text{cm}$ tienen intensidades en la razón $2.25$, y cuando una amplitud cae a la mitad la intensidad cae a una cuarta parte. Para una fuente puntual, $I \propto 1/r^{2}$ significa $A \propto 1/r$, así que un boceto de $A/A_{0}$ frente a $d/x_{0}$ es una curva que cae como $1/d$, no una línea recta. La declaración de una línea que quiere el esquema: la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud.

Ondas transversales

Las partículas oscilan perpendicularmente a la dirección en la que viaja la energía. Una onda en una cuerda, todas las ondas electromagnéticas y las ondas S en la Tierra son transversales.

Longitudinal waves

Las partículas oscilan paralelamente a la dirección en la que viaja la energía. El sonido en cualquier medio, las ondas P en la Tierra y los compresores en un resorte largo son longitudinales. La onda está formada por compresiones (mayor presión, partículas juntas) y rarefacciones (menor presión, partículas separadas).

Graphs of waves

Un gráfico de desplazamiento de partícula contra posición en un momento dado parece una curva sinusoidal para ambos tipos de onda. La diferencia: para una onda transversal, el eje de desplazamiento es el desplazamiento lateral real; para una onda longitudinal, es el pequeño desplazamiento de ida y vuelta a lo largo de la dirección del viaje (positivo en una dirección, negativo en la otra).

Para una onda longitudinal toma el desplazamiento hacia la derecha como positivo. Donde el gráfico cruza cero yendo de positivo a negativo, las partículas a ambos lados se han movido hacia ese punto, así que es una compresión; donde cruza de negativo a positivo se han separado, una rarefacción. Dos compresiones vecinas están separadas por una longitud de onda, y una compresión y la siguiente rarefacción están separadas por media longitud de onda. La dirección de movimiento de una partícula sigue la misma regla que para una onda transversal: se mueve hacia el desplazamiento de su vecino en el lado desde el que viene la onda.

Un gráfico de desplazamiento de partícula frente al tiempo en un punto del espacio también es una curva sinusoidal para ambos tipos. Lea el periodo $T$ a partir de este gráfico.

La comparación de dos marcas, con referencia a la dirección de transferencia de energía: en una onda transversal las oscilaciones son perpendiculares a la dirección de transferencia de energía; en una onda longitudinal son paralelas a ella. Ambos tipos transfieren energía sin transferir materia, ambos pueden reflejarse, refractarse y difractarse, y ambos pueden formar ondas estacionarias (tema 8). Solo las ondas transversales pueden polarizarse, y solo las ondas electromagnéticas, que son todas transversales, pueden viajar a través del vacío; el sonido necesita un medio. Leyendo los dos gráficos juntos: el gráfico de desplazamiento–distancia da $\lambda$, el gráfico de desplazamiento–tiempo da $T$, y $v = \lambda / T$.

When the source of a sound moves relative to a stationary observer, the heard frequency is different from the source frequency. This is the Efecto Doppler.

• fuente moviéndose hacia el observador: los frentes de onda delante se comprimen, por lo que la longitud de onda es menor y la frecuencia percibida es mayor.
• fuente alejándose del observador: los frentes de onda detrás se dispersan, por lo que la longitud de onda es mayor y la frecuencia percibida es menor.

La fórmula (fuente moviéndose a velocidad $v_{\text{s}}$ a lo largo de la línea hacia el observador; velocidad de onda $v$, frecuencia de fuente $f_{\text{s}}$, frecuencia escuchada $f_{\text{o}}$):

Choose the sign to match the physics:

• signo menos en el denominador cuando la fuente se mueve hacia el observador ($f_{\text{o}} > f_{\text{s}}$),
• plus sign when the source moves away ($f_{\text{o}} < f_{\text{s}}$).

Solo necesita el caso de un observador estacionario.

Ejemplo resuelto. Una bocina de coche a $f_{\text{s}} = 800\ \text{Hz}$ se mueve a $30\ \text{m s}^{-1}$ hacia un oyente quieto. Velocidad del sonido $v = 340\ \text{m s}^{-1}$:

Alejándose a la misma velocidad, el oyente escucha $340 \times 800 / (340 + 30) = 735\ \text{Hz}$: la frecuencia es constante mientras el coche se acerca, disminuye al pasar, y es constante nuevamente, más baja, mientras se aleja. Un boceto de la frecuencia observada frente al tiempo para una fuente que pasa a velocidad constante son dos líneas niveladas unidas por una caída. Trabajando hacia atrás, una fuente de $1200\ \text{Hz}$ escuchada como $960\ \text{Hz}$ se está alejando ($f_{\text{o}} < f_{\text{s}}$): $960 = 1200 \times 340 / (340 + v_{\text{s}})$ da $v_{\text{s}} = 85\ \text{m s}^{-1}$. Un zumbador balanceado en un círculo horizontal a $25\ \text{m s}^{-1}$ mientras emite $846\ \text{Hz}$ se escucha entre $846 \times 330 / 355 = 786\ \text{Hz}$ (moviéndose directamente hacia away) y $846 \times 330 / 305 = 915\ \text{Hz}$ (moviéndose directamente hacia), una vez por revolución. Si el período de una traza de un osciloscopio de rayos catódicos del sonido aumenta continuamente, la frecuencia observada está cayendo: la fuente se está alejando con velocidad creciente. El efecto Doppler ocurre para todas las ondas, incluida la luz (tema 25); solo la fórmula del sonido se examina aquí.

Todas las ondas electromagnéticas (EM) son transversales y viajan en un vacío a la misma velocidad:

El electromagnetic spectrum includes radio waves, microwaves, infrared, visible light, ultraviolet, X-rays y $\gamma$-rays.

Rangos aproximados de longitudes de onda en el vacío (aprenda los órdenes de magnitud):

• radio waves: $> 10^{-1}\ \text{m}$ (up to many km).
• microwaves: $10^{-3}\ \text{m}$ hasta $10^{-1}\ \text{m}$.
• infrared: $\sim 7 \times 10^{-7}\ \text{m}$ hasta $10^{-3}\ \text{m}$.
• luz visible: $400\ \text{nm}$ (violeta) a $700\ \text{nm}$ (rojo), es decir, $4 \times 10^{-7}\ \text{m}$ a $7 \times 10^{-7}\ \text{m}$.
• ultraviolet: $\sim 10^{-8}\ \text{m}$ hasta $4 \times 10^{-7}\ \text{m}$.
• X-rays: $\sim 10^{-11}\ \text{m}$ hasta $10^{-8}\ \text{m}$.
• $\gamma$-rays: $< 10^{-11}\ \text{m}$.

Los límites entre regiones no son nítidos. Usa $c = f\lambda$ para cambiar entre longitud de onda y frecuencia. Solo la luz con longitudes de onda $400$–$700\ \text{nm}$ puede verse.

Para identificar una región, convierta a una longitud de onda con $\lambda = c / f$ y compare con los rangos: $2.1\ \text{cm}$ es una microonda; $138\ \text{pm} = 1.4 \times 10^{-10}\ \text{m}$ es un rayo X; $30\ \text{THz}$ da $\lambda = 1.0 \times 10^{-5}\ \text{m}$, infrarrojo; $3.0 \times 10^{16}\ \text{Hz}$ da $1.0 \times 10^{-8}\ \text{m}$, ultravioleta. La luz visible abarca frecuencias de aproximadamente $4.3 \times 10^{14}$ a $7.5 \times 10^{14}\ \text{Hz}$, por lo que una onda de $5.0 \times 10^{14}\ \text{Hz}$ puede verse y una de longitud de onda $5.0 \times 10^{-6}\ \text{m}$ (infrarroja) no. La luz roja tiene una longitud de onda más larga y una frecuencia más baja que la verde. Una lista "en orden de longitud de onda creciente" es: $\gamma$-rayos, rayos X, ultravioleta, visible, infrarrojo, microondas, ondas de radio. Un pulso de luz reflejado desde una pared a $150\ \text{m}$ de distancia regresa después de $2 \times 150 / (3.00 \times 10^{8}) = 1.0\ \mu\text{s}$.

La polarización significa hacer que una onda transversal oscile en un solo plano.

• Solo las ondas transversales pueden ser polarizadas — la oscilación es perpendicular a la dirección de propagación, por lo que diferentes planos perpendiculares son opciones reales.
• Las ondas longitudinales (sonido) no pueden ser polarizadas — la oscilación está a lo largo de la dirección de propagación, por lo que no hay otro plano.

Por tanto, la polarización es una prueba: si una onda puede ser polarizada, debe ser transversal.

Malus's law

La luz planamente polarizada de intensidad $I_{0}$ pasa a través de un filtro polarizador cuyo eje de transmisión forma un ángulo $\theta$ con el plano de polarización. La intensidad transmitida está dada por la ley de Malus:

• $\theta = 0°$: filtro alineado con la polarización, $I = I_{0}$, todo pasa.
• $\theta = 90°$: filter at right angles, $I = 0$, all blocked.
• $\theta = 60°$: $I = I_{0} \cos^{2} 60° = I_{0} \cdot 0.25 = I_{0}/4$.

Ejemplo resuelto. Luz plana polarizada de intensidad $12\ \text{W m}^{-2}$ encuentra un filtro polarizador cuyo eje está a $30°$ respecto al plano de polarización. Calcule la intensidad transmitida.

Para dos filtros en serie, usa la ley de Malus dos veces con el ángulo entre cada par. Ten cuidado con el ángulo cada vez — después del primer filtro la polarización está a lo largo del eje de ese filtro, y el ángulo del segundo filtro se mide desde allí.

(No necesita calcular el efecto de un filtro polarizador sobre una onda no polarizada.)

Cuando un filtro se gira $360°$ frente a luz polarizada en un plano, la intensidad transmitida varía según $\cos^{2}\theta$: es máxima cuando el eje de transmisión es paralelo al plano de polarización ($0°$ y $180°$), cero cuando es perpendicular ($90°$ y $270°$) y nunca negativa. Dado que $I \propto A^{2}$, la amplitud transmitida es $A_{0}\cos\theta$: a $45°$ la intensidad se reduce a la mitad y la amplitud disminuye a $0.71$ de su valor. Para dos filtros, el primero establece el plano de polarización a lo largo de su propio eje, por lo que el ángulo del segundo filtro se mide desde ese eje: la luz polarizada verticalmente que pasa por filtros en $50°$ y luego en $80°$ respecto a la vertical mantiene $\cos^{2} 50° \times \cos^{2} 30° = 0.31$ de su intensidad. Las definiciones de un punto: la polarización es la oscilación de una onda transversal en un único plano, que contiene la dirección de propagación; el sonido no puede polarizarse porque sus oscilaciones son a lo largo de la dirección de propagación, por lo que no hay ningún plano que seleccionar.

Una pregunta de definición se califica según un texto fijo. Aprende estas definiciones exactamente, y da solo una respuesta.

• Defina los términos con precisión (desplazamiento, amplitud, longitud de onda, periodo, frecuencia) y utilice $v = f\lambda$.
• Distinga entre transversal (vibración perpendicular a la propagación) y longitudinal (paralela); solo las ondas transversales pueden ser polarizadas.
• Para el efecto Doppler, la frecuencia observada aumenta a medida que la fuente se acerca y disminuye a medida que se aleja.
• Aprenda el orden del espectro electromagnético; todas sus ondas viajan a $c$ en el vacío.

Errores comunes

• Una diferencia de fase mayor que un ciclo, o grados donde se pedían radianes. Solo importa la fracción de ciclo: $450°$ equivale a $90°$, y $90°$ es $\pi/2$.
• Leer la longitud de onda de una gráfica de desplazamiento–tiempo. Esa gráfica proporciona el periodo; la longitud de onda se obtiene de la gráfica de desplazamiento–distancia.
• Duplicar la amplitud y "duplicar" la intensidad. La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud: cuatro veces mayor.
• Elegir el signo del efecto Doppler intuitivamente. Acercarse significa menos en el denominador (frecuencia aumenta); alejarse significa más (frecuencia disminuye). Verifique que la respuesta se encuentre en el lado correcto respecto a $f_{\text{s}}$.
• Usar el ángulo del primer filtro para el segundo. Tras pasar por un filtro, la luz está polarizada a lo largo del eje de dicho filtro, y el siguiente ángulo se mide desde esa dirección.
• Afirmar que el sonido puede polarizarse. Solo las ondas transversales pueden ser polarizadas.

Cuando dos o más ondas 波 se solapan en un punto, el desplazamiento 位移 en ese lugar es la suma vectorial 矢量和 de los desplazamientos que cada onda produciría por sí misma. Este es el principio de superposición 叠加.

Las ondas se cruzan entre sí y salen sin cambios. La superposición es la base de todo en este tema.

Para la afirmación de dos marcas: cuando dos o más ondas se encuentran en un punto, el desplazamiento resultante es la suma de los desplazamientos de las ondas individuales. Son los desplazamientos los que se suman, no las amplitudes ni las intensidades, y el principio se aplica siempre que se solapen ondas del mismo tipo; las ondas no tienen que ser coherentes ni tener igual amplitud.

Si dos ondas de amplitud 振幅 $A_{1}$ y $A_{2}$ se encuentran:

• en fase 同相 (cresta 波峰 se encuentra con cresta): la amplitud es $A_{1} + A_{2}$ (interferencia constructiva 相长干涉).
• exactamente desfasadas (crestas se encuentran con valle 波谷, diferencia de fase 相位差 $\pi$): la amplitud es $|A_{1} - A_{2}|$ (interferencia destructiva 相消干涉).
• cualquier otra diferencia de fase $\phi$: la amplitud está en algún lugar intermedio entre estas dos.

Para la intensidad 强度, $I \propto A^{2}$. Dos ondas iguales que se encuentran en fase dan una intensidad $(2A)^{2} = 4A^{2}$ — cuatro veces la intensidad de una sola onda.

Debido a que $I \propto A^{2}$, trabaja primero con las amplitudes. Dos ondas de intensidades $I$ y $4I$ tienen amplitudes $A$ y $2A$: al superponerse en fase dan una amplitud $3A$ y una intensidad $9I$; en antifase, amplitud $A$ e intensidad $I$. Por tanto, dos ondas coherentes de diferentes intensidades nunca se cancelan completamente: los mínimos tienen intensidad $(A_{2} - A_{1})^{2}$, no cero. Una onda de amplitud $2A$ que se encuentra con otra de amplitud $A/2$ viajando en dirección opuesta da como resultado algo que varía entre $2.5A$ y $1.5A$, un patrón estacionario sin nudos verdaderos. Duplicar la amplitud de una de dos ondas iguales que se encuentran en fase lleva el resultado de $2A$ a $3A$, por lo que la intensidad sube de $4A^{2}$ a $9A^{2}$: $2.25$ veces.

Cuando dos ondas progresivas 行波 idénticas viajan en direcciones opuestas y se solapan, forman una onda estacionaria 驻波. Ejemplos: una onda en una cuerda reflejada 反射 desde un extremo fijo que se superpone con la onda incidente; sonido en una columna de aire reflejada desde un extremo cerrado; microondas entre un emisor y una lámina metálica.

Explica cómo se forma la onda estacionaria (tres o cuatro marcas, se pide igual para una cuerda, una columna de aire y microondas): la onda procedente de la fuente viaja hasta el extremo lejano (la pared, el extremo cerrado, la placa metálica) y es reflejada; las ondas incidentes y reflejadas tienen la misma frecuencia, longitud de onda y velocidad y viajan en direcciones opuestas; se superponen donde se solapan; en los puntos donde siempre se encuentran en fase los desplazamientos se suman para dar la amplitud máxima, un antinodo, y en los puntos donde siempre se encuentran en antifase se cancelan, un nudo. Para "indica las condiciones": dos ondas del mismo tipo, con la misma frecuencia (y longitud de onda) y velocidad, que viajan en direcciones opuestas a lo largo de la misma línea; se necesitan amplitudes iguales solo para que los nudos tengan amplitud cero. La placa metálica en el experimento de microondas está allí para reflejar las ondas de vuelta a lo largo de su propio camino.

Nudos y antinodos

En una onda estacionaria:

• nudo 波节 — un punto que siempre tiene desplazamiento cero (las dos ondas siempre se cancelan). La distancia entre nudos adyacentes es $\lambda/2$.
• antinodo 波腹 — un punto de mayor amplitud (las dos ondas siempre se suman). La distancia entre antinodos adyacentes es $\lambda/2$.
• un nudo y el siguiente antinodo están separados $\lambda/4$.