Magnitudes físicas y unidades

Una magnitud física 物理量 tiene dos partes: un número (su magnitud 大小) y una unidad 单位. El número solo no te dice nada. También debes indicar qué se mide y en qué unidad.

Ejemplo: "la longitud es 1.5" no está completo. "La longitud es 1.5 m" sí es una magnitud física.

Hacer estimaciones

Debes ser capaz de estimar 估算 el tamaño de las magnitudes físicas en este programa de estudios. El Paper 1 suele comenzar con una pregunta como esta. Aprende estos valores aproximados:

• masa 质量 de un adulto humano: $\sim 70\ \text{kg}$; de un coche: $\sim 1000\ \text{kg}$; de una manzana: $\sim 0.1\ \text{kg}$
• peso 重力 de un adulto humano: $\sim 700\ \text{N}$; de una manzana: $\sim 1\ \text{N}$
• altura de un adulto humano: $\sim 1.7\ \text{m}$; altura de una habitación: $\sim 3\ \text{m}$
• velocidad al caminar: $\sim 1.5\ \text{m s}^{-1}$; un coche en una autopista: $\sim 30\ \text{m s}^{-1}$
• velocidad del sonido en el aire: $\sim 340\ \text{m s}^{-1}$; velocidad de la luz en un vacío 真空: $3.0 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}$
• aceleración 加速度 de la caída libre 自由落体: $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$
• densidad 密度 del agua: $1000\ \text{kg m}^{-3}$; del aire: $\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$; del acero: $\sim 8000\ \text{kg m}^{-3}$
• presión atmosférica 大气压强: $\sim 1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$
• temperatura ambiente: $\sim 20\ ^{\circ}\text{C} \approx 293\ \text{K}$
• potencia de una hervidora: $\sim 2\ \text{kW}$; de una persona subiendo escaleras: $\sim 300\ \text{W}$
• longitud de onda de la luz visible: $\sim 5 \times 10^{-7}\ \text{m}$; diámetro de un átomo: $\sim 10^{-10}\ \text{m}$; de un núcleo: $\sim 10^{-15}\ \text{m}$

Una buena estimación tiene la orden de magnitud 数量级 correcta (la potencia de diez adecuada). Para un humano, 70 kg es una buena suposición; 7 kg no lo es.

Para estimar una magnitud que no esté en la lista, constrúyela a partir de otras que sí estén. La energía cinética de un coche en movimiento es $\tfrac{1}{2}mv^{2} \approx \tfrac{1}{2} \times 1000 \times 30^{2} \approx 5 \times 10^{5}\ \text{J}$. La presión bajo una persona de pie es $700\ \text{N} / 0.02\ \text{m}^{2} \approx 4 \times 10^{4}\ \text{Pa}$. Siempre verifica que la potencia de diez parezca razonable antes de pasar a lo siguiente.

Unidades base

El sistema SI tiene siete cantidades básicas 基本量; cinco de ellas se utilizan en este tema. Debes conocer estas cinco y sus unidades:

• masa — kilogramo, $\text{kg}$
• longitud 长度 — metro, $\text{m}$
• tiempo — segundo, $\text{s}$
• corriente 电流 — amperio 安培, $\text{A}$
• temperatura 温度 — kelvin 开尔文, $\text{K}$

Cada otra unidad en este programa de estudios se construye a partir de estas cinco.

Unidades derivadas

Una unidad derivada 导出单位 se forma multiplicando o dividiendo unidades base. Debes poder escribir cualquier magnitud de este programa de estudios en unidades base.

Construye una unidad derivada a partir de la ecuación que la define:

• velocidad 速率 = distancia / tiempo, por lo tanto su unidad es $\text{m s}^{-1}$
• aceleración = cambio en la velocidad 速度 / tiempo, por lo tanto su unidad es $\text{m s}^{-2}$
• fuerza 力 = masa × aceleración, por lo tanto su unidad es $\text{kg m s}^{-2}$. El newton 牛顿 es $1\ \text{N} = 1\ \text{kg m s}^{-2}$.
• trabajo 功 y energía 能量 = fuerza × distancia, por lo tanto la unidad es $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$. El joule 焦耳 es $1\ \text{J} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$.
• potencia 功率 = energía / tiempo, por lo tanto la unidad es $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$. El watt 瓦特 es $1\ \text{W} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$.
• presión 压强 y tensión mecánica 应力 = fuerza / área, por lo tanto la unidad es $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$. El pascal 帕斯卡 es $1\ \text{Pa} = 1\ \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$.

Cuando una pregunta solicite las unidades base SI de una magnitud, sustituye cada unidad nombrada por sus unidades base y luego simplifica. Ejemplo: las unidades base SI del watt son $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$.

Verificar que las unidades coincidan

Una ecuación es homogénea 量dimensionalmente consistente cuando ambos lados tienen las mismas unidades base. En palabras sencillas: las unidades en ambos lados coinciden.

Escribe cada lado en unidades base y compara. Toma la ecuación $v^{2} = u^{2} + 2as$:

• lado izquierdo: $(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• lado derecho, primer término: $(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• lado derecho, segundo término: $\text{m s}^{-2} \cdot \text{m} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$

Ambos lados dan $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, por lo que las unidades coinciden.

Ten cuidado: que coincidan las unidades no demuestra que toda la ecuación sea correcta. Todavía podría tener un número equivocado o un factor de 2 faltante. Pero si las unidades no coinciden, la ecuación está segura que es incorrecta.

Ejemplo resuelto. La fuerza de arrastre sobre una bola que cae viene dada por $F = kv^{2}$, donde $v$ es la velocidad. Encuentra las unidades SI base de la constante $k$.

Despeja: $k = F / v^{2}$. En unidades base, $F$ es $\text{kg m s}^{-2}$ y $v^{2}$ es $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, así que

Una pregunta de opción múltiple a menudo pide "¿cuál ecuación podría ser correcta?". Revisa las unidades base de cada opción; solo una ecuación homogénea puede ser correcta. Un número puro (como 2, $\pi$ o $\tfrac{1}{2}$) no tiene unidad, por lo que nunca cambia el análisis.

Prefijos

Un prefijo 词头 es una letra que se coloca delante de una unidad para hacerla más grande o más pequeña en potencias de diez. Debes conocerlos:

Para cambiar una unidad con prefijo a unidades base, sustituye el prefijo por su factor y luego simplifica. Ejemplo: cambia $0.25\ \text{kN mm}^{-2}$ a $\text{N m}^{-2}$:

Presta especial atención a las unidades al cuadrado como $\text{mm}^{2}$: también debes elevar al cuadrado el factor.

Cada medición 测量 tiene alguna incertidumbre 不确定度 — nunca estamos completamente seguros del valor. Un buen experimentador sabe de dónde proviene la incertidumbre, hace una estimación justa de ella y la lleva hasta la respuesta final.

Errores sistemáticos y aleatorios

Un error sistemático 系统误差 cambia todas las lecturas en la misma cantidad y en la misma dirección. No puedes encontrarlo repitiendo la medición. Causas comunes:

• un error de cero 零点误差 (la escala no marca cero cuando el valor verdadero es cero)
• un error de calibración 校准 (la propia escala es incorrecta)
• paralaje 视差 (tu ojo siempre está a un lado de la escala)

Un error sistemático reduce la exactitud 准确度, pero no afecta a la precisión 精密度.

Un error aleatorio 随机误差 hace que las lecturas varíen por encima y por debajo del valor verdadero sin ningún patrón. Las causas incluyen la precisión al leer la escala, cambios en las condiciones y el paso más pequeño que puede mostrar el instrumento 仪器. Si repites la medición muchas veces y calculas la media 平均值 (el promedio), los errores aleatorios se cancelan parcialmente entre sí.

Un error aleatorio reduce la precisión. Sin embargo, con suficientes repeticiones, la media puede seguir siendo exacta.

En una gráfica, ambos errores se ven distintos. Un error sistemático desplaza todos los puntos la misma cantidad, por lo que la recta de mejor ajuste mantiene su pendiente pero deja de pasar por el origen: cambia el intercepto 截距. Los errores aleatorios dispersan los puntos por encima y por debajo de la línea; trazar una recta de mejor ajuste a través del centro de esa dispersión sigue proporcionando una pendiente fiable.

Precisión y exactitud

La precisión es qué tan cercanas están las lecturas repetidas entre sí. Las lecturas precisas están muy agrupadas.

La exactitud es qué tan cercana está una lectura (o la media de varias lecturas) al valor verdadero.

Un conjunto de lecturas puede ser:

• preciso y exacto — cercano entre sí y cerca del valor verdadero
• preciso pero no exacto — cercano entre sí, pero lejos del valor verdadero (un error sistemático)
• exacto pero no preciso — dispersos, pero la media está cerca del valor verdadero
• ninguno de los dos — dispersos y lejos del valor verdadero

Cuando una pregunta presenta una tabla de lecturas repetidas, analiza la dispersión (precisión) y la media (exactitud) por separado.

Estimación de la incertidumbre en una lectura

Antes de combinar incertidumbres, necesitas una incertidumbre razonable para cada lectura bruta:

• Una lectura única en una escala analógica: la mitad de la menor división 分度 (una regla métrica lee hasta $1\ \text{mm}$, por lo que una lectura tiene $\pm 0.5\ \text{mm}$). Una longitud requiere dos lecturas, una en cada extremo, por lo que su incertidumbre es $\pm 1\ \text{mm}$.
• Un medidor digital: $\pm 1$ en el último dígito mostrado (un cronómetro que muestra $2.47\ \text{s}$ tiene $\pm 0.01\ \text{s}$).
• Una medición cronometrada manualmente: tu tiempo de reacción 反应时间 importa más que la pantalla. Aproxima entre $\pm 0.1$ y $0.2\ \text{s}$, y cronometra muchas oscilaciones en lugar de una, para que la misma incertidumbre se comparta entre todas ellas.
• Lecturas repetidas: la incertidumbre es la mitad del rango 极差的一半. Tres cronometrados de $2.42$, $2.48$ y $2.45\ \text{s}$ tienen una media de $2.45\ \text{s}$ y un rango de $0.06\ \text{s}$, por lo tanto $t = (2.45 \pm 0.03)\ \text{s}$.

Sé honesto. Si el borde de una sombra es difícil de ver, la incertidumbre en su posición es de varios milímetros, sin importar cuán fina sea la escala. Los examinadores no aceptan "la menor división" como la incertidumbre de una lectura difícil.

Incertidumbre en una cantidad derivada

Una medición suele escribirse como $x \pm \Delta x$. Aquí $\Delta x$ es la incertidumbre absoluta 绝对不确定度. La incertidumbre porcentual 百分比不确定idad es

Una cantidad derivada 导出量 es aquella que calculas a partir de valores medidos. Su incertidumbre se halla mediante reglas sencillas:

• Sumar o restar — suma las incertidumbres absolutas. Si $y = a + b$ o $y = a - b$, entonces $\Delta y = \Delta a + \Delta b$.
• Multiplicar o dividir — suma las incertidumbres porcentuales. Si $y = \dfrac{a \cdot b}{c}$, entonces
  $$\frac{\Delta y}{|y|} = \frac{\Delta a}{|a|} + \frac{\Delta b}{|b|} + \frac{\Delta c}{|c|}.$$
• Potencias — multiplica la incertidumbre porcentual por el exponente. Si $y = a^{n}$, entonces $\dfrac{\Delta y}{|y|} = |n| \cdot \dfrac{\Delta a}{|a|}$.

Ejemplo resuelto. El diámetro 直径 de una bola se mide como $d = (5.26 \pm 0.02)\ \text{cm}$. El volumen 体积 de una esfera es $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (d/2)^{3}$, por lo tanto $V \propto d^{3}$ ($V$ depende de $d$ al cubo).

La incertidumbre porcentual en $d$ es

Dado que $V \propto d^{3}$, la incertidumbre porcentual en $V$ es tres veces esta, aproximadamente $1.14\%$. El volumen es $\tfrac{4}{3}\pi(2.63)^{3} \approx 76.2\ \text{cm}^{3}$. Por lo tanto, la incertidumbre absoluta es $0.0114 \times 76.2 \approx 0.87\ \text{cm}^{3}$. La respuesta final es $V = (76.2 \pm 0.9)\ \text{cm}^{3}$.

¿Concuerdan dos valores? Las preguntas prácticas suelen preguntar si dos valores calculados de una constante apoyan una relación sugerida. No digas simplemente "están cerca". Calcula la diferencia porcentual 百分比差异 entre ellos,

y compárala con la incertidumbre porcentual en $k$ (o con el criterio que dé la pregunta, habitualmente 10%). Si la diferencia es menor, los dos valores concuerdan dentro de la incertidumbre y la relación está respaldada. Si es mayor, no concuerdan.

Significant figures

Al escribir una cantidad calculada, da la misma cantidad de cifras significativas 有效数字 que la medición menos precisa que usaste — usualmente dos o tres en este programa. Demasiadas cifras significativas hacen que la respuesta parezca más exacta de lo que realmente es. Pocas cifras significativas pierden información útil.

Los exámenes prácticos te piden que justifiques el número que has elegido. Nombra las lecturas brutas: "$a$ se da con 2 cifras significativas porque $L$ y $t$ fueron medidos cada uno con 2 cifras significativas". La frase "debido a los datos brutos" por sí sola no otorga la puntuación. En una tabla de resultados, juzga cada fila basándote en la lectura bruta menos precisa de esa fila; no fuerces todas las filas al mismo número de cifras.

Incertidumbres en un gráfico

El Examen 5 te pide que propagues las incertidumbres a través de un gráfico:

• Dibuja cada punto con una barra de error (error bar) cuya longitud muestre la incertidumbre absoluta de ese valor.
• Traza la línea de mejor ajuste (line of best fit) a través de los puntos, y luego la línea aceptable más desfavorable (worst acceptable line): la recta más empinada (o más plana) que aún pasa por todas las barras de error.
• La incertidumbre en la pendiente es la diferencia entre las dos pendientes, $\Delta m = |m_{\text{best}} - m_{\text{worst}}|$. La incertidumbre en la ordenada en el origen se encuentra de la misma manera.
• Cuando graficas un logaritmo, la incertidumbre absoluta en $\ln x$ es $\Delta x / x$ (y en $\lg x$ es $0.434\,\Delta x / x$). Cálculo para los valores más grandes y más pequeños de $x$ por separado.

Una incertidumbre porcentual en la pendiente luego se propaga a cualquier cantidad que calcules a partir de ella, usando las reglas anteriores.

Un escalar tiene solo magnitud. Un vector tiene tanto magnitud como dirección.

Ejemplos del programa de estudios:

• escalares: masa, tiempo, temperatura, energía, trabajo, potencia, distancia, rapidez, presión, densidad, carga eléctrica
• vectores: desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza (incluyendo peso), momento lineal

Prueba rápida: si tiene sentido preguntar "¿en qué dirección?", la cantidad es un vector. No puedes preguntar "¿en qué dirección está la temperatura?", por lo que la temperatura es un escalar. Puedes preguntar "¿en qué dirección está la velocidad?", por lo que la velocidad es un vector.

Suma y resta de vectores

Un vector se dibuja como una flecha: la dirección de la flecha indica la dirección de la cantidad, y la longitud de la flecha (dibujada a escala) indica la magnitud.

Para sumar dos vectores coplanares (vectores en el mismo plano plano), dibújalos punta con cola. El vector resultante va desde la cola de la primera flecha hasta la punta de la segunda.

Para encontrar $\vec{X} - \vec{Y}$, suma el inverso de $\vec{Y}$: $\vec{X} + (-\vec{Y})$. El inverso de $\vec{Y}$ tiene la misma magnitud que $\vec{Y}$ pero apunta en dirección opuesta.

Si los dos vectores están en ángulo recto (90°), la magnitud del resultante es

y su dirección viene de $\tan\theta = Y / X$.

Ejemplo resuelto. Un nadador se dirige hacia el norte a $1.2\ \text{m s}^{-1}$ cruzando un río que fluye hacia el este a $0.5\ \text{m s}^{-1}$. Encuentra la magnitud y la dirección de la velocidad resultante.

Las dos velocidades son perpendiculares, por lo tanto

en un ángulo $\tan\theta = 0.5/1.2$, lo que da $\theta \approx 23°$ al este del norte.

Si dos vectores tienen la misma magnitud $F$ con un ángulo $2\alpha$ entre ellos, el resultante tiene magnitud $2F\cos\alpha$ y se sitúa a lo largo de la línea que divide el ángulo por la mitad.

Ejemplo resuelto. Dos fuerzas de $6.0\ \text{N}$ actúan sobre un objeto con $60°$ entre ellas. Encuentra el resultante.

Aquí $2\alpha = 60°$, por lo que $\alpha = 30°$ y $R = 2 \times 6.0 \times \cos 30° = 10.4\ \text{N}$, a lo largo de la línea intermedia entre las dos fuerzas. La resolución da la misma respuesta: cada fuerza tiene un componente $6.0\cos 30°$ a lo largo de esa línea, y sus componentes perpendiculares a ella se cancelan.

Para dos vectores en cualquier otro ángulo, ya sea haz un dibujo a escala del triángulo de vectores y mide el resultante, o resuelve ambos vectores en componentes perpendiculares, suma los componentes y recombínalos con $\sqrt{X^{2} + Y^{2}}$.

Ejemplo resuelto. Una pelota que se mueve hacia el este a $5.0\ \text{m s}^{-1}$ es golpeada de modo que se mueva hacia el norte a $5.0\ \text{m s}^{-1}$. Encuentra su cambio de velocidad.

Un cambio en la velocidad es una resta vectorial: $\Delta\vec{v} = \vec{v}_{\text{final}} - \vec{v}_{\text{initial}}$. Dibuje $5.0\ \text{m s}^{-1}$ hacia el norte, luego añada el inverso de la velocidad inicial, $5.0\ \text{m s}^{-1}$ hacia el oeste. Los dos son perpendiculares, por lo que $|\Delta\vec{v}| = \sqrt{5.0^{2} + 5.0^{2}} = 7.1\ \text{m s}^{-1}$ apunta al noroeste. La rapidez no cambió, pero la velocidad sí. Por eso debió actuar una fuerza sobre la pelota (tema 3).

Descomponer un vector en partes perpendiculares

Cualquier vector puede dividirse en dos componentes 分量 perpendiculares 垂直 (en ángulo recto). Usualmente estas son horizontales 水平 y verticales 竖直, o paralelas y perpendiculares a una superficie. Para un vector $\vec{v}$ con un ángulo $\theta$ respecto a la horizontal:

Elija las direcciones que faciliten el problema. En una pendiente (un plano inclinado 斜面), descomponga el peso en una parte paralela a la pendiente y otra perpendicular a ella:

donde $\theta$ es el ángulo de la pendiente respecto a la horizontal.

Descompone un vector en componentes cada vez que necesites saber cuánto de él actúa en una dirección determinada. Por ejemplo: la parte de una fuerza que actúa a lo largo de una pendiente, o las partes horizontal y vertical de la velocidad de una pelota después de ser lanzada.

Una pregunta de definición se califica según un texto fijo. Aprende estas definiciones exactamente, y da solo una respuesta.

• Da a cada respuesta una unidad, y verifica la homogeneidad: ambos lados de una ecuación deben tener las mismas unidades base.
• Distingue entre error aleatorio (se reduce repitiendo y promediando) y error sistemático (un error de cero o de calibración que las repeticiones no eliminan).
• Combina las incertidumbres: suma las incertidumbres absolutas al sumar/restar, suma las incertidumbres porcentuales al multiplicar/dividir (y multiplica el % por cualquier potencia).
• Distingue entre precisión (pequeña dispersión) y exactitud (cercanía al valor verdadero).
• Descompón un vector en componentes perpendiculares ($F\cos\theta$, $F\sin\theta$); suma vectores punta a cola o mediante componentes.

Errores comunes

• Sustituir 5 cm como 5, o 20 g como 20. Convierta el prefijo primero: 0.05 m, 0.020 kg.
• Dar la incertidumbre porcentual en $T^{2}$ como la misma que en $T$. Elevar al cuadrado la duplica; una raíz cuadrada la reduce a la mitad.
• Tratar la incertidumbre porcentual y la incertidumbre absoluta como el mismo número.
• Citar "la división más pequeña" como la incertidumbre de una lectura difícil de tomar.
• Ofrecer dos respuestas a una definición. Comprométete con una sola.