Matemática do IGCSE · Topic 6 · Tópico 6
8:37
Trigonometria
Qual a altura dessa torre? Você não pode subí-la com uma fita métrica. Mas pode ficar no chão, caminhar cinquenta metros para trás e medir um ângulo — o ângulo que…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Narração em inglês · Legendas em inglês + 中文 gravadas
This handout covers Topic 6, Trigonometry. Parts marked (Extended) are only tested on the Extended papers; everything else is for both levels. Give angle answers to one decimal place.
Este folheto cobre o Tópico 6, Trigonométria. Partes marcadas como (Extendido) são testadas apenas nos exames Extendidos; tudo o resto é para ambos os níveis. Dê respostas de ângulo com uma casa decimal.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Know and use Pythagoras’ theorem. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Conheça e use o teorema de Pitágoras. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
Pythagoras' theorem 勾股定理 links the three sides of a right-angled triangle 直角三角形 (a triangle 三角形 with one $90^{\circ}$ angle). If the longest side (the hypotenuse 斜边, opposite the right angle) is $c$, then
Use it to find a missing side.
Worked example. A right-angled triangle has a hypotenuse of $13\text{ cm}$ and one short side of $5\text{ cm}$. Find the other short side.
Teorema de Pitágoras 勾股定理 liga os três lados de um triângulo retângulo 直角三角形 (um triângulo 三角形 com um ângulo reto $90^{\circ}$). Se o lado mais longo (a hipotenusa 斜边, oposto ao ângulo reto) for $c$, então
Use-o para encontrar um lado desconhecido.
Exemplo resolvido. Um triângulo retângulo tem hipotenusa de $13\text{ cm}$ e um lado curto de $5\text{ cm}$. Encontre o outro lado curto.
Altere os dois lados curtos e veja $a^2 + b^2 = c^2$ — os quadrados nos lados realmente somam.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Know and use the sine, cosine and tangent ratios for acute angles in calculations involving sides and angles of a right-angled triangle. | Angles will be given in degrees and answers should be written in degrees, with decimals correct to one decimal place. |
| 2 Solve problems in two dimensions using Pythagoras’ theorem and trigonometry. | Knowledge of bearings may be required. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Conheça e use as razões seno, cosseno e tangente para ângulos agudos em cálculos envolvendo lados e ângulos de um triângulo retângulo. | Os ângulos serão dados em graus e as respostas devem ser escritas em graus, com casas decimais corretas até uma casa decimal. |
| 2 Resolva problemas em duas dimensões usando o teorema de Pitágoras e trigonometria. | Conhecimento de azimutes pode ser necessário. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Know and use the sine, cosine and tangent ratios for acute angles in calculations involving sides and angles of a right-angled triangle. | Angles will be given in degrees and answers should be written in degrees, with decimals correct to one decimal place. |
| 2 Solve problems in two dimensions using Pythagoras’ theorem and trigonometry. | Knowledge of bearings may be required. |
| 3 Know that the perpendicular distance from a point to a line is the shortest distance to the line. | |
| 4 Carry out calculations involving angles of elevation and depression. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Conheça e use as razões seno, cosseno e tangente para ângulos agudos em cálculos envolvendo lados e ângulos de um triângulo retângulo. | Os ângulos serão dados em graus e as respostas devem ser escritas em graus, com casas decimais corretas até uma casa decimal. |
| 2 Resolva problemas em duas dimensões usando o teorema de Pitágoras e trigonometria. | Conhecimento de azimutes pode ser necessário. |
| 3 Saiba que a distância perpendicular de um ponto a uma linha é a menor distância até a linha. | |
| 4 Execute cálculos envolvendo ângulos de elevação e depressão. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
Label the sides from the angle you are using: the opposite 对边 (across from the angle), the adjacent 邻边 (next to the angle), and the hypotenuse. The three ratios are the sine 正弦, cosine 余弦 and tangent ratio 正切 (sin, cos, tan):
Remember them as SOH-CAH-TOA. To find an angle, use the inverse ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$).
Worked example (find a side). In a right-angled triangle the hypotenuse is $10\text{ cm}$ and the angle is $30^{\circ}$. Find the opposite side.
Worked example (find an angle). The opposite side is $4\text{ cm}$ and the adjacent side is $3\text{ cm}$.
Rotule os lados a partir do ângulo que está usando: o oposto 对边 (através do ângulo), o adjacente 邻边 (ao lado do ângulo) e a hipotenusa. As três razões são o seno 正弦, cosseno 余弦 e razão tangente 正切 (sin, cos, tan):
Lembre-se delas como SOH-CAH-TOA. Para encontrar um ângulo, use o inverso ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$).
Exemplo resolvido (encontrar um lado). Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é $10\text{ cm}$ e o ângulo é $30^{\circ}$. Encontre o lado oposto.
Exemplo resolvido (encontrar um ângulo). O lado oposto é $4\text{ cm}$ e o lado adjacente é $3\text{ cm}$.
Arraste o ângulo no círculo unitário para ver de onde vêm sin, cos e tan.
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| Pythagoras' theorem/paɪˈθæɡərəs ˈθɪərəm/ | 勾股定理 | gōu gǔ dìng lǐ |
| right-angled triangle/raɪt ˈæŋɡld ˈtraɪæŋɡl/ | 直角三角形 | zhí jiǎo sān jiǎo xíng |
| triangle/ˈtraɪæŋɡl/ | 三角形 | sān jiǎo xíng |
| hypotenuse/haɪˈpɒtənjuːs/ | 斜边 | xié biān |
| opposite/ˈɒpəzɪt/ | 对边 | duì biān |
| adjacent/əˈdʒeɪsənt/ | 邻边 | lín biān |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Know and use the sine, cosine and tangent ratios for acute angles in calculations involving sides and angles of a right-angled triangle. | Angles will be given in degrees and answers should be written in degrees, with decimals correct to one decimal place. |
| 2 Solve problems in two dimensions using Pythagoras’ theorem and trigonometry. | Knowledge of bearings may be required. |
| 3 Know that the perpendicular distance from a point to a line is the shortest distance to the line. | |
| 4 Carry out calculations involving angles of elevation and depression. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Conheça e use as razões seno, cosseno e tangente para ângulos agudos em cálculos envolvendo lados e ângulos de um triângulo retângulo. | Os ângulos serão dados em graus e as respostas devem ser escritas em graus, com casas decimais corretas até uma casa decimal. |
| 2 Resolva problemas em duas dimensões usando o teorema de Pitágoras e trigonometria. | Conhecimento de azimutes pode ser necessário. |
| 3 Saiba que a distância perpendicular de um ponto a uma linha é a menor distância até a linha. | |
| 4 Execute cálculos envolvendo ângulos de elevação e depressão. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
The angle of elevation 仰角 is the angle up from the horizontal to an object above you. The angle of depression 俯角 is the angle down from the horizontal to an object below you. The shortest distance from a point to a line is the perpendicular 垂直 distance.
Worked example. From a point $50\text{ m}$ from the foot of a tower, the angle of elevation to the top is $40^{\circ}$. Find the height of the tower.
O ângulo de elevação 仰角 é o ângulo para cima a partir da horizontal até um objeto acima de você. O ângulo de depressão 俯角 é o ângulo para baixo a partir da horizontal até um objeto abaixo de você. A menor distância de um ponto a uma linha é a distância perpendicular 垂直.
Exemplo resolvido. De um ponto $50\text{ m}$ da base de uma torre, o ângulo de elevação até o topo é $40^{\circ}$. Encontre a altura da torre.
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | 垂直 | chuí zhí |
| trigonometric equation/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ɪˈkweɪʒn/ | 三角方程 | sān jiǎo fāng chéng |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Know the exact values of: 1 $\sin x$ and $\cos x$ for $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ and $90^\circ$. 2 $\tan x$ for $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ$ and $60^\circ$. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Saiba os valores exatos de: 1 $\sin x$ e $\cos x$ para $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ e $90^\circ$. 2 $\tan x$ para $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ$ e $60^\circ$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
You must know these exact values without a calculator.
| $x$ | $0^{\circ}$ | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $\tfrac{1}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan x$ | $0$ | $\tfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | — |
Você precisa saber esses valores exatos sem calculadora.
| $x$ | $0^{\circ}$ | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $\tfrac{1}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan x$ | $0$ | $\tfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | — |
*Estes dois triângulos especiais são a origem dos valores exatos — valem a pena memorizar.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Recognise, sketch and interpret the following graphs for $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$: • $y = \sin x$ • $y = \cos x$ • $y = \tan x$. | |
| 2 Solve trigonometric equations involving $\sin x$, $\cos x$ or $\tan x$, for $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. | e.g. solve: • $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ for $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$ • $2 \cos x + 1 = 0$ for $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Reconhecer, esboçar e interpretar os seguintes gráficos para $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$: • $y = \sin x$ • $y = \cos x$ • $y = \tan x$. | |
| 2 Resolver equações trigonométricas envolvendo $\sin x$, $\cos x$ ou $\tan x$, para $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. | Ex.: resolver: • $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ para $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$ • $2 \cos x + 1 = 0$ para $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
For $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$:
A trigonometric equation 三角方程 often has more than one answer in this range. Use the graph (or the symmetry of the wave) to find them all.
Worked example. Solve $\sin x = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ for $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.
One answer is $x = 60^{\circ}$. The sine wave is also $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ at $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. So $x = 60^{\circ}$ or $120^{\circ}$.
Worked example. Solve $2\cos x + 1 = 0$ for $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.
Para $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$:
Uma equação trigonométrica 三角方程 frequentemente tem mais de uma resposta neste intervalo. Use o gráfico (ou a simetria da onda) para encontrá-las todas.
Exemplo resolvido. Resolva $\sin x = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ para $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.
Uma resposta é $x = 60^{\circ}$. A onda senoidal também vale $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ em $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. Então $x = 60^{\circ}$ ou $120^{\circ}$.
Exemplo resolvido. Resolva $2\cos x + 1 = 0$ para $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.
(cos θ, sin θ)
À medida que θ gira, seno e cos traçam suas ondas — e repetem a cada 360°.
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| sine/saɪn/ | 正弦 | zhèng xián |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | 余弦 | yú xián |
| tangent ratio/ˈtændʒənt ˈreɪʃɪəʊ/ | 正切 | zhèng qiē |
| angle of elevation/ˈæŋɡl ɒv ˌelɪˈveɪʃn/ | 仰角 | yǎng jiǎo |
| angle of depression/ˈæŋɡl ɒv dɪˈpreʃn/ | 俯角 | fǔ jiǎo |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use the sine and cosine rules in calculations involving lengths and angles for any triangle. | Includes problems involving obtuse angles and the ambiguous case. |
| 2 Use the formula $\text{area of triangle} = \frac{1}{2} ab \sin C$. | The sine and cosine rules and the formula for area of a triangle are given in the List of formulas. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Usar as leis do seno e do cosseno em cálculos envolvendo comprimentos e ângulos de qualquer triângulo. | Inclui problemas com ângulos obtusos e o caso ambíguo. |
| 2 Usar a fórmula $\text{area of triangle} = \frac{1}{2} ab \sin C$. | As leis do seno e do cosseno e a fórmula para área de um triângulo são fornecidas na Lista de fórmulas. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
For any triangle (not just right-angled), with sides $a, b, c$ opposite angles $A, B, C$:
Use the sine rule 正弦定理 when you have a side and its opposite angle. Use the cosine rule 余弦定理 when you have two sides and the angle between them, or all three sides. With the sine rule, watch for the ambiguous case 两解情况, where an angle could be acute or obtuse.
The area of any triangle is
Worked example. A triangle has $b = 7\text{ cm}$, $c = 8\text{ cm}$ and the angle between them $A = 40^{\circ}$. Find side $a$.
Para qualquer triângulo (não apenas retângulo), com lados $a, b, c$ opostos aos ângulos $A, B, C$:
Use a regra do seno 正弦定理 quando tiver um lado e seu ângulo oposto. Use a regra do cosseno 余弦定理 quando tiver dois lados e o ângulo entre eles, ou todos os três lados. Com a regra do seno, cuidado com o caso ambíguo 两解情况, onde um ângulo pode ser agudo ou obtuso.
A área de qualquer triângulo é
Exemplo resolvido. Um triângulo tem $b = 7\text{ cm}$, $c = 8\text{ cm}$ e o ângulo entre eles $A = 40^{\circ}$. Encontre o lado $a$.
Dois lados e o ângulo entre eles fixam o triângulo: a lei do cosseno encontra o terceiro lado, a lei do seno os outros ângulos.
Gire o ângulo na circunferência unitária: o cateto horizontal é cos θ e o cateto vertical é sin θ — as mesmas razões que as leis do seno e do cosseno usam.
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| sine rule/saɪn ruːl/ | 正弦定理 | zhèng xián dìng lǐ |
| cosine rule/ˈkəʊsaɪn ruːl/ | 余弦定理 | yú xián dìng lǐ |
| ambiguous case/æmˈbɪɡjuːəs keɪs/ | 两解情况 | liǎng jiě qíng kuàng |
| plane/pleɪn/ | 平面 | píng miàn |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Carry out calculations and solve problems in three dimensions using Pythagoras' theorem and trigonometry, including calculating the angle between a line and a plane. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Realizar cálculos e resolver problemas em três dimensões usando o teorema de Pitágoras e a trigonometria, incluindo o cálculo do ângulo entre uma reta e um plano. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
In three dimensions, find a right-angled triangle inside the solid, then use Pythagoras or trigonometry on it. A common task is the angle between a line and a flat surface (a plane 平面).
Worked example. A box has a base $6\text{ cm}$ by $8\text{ cm}$ and height $5\text{ cm}$. Find the angle between a space diagonal and the base.
First the base diagonal: $\sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$. This diagonal and the height form a right-angled triangle, so the angle $\theta$ with the base is
Em três dimensões, encontre um triângulo retângulo dentro do sólido, então use Pitágoras ou trigonometria sobre ele. Uma tarefa comum é o ângulo entre uma linha e uma superfície plana (um plano 平面).
Exemplo resolvido. Uma caixa tem base $6\text{ cm}$ por $8\text{ cm}$ e altura $5\text{ cm}$. Encontre o ângulo entre uma diagonal espacial e a base.
Primeiro a diagonal da base: $\sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$. Esta diagonal e a altura formam um triângulo retângulo, então o ângulo $\theta$ com a base é
Em um triângulo retângulo a² + b² = c². A mesma ideia, aplicada duas vezes, dá comprimentos dentro de sólidos 3-D.
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Passe por ele passo a passo, com exercícios de verificação instantânea.
Past Papers · Provas Anteriores
Loading subjects… · Carregando matérias…