Matemática do IGCSE · Topic 8 · Tópico 8
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Probabilidade
Vai chover amanhã? O ônibus vai atrasar? Este jogo mostrará um seis? Quase nada na vida é certo, e quase nada é impossível. A maioria das coisas situa-se…
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This handout covers Topic 8, Probability. Parts marked (Extended) are only tested on the Extended papers; everything else is for both levels.
Este guia cobre o Tópico 8, Probabilidade. As partes marcadas como (Ampliado) são testadas apenas nas provas Ampliadas; tudo o mais é para ambos os níveis.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand and use the probability scale from 0 to 1. | Probability notation is not required. Probabilities should be given as a fraction, decimal or percentage. Problems may require using information from tables, graphs or Venn diagrams (limited to two sets). |
| 2 Calculate the probability of a single event. | |
| 3 Understand that the probability of an event not occurring = 1 – the probability of the event occurring. | e.g. The probability that a counter is blue is 0.8. What is the probability that it is not blue? |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Compreender e utilizar a escala de probabilidade de 0 a 1. | Notação de probabilidade não é exigida. As probabilidades devem ser apresentadas como fração, decimal ou percentagem. Os problemas podem exigir o uso de informações de tabelas, gráficos ou diagramas de Venn (limitado a dois conjuntos). |
| 2 Calcular a probabilidade de um evento único. | |
| 3 Compreenda que a probabilidade de um evento não ocorrer = 1 – a probabilidade do evento ocorrer. | Ex.: A probabilidade de uma ficha ser azul é 0.8. Qual é a probabilidade de ela não ser azul? |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand and use the probability scale from 0 to 1. | $\text{P}(A)$ is the probability of $A$ |
| 2 Understand and use probability notation. | $\text{P}(A')$ is the probability of not $A$ |
| 3 Calculate the probability of a single event. | Probabilities should be given as a fraction, decimal or percentage. Problems may require using information from tables, graphs or Venn diagrams. |
| 4 Understand that the probability of an event not occurring = 1 – the probability of the event occurring. | e.g. $\text{P}(B) = 0.8$, find $\text{P}(B')$ |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Compreender e usar a escala de probabilidade de 0 a 1. | $\text{P}(A)$ é a probabilidade de $A$ |
| 2 Compreender e usar notação de probabilidade. | $\text{P}(A')$ é a probabilidade de não $A$ |
| 3 Calcular a probabilidade de um evento único. | As probabilidades devem ser dadas como fração, decimal ou porcentagem. Problemas podem exigir o uso de informações de tabelas, gráficos ou diagramas de Venn. |
| 4 Entender que a probabilidade de um evento não ocorrer = 1 – a probabilidade do evento ocorrer. | Ex.: $\text{P}(B) = 0.8$, encontrar $\text{P}(B')$ |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
Probability 概率 measures how likely an event 事件 is. It runs on a scale from $0$ (impossible) to $1$ (certain), and can be written as a fraction, decimal or percentage. We write $\text{P}(A)$ for the probability of event $A$.
For equally likely outcomes 结果,
The probability that an event does not happen is
Worked example. A bag has $3$ red and $5$ blue counters. Find the probability of not drawing red.
Probabilidade 概率 mede quão provável é um evento 事件. Ela varia numa escala de $0$ (impossível) a $1$ (certo), e pode ser escrita como fração, decimal ou porcentagem. Escrevemos $\text{P}(A)$ para a probabilidade do evento $A$.
Para resultados igualmente prováveis outcomes 结果,
A probabilidade de um evento não acontecer é
Exemplo resolvido. Uma bolsa tem $3$ contadores vermelhos e $5$ azuis. Encontre a probabilidade de não tirar vermelho.
Deslize o marcador de 0 (impossível) para 1 (certo) para colocar um evento na escala de probabilidade.
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| probability/ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | 概率 | gài lǜ |
| event/ɪˈvent/ | 事件 | shì jiàn |
| outcome/ˈaʊtkʌm/ | 结果 | jié guǒ |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand relative frequency as an estimate of probability. | e.g. use results of experiments with a spinner to estimate the probability of a given outcome. |
| 2 Calculate expected frequencies. | e.g. use probability to estimate an expected value from a population. Includes understanding what is meant by fair, bias and random. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Compreender a frequência relativa como estimativa de probabilidade. | p.ex. usar resultados de experimentos com um girador para estimar a probabilidade de um resultado dado. |
| 2 Calcular frequências esperadas. | p.ex. usar probabilidade para estimar um valor esperado numa população. Inclui compreender o significado de justo, viciado e aleatório. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand relative frequency as an estimate of probability. | e.g. use results of experiments with a spinner to estimate the probability of a given outcome. |
| 2 Calculate expected frequencies. | e.g. use probability to estimate an expected value from a population. |
| Includes understanding what is meant by fair, bias and random. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Compreender a frequência relativa como estimativa de probabilidade. | p.ex. usar resultados de experimentos com um girador para estimar a probabilidade de um resultado dado. |
| 2 Calcular frequências esperadas. | Ex.: usar probabilidade para estimar um valor esperado de uma população. |
| Inclui compreender o que se entende por justo, viés e aleatório. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
When outcomes are not equally likely, do an experiment. The relative frequency 相对频率 estimates the probability:
The more trials you do, the better the estimate. A fair 公平 object gives equal chances; one with bias 偏倚 does not; random 随机 means each outcome happens by chance.
The expected frequency 期望频数 is how many times you expect an event in $n$ trials:
Worked example. The probability of rolling a six is $\tfrac{1}{6}$. How many sixes are expected in $300$ rolls?
Quando os resultados não são igualmente prováveis, faça um experimento. A frequência relativa 相对频率 estima a probabilidade:
Quanto mais ensaios você fizer, melhor será a estimativa. Um objeto justo 公平 dá chances iguais; um com viés 偏倚 não; aleatório 随机 significa que cada resultado ocorre por acaso.
A frequência esperada 期望频数 é quantas vezes você espera que um evento ocorra em $n$ ensaios:
Exemplo resolvido. A probabilidade de tirar seis é $\tfrac{1}{6}$. Quantos seis são esperados em $300$ jogadas?
Lance os dois dados muitas vezes: as barras começam irregulares, mas se estabilizam no triângulo teórico com pico em 7 — probabilidade experimental aproximando-se da teórica.
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| relative frequency/ˈrelətɪv ˈfriːkwənsi/ | 相对频率 | xiāng duì pín lǜ |
| fair/feə/ | 公平 | gōng píng |
| bias/ˈbaɪəs/ | 偏倚 | piān yǐ |
| random/ˈrændəm/ | 随机 | suí jī |
| expected frequency/ekˈspektɪd ˈfriːkwənsi/ | 期望频数 | qī wàng pín shuò |
| combined events/kəmˈbaɪnd ɪˈvents/ | 组合事件 | zǔ hé shì jiàn |
| independent events/ˌɪndɪˈpendənt ɪˈvents/ | 独立事件 | dú lì shì jiàn |
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | 互斥 | hù chì |
| sample space diagram/ˈsæmpl speɪs ˈdaɪəɡræm/ | 样本空间图 | yàng běn kōng jiān tú |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | 维恩图 | wéi ēn tú |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate the probability of combined events using, where appropriate: • sample space diagrams • Venn diagrams • tree diagrams. | Combined events will only be with replacement. |
| Venn diagrams will be limited to two sets. | |
| In tree diagrams, outcomes will be written at the end of the branches and probabilities by the side of the branches. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Calcular a probabilidade de eventos combinados utilizando, quando apropriado: • diagramas de espaço amostral • diagramas de Venn • diagramas de árvore. | Eventos combinados serão apenas com reposição. |
| Diagramas de Venn serão limitados a dois conjuntos. | |
| Em diagramas de árvore, os resultados serão escritos no final dos ramos e as probabilidades ao lado dos ramos. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate the probability of combined events using, where appropriate: • sample space diagrams • Venn diagrams | Combined events could be with or without replacement. |
| The notation $\text{P}(A \cap B)$ and $\text{P}(A \cup B)$ may be used in the context of Venn diagrams. | |
| • tree diagrams. | On tree diagrams outcomes will be written at the end of branches and probabilities by the side of the branches. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Calcular a probabilidade de eventos combinados usando, quando apropriado: • diagramas de espaço amostral • diagramas de Venn | Eventos combinados podem ser com ou sem reposição. |
| A notação $\text{P}(A \cap B)$ e $\text{P}(A \cup B)$ pode ser usada no contexto de diagramas de Venn. | |
| • diagramas de árvore. | Em diagramas de árvore, os resultados serão escritos ao final dos ramos e as probabilidades ao lado dos ramos. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
For two or more events together (combined events 组合事件), two rules help:
Three pictures help you organise the work.
A sample space diagram 样本空间图 is a table or grid listing every possible outcome — useful for two dice or two spinners. Count the outcomes you want out of the total.
A Venn diagram 维恩图 sorts outcomes into overlapping sets. From it you can read $\text{P}(A \cap B)$ (in both) and $\text{P}(A \cup B)$ (in either).
A tree diagram 树状图 shows each stage as a set of branches. Write the probability on each branch and the outcome at the end. Multiply along the branches, then add the paths you want.
Worked example (with replacement). From the bag ($3$ red, $5$ blue), a counter is drawn, replaced, then a second is drawn. This is with replacement 有放回, so the chances do not change. Find the probability of two reds.
Worked example (without replacement, Extended). Now the first counter is not replaced — drawing without replacement 无放回. After one red is taken, $2$ reds remain out of $7$:
Para dois ou mais eventos juntos (eventos combinados 组合事件), duas regras ajudam:
Três imagens ajudam a organizar o trabalho.
Um diagrama de espaço amostral 样本空间图 é uma tabela ou grade listando todos os resultados possíveis — útil para dois dados ou dois spinners. Conte os resultados que você quer do total.
Um diagrama de Venn 维恩图 organiza resultados em conjuntos sobrepostos. A partir dele você pode ler $\text{P}(A \cap B)$ (em ambos) e $\text{P}(A \cup B)$ (em algum deles).
Um diagrama de árvore 树状图 mostra cada estágio como um conjunto de ramos. Escreva a probabilidade em cada ramo e o resultado no final. Multiplique ao longo dos ramos, depois some os caminhos que você quer.
Exemplo resolvido (com reposição). Da bolsa ($3$ vermelhos, $5$ azuis), um contador é retirado, reposto, e um segundo é retirado. Isso é com reposição 有放回, então as chances não mudam. Encontre a probabilidade de dois vermelhos.
Exemplo resolvido (sem reposição, Estendido). Agora o primeiro contador não é devolvido — retirar sem reposição 无放回. Após retirar um vermelho, $2$ vermelhos restam de $7$:
Multiplique as probabilidades ao longo de cada ramo; os quatro resultados sempre somam 1.
P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A)
Combine dois eventos: o modelo de área mostra AND (sobreposição) versus OR (união).
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| tree diagram/triː ˈdaɪəɡræm/ | 树状图 | shù zhuàng tú |
| with replacement/wɪð rɪˈpleɪsmənt/ | 有放回 | yǒu fàng huí |
| without replacement/wɪˈðaʊt rɪˈpleɪsmənt/ | 无放回 | wú fàng huí |
| conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | 条件概率 | tiáo jiàn gài lǜ |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate conditional probability using Venn diagrams, tree diagrams and tables. | Knowledge of notation, $\text{P}(A|B)$, and formulas relating to conditional probability is not required. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Calcular probabilidade condicional usando diagramas de Venn, diagramas de árvore e tabelas. | Conhecimento de notação, $\text{P}(A|B)$, e fórmulas relacionadas à probabilidade condicional não é exigido. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
Conditional probability 条件概率 is the probability of one event given that another has already happened. Read it from a Venn diagram, two-way table or tree diagram by looking only at the part that matches the condition.
Worked example. In a class of $30$, $18$ study French and, of those, $7$ also study German. A French student is picked. Find the probability they also study German.
Look only at the $18$ French students:
Probabilidade condicional 条件概率 é a probabilidade de um evento dado que outro já ocorreu. Leia-a em um diagrama de Venn, tabela de contingência ou diagrama em árvore olhando apenas para a parte que corresponde à condição.
Exemplo resolvido. Em uma turma de $30$, $18$ estudam francês e, desses, $7$ também estudam alemão. Um aluno de francês é selecionado. Encontre a probabilidade de ele também estudar alemão.
Olhe apenas para os $18$ alunos de francês:
Altere as probabilidades das ramificações e leia as probabilidades combinadas e condicionais fora da árvore.
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Passe por ele passo a passo, com exercícios de verificação instantânea.
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