Este material cobre o Tópico 5, Mensuração (medindo comprimento, área e volume). O conteúdo Básico e Avançado aqui é quase o mesmo. Na prova, algumas fórmulas são fornecidas na Lista de fórmulas, mas você ainda deve aprendê-las todas.
Mensuração
Matemática do IGCSE · Tópico 5
7:47
Mensuração
A Grande Pirâmide de Gizé permanece há quatro mil e quinhentos anos. Quanto pedra há dentro dela? Cerca de dois milhões e meio de metros cúbicos — e um…
Narração em inglês · Legendas em inglês + 中文 gravadas
5.1
Unidades de medida
Programa
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Use unidades métricas de massa, comprimento, área, volume e capacidade em situações práticas e converta quantidades em unidades maiores ou menores. | As unidades incluem: • mm, cm, m, km • $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ • $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ • ml, l • g, kg. A conversão entre unidades inclui: • entre diferentes unidades de área, ex. $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$ • entre unidades de volume e capacidade, ex. $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$. |
Fonte: Programa Cambridge International
Usamos unidades métricas 公制 para massa 质量 (g, kg), comprimento 长度 (mm, cm, m, km), área 面积, volume 体积 e capacidade 容量 (ml, litros — o espaço dentro de um recipiente).
Para mudar unidades, tenha cuidado com quadrados e cubos:
- Comprimento: $1\text{ m} = 100\text{ cm}$.
- Área: $1\text{ m}^{2} = 100^{2} = 10\,000\text{ cm}^{2}$.
- Volume: $1\text{ m}^{3} = 100^{3} = 1\,000\,000\text{ cm}^{3}$.
- Capacidade: $1\text{ litre} = 1000\text{ cm}^{3}$, então $1\text{ m}^{3} = 1000$ litros.
Exemplo resolvido. Converta $3\text{ m}^{2}$ para $\text{cm}^{2}$.
$$3 \times 10\,000 = 30\,000\text{ cm}^{2}.$$
Explorar
Laboratório de escolha de unidade
Escolha a unidade que corresponde à escala de medição.
Vocabulário
Treinar
| Inglês | Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| metric/ˈmetrɪk/ | 公制 | gōng zhì |
| mass/mæs/ | 质量 | zhì liàng |
| volume/ˈvɒljuːm/ | 体积 | tǐ jī |
| capacity/kəˈpæsɪti/ | 容量 | róng liàng |
| perimeter/pəˈrɪmɪtə/ | 周长 | zhōu cháng |
5.2
Perímetro e área de figuras básicas
Programa
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Realize cálculos envolvendo o perímetro e a área de um retângulo, triângulo, paralelogramo e trapézio. | Exceto para a área de um triângulo, as fórmulas não são fornecidas. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Execute cálculos envolvendo o perímetro e a área de um retângulo, triângulo, paralelogramo e trapézio. | Exceto para a área de um triângulo, as fórmulas não são dadas. |
Fonte: Programa Cambridge International
O perímetro 周长 é a distância total ao redor de uma figura. A área é a quantidade de espaço plano dentro dela. Aqui $b$ é a base 底 e $h$ é a altura 高 perpendicular.
| Figura | Área |
|---|---|
| retângulo 矩形 | $\text{length} \times \text{width}$ |
| triângulo 三角形 | $\tfrac{1}{2} \times b \times h$ |
| paralelogramo 平行四边形 | $b \times h$ |
| trapézio 梯形 | $\tfrac{1}{2}(a + b)h$, onde $a$ e $b$ são os dois lados paralelos |
Exemplo resolvido. Um trapézio tem lados paralelos $6\text{ cm}$ e $10\text{ cm}$, e altura $4\text{ cm}$. Encontre sua área.
$$\tfrac{1}{2}(6 + 10) \times 4 = \tfrac{1}{2} \times 16 \times 4 = 32\text{ cm}^{2}.$$
Explorar
Laboratório de escalonamento de área
área = lado^2
Alterar o comprimento do lado e ver por que a área cresce quadraticamente.
Vocabulário
Treinar
| Inglês | Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| length/leŋθ/ | 长度 | cháng dù |
| area/ˈeərɪə/ | 面积 | miàn jī |
| base/beɪs/ | 底 | dǐ |
5.3
Círculos
Programa
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Realize cálculos envolvendo a circunferência e a área de uma circunferência. | As respostas podem ser solicitadas em termos de $\pi$. |
| 2 Realize cálculos envolvendo comprimento de arco e área de setor como frações da circunferência e área de uma circunferência, onde o ângulo do setor é um fator de $360^\circ$. | As fórmulas são fornecidas na Lista de fórmulas. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Execute cálculos envolvendo a circunferência e a área de um círculo. | As respostas podem ser pedidas em termos de $\pi$. As fórmulas estão dadas na Lista de fórmulas. |
| 2 Execute cálculos envolvendo comprimento de arco e área de setor como frações da circunferência e área de um círculo. | Inclui setores menores e maiores. |
Fonte: Programa Cambridge International
Para um círculo 圆 com raio 半径 $r$ (e diâmetro 直径 $d = 2r$):
$$\text{circumference} = 2\pi r = \pi d, \qquad \text{area} = \pi r^{2}.$$
A circunferência 圆周 é a distância ao redor do círculo.
Exemplo resolvido. Um círculo tem raio $7\text{ cm}$. Encontre sua circunferência e área (deixe $\pi$ na resposta).
$$\text{circumference} = 2\pi \times 7 = 14\pi\text{ cm}, \qquad \text{area} = \pi \times 7^{2} = 49\pi\text{ cm}^{2}.$$
Vocabulário
Treinar
| Inglês | Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| circle/ˈsɜːkl/ | 圆 | yuán |
| radius/ˈreɪdɪəs/ | 半径 | bàn jìng |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | 直径 | zhí jìng |
| circumference/sɜːˈkʌmfrəns/ | 圆周 | yuán zhōu |
5.3
Arcos e setores
Programa
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Realize cálculos envolvendo a circunferência e a área de uma circunferência. | As respostas podem ser solicitadas em termos de $\pi$. |
| 2 Realize cálculos envolvendo comprimento de arco e área de setor como frações da circunferência e área de uma circunferência, onde o ângulo do setor é um fator de $360^\circ$. | As fórmulas são fornecidas na Lista de fórmulas. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Execute cálculos envolvendo a circunferência e a área de um círculo. | As respostas podem ser pedidas em termos de $\pi$. As fórmulas estão dadas na Lista de fórmulas. |
| 2 Execute cálculos envolvendo comprimento de arco e área de setor como frações da circunferência e área de um círculo. | Inclui setores menores e maiores. |
Fonte: Programa Cambridge International
Um arco 弧 é parte da circunferência. Um setor 扇形 é uma "fatia de pizza" entre dois raios. Se o ângulo do setor for $\theta$, o arco e o setor representam essa fração $\dfrac{\theta}{360}$ do círculo inteiro:
$$\text{arc length} = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r, \qquad \text{sector area} = \frac{\theta}{360} \times \pi r^{2}.$$
Uma fatia pequena é um setor menor 小扇形; a parte restante grande é um setor maior 大扇形.
Exemplo resolvido. Encontre o comprimento do arco 弧长 e a área de um setor com ângulo $90^{\circ}$ e raio $8\text{ cm}$.
A fração é $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$, então
$$\text{arc} = \tfrac{1}{4} \times 2\pi \times 8 = 4\pi\text{ cm}, \qquad \text{area} = \tfrac{1}{4} \times \pi \times 8^{2} = 16\pi\text{ cm}^{2}.$$
Explorar
Arcos & setores
s = rθ · A = ½r²θ
Um ângulo maior ou raio maior significa um arco mais longo e uma área de setor maior.
Explorar
Comprimento de arco e área do setor
Altere o ângulo e o raio e leia o comprimento de arco e a área do setor — uma fração do círculo inteiro.
Vocabulário
Treinar
| Inglês | Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| arc/ɑːk/ | 弧 | hú |
| sector/ˈsektə/ | 扇形 | shàn xíng |
| minor sector/ˈmaɪnə ˈsektə/ | 小扇形 | xiǎo shàn xíng |
| major sector/ˈmeɪdʒə ˈsektə/ | 大扇形 | dà shàn xíng |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | 弧长 | hú zhǎng |
5.4
Área superficial e volume de sólidos
Programa
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Realize cálculos e resolva problemas envolvendo a área de superfície e o volume de um: • paralelepípedo • prisma • cilindro • esfera • pirâmide • cone. | As respostas podem ser solicitadas em termos de $\pi$. As seguintes fórmulas são fornecidas na Lista de fórmulas: • área lateral de um cilindro • área lateral de um cone • área de superfície de uma esfera • volume de um prisma • volume de uma pirâmide • volume de um cilindro • volume de um cone • volume de uma esfera. O termo prisma refere-se a qualquer sólido com seção transversal uniforme, ex. um setor cilíndrico. |
Fonte: Programa Cambridge International
A área superficial 表面积 é a área total de todas as faces externas. O volume é o espaço interno. Para estes sólidos ($r$ = raio, $h$ = altura):
| Sólido | Volume | Área superficial |
|---|---|---|
| paralelepípedo retângulo 长方体 | $\text{length} \times \text{width} \times \text{height}$ | some as seis faces |
| prisma 棱柱 | (área da seção transversal 横截面) $\times$ comprimento | — |
| cilindro 圆柱 | $\pi r^{2} h$ | $2\pi r h$ (área lateral 侧面积) $+\, 2\pi r^{2}$ |
| pirâmide 棱锥 | $\tfrac{1}{3} \times \text{base area} \times h$ | — |
| cone 圆锥 | $\tfrac{1}{3}\pi r^{2} h$ | $\pi r l$ (curvo) $+\, \pi r^{2}$, onde $l$ é a altura oblíqua 斜高 |
| esfera 球 | $\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$ | $4\pi r^{2}$ |
Exemplo resolvido. Um cilindro tem raio $5\text{ cm}$ e altura $10\text{ cm}$. Encontre seu volume e área superficial total (em termos de $\pi$).
$$\text{volume} = \pi \times 5^{2} \times 10 = 250\pi\text{ cm}^{3}.$$
$$\text{surface area} = 2\pi(5)(10) + 2\pi(5)^{2} = 100\pi + 50\pi = 150\pi\text{ cm}^{2}.$$
Explorar
Laboratório de escalonamento de volume
a área de superfície cresce com a escala^2
Alterar a escala de comprimento e ver o volume crescer mais rápido que a área de superfície.
Vocabulário
Treinar
| Inglês | Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| height/haɪt/ | 高 | gāo |
| rectangle/ˈrektæŋɡl/ | 矩形 | jǔ xíng |
| triangle/ˈtraɪæŋɡl/ | 三角形 | sān jiǎo xíng |
| parallelogram/ˌpærəˈleləɡræm/ | 平行四边形 | píng xíng sì biān xíng |
| trapezium/trəˈpiːzɪəm/ | 梯形 | tī xíng |
| surface area/ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | 表面积 | biǎo miàn jī |
| cuboid/ˈkjuːbɔɪd/ | 长方体 | cháng fāng tǐ |
| prism/ˈprɪzəm/ | 棱柱 | léng zhù |
| cross-section/krɒs ˈsekʃn/ | 横截面 | héng jié miàn |
| cylinder/ˈsɪlɪndə/ | 圆柱 | yuán zhù |
| curved surface area/kɜːvd ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | 侧面积 | cè miàn jī |
| pyramid/ˈpɪrəmɪd/ | 棱锥 | léng zhuī |
| cone/kəʊn/ | 圆锥 | yuán zhuī |
| slant height/slænt haɪt/ | 斜高 | xié gāo |
| sphere/sfɪə/ | 球 | qiú |
5.5
Figuras compostas e partes de figuras
Programa
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Realize cálculos e resolva problemas envolvendo perímetros e áreas de: • figuras compostas • partes de figuras. | As respostas podem ser solicitadas em termos de $\pi$. |
| 2 Realize cálculos e resolva problemas envolvendo áreas de superfície e volumes de: • sólidos compostos • partes de sólidos. | Ex. encontre o volume de metade de uma esfera. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Realize cálculos e resolva problemas envolvendo perímetros e áreas de: • figuras compostas • partes de figuras. | As respostas podem ser solicitadas em termos de $\pi$. |
| 2 Execute cálculos e resolva problemas envolvendo áreas superficiais e volumes de: • sólidos compostos • partes de sólidos. | p.ex. encontre a área superficial e o volume de um tronco. |
Fonte: Programa Cambridge International
Uma figura composta 组合图形 é feita unindo ou cortando formas simples. Divida-a em partes que você conhece, depois some ou subtraia.
Para "partes" de um círculo ou sólido, pegue a fração correta. Por exemplo, uma hemisfério 半球 (metade de uma esfera) tem volume
$$\tfrac{1}{2} \times \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{2}{3}\pi r^{3}.$$
Um frusto 平截头体 é um cone ou pirâmide com seu topo cortado; encontre seu volume subtraindo o pequeno cone superior do cone inteiro.
Exemplo resolvido. Encontre a área de uma figura formada por um retângulo $8\text{ cm} \times 5\text{ cm}$ com um semicírculo de diâmetro $5\text{ cm}$ em uma extremidade.
O semicírculo tem raio $2.5\text{ cm}$:
$$\text{area} = 8 \times 5 + \tfrac{1}{2}\pi (2.5)^{2} = 40 + 3.125\pi \approx 49.8\text{ cm}^{2}.$$
Explorar
Rota de forma composta
Dividir uma forma composta em partes simples, depois recombinar.
Vocabulário
Treinar
| Inglês | Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| compound shape/ˈkɒmpaʊnd ʃeɪp/ | 组合图形 | zǔ hé tú xíng |
| hemisphere/ˈhemɪsfɪə/ | 半球 | bàn qiú |
| frustum/ˈfrʌstəm/ | 平截头体 | píng jié tóu tǐ |
5.5
Dicas de prova
- Combine a fórmula à forma: a área de um círculo é $\pi r^2$, a circunferência é $\pi d$ (ou $2\pi r$) — não as misture.
- Mantenha as unidades consistentes, e lembre-se que unidades de área são elevadas ao quadrado e unidades de volume ao cubo (ex. $1\text{ m}^2 = 10\,000\text{ cm}^2$).
- Para um arco ou setor, pegue a fração $\frac{\theta}{360}$ da circunferência ou área total.
- A área superficial é a soma de todas as faces — desenhe a planificação se estiver inseguro. Deixe a resposta em termos de $\pi$ apenas se a questão permitir.
Aulas interativas sobre este tópico
Passe por ele passo a passo, com exercícios de verificação instantânea.