Transformações e vetores

Matemática do IGCSE · Tópico 7

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Este guia cobre o Tópico 7, Transformações e vetores. As partes marcadas como (Ampliado) são testadas apenas nas provas Ampliadas; tudo o mais é para ambos os níveis. Vetores como um todo são do nível Ampliado.

7.1

Transformações

Programa

Conteúdo do assunto	Notas e exemplos
Reconheça, descreva e desenhe as seguintes transformações:	As questões não envolvem combinações de transformações. Uma régua deve ser usada para todas as bordas retas.
1 Reflexão de uma figura em uma linha vertical ou horizontal.
2 Rotação de uma figura em torno da origem, vértices ou pontos médios das arestas da figura, em múltiplos de 90°.
3 Ampliação de uma figura a partir de um centro por um fator de escala.	Apenas fatores de escala positivos e fracionários.
4 Translação de uma figura por um vetor $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.

Transformações	Notas e exemplos
Reconhecer, descrever e desenhar as seguintes transformações:	Questões podem envolver combinações de transformações. Uma régua deve ser usada para todas as bordas retas.
1 Reflexão de uma figura em uma linha reta.
2 Rotação de uma figura em torno de um centro em múltiplos de 90°.
3 Ampliação (homotetia) de uma figura a partir de um centro por um fator de escala.	Podem ser usados fatores de escala positivos, fracionários e negativos.
4 Translação de uma figura por um vetor $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.

Fonte: Programa Cambridge International

Transladar, refletir, rotacionar, ampliar

Padrões de azulejos geométricos islâmicos — Azulejos geométricos são construídos refletindo, rotacionando e transladando formas.

Uma transformação 变换 altera a posição ou o tamanho de uma forma. O original é o objeto e o resultado é a imagem. Existem quatro tipos. Quando solicitado a descrever uma, você deve nomear o tipo e fornecer todos os detalhes abaixo.

Reflexão

Uma reflexão 反射 inverte a forma sobre uma linha espelho 对称轴. Cada ponto da imagem está à mesma distância da linha que o ponto do objeto, mas do outro lado.

Para descrevê-la, forneça a equação da linha espelho (para Core, uma linha horizontal ou vertical; Extended permite qualquer linha, como $y = x$).

Exemplo resolvido. Reflita o ponto $(3, 2)$ no eixo $y$. Apenas o sinal de $x$ muda: a imagem é $(-3, 2)$. (No eixo $x$ seria $(3, -2)$.)

Um triângulo e sua imagem espelhada em lados opostos do eixo y, com um ponto e sua imagem à mesma distância da linha — Uma reflexão inverte a forma sobre uma linha espelho (aqui o eixo $y$); cada ponto e sua imagem estão à mesma distância da linha.

Rotação

Uma rotação 旋转 gira a forma em torno de um ponto fixo, o centro 中心 de rotação, por múltiplos de $90^{\circ}$.

Para descrevê-la, forneça o centro, o ângulo e a direção (horário ou anti-horário).

Exemplo resolvido. Rotacione $(3, 1)$ em $90^{\circ}$ anti-horário em relação à origem. A regra é $(x, y) \to (-y, x)$, então a imagem é $(-1, 3)$.

Um triângulo rotacionado 90 graus anti-horário em relação à origem, com uma seta curva mostrando a rotação e o centro marcado — Uma rotação gira a forma em torno de um centro fixo — aqui $90^\circ$ anti-horário em relação à origem.

Ampliação

Uma ampliação 放大 altera o tamanho por um fator de escala 比例因子 $k$, medido a partir de um centro fixo. Cada distância do centro é multiplicada por $k$.

Para descrevê-la, forneça o centro e o fator de escala. Um fator de escala fracionário (entre 0 e 1) torna a forma menor. Para Extended, $k$ também pode ser negativo (a imagem aparece do outro lado do centro).

Exemplo resolvido. Amplie $(1, 2)$ da origem pelo fator de escala $2$. Multiplique ambas as coordenadas: a imagem é $(2, 4)$.

Um triângulo pequeno e uma imagem maior com o dobro do tamanho, com raios partindo do centro de ampliação através dos vértices correspondentes — Uma ampliação multiplica todas as distâncias do centro pelo fator de escala (aqui $2$).

Translação

Uma translação 平移 desliza a forma sem girar, por um vetor 向量 escrito como um vetor coluna 列向量 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ ($x$ para a direita, $y$ para cima).

Exemplo resolvido. Translade $(5, 3)$ por $\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$: mova $2$ para a esquerda e $4$ para cima para obter $(3, 7)$.

Um triângulo e sua imagem transladada, unidos por três setas paralelas iguais representando o vetor coluna — Uma translação desliza cada ponto pelo mesmo vetor coluna, sem girar.

(Extended: uma questão pode pedir para combinar duas transformações e descrever a única transformação que tem o mesmo efeito.)

Explorar

Transformar uma forma

Translade, reflita, rode ou aumente a forma e observe onde ela termina.

Vocabulário Treinar

Inglês	Chinês	Pinyin
transformation/trænsfɔːˈmeɪʃn/	变换	biàn huàn
reflection/rɪˈflekʃn/	反射	fǎn shè
mirror line/ˈmɪrə laɪn/	对称轴	duì chèn zhóu
rotation/rəʊˈteɪʃn/	旋转	xuán zhuǎn
centre/ˈsentə/	中心	zhōng xīn
enlargement/enˈlɑːdʒmənt/	放大	fàng dà
scale factor/skeɪl ˈfæktə/	比例因子	bǐ lì yīn zi
translation/trænˈsleɪʃn/	平移	píng yí

7.2

Vetores em duas dimensões (Extended)

Programa

Vetores em duas dimensões	Notas e exemplos
1 Descrever uma translação usando um vetor representado por $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AB}$ ou $\mathbf{a}$.	Vetores serão impressos como $\overrightarrow{AB}$ ou $\mathbf{a}$.
2 Somar e subtrair vetores.
3 Multiplicar um vetor por um escalar.

Fonte: Programa Cambridge International

Um barco de vela com uma grande velame — Forças como o vento são vetores, com magnitude e direção.

Um vetor tem tanto magnitude quanto direção. Pode ser escrito como um vetor coluna, como $\overrightarrow{AB}$ (de $A$ para $B$), ou em negrito como $\mathbf{a}$.

Some ou subtraia trabalhando nos números de cima e de baixo separadamente.
Multiplique por um escalar 标量 (um número comum) multiplicando ambos os números.

Exemplo resolvido. Se $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ e $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$, então

$$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}, \qquad 3\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \end{pmatrix}.$$

Dois vetores a e b desenhados ponta-a-cauda, com o resultante a+b indo do início de a até a ponta de b — Somando pela lei do triângulo: desenhe $\mathbf{b}$ a partir da ponta de $\mathbf{a}$, e $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ vai do início ao fim.

Explorar

Somar vetores

Arraste dois vetores e some-os ponta a cauda para obter o resultante.

Vocabulário Treinar

Inglês	Chinês	Pinyin
vector/ˈvektə/	向量	xiàng liàng
column vector/ˈkɒlʌm ˈvektə/	列向量	liè xiàng liàng
scalar/ˈskeɪlə/	标量	biāo liàng

7.3

Magnitude de um vetor (Extended)

Programa

Módulo de um vetor	Notas e exemplos
Calcular a magnitude de um vetor $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ como $\sqrt{x^2 + y^2}$.	As magnitudes dos vetores serão denotadas por sinais de módulo, p.ex. • $\|\mathbf{a}\|$ é a magnitude de $\mathbf{a}$ • $\|\overrightarrow{AB}\|$ é a magnitude de $\overrightarrow{AB}$.

Fonte: Programa Cambridge International

A magnitude 模 (comprimento) de um vetor é encontrada usando Pitágoras. Para $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$,

$$\left| \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}.$$

Exemplo resolvido. A magnitude de $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ é $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$.

Um vetor desenhado a partir da origem com sua parte horizontal 3 e parte vertical 4 formando um triângulo retângulo cuja hipotenusa tem comprimento 5 — A magnitude de $\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$ vem de Pitágoras aplicada às suas partes horizontal e vertical.

Vocabulário Treinar

Inglês	Chinês	Pinyin
magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/	模	mó
directed line segment/daɪˈrektɪd laɪn ˈseɡmənt/	有向线段	yǒu xiàng xiàn duàn
position vector/pəˈzɪʃn ˈvektə/	位置向量	wèi zhì xiàng liàng
parallel/ˈpærəlel/	平行	píng xíng
collinear/ˈkɒlɪnɪə/	共线	gòng xiàn

7.4

Geometria vetorial (Extended)

Programa

Geometria vetorial	Notas e exemplos
1 Representar vetores por segmentos de reta orientados.
2 Usar vetores posição.
3 Usar a soma e diferença de dois ou mais vetores para expressar vetores dados em termos de dois vetores coplanares.
4 Usar vetores para raciocinar e resolver problemas geométricos.	Exemplos incluem: • mostrar que vetores são paralelos • mostrar que 3 pontos são colineares • resolver problemas vetoriais envolvendo razão e semelhança.

Fonte: Programa Cambridge International

Um vetor pode ser desenhado como um segmento de reta direcionado 有向线段 (uma seta). O vetor posição 位置向量 de um ponto é o vetor da origem $O$ até esse ponto.

Uma ideia chave: o vetor de $A$ para $B$ é

$$\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a},$$

onde $\mathbf{a}$ e $\mathbf{b}$ são os vetores posição de $A$ e $B$.

Vetores posição a de O para A e b de O para B, com o vetor de A para B rotulado como b menos a — Para ir de $A$ para $B$, volte ao longo de $\mathbf{a}$ até $O$ e depois vá adiante ao longo de $\mathbf{b}$: logo $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$.

Dois vetores são paralelos 平行 se um for um múltiplo escalar do outro (por exemplo $\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{CD}$). Três pontos são colineares 共线 (em uma linha reta) se os vetores entre eles forem paralelos e compartilharem um ponto. Você pode expressar qualquer vetor em termos de dois vetores coplanares 共面.

Exemplo resolvido. $O$ é a origem, com $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ e $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$. $M$ é o ponto médio de $AB$. Encontre $\overrightarrow{OM}$ em termos de $\mathbf{a}$ e $\mathbf{b}$.

$$\overrightarrow{OM} = \mathbf{a} + \tfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \mathbf{a} + \tfrac{1}{2}(\mathbf{b} - \mathbf{a}) = \tfrac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b}).$$

Explorar

Geometria vetorial

resultante = a + b

Combine vetores para chegar a um ponto — o resultante é o caminho direto.

Vocabulário Treinar

Inglês	Chinês	Pinyin
coplanar/ˌkəʊˈpleɪnə/	共面	gòng miàn

7.4

Dicas de prova

Descreva completamente cada transformação: uma translação (um vetor), uma reflexão (a linha espelho), uma rotação (centro, ângulo e direção), uma ampliação (centro e fator de escala).
Um fator de escala negativo inverte a imagem através do centro; um fracionário (entre 0 e 1) a torna menor.
Some vetores ponta-a-cauda — some os números de cima, depois os de baixo. A magnitude de um vetor vem de Pitágoras aplicada aos seus componentes.
$\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ (final menos inicial). Dois vetores são paralelos se um for um múltiplo escalar do outro.

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Passe por ele passo a passo, com exercícios de verificação instantânea.

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