Geometria analítica

Um ponto em um gráfico é descrito por suas coordenadas 坐标, às vezes chamadas de coordenadas cartesianas, escritas $(x, y)$. O primeiro número é o valor horizontal e o segundo é o valor vertical.

• As duas retas numéricas são os eixos 坐标轴: o eixo horizontal 水平 $x$ e o eixo vertical 竖直 $y$.
• Eles se cruzam na origem 原点, o ponto $(0, 0)$.
• Os eixos dividem a grade em quatro quadrantes 象限.

Assim, o ponto $(3, -2)$ é encontrado indo $3$ para a direita e $2$ para baixo.

A maioria das linhas retas pode ser escrita como

onde $m$ é o declive 斜率 (inclinação) e $c$ é o intercepto 截距 — o valor $y$ onde a linha cruza o eixo $y$.

• Uma linha como $x = k$ (por exemplo, $x = 3$) é vertical.
• Uma linha como $y = k$ (por exemplo, $y = 3$) é horizontal.

Uma linha também pode ser dada como $ax + by = c$. Reorganize-a para $y = mx + c$ para ler a inclinação e o intercepto.

Exemplo resolvido. Encontre a inclinação e o intercepto no $y$ de $5x + 4y = 8$.

Portanto, a inclinação é $-\tfrac{5}{4}$ e o intercepto no $y$ é $2$.

A inclinação mede quão íngreme é uma linha:

Uma inclinação positiva sobe para a direita; uma inclinação negativa desce para a direita.

Exemplo resolvido. Encontre a inclinação da linha que passa por $(1, 2)$ e $(4, 11)$.

Para desenhar $y = mx + c$, a maneira mais rápida é:

1. Marque o intercepto $c$ no eixo $y$.
2. Use a inclinação para dar passos até novos pontos (para $m = 3$, vá $1$ para a direita e $3$ para cima).
3. Junte os pontos com uma linha reta.

Você também pode fazer uma pequena tabela de valores 数值表: escolha dois ou três valores de $x$, calcule $y$ e plote os pontos.

Se você souber a inclinação $m$ e um ponto na linha, substitua o ponto em $y = mx + c$ para encontrar $c$.

Exemplo resolvido. Uma linha tem inclinação $3$ e passa por $(1, 2)$. Encontre sua equação.

Portanto, a equação é $y = 3x - 1$. (Se forem dados dois pontos, encontre primeiro a inclinação e depois faça isso.)

Um segmento de reta 线段 é o trecho reto entre dois pontos.

Para encontrar o comprimento 长度 do segmento entre $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$, use o teorema de Pitágoras 勾股定理 nas diferenças horizontal e vertical:

Para encontrar o ponto médio 中点 (o ponto exatamente no meio), tire a média das coordenadas:

Exemplo resolvido. Encontre o comprimento e o ponto médio do segmento de $(1, 2)$ a $(4, 6)$.

Linhas paralelas 平行 nunca se encontram, portanto têm a mesma inclinação.

Exemplo resolvido. Encontre a equação da linha paralela a $y = 4x - 1$ que passa por $(1, -3)$.

A inclinação também é $4$. Substitua o ponto:

portanto a linha é $y = 4x - 7$.

Duas linhas são perpendiculares 垂直 se se encontrarem em um ângulo reto 直角. Seus produtos das inclinações resultam em $-1$:

Em palavras: inverta a fração e mude o sinal.

Exemplo resolvido. Encontre a inclinação de uma linha perpendicular a $2y = 3x + 1$.

Reorganize: $y = \tfrac{3}{2}x + \tfrac{1}{2}$, então a inclinação é $\tfrac{3}{2}$. A inclinação perpendicular é $-\tfrac{2}{3}$.

Bissetriz perpendicular

A bissetriz perpendicular 垂直平分线 de um segmento divide-o ao meio em um ângulo reto. Para encontrar sua equação: obtenha o ponto médio e, em seguida, use a inclinação perpendicular que passa por esse ponto médio.

Exemplo resolvido. Encontre a bissetriz perpendicular do segmento que une $(-3, 8)$ e $(9, -2)$.

• Ponto médio: $\left( \frac{-3 + 9}{2}, \frac{8 + (-2)}{2} \right) = (3, 3)$.
• Inclinação do segmento: $\frac{-2 - 8}{9 - (-3)} = \frac{-10}{12} = -\tfrac{5}{6}$.
• Inclinação perpendicular: $\frac{6}{5}$.

Passando por $(3, 3)$: $\; 3 = \tfrac{6}{5}(3) + c \Rightarrow c = 3 - \tfrac{18}{5} = -\tfrac{3}{5}$. Portanto, a bissetriz é

• A linha reta é $y = mx + c$: $m$ é a inclinação e $c$ é onde a linha cruza o eixo $y$.
• Inclinação = (alteração em $y$) ÷ (alteração em $x$). Mantenha as duas coordenadas na mesma ordem no topo e na base.
• Linhas paralelas têm a mesma inclinação; linhas perpendiculares têm inclinações que multiplicam-se resultando em $-1$ (o recíproco negativo).
• O ponto médio é a média das coordenadas; a distância entre dois pontos vem de Pitágoras aplicado às diferenças.