Capacitancia

Un condensador 电容器 almacena carga. El más simple consiste en dos placas conductoras conductores 导体 paralelas con un aislante 绝缘体 (un dieléctrico 电介质, o simplemente vacío 真空 / aire) entre ellas. Conectado a una batería, la carga $+Q$ se acumula en una placa y $-Q$ en la otra, con una diferencia de potencial 电势差 $V$ a través del espacio.

Cómo se cargan las placas. Conecte las placas a una batería y los electrones fluyen, a través de la batería, desde la placa conectada al terminal positivo hacia la placa conectada al terminal negativo. Una placa queda con carga $+Q$ y la otra gana $-Q$: las cargas son siempre iguales y opuestas, por lo que el condensador en su conjunto permanece neutro. El flujo cesa cuando la d.p. entre las placas es igual a la f.e.m. de la batería. Nada cruza la brecha; el aislante es lo que mantiene separadas las cargas.

La capacitancia $C$ de cualquier condensador (o de cualquier conductor aislado) es

Esto se aplica a:

• una esfera aislada que contiene carga $Q$ a un potencial $V$ (cero en el infinito). Para un radio $r$, $V = Q/(4\pi\varepsilon_{0}r)$, por lo tanto $C = 4\pi\varepsilon_{0} r$.
• un condensador de placas paralelas: cargas $\pm Q$ en las placas, d.p. $V$ entre ellas.

Unidad: faradio (F) $= \text{C V}^{-1}$. Un faradio es enorme, por lo que los condensadores reales varían desde $\text{pF}$ hasta $\text{mF}$.

La capacitancia es constante para un condensador dado (determinada por su tamaño y dieléctrico). Duplicar la carga duplica el voltaje, por lo que $C = Q/V$ permanece igual.

Las definiciones de dos puntos. Para un condensador de placas paralelas: la carga en una placa por unidad de diferencia de potencial entre las placas. Para una esfera aislada (o cualquier conductor aislado): la carga en el conductor por unidad de potencial. El examinador busca "carga por unidad de d.p." (o "por unidad de potencial") y, para las placas, que la carga sea la carga de una placa y la d.p. sea la que hay entre las placas. Se acepta "la carga almacenada"; no se acepta "la carga total en ambas placas", porque esa total es cero.

Qué determina la capacitancia. Para placas paralelas, la capacitancia es proporcional al área de las placas e inversamente proporcional a la separación $x$ ($C \propto 1/x$: reduzca la brecha a la mitad y la capacitancia se duplica), y aumenta cuando un dieléctrico reemplaza al aire. Una pregunta que afirma que "$C$ es inversamente proporcional a $x$" y luego separa las placas a carga constante está preguntando por $V = Q/C \propto x$: la d.p. aumenta proporcionalmente. A d.p. constante (sigue conectado a la fuente), es la carga la que disminuye.

Ejemplo resuelto. Un condensador de $100\ \mu\text{F}$ se carga hasta $12\ \text{V}$. Encuentre la carga almacenada.

Ejemplo resuelto. Una esfera metálica aislada de radio $15\ \text{cm}$ se carga a un potencial de $9.0 \times 10^{3}\ \text{V}$. Encuentre su capacitancia y su carga. Luego se descarga a tierra a través de una resistencia de $120\ \text{M}\Omega$: encuentre la constante de tiempo de la descarga.

La constante de tiempo es $RC = (1.2 \times 10^{8})(1.67 \times 10^{-11}) = 2.0 \times 10^{-3}\ \text{s}$: incluso a través de una resistencia enorme, la esfera pierde su carga en milisegundos, porque su capacitancia es tan pequeña. Note que $4\pi\varepsilon_{0} = 1/(8.99 \times 10^{9})$, por lo tanto $C = r/(8.99 \times 10^{9})$ con $r$ en metros.

Combinación de condensadores

Los condensadores en paralelo comparten la misma d.p. $V$. La carga total es la suma:

Una combinación en paralelo tiene una capacitancia mayor que cualquiera de los condensadores individuales.

Los condensadores en serie llevan la misma carga $Q$. La d.p. total es la suma:

Una combinación en serie tiene una capacitancia menor que cualquiera de los condensadores individuales.

Nota: estas reglas son opuestas a las de las resistencias (las resistencias se suman en serie; los condensadores se suman en paralelo), porque $C = Q/V$ tiene $V$ en el denominador mientras que $R = V/I$ tiene $I$ en el denominador.

Derivación de las dos reglas

"Derive una expresión para la capacitancia combinada" es una pregunta de demuestre que, y el esquema de calificación quiere que se exponga la física, no solo el álgebra.

• Serie. Los condensadores llevan la misma carga $Q$: la placa conectada al terminal positivo pierde electrones hacia la placa lejana del siguiente condensador, por lo que cada placa en la cadena contiene $\pm Q$. Las d.p.s se suman: $V = V_{1} + V_{2}$. Con $V_{1} = Q/C_{1}$ y $V_{2} = Q/C_{2}$, y la combinación definida por $V = Q/C$, dividiendo todo por $Q$ se obtiene $1/C = 1/C_{1} + 1/C_{2}$.
• Paralelo. Los condensadores tienen la misma d.p. $V$, porque cada uno está conectado directamente a través de la fuente. Las cargas se suman: $Q = Q_{1} + Q_{2} = C_{1}V + C_{2}V$, y $Q = CV$ para la combinación, por lo tanto $C = C_{1} + C_{2}$.

Dos condensadores en serie siempre dan un valor menor que el más pequeño; dos condensadores iguales $C$ dan $C/2$ en serie y $2C$ en paralelo.

Ejemplo resuelto. Un condensador de $6.0\ \mu\text{F}$ está en serie con un par paralelo de $2.0\ \mu\text{F}$ y $4.0\ \mu\text{F}$. Encuentre la capacitancia total, y la carga en cada condensador cuando se aplica $12\ \text{V}$ a través de la red.

Par paralelo: $2.0 + 4.0 = 6.0\ \mu\text{F}$. En serie con $6.0\ \mu\text{F}$: $1/C = 1/6.0 + 1/6.0$, por lo tanto $C = 3.0\ \mu\text{F}$. Carga total $Q = CV = (3.0 \times 10^{-6})(12) = 3.6 \times 10^{-5}\ \text{C}$: esta es la carga en el condensador de $6.0\ \mu\text{F}$ (serie, misma carga), y se reparte entre el par paralelo en la proporción de sus capacitancias (misma d.p., $6.0\ \text{V}$ en cada uno): el de $2.0\ \mu\text{F}$ contiene $1.2 \times 10^{-5}\ \text{C}$ y el de $4.0\ \mu\text{F}$ contiene $2.4 \times 10^{-5}\ \text{C}$. Verificación: se suman a $3.6 \times 10^{-5}\ \text{C}$.

Ejemplo resuelto. Los condensadores X e Y, cada uno de capacitancia $C$, están conectados en serie a través de una fuente de voltaje $V$; los condensadores P y Q, cada uno de $C$, están conectados en paralelo a través de una fuente idéntica. Compare la carga extraída de cada fuente y la energía almacenada en cada disposición.

Serie: $C_{\text{s}} = C/2$, carga $Q_{\text{s}} = CV/2$, energía $\tfrac{1}{2} C_{\text{s}} V^{2} = CV^{2}/4$. Paralelo: $C_{\text{p}} = 2C$, carga $2CV$, energía $CV^{2}$. La disposición en paralelo extrae cuatro veces la carga y almacena cuatro veces la energía, porque a la misma tensión de suministro, la energía es $\tfrac{1}{2} C V^{2}$ y la capacitancia es cuatro veces mayor. Si se pregunta cuál disposición almacena más energía de una fuente dada, la respuesta es siempre la en paralelo.

Cargar un condensador desde $0$ hasta $Q$ requiere trabajo, porque cada bit adicional de carga se empuja contra la d.p. ya existente. Cuando la carga es $q$, la d.p. es $V(q) = q/C$, por lo que añadir una pequeña carga $dq$ requiere trabajo $V\,dq$. El trabajo total es

Usando $V = Q/C$, esto es la energía almacenada:

Ejemplo resuelto. Encuentre la energía almacenada en un condensador de $100\ \mu\text{F}$ cargado a $12\ \text{V}$.

Ejemplo resuelto. La gráfica de carga $Q$ frente a d.p. $V$ para un condensador es una línea recta que pasa por el origen y pasa por $(10\ \text{V},\ 1.2 \times 10^{-3}\ \text{C})$. Encuentre la capacitancia y la energía almacenada en $10\ \text{V}$, y luego la energía adicional almacenada cuando la d.p. se eleva a $12\ \text{V}$.

La pendiente de $Q$ frente a $V$ es $C = 1.2 \times 10^{-3}/10 = 1.2 \times 10^{-4}\ \text{F} = 120\ \mu\text{F}$. La energía es el área bajo la línea: $\tfrac{1}{2}QV = \tfrac{1}{2}(1.2 \times 10^{-3})(10) = 6.0 \times 10^{-3}\ \text{J}$. En $12\ \text{V}$: $\tfrac{1}{2}CV^{2} = \tfrac{1}{2}(1.2 \times 10^{-4})(12)^{2} = 8.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$, por lo que la energía adicional es $2.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$. No calcule la energía adicional a partir de la carga adicional como $\tfrac{1}{2}(\Delta Q)V$: la energía no es proporcional a la carga, por lo que reste las dos áreas.

Lectura de la gráfica $Q$–$V$

Un gráfico de $V$ frente a $Q$ es una línea recta que pasa por el origen con una pendiente de $1/C$. La energía almacenada es el área bajo la línea hasta una carga dada $Q$, que es el triángulo $\tfrac{1}{2} Q V$. El factor $\tfrac{1}{2}$ está allí porque la d.p. promedio durante la carga es $V/2$ (crece desde cero hasta $V$), no $V$.

Por qué la carga es "medio eficiente"

Conecte un condensador $C$ a una batería ideal de f.e.m. $V$ a través de un cable. El condensador almacena $\tfrac{1}{2} C V^{2}$, pero la batería suministra carga $Q = CV$ a una f.e.m. de $V$, entregando $QV = CV^{2}$. La otra mitad se pierde como calor en el cable, independientemente de la resistencia del mismo.

Compartición de carga entre condensadores

Un condensador X completamente cargado (capacitancia $C$, d.p. $V$, carga $Q = CV$) se desconecta de su fuente y se conecta a través de un condensador Y descargado de capacitancia $3C$. La carga fluye hasta que las dos d.p.s son iguales. Dos principios lo resuelven todo:

1. La carga se conserva. La carga total sigue siendo $Q$, ahora distribuida en un par paralelo de capacitancia total $4C$, por lo que la d.p. común es $V' = Q/(4C) = V/4$. X retiene $Q/4$ y Y toma $3Q/4$ (carga en la proporción de las capacitancias, ya que la d.p. es la misma).
2. La energía no se conserva. Antes: $\tfrac{1}{2} C V^{2}$. Después: $\tfrac{1}{2}(4C)(V/4)^{2} = \tfrac{1}{8} C V^{2}$. Tres cuartas partes de la energía se han ido: se disipa como calor en los cables de conexión (y como una chispa o radiación electromagnética) mientras la carga se mueve, sin importar cuán pequeña sea la resistencia.

Ejemplo resuelto. Un condensador de $220\ \mu\text{F}$ cargado a $9.0\ \text{V}$ se conecta a través de un condensador descargado de $440\ \mu\text{F}$. Encuentre la d.p. final y la energía perdida.

$Q = CV = (220 \times 10^{-6})(9.0) = 1.98 \times 10^{-3}\ \text{C}$; capacitancia total $660\ \mu\text{F}$, por lo tanto $V' = 1.98 \times 10^{-3}/(660 \times 10^{-6}) = 3.0\ \text{V}$. Energía antes: $\tfrac{1}{2}(220 \times 10^{-6})(9.0)^{2} = 8.9 \times 10^{-3}\ \text{J}$; después: $\tfrac{1}{2}(660 \times 10^{-6})(3.0)^{2} = 3.0 \times 10^{-3}\ \text{J}$; perdida: $5.9 \times 10^{-3}\ \text{J}$, dos tercios del original. Un condensador conectado a otro de capacitancia $kC$ siempre pierde la fracción $k/(k+1)$.

Un condensador $C$ cargado a $V_{0}$ se conecta a través de un interruptor a una resistencia de resistencia $R$. Cuando el interruptor se cierra en $t = 0$, el condensador se descarga.

Planteamiento de la ecuación

Por la segunda ley de Kirchhoff alrededor del bucle, $V_{C} = V_{R}$. Usando $V_{C} = Q/C$, $V_{R} = IR$ y $I = -dQ/dt$:

Esto se resuelve mediante una decaimiento exponencial con constante de tiempo $RC$.

Ecuaciones de descarga

La carga $Q$, la d.p. $V$ y la corriente $I$ decaen exponencialmente con la misma constante de tiempo:

con $I_{0} = V_{0}/R$.

Lectura de los tres gráficos. Las tres curvas tienen la misma forma y la misma constante de tiempo, por lo que una medición de $\tau$ de cualquiera de ellas proporciona $RC$. La corriente es mayor en el instante en que se cierra el interruptor, $I_{0} = V_{0}/R$, porque la d.d.p. completa $V_{0}$ está entonces sobre la resistencia; disminuye a medida que la d.d.p. cae. El área bajo el gráfico $I$–$t$ es la carga que ha fluído, por lo que el área total es $Q_{0} = CV_{0}$, y la carga que fluye en la primera constante de tiempo es $Q_{0}(1 - e^{-1}) = 0.63\,Q_{0}$. La pendiente del gráfico $Q$–$t$ es $-I$: más pronunciada al principio, aplanándose a medida que la corriente desaparece. (Durante la carga a través de una resistencia, la corriente tiene la misma forma decreciente, mientras que $V$ y $Q$ aumentan a medida que $V_{0}(1 - e^{-t/RC})$, la imagen especular de la curva de descarga.)

Constante de tiempo

es la constante de tiempo 时间常数 (en segundos: $\Omega \cdot \text{F} = \text{s}$). Es el tiempo que tarda una cantidad decreciente en caer a $1/e \approx 0.37$ (aproximadamente 37%) de su valor inicial. Después de $2\tau$, está aproximadamente en 13.5%; después de $5\tau$, por debajo del 1%.

Ejemplo resuelto. Un condensador $100\ \mu\text{F}$ cargado a $12\ \text{V}$ se descarga a través de una resistencia $47\ \text{k}\Omega$. Encuentre la constante de tiempo y el voltaje después de una constante de tiempo.

Después de una constante de tiempo, el voltaje cae a $1/e$ de su inicio: $V = 12 \times 0.37 \approx 4.4\ \text{V}$.

Ejemplo resuelto. Un condensador $470\ \mu\text{F}$ se carga a $24\ \text{V}$ y luego se descarga a través de una resistencia $5.6\ \text{k}\Omega$. Encuentre (a) la carga y energía iniciales, (b) la constante de tiempo y la corriente inicial, (c) la d.d.p. después de $4.0\ \text{s}$, (d) el tiempo para que la d.d.p. caiga a $6.0\ \text{V}$.

(a) $Q_{0} = CV_{0} = (470 \times 10^{-6})(24) = 1.1 \times 10^{-2}\ \text{C}$; $W = \tfrac{1}{2}CV_{0}^{2} = \tfrac{1}{2}(470 \times 10^{-6})(24)^{2} = 0.135\ \text{J}$. (b) $\tau = RC = (5.6 \times 10^{3})(470 \times 10^{-6}) = 2.6\ \text{s}$; $I_{0} = V_{0}/R = 24/5600 = 4.3\ \text{mA}$. (c) $V = V_{0} e^{-t/RC} = 24\, e^{-4.0/2.63} = 24 \times 0.219 = 5.3\ \text{V}$. (d) Reorganice usando logaritmos: $t = -RC \ln(V/V_{0}) = -2.63 \ln(6.0/24) = 2.63 \times 1.386 = 3.6\ \text{s}$.

Mantenga la constante de tiempo sin redondear ($2.632\ \text{s}$) dentro del cálculo y redondee solo las respuestas. La reorganización en (d) es la que se pregunta con más frecuencia y la que más errores provoca: $\ln(V/V_{0})$ es negativo, por lo que $t$ sale positivo.

Ejemplo resuelto. Desde un gráfico de descarga, la d.d.p. a través de un condensador $2200\ \mu\text{F}$ cae de $6.0\ \text{V}$ a $2.2\ \text{V}$ en $4.5\ \text{s}$. Encuentre la resistencia de la resistencia.

$2.2/6.0 = 0.367 \approx 1/e$, por lo que $4.5\ \text{s}$ es una constante de tiempo: $R = \tau/C = 4.5/(2200 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^{3}\ \Omega$. Si la caída no es hasta $1/e$, use $RC = -t/\ln(V/V_{0})$; la respuesta es la misma de cualquier manera.

Para encontrar $\tau$ a partir de una curva: lea el tiempo para caer a $1/e$ del inicio. O tome logaritmos: $\ln(V/V_{0}) = -t/(RC)$, por lo que un gráfico de $\ln V$ contra $t$ es una línea recta con pendiente $-1/(RC)$.

Uso del gráfico logarítmico. En un experimento, grafique $\ln V$ (o $\ln I$) en el eje $y$ contra $t$. Los puntos deben estar en una línea recta: su pendiente es $-1/(RC)$, por lo que $RC = -1/\text{gradient}$, y su intercepto 截距 en el eje $\ln V$ es $\ln V_{0}$. Una línea recta es la prueba de que la decadencia realmente es exponencial; una curva significa que no lo es. Tome la pendiente de dos puntos distantes en la línea de mejor ajuste, no de dos puntos de datos, e indique $RC$ en segundos.

Lectura de gráficos durante la descarga

• $Q$ contra $V_{C}$: ya que $Q = C V$ siempre, esta es una línea recta que pasa por el origen con pendiente $C$. La descarga mueve el punto desde $(V_{0}, Q_{0})$ hacia abajo hasta $(0,0)$.
• $I$ contra $V_{C}$: ya que $I = V_{C}/R$, esta es una línea recta que pasa por el origen con pendiente $1/R$, por lo que puede encontrar $R$.

Preguntas comunes de examen

Dada una curva de descarga $V(t)$ o $Q(t)$:

• lea el valor inicial $V_{0}$ o $Q_{0}$ en $t = 0$.
• lea el tiempo para caer a $V_{0}/e$ → constante de tiempo $\tau = RC$.
• dado $R$, encuentre $C = \tau / R$ (o viceversa).
• prediga un valor posterior con la fórmula exponencial.

Un condensador como componente de suavizado

Un rectificador 整流器 (Tema 21) convierte un voltaje alterno en una serie de jorobas positivas. Un condensador conectado a través de la carga las suaviza. Cerca de cada pico 峰值, los diodos conducen y el condensador se carga al voltaje pico; a medida que el voltaje de suministro disminuye, los diodos dejan de conducir y el condensador se descarga a través de la resistencia de carga, manteniendo la salida alta hasta que la siguiente joroba se eleva por encima y recarga el condensador. Por lo tanto, la salida solo cae un poco entre picos; la subida y bajada que permanece es la ondulación 纹波.

Cuánto cae depende de la constante de tiempo de la descarga, $RC$, en comparación con el tiempo entre picos. Una mayor capacitancia o una mayor resistencia de carga (una menor corriente de carga) da una mayor $RC$, un decaimiento más lento y una ondulación menor; un suministro muy cargado (pequeña $R$) tiene una ondulación mayor. Se le pide que bosqueje la salida suavizada, dibújela tocando cada pico, decayendo ligeramente entre ellos y nunca cayendo a cero.

Una pregunta de definición se califica según un texto fijo. Aprende estas definiciones exactamente, y da solo una respuesta.

• $C = Q/V$ define la capacitancia; para una esfera aislada $C = 4\pi\varepsilon_{0} r$. Energía almacenada $W = \tfrac{1}{2}QV = \tfrac{1}{2}CV^{2} = Q^{2}/2C$: elija la forma que use lo que conoce, y recuerde que la energía no es proporcional a la carga.
• Combine condensadores de la manera opuesta a las resistencias (paralelo suma, serie recíproco), y reduzca una red paso a paso.
• Compartición de carga: la carga se conserva, la energía no. Encuentre la d.d.p. común a partir de la carga total y la capacitancia total primero, luego las energías.
• Descarga: $x = x_{0} e^{-t/RC}$ para $Q$, $V$ y $I$ por igual; $t = -RC \ln(x/x_{0})$; $\tau = RC$ está en segundos ($\Omega \cdot \text{F} = \text{s}$) y es el tiempo para caer a $37\%$, no a cero.
• Gráficos: la corriente inicial es $V_{0}/R$; el área bajo $I$–$t$ es carga; la pendiente de $Q$–$t$ es $-I$; $\ln V$ contra $t$ es una línea recta de pendiente $-1/(RC)$ e intercepto $\ln V_{0}$.
• Convierta $\mu\text{F}$ y $\text{k}\Omega$ antes de multiplicar: $\text{k}\Omega \times \mu\text{F}$ da milisegundos, no segundos.

Errores comunes

• Definir la capacitancia como "la carga almacenada" o "la carga en ambas placas". Es la carga en una placa por unidad de d.d.p. entre las placas.
• Sumar condensadores en serie como si fueran resistencias, o olvidar invertir la suma recíproca al final.
• Después de la compartición de carga, usar el voltaje de suministro en $\tfrac{1}{2}CV^{2}$ en lugar de la nueva d.d.p. común, o afirmar que la energía se conserva.
• Dibujar la corriente de descarga comenzando desde cero. Comienza en su valor más grande, $V_{0}/R$.
• Tratar $\tau$ como el tiempo para descargar completamente; después de $5\tau$ queda aproximadamente $1\%$.
• Eliminar el signo menos en $t = -RC \ln(V/V_{0})$ e informar un tiempo negativo.
• Encontrar la energía adicional al aumentar la d.d.p. solo por la carga adicional: reste dos áreas (o dos valores $\tfrac{1}{2}CV^{2}$).
• Bosquejar una salida suavizada que cae a cero entre picos, o decir que una mayor resistencia de carga da una mayor ondulación.