Matemática do IGCSE · Topic 1 · Tópico 1
30:48
Número
Dois ônibus saem do mesmo ponto às nove horas. Um passa a cada doze minutos, o outro a cada dezoito. Quando eles sairão juntos novamente? Não aos trinta…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Narração em inglês · Legendas em inglês + 中文 gravadas
This handout covers Topic 1, Number. Cambridge Maths has two levels: Core and Extended. Parts marked (Extended) are only tested on the Extended papers; everything else is for both levels.
Este material cobre Tópico 1, Número. Cambridge Maths tem dois níveis: Core e Extended. As partes marcadas (Extended) são testadas apenas nos papers Extended; tudo o resto é para ambos os níveis.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Identify and use: • natural numbers • integers (positive, zero and negative) • prime numbers • square numbers • cube numbers • common factors • common multiples • rational and irrational numbers • reciprocals. | Example tasks include: • convert between numbers and words, e.g. six billion is 6000000000 10007 is ten thousand and seven • express 72 as a product of its prime factors • find the highest common factor (HCF) of two numbers • find the lowest common multiple (LCM) of two numbers. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Identifique e use: • números naturais • inteiros (positivos, zero e negativos) • números primos • quadrados perfeitos • cubos perfeitos • fatores comuns • múltiplos comuns • números racionais e irracionais • recíprocos. | As tarefas de exemplo incluem: • converter entre números e palavras, ex.: six billion is 6000000000 10007 is ten thousand and seven • expressar 72 como um produto de seus fatores primos • encontrar o maior divisor comum (GCD) de dois números • encontrar o menor múltiplo comum (MDC) de dois números. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
You must know the words for the different kinds of number. Examiners give marks for using them correctly.
Every integer above $1$ is prime, or can be written as a product 乘积 of prime numbers. To write a number as a product of its prime factors 质因数, keep dividing by the smallest prime that fits.
Worked example. Write $72$ as a product of its prime factors.
The highest common factor (HCF) 最大公因数 of two numbers is the largest factor they share. The lowest common multiple (LCM) 最小公倍数 is the smallest multiple they share. Prime factors give a quick method.
Worked example. Find the HCF and LCM of $72$ and $120$.
First write each as a product of primes:
Você deve saber as palavras para os diferentes tipos de número. Os examinadores dão pontos por usá-los corretamente.
*Cada conjunto está dentro do próximo: todo número natural é inteiro, todo inteiro é racional, todo racional é real. Números irracionais são reais, mas não racionais.
Todo inteiro acima de $1$ é primo ou pode ser escrito como um product 乘积 de números primos. Para escrever um número como um produto de seus prime factors 质因数, continue dividindo pelo menor primo que couber.
Exemplo resolvido. Escreva $72$ como um produto de seus fatores primos.
O highest common factor (HCF) 最大公因数 de dois números é o maior fator que eles compartilham. O lowest common multiple (LCM) 最小公倍数 é o menor múltiplo que eles compartilham. Fatores primos fornecem um método rápido.
Exemplo resolvido. Encontre o HCF e LCM de $72$ e $120$.
Primeiro, escreva cada um como um produto de primos:
Todo número de contagem também é um inteiro; todo inteiro é racional — observe como os conjuntos numéricos se aninham e como a união e a interseção os combinam.
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| natural number/ˈnætʃərəl ˈnʌmbə/ | 自然数 | zì rán shù |
| integer/ˈɪntɪdʒə/ | 整数 | zhěng shù |
| factor/ˈfæktə/ | 因数 | yīn shù |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | 余数 | yú shù |
| multiple/ˈmʌltɪpl/ | 倍数 | bèi shù |
| common factor/ˈkɒmən ˈfæktə/ | 公因数 | gōng yīn shù |
| common multiple/ˈkɒmən ˈmʌltɪpl/ | 公倍数 | gōng bèi shù |
| prime number/praɪm ˈnʌmbə/ | 质数 | zhì shù |
| square number/skweə ˈnʌmbə/ | 平方数 | píng fāng shù |
| cube number/kjuːb ˈnʌmbə/ | 立方数 | lì fāng shù |
| rational number/ˈræʃənl ˈnʌmbə/ | 有理数 | yǒu lǐ shù |
| fraction/ˈfrækʃn/ | 分数 | fēn shù |
| irrational number/ɪˈræʃənl ˈnʌmbə/ | 无理数 | wú lǐ shù |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | 倒数 | dào shǔ |
| product/ˈprɒdʌkt/ | 乘积 | chéng jī |
| prime factor/praɪm ˈfæktə/ | 质因数 | zhì yīn shù |
| highest common factor/ˈhaɪɪst ˈkɒmən ˈfæktə/ | 最大公因数 | zuì dà gōng yīn shù |
| lowest common multiple/ˈləʊɪst ˈkɒmən ˈmʌltɪpl/ | 最小公倍数 | zuì xiǎo gōng bèi shù |
| ratio/ˈreɪʃɪəʊ/ | 比 | bǐ |
| proportion/prəˈpɔːʃn/ | 比例 | bǐ lì |
| scale/skeɪl/ | 比例尺 | bǐ lì chǐ |
| rate/reɪt/ | 比率 | bǐ lǜ |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Understand and use set language, notation and Venn diagrams to describe sets. | Venn diagrams are limited to two sets. The following set notation will be used: • $n(A)$ Number of elements in set $A$ • $A'$ Complement of set $A$ • $\mathscr{E}$ Universal set • $A \cup B$ Union of $A$ and $B$ • $A \cap B$ Intersection of $A$ and $B$. Example definition of sets: $A = \{x : x \text{ is a natural number}\}$ $B = \{a, b, c, \dots\}$ $C = \{x : a \leqslant x \leqslant b\}$. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Compreenda e use linguagem, notação e diagramas de Venn para descrever conjuntos. | Os diagramas de Venn são limitados a dois conjuntos. A seguinte notação de conjuntos será usada: • $n(A)$ Número de elementos no conjunto $A$ • $A'$ Complemento do conjunto $A$ • $\mathscr{E}$ Conjunto universal • $A \cup B$ União de $A$ e $B$ • $A \cap B$ Interseção de $A$ e $B$. Exemplo de definição de conjuntos: $A = \{x : x \text{ is a natural number}\}$ $B = \{a, b, c, \dots\}$ $C = \{x : a \leqslant x \leqslant b\}$. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Understand and use set language, notation and Venn diagrams to describe sets and represent relationships between sets. | Venn diagrams are limited to two or three sets. The following set notation will be used: • $n(A)$ Number of elements in set $A$ • $\in$ "... is an element of ..." • $\notin$ "... is not an element of ..." • $A'$ Complement of set $A$ • $\varnothing$ The empty set • $\mathscr{E}$ Universal set • $A \subseteq B$ $A$ is a subset of $B$ • $A \nsubseteq B$ $A$ is not a subset of $B$ • $A \cup B$ Union of $A$ and $B$ • $A \cap B$ Intersection of $A$ and $B$. Example definition of sets: $A = \{x : x \text{ is a natural number}\}$ $B = \{(x, y) : y = mx + c\}$ $C = \{x : a \leqslant x \leqslant b\}$ $D = \{a, b, c, \dots\}$. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Compreender e utilizar linguagem, notação e diagramas de Venn de conjuntos para descrever conjuntos e representar relações entre conjuntos. | Diagramas de Venn são limitados a dois ou três conjuntos. A seguinte notação de conjuntos será utilizada: • $n(A)$ Número de elementos no conjunto $A$ • $\in$ "... é um elemento de ..." • $\notin$ "... não é um elemento de ..." • $A'$ Complemento do conjunto $A$ • $\varnothing$ O conjunto vazio • $\mathscr{E}$ Conjunto universal • $A \subseteq B$ $A$ é subconjunto de $B$ • $A \nsubseteq B$ $A$ não é subconjunto de $B$ • $A \cup B$ União de $A$ e $B$ • $A \cap B$ Interseção de $A$ e $B$. Exemplo de definição de conjuntos: $A = \{x : x \text{ is a natural number}\}$ $B = \{(x, y) : y = mx + c\}$ $C = \{x : a \leqslant x \leqslant b\}$ $D = \{a, b, c, \dots\}$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
A set 集合 is a collection of objects. Each object in the set is an element 元素 of the set. You should know this notation:
| Symbol | Meaning |
|---|---|
| $n(A)$ | the number of elements in set $A$ |
| $x \in A$ | $x$ is an element of $A$ |
| $x \notin A$ | $x$ is not an element of $A$ |
| $\mathscr{E}$ | the universal set 全集 — everything being talked about |
| $A'$ | the complement 补集 of $A$ — everything not in $A$ |
| $\varnothing$ | the empty set 空集 — a set with no elements |
| $A \subseteq B$ | $A$ is a subset 子集 of $B$ — every element of $A$ is also in $B$ |
| $A \cup B$ | the union 并集 — elements in $A$ or $B$ or both |
| $A \cap B$ | the intersection 交集 — elements in both $A$ and $B$ |
A Venn diagram 维恩图 draws each set as a circle inside a rectangle (the universal set). Core uses two sets; Extended may use three.
Worked example. $\mathscr{E} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, $A = \{\text{even numbers}\}$, $B = \{\text{multiples of } 3\}$.
You may also see a set written as a rule, e.g. $C = \{x : 1 \leqslant x \leqslant 5\}$ means "all values $x$ such that $1 \leqslant x \leqslant 5$".
Um set 集合 é uma coleção de objetos. Cada objeto no conjunto é um element 元素 do conjunto. Você deve conhecer esta notação:
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| $n(A)$ | o número de elementos no conjunto $A$ |
| $x \in A$ | $x$ é um elemento de $A$ |
| $x \notin A$ | $x$ não é um elemento de $A$ |
| $\mathscr{E}$ | o universal set 全集 — tudo o que está sendo discutido |
| $A'$ | o complement 补集 de $A$ — tudo o que não está em $A$ |
| $\varnothing$ | o empty set 空集 — um conjunto sem elementos |
| $A \subseteq B$ | $A$ é um subset 子集 de $B$ — todo elemento de $A$ também está em $B$ |
| $A \cup B$ | a union 并集 — elementos em $A$ ou $B$ ou ambos |
| $A \cap B$ | a intersection 交集 — elementos em ambos $A$ e $B$ |
Um Venn diagram 维恩图 desenha cada conjunto como um círculo dentro de um retângulo (o universal set). Core usa dois conjuntos; Extended pode usar três.
Exemplo resolvido. $\mathscr{E} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, $A = \{\text{even numbers}\}$, $B = \{\text{multiples of } 3\}$.
Você também pode ver um conjunto escrito como uma regra, ex. $C = \{x : 1 \leqslant x \leqslant 5\}$ significa "todos os valores $x$ tais que $1 \leqslant x \leqslant 5$".
Toque nas regiões para ver união, interseção e complemento — a linguagem dos conjuntos.
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| set/set/ | 集合 | jí hé |
| element/ˈelɪmənt/ | 元素 | yuán sù |
| universal set/ˌjuːnɪˈvɜːsl set/ | 全集 | quán jí |
| complement/ˈkɒmplɪmənt/ | 补集 | bǔ jí |
| empty set/ˈempti set/ | 空集 | kōng jí |
| subset/ˈsʌbset/ | 子集 | zi jí |
| union/ˈjuːnɪən/ | 并集 | bìng jí |
| intersection/ˌɪntəˈsekʃn/ | 交集 | jiāo jí |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | 维恩图 | wéi ēn tú |
| power/ˈpaʊə/ | 幂 | mì |
| index/ˈɪndeks/ | 指数 | zhǐ shù |
| square root/skweə ruːt/ | 平方根 | píng fāng gēn |
| cube root/kjuːb ruːt/ | 立方根 | lì fāng gēn |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate with the following: • squares • square roots • cubes • cube roots • other powers and roots of numbers. | Includes recall of squares and their corresponding roots from 1 to 15, and recall of cubes and their corresponding roots of 1, 2, 3, 4, 5 and 10, e.g.: • Write down the value of $\sqrt{169}$ . • Work out $5^2 \times \sqrt[3]{8}$ . |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Calcule com os seguintes: • quadrados • raízes quadradas • cubos • raízes cúbicas • outras potências e raízes de números. | Inclui recordação de quadrados e suas correspondentes raízes de 1 a 15, e recordação de cubos e suas correspondentes raízes de 1, 2, 3, 4, 5 e 10, ex.: • Escreva o valor de $\sqrt{169}$ . • Calcule $5^2 \times \sqrt[3]{8}$ . |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate with the following: • squares • square roots • cubes • cube roots • other powers and roots of numbers. | Includes recall of squares and their corresponding roots from 1 to 15, and recall of cubes and their corresponding roots of 1, 2, 3, 4, 5 and 10, e.g.: • Write down the value of $\sqrt{169}$. • Work out $5^2 \times \sqrt[3]{8}$. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Calcular com os seguintes: • quadrados • raízes quadradas • cubos • raízes cúbicas • outras potências e raízes de números. | Inclui memorização de quadrados e suas correspondentes raízes de 1 a 15, e memorização de cubos e suas correspondentes raízes de 1, 2, 3, 4, 5 e 10, p.ex.: • Escrever o valor de $\sqrt{169}$. • Calcular $5^2 \times \sqrt[3]{8}$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
You should be able to recall the squares from $1^2$ to $15^2$ (and their roots), and the cubes of $1, 2, 3, 4, 5$ and $10$.
Worked example. Work out $5^{2} \times \sqrt[3]{8}$.
Você deve ser capaz de recordar os quadrados de $1^2$ a $15^2$ (e suas raízes), e os cubos de $1, 2, 3, 4, 5$ e $10$.
Exemplo resolvido. Calcule $5^{2} \times \sqrt[3]{8}$.
square = x^2
Altere a base e observe as potências crescerem enquanto as raízes desfazem as potências.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand and use indices (positive, zero and negative integers). | e.g. find the value of $7^{-2}$. |
| 2 Understand and use the rules of indices. | e.g. find the value of $2^{-3} \times 2^4$, $(2^3)^2$, $2^3 \div 2^4$. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Compreenda e use índices (inteiros positivos, zero e negativos). | ex. encontre o valor de $7^{-2}$. |
| 2 Compreenda e use as regras dos índices. | ex. encontre o valor de $2^{-3} \times 2^4$, $(2^3)^2$, $2^3 \div 2^4$. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand and use indices (positive, zero, negative, and fractional). | Examples include: • $6^{\frac{1}{2}} = \sqrt{6}$ • $16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16}$ • find the value of $7^{-2}$, $81^{\frac{1}{2}}$, $8^{-\frac{2}{3}}$. |
| 2 Understand and use the rules of indices. | e.g. find the value of $2^{-3} \times 2^4$, $(2^3)^2$, $2^3 \div 2^4$. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Compreender e utilizar índices (positivos, zero, negativos e fracionários). | Exemplos incluem: • $6^{\frac{1}{2}} = \sqrt{6}$ • $16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16}$ • encontrar o valor de $7^{-2}$, $81^{\frac{1}{2}}$, $8^{-\frac{2}{3}}$. |
| 2 Compreenda e use as regras dos índices. | ex. encontre o valor de $2^{-3} \times 2^4$, $(2^3)^2$, $2^3 \div 2^4$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
When you multiply or divide powers of the same base 底数, use these rules:
Some special powers:
(Fractional powers like $a^{\frac{m}{n}}$ are Extended.)
Worked examples.
Ao multiplicar ou dividir potências da mesma base 底数, use estas regras:
Algumas potências especiais:
(Potências fracionárias como $a^{\frac{m}{n}}$ são Estendidas.)
Exemplos resolvidos.
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| base/beɪs/ | 底数 | dǐ shù |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use the standard form $A \times 10^n$ where $n$ is a positive or negative integer and $1 \leqslant A < 10$. | |
| 2 Convert numbers into and out of standard form. | |
| 3 Calculate with values in standard form. | Core candidates are expected to calculate with standard form only on Paper 3. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Use a notação científica $A \times 10^n$ onde $n$ é um inteiro positivo ou negativo e $1 \leqslant A < 10$. | |
| 2 Converta números para e da notação científica. | |
| 3 Calcule com valores em notação científica. | Candidatos básicos são esperados para calcular com notação científica apenas no Paper 3. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use the standard form $A \times 10^n$ where $n$ is a positive or negative integer and $1 \leqslant A < 10$. | |
| 2 Convert numbers into and out of standard form. | |
| 3 Calculate with values in standard form. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Use a notação científica $A \times 10^n$ onde $n$ é um inteiro positivo ou negativo e $1 \leqslant A < 10$. | |
| 2 Converta números para e da notação científica. | |
| 3 Calcular com valores em notação científica. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
Standard form 科学记数法 writes a number as $A \times 10^{n}$, where $1 \leqslant A < 10$ and $n$ is an integer. It is used for very large or very small numbers.
To convert, count how many places the decimal point moves:
Worked example. Work out $(3 \times 10^{5}) \times (2 \times 10^{-2})$.
Multiply the front numbers and add the powers:
Notação científica 科学记数法 escreve um número como $A \times 10^{n}$, onde $1 \leqslant A < 10$ e $n$ é um inteiro. É usada para números muito grandes ou muito pequenos.
Para converter, conte quantas casas a vírgula se move:
Exemplo resolvido. Calcule $(3 \times 10^{5}) \times (2 \times 10^{-2})$.
Multiplique os números frontais e some os expoentes:
Siga um número grande ou pequeno até uma forma x 10^n.
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| standard form/ˈstændəd fɔːm/ | 科学记数法 | kē xué jì shù fǎ |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand and use surds, including simplifying expressions. | Examples include: • $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ • $\sqrt{200} - \sqrt{32} = 6\sqrt{2}$. |
| 2 Rationalise the denominator. | Examples include: • $\frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$ • $\frac{1}{-1 + \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Compreender e utilizar raízes quadradas exatas, incluindo simplificação de expressões. | Exemplos incluem: • $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ • $\sqrt{200} - \sqrt{32} = 6\sqrt{2}$. |
| 2 Racionalizar o denominador. | Exemplos incluem: • $\frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$ • $\frac{1}{-1 + \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
A surd 根式 is a root that is irrational, such as $\sqrt{5}$. Leave it in exact form instead of rounding. Two useful rules:
Simplify a surd by taking out the largest square factor.
Worked example. Simplify $\sqrt{20}$ and $\sqrt{200} - \sqrt{32}$.
To rationalise the denominator 分母有理化 means to remove a surd from the bottom of a fraction (the denominator 分母). Multiply the top and bottom by a value that clears the surd.
Worked example. Rationalise $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$ and $\dfrac{1}{-1+\sqrt{3}}$.
Um irracional 根式 é uma raiz que é irracional, como $\sqrt{5}$. Deixe na forma exata em vez de arredondar. Duas regras úteis:
Simplifique um irracional retirando o maior fator quadrado.
Exemplo resolvido. Simplifique $\sqrt{20}$ e $\sqrt{200} - \sqrt{32}$.
Para racionalizar o denominador 分母有理化 significa remover um irracional da parte inferior de uma fração (o denominador 分母). Multiplique o numerador e o denominador por um valor que elimine o irracional.
Exemplo resolvido. Racionalize $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$ e $\dfrac{1}{-1+\sqrt{3}}$.
Quebre um radical em fatores quadrados e simplifique.
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| surd/sɜːd/ | 根式 | gēn shì |
| rationalise the denominator/ˈræʃənəlaɪz ðə dɪˈnɒmɪneɪtə/ | 分母有理化 | fēn mǔ yǒu lǐ huà |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | 分母 | fēn mǔ |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | 分子 | fèn zǐ |
| proper fraction/ˈprɒpə ˈfrækʃn/ | 真分数 | zhēn fēn shù |
| improper fraction/ɪmˈprɒpə ˈfrækʃn/ | 假分数 | jiǎ fēn shù |
| mixed number/mɪkst ˈnʌmbə/ | 带分数 | dài fēn shù |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use the language and notation of the following in appropriate contexts: • proper fractions • improper fractions • mixed numbers • decimals • percentages. | Candidates are expected to be able to write fractions in their simplest form. Candidates are not expected to use recurring decimal notation. |
| 2 Recognise equivalence and convert between these forms. | Candidates are not expected to demonstrate the conversion of a recurring decimal to a fraction and vice versa. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Use a linguagem e notação dos seguintes em contextos adequados: • frações próprias • frações impróprias • números mistos • decimais • porcentagens. | Os candidatos são esperados para saber escrever frações em sua forma mais simples. Os candidatos não são esperados para usar notação decimal periódica. |
| 2 Reconheça equivalência e converta entre essas formas. | Os candidatos não são esperados para demonstrar a conversão de um decimal periódico para uma fração e vice-versa. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use the language and notation of the following in appropriate contexts: • proper fractions • improper fractions • mixed numbers • decimals • percentages. | Candidates are expected to be able to write fractions in their simplest form. Recurring decimal notation is required, e.g. • $0.1\dot{7} = 0.1777...$ • $0.1\dot{2}\dot{3} = 0.1232323...$ • $0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123...$ |
| 2 Recognise equivalence and convert between these forms. | Includes converting between recurring decimals and fractions and vice versa, e.g. write $0.1\dot{7}$ as a fraction. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Utilizar a linguagem e notação dos seguintes em contextos adequados: • frações próprias • frações impróprias • números mistos • decimais • percentagens. | Os candidatos devem ser capazes de escrever frações na sua forma mais simples. Notação decimal periódica é exigida, p.ex.: • $0.1\dot{7} = 0.1777...$ • $0.1\dot{2}\dot{3} = 0.1232323...$ • $0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123...$ |
| 2 Reconhecer equivalência e converter entre estas formas. | Inclui conversão entre decimais periódicos e frações e vice-versa, p.ex. escrever $0.1\dot{7}$ como fração. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
A fraction has a numerator 分子 (the top) and a denominator (the bottom).
Change between improper and mixed: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$ because $7 \div 4 = 1$ remainder $3$.
A decimal 小数 uses place value after a point. A percentage 百分比 means "out of $100$", so $37\% = \frac{37}{100} = 0.37$.
| To change | Method | Example |
|---|---|---|
| fraction → decimal | divide top by bottom | $\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0.375$ |
| decimal → percentage | multiply by $100$ | $0.07 = 7\%$ |
| percentage → fraction | put over $100$, then simplify | $7\% = \frac{7}{100}$ |
| percentage → decimal | divide by $100$ | $34\% = 0.34$ |
Write a fraction in its simplest form 最简形式 by dividing the top and bottom by their HCF: $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ (both divided by $6$).
A recurring decimal 循环小数 repeats the same digits forever. Dots mark the repeating part: $0.1\dot{7} = 0.1777\ldots$ and $0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123\ldots$
To turn a recurring decimal into a fraction, multiply so the repeating parts line up, then subtract.
Worked example. Write $0.1\dot{7}$ as a fraction.
Let $x = 0.1777\ldots$ Only the $7$ repeats, so use $10x$ and $100x$:
Uma fração tem um numerador 分子 (o topo) e um denominador (a base).
Alterne entre fração imprópria e número misto: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$ porque $7 \div 4 = 1$ resto $3$.
Um decimal 小数 usa valor posicional após o ponto. Uma percentagem 百分比 significa "por cada $100$", logo $37\% = \frac{37}{100} = 0.37$.
| Para alterar | Método | Exemplo |
|---|---|---|
| fração → decimal | divida o topo pelo fundo | $\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0.375$ |
| decimal → percentagem | multiplique por $100$ | $0.07 = 7\%$ |
| percentagem → fração | coloque sobre $100$, depois simplifique | $7\% = \frac{7}{100}$ |
| percentagem → decimal | divida por $100$ | $34\% = 0.34$ |
Escreva uma fração na sua forma mais simples 最简形式 dividindo o topo e o fundo pelo seu MDC: $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ (ambos divididos por $6$).
Um decimal periódico 循环小数 repete os mesmos dígitos para sempre. Pontos marcam a parte repetida: $0.1\dot{7} = 0.1777\ldots$ e $0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123\ldots$
Para transformar um decimal periódico numa fração, multiplique para alinhar as partes repetidas, depois subtraia.
Exemplo resolvido. Escreva $0.1\dot{7}$ como uma fração.
Seja $x = 0.1777\ldots$ Apenas a $7$ se repete, logo use $10x$ e $100x$:
Classifique formas numéricas equivalentes e operações.
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| decimal/ˈdesɪml/ | 小数 | xiǎo shù |
| percentage/pəˈsentɪdʒ/ | 百分比 | bǎi fēn bǐ |
| simplest form/ˈsɪmpəlɪst fɔːm/ | 最简形式 | zuì jiǎn xíng shì |
| recurring decimal/rɪˈkɜːrɪŋ ˈdesɪml/ | 循环小数 | xún huán xiǎo shù |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Use the four operations for calculations with integers, fractions and decimals, including correct ordering of operations and use of brackets. | Includes: • negative numbers • improper fractions • mixed numbers • practical situations, e.g. temperature changes. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Use as quatro operações para cálculos com inteiros, frações e decimais, incluindo ordem correta de operações e uso de parênteses. | Inclui: • números negativos • frações impróprias • números mistos • situações práticas, ex. mudanças de temperatura. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
Work in this order — the order of operations 运算顺序: brackets first, then indices (powers and roots), then multiply and divide (left to right), then add and subtract (left to right).
Worked example. Work out $-6 \times -3 + 7 \times 2$.
Do the multiplications first: $-6 \times -3 = 18$ and $7 \times 2 = 14$. Then add: $18 + 14 = 32$.
A change in temperature from $-5\,{}^{\circ}\text{C}$ to $3\,{}^{\circ}\text{C}$ is a rise of $8\,{}^{\circ}\text{C}$.
Worked example. Work out $1\frac{7}{15} - \frac{4}{5}$, giving the answer in its simplest form.
Change the mixed number to an improper fraction, then use denominator $15$:
Trabalhe nesta ordem — a ordem das operações 运算顺序: parênteses primeiro, depois índices (potências e raízes), depois multiplicar e dividir (da esquerda para a direita), depois somar e subtrair (da esquerda para a direita).
Exemplo resolvido. Calcule $-6 \times -3 + 7 \times 2$.
Faça as multiplicações primeiro: $-6 \times -3 = 18$ e $7 \times 2 = 14$. Depois some: $18 + 14 = 32$.
Uma mudança de temperatura de $-5\,{}^{\circ}\text{C}$ para $3\,{}^{\circ}\text{C}$ é um aumento de $8\,{}^{\circ}\text{C}$.
Exemplo resolvido. Calcule $1\frac{7}{15} - \frac{4}{5}$, dando a resposta na sua forma mais simples.
Transforme o número misto numa fração imprópria, depois use denominador $15$:
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| order of operations/ˈɔːdə ɒv ˌɒpəˈreɪʃnz/ | 运算顺序 | yùn suàn shùn xù |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Order quantities by magnitude and demonstrate familiarity with the symbols $=, \ne, >, <, \geqslant$ and $\leqslant$. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Ordene quantidades por magnitude e demonstre familiaridade com os símbolos $=, \ne, >, <, \geqslant$ e $\leqslant$. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Order quantities by magnitude and demonstrate familiarity with the symbols $=, \neq, >, <, \geqslant$ and $\leqslant$. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Ordene quantidades por magnitude e demonstre familiaridade com os símbolos $=, \neq, >, <, \geqslant$ e $\leqslant$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
Use these symbols to compare numbers by magnitude 大小 (size):
| Symbol | Meaning |
|---|---|
| $=$ | is equal to |
| $\neq$ | is not equal to |
| $>$ | is greater than |
| $<$ | is less than |
| $\geqslant$ | is greater than or equal to |
| $\leqslant$ | is less than or equal to |
To put a mixed list in order, change every value to a decimal first.
Worked example. Put $34\%$, $\frac{1}{3}$ and $\frac{3}{10}$ in order, smallest first.
As decimals: $34\% = 0.34$, $\frac{1}{3} = 0.333\ldots$, $\frac{3}{10} = 0.3$. So the order is
Use estes símbolos para comparar números por magnitude 大小 (tamanho):
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| $=$ | é igual a |
| $\neq$ | não é igual a |
| $>$ | é maior que |
| $<$ | é menor que |
| $\geqslant$ | é maior ou igual a |
| $\leqslant$ | é menor ou igual a |
Para ordenar uma lista mista, transforme todos os valores num decimal primeiro.
Exemplo resolvido. Ordene $34\%$, $\frac{1}{3}$ e $\frac{3}{10}$, do menor para o maior.
Como decimais: $34\% = 0.34$, $\frac{1}{3} = 0.333\ldots$, $\frac{3}{10} = 0.3$. Logo a ordem é
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | 大小 | dà xiǎo |
| multiplier/ˌmʌltɪˈplaɪə/ | 乘数 | chéng shù |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate a given percentage of a quantity. | |
| 2 Express one quantity as a percentage of another. | |
| 3 Calculate percentage increase or decrease. | |
| 4 Calculate with simple and compound interest. | Formulas are not given. Percentage calculations may include: • deposit • discount • profit and loss (as an amount or a percentage) • earnings • percentages over 100%. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Calcule uma porcentagem dada de uma quantidade. | |
| 2 Expresse uma quantidade como uma porcentagem de outra. | |
| 3 Calcule aumento ou diminuição percentual. | |
| 4 Calcule com juros simples e compostos. | Fórmulas não são fornecidas. Cálculos percentuais podem incluir: • depósito • desconto • lucro e prejuízo (como valor ou porcentagem) • ganhos • porcentagens acima de 100%. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate a given percentage of a quantity. | |
| 2 Express one quantity as a percentage of another. | |
| 3 Calculate percentage increase or decrease. | |
| 4 Calculate with simple and compound interest. | Problems may include repeated percentage change. Formulas are not given. |
| 5 Calculate using reverse percentages. | e.g. find the cost price given the selling price and the percentage profit. Percentage calculations may include: • deposit • discount • profit and loss (as an amount or a percentage) • earnings • percentages over 100%. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Calcule uma porcentagem dada de uma quantidade. | |
| 2 Expresse uma quantidade como uma porcentagem de outra. | |
| 3 Calcule aumento ou diminuição percentual. | |
| 4 Calcular com juros simples e compostos. | Os problemas podem incluir alteração percentual repetida. Fórmulas não são fornecidas. |
| 5 Calcular usando percentagens inversas. | p.ex. encontrar o preço de custo dado o preço de venda e a percentagem de lucro. Cálculos percentuais podem incluir: • entrada • desconto • lucro e prejuízo (como valor ou percentagem) • rendimentos • percentagens superiores a 100%. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
Find a percentage of an amount. $15\%$ of $\$80 = 0.15 \times 80 = \$12$.
Write one amount as a percentage of another. A score of $18$ out of $25$ is $\frac{18}{25} \times 100\% = 72\%$.
Percentage increase or decrease uses
Worked example. A price rises from $\$40$ to $\$50$. Find the percentage increase.
The change is $\$10$, so $\frac{10}{40} \times 100\% = 25\%$ increase.
A quick way is a multiplier 乘数. To increase by $15\%$, multiply by $1.15$; to decrease by $15\%$, multiply by $0.85$.
Interest 利息 is money paid for borrowing or for saving. The principal 本金 is the starting amount.
Worked example. Find the value of $\$500$ saved at $4\%$ compound interest for $3$ years.
A reverse percentage 逆百分比 problem gives the amount after a change and asks for the original. To solve it, divide by the multiplier — do not just take the percentage off.
Worked example. A coat costs $\$60$ after a $20\%$ increase. Find the original price.
$\$60$ is $120\%$ of the original, so the original price is $60 \div 1.2 = \$50$.
Encontre uma porcentagem de um valor. $15\%$ de $\$80 = 0.15 \times 80 = \$12$.
Escreva uma quantia como percentagem de outra. Uma nota de $18$ de $25$ é $\frac{18}{25} \times 100\% = 72\%$.
Aumento ou diminuição percentual utiliza
Exemplo resolvido. Um preço sobe de $\$40$ to $\$50$. Encontre o aumento percentual.
A variação é $\$10$, so $\frac{10}{40} × 100% = 25%$ aumento.
Uma maneira rápida é usar um multiplicador 乘数. Para aumentar em $15\%$, multiplique por $1.15$; para diminuir em $15\%$, multiplique por $0.85$.
Juros 利息 é dinheiro pago por emprestar ou poupar. O capital 本金 é o valor inicial.
Exemplo resolvido. Encontre o valor de $\$500$ saved at $4%$ compound interest for $3 anos.
Um problema de percentagem inversa 逆百分比 dá a quantia depois de uma alteração e pede a original. Para resolver, divida pelo multiplicador — não apenas tire a percentagem.
Exemplo resolvido. Um casaco custa $\$60$ after a $20%$ aumento. Encontre o preço original.
$\$60$ is $120\%$ of the original, so the original price is $60 \div 1.2 = \$50$.
novo valor = valor antigo x multiplicador
Mude o multiplicador e veja o valor final mudar.
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| interest/ˈɪntrest/ | 利息 | lì xī |
| principal/ˈprɪnsɪpl/ | 本金 | běn jīn |
| simple interest/ˈsɪmpl ˈɪntrest/ | 单利 | dān lì |
| compound interest/ˈkɒmpaʊnd ˈɪntrest/ | 复利 | fù lì |
| reverse percentage/rɪˈvɜːs pəˈsentɪdʒ/ | 逆百分比 | nì bǎi fēn bǐ |
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | 指数增长 | zhǐ shù zēng zhǎng |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Use exponential growth and decay. | e.g. depreciation, population change. Knowledge of e is not required. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Utilizar crescimento e decaimento exponencial. | p.ex. depreciação, mudança populacional. Conhecimento de e não é exigido. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
When a quantity changes by the same percentage in each time period, it shows exponential growth 指数增长 (it gets bigger) or exponential decay 指数衰减 (it gets smaller). Use the compound formula. Depreciation 折旧, where something like a car loses value each year, is decay.
Worked example. A car worth $\$20\,000$ loses $15\%$ of its value each year. Find its value after $4$ years.
The multiplier is $0.85$, so
Quando uma quantidade muda na mesma percentagem em cada período de tempo, mostra crescimento exponencial 指数增长 (fica maior) ou decaimento exponencial 指数衰减 (fica menor). Use a fórmula composta. Depreciação 折旧, onde algo como um carro perde valor todos os anos, é decaimento.
Exemplo resolvido. Um carro valendo $\$20 000$ loses $15%$ of its value each year. Find its value after $4 anos.
O multiplicador é $0.85$, logo
O dinheiro cresce em (1 + r) todos os anos, então as curvas de juros compostos ficam acima dos juros simples. Arraste a taxa e o número de anos.
y = a·bˣ
Mude a base b: b > 1 cresce, 0 < b < 1 decai — útil para juros e populações.
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | 指数衰减 | zhǐ shù shuāi jiǎn |
| depreciation/dɪˌpriːʃɪˈeɪʃn/ | 折旧 | zhé jiù |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Understand and use ratio and proportion to: | |
| • give ratios in their simplest form | e.g. 20:30:40 in its simplest form is 2:3:4. |
| • divide a quantity in a given ratio | |
| • use proportional reasoning and ratios in context. | e.g. adapt recipes; use map scales; determine best value. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Compreenda e use razão e proporção para: | |
| • dar razões em sua forma mais simples | ex. 20:30:40 em sua forma mais simples é 2:3:4. |
| • dividir uma quantidade em uma dada razão | |
| • usar raciocínio proporcional e razões em contexto. | ex. adaptar receitas; usar escalas de mapa; determinar melhor custo-benefício. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
A ratio 比 compares quantities, written like $a:b$. Simplify it like a fraction by dividing by the HCF: $20:30:40 = 2:3:4$.
Dividing in a ratio. Share $\$48$ in the ratio $3:5$.
The total number of parts is $3 + 5 = 8$. One part is $48 \div 8 = \$6$. So the shares are $3 \times 6 = \$18$ and $5 \times 6 = \$30$.
Proportion 比例 means two ratios are equal. Use it for recipes, map scales 比例尺 and finding best value.
Worked example. $3$ pens cost $\$1.80$. Find the cost of $7$ pens.
One pen costs $1.80 \div 3 = \$0.60$. So $7$ pens cost $7 \times 0.60 = \$4.20$.
Uma proporção 比 compara quantidades, escrita como $a:b$. Simplifique-a como uma fração dividindo pelo MDC: $20:30:40 = 2:3:4$.
Dividir numa proporção. Partilhe $\$48$ in the ratio $3:5$.
O número total de partes é $3 + 5 = 8$. Uma parte é $48 \div 8 = \$6$. So the shares are $3 × 6 = \$18$ e $5 \times 6 = \$30$.
Proporção 比例 significa que duas razões são iguais. Use em receitas, escalas 比例尺 de mapas e para encontrar o melhor valor.
Exemplo resolvido. $3$ canetas custam $\$1.80$. Find the cost of $7$ por caneta.
Uma caneta custa $1.80 \div 3 = \$0.60$. So $7$ pens cost $7 \times 0.60 = \$4.20$.
y = ax
Proporcionalidade direta é uma linha reta pela origem — dobre x e você dobra y.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use common measures of rate. | e.g. calculate with: • hourly rates of pay • exchange rates between currencies • flow rates • fuel consumption. |
| 2 Apply other measures of rate. | e.g. calculate with: • pressure • density • population density. Required formulas will be given in the question. |
| 3 Solve problems involving average speed. | Knowledge of speed/distance/time formula is required. e.g. A cyclist travels 45 km in 3 hours 45 minutes. What is their average speed? Notation used will be, e.g. m/s (metres per second), $\text{g/cm}^3$ (grams per cubic centimetre). |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Use medidas comuns de taxa. | ex. calcular com: • taxas horárias de pagamento • taxas de câmbio entre moedas • taxas de fluxo • consumo de combustível. |
| 2 Aplique outras medidas de taxa. | ex. calcular com: • pressão • densidade • densidade populacional. As fórmulas necessárias serão fornecidas na questão. |
| 3 Resolva problemas envolvendo velocidade média. | Conhecimento da fórmula velocidade/distância/tempo é necessário. ex. Um ciclista percorre 45 km em 3 horas 45 minutos. Qual é sua velocidade média? A notação usada será, ex. m/s (metros por segundo), $\text{g/cm}^3$ (gramas por centímetro cúbico). |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use common measures of rate. | e.g. calculate with: • hourly rates of pay • exchange rates between currencies • flow rates • fuel consumption. |
| 2 Apply other measures of rate. | e.g. calculate with: • pressure • density • population density. Required formulas will be given in the question. |
| 3 Solve problems involving average speed. | Knowledge of speed/distance/time formula is required. e.g. A cyclist travels 45 km in 3 hours 45 minutes. What is their average speed? Notation used will be, e.g. m/s (metres per second), g/cm$^{3}$ (grams per cubic centimetre). |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Use medidas comuns de taxa. | ex. calcular com: • taxas horárias de pagamento • taxas de câmbio entre moedas • taxas de fluxo • consumo de combustível. |
| 2 Aplique outras medidas de taxa. | ex. calcular com: • pressão • densidade • densidade populacional. As fórmulas necessárias serão fornecidas na questão. |
| 3 Resolver problemas envolvendo velocidade média. | É necessária conhecimento da fórmula velocidade/distância/tempo. p.ex. Um ciclista percorre 45 km em 3 horas 45 minutos. Qual é a sua velocidade média? A notação utilizada será, p.ex. m/s (metros por segundo), g/cm$^{3}$ (gramas por centímetro cúbico). |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
A rate 比率 compares two quantities measured in different units, such as price per kilogram, or distance per hour.
Average speed 平均速度 uses
Worked example. A cyclist travels $45\text{ km}$ in $3$ hours $45$ minutes. Find the average speed.
First change the time to hours: $3$ h $45$ min $= 3.75$ h. Then
Other rates work the same way. Density 密度 is found from mass 质量 and volume 体积:
Other examples are flow rate, fuel consumption and population density 人口密度. If a rate needs a special formula (such as pressure 压强), the question will give it to you.
Uma taxa 比率 compara duas quantidades medidas em unidades diferentes, como preço por quilograma ou distância por hora.
Velocidade média 平均速度 usa
Exemplo resolvido. Um ciclista percorre $45\text{ km}$ em $3$ horas $45$ minutos. Encontre a velocidade média.
Primeiro converta o tempo para horas: $3$ h $45$ min $= 3.75$ h. Então
Outras taxas funcionam da mesma forma. Densidade 密度 é encontrada a partir de massa 质量 e volume 体积:
Outros exemplos são vazão, consumo de combustível e densidade populacional 人口密度. Se uma taxa precisar de uma fórmula especial (como pressão 压强), a questão a fornecerá.
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| average speed/ˈævrɪdʒ spiːd/ | 平均速度 | píng jūn sù dù |
| density/ˈdensɪti/ | 密度 | mì dù |
| mass/mæs/ | 质量 | zhì liàng |
| volume/ˈvɒljuːm/ | 体积 | tǐ jī |
| population density/ˌpɒpjʊˈleɪʃn ˈdensɪti/ | 人口密度 | rén kǒu mì dù |
| pressure/ˈpreʃə/ | 压强 | yā qiáng |
| decimal place/ˈdesɪml pleɪs/ | 小数位 | xiǎo shù wèi |
| significant figure/sɪɡˈnɪfɪkənt ˈfɪɡə/ | 有效数字 | yǒu xiào shù zì |
| estimate/ˈestɪmət/ | 估算 | gū suàn |
| lower bound/ˈləʊə baʊnd/ | 下界 | xià jiè |
| upper bound/ˈʌpə baʊnd/ | 上界 | shàng jiè |
| area/ˈeərɪə/ | 面积 | miàn jī |
| time zone/taɪm zəʊn/ | 时区 | shí qū |
| exchange rate/eksˈtʃeɪndʒ reɪt/ | 汇率 | huì lǜ |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Round values to a specified degree of accuracy. | Includes decimal places and significant figures. |
| 2 Make estimates for calculations involving numbers, quantities and measurements. | e.g. write 5764 correct to the nearest thousand. e.g. by writing each number correct to 1 significant figure, estimate the value of $$\frac{41.3}{9.79 \times 0.765}$$ . |
| 3 Round answers to a reasonable degree of accuracy in the context of a given problem. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Arredonde valores para um grau de precisão especificado. | Inclui casas decimais e algarismos significativos. |
| 2 Faça estimativas para cálculos envolvendo números, quantidades e medições. | ex.: escreva 5764 correto ao milhar mais próximo. ex.: escrevendo cada número correto a 1 algarismo significativo, estime o valor de $$\frac{41.3}{9.79 \times 0.765}$$ . |
| 3 Arredonde respostas a um grau razoável de precisão no contexto de um problema dado. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Round values to a specified degree of accuracy. | Includes decimal places and significant figures. e.g. write 5764 correct to the nearest thousand. |
| 2 Make estimates for calculations involving numbers, quantities and measurements. | e.g. by writing each number correct to 1 significant figure, estimate the value of $$\frac{41.3}{9.79 \times 0.765}$$ . |
| 3 Round answers to a reasonable degree of accuracy in the context of a given problem. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Arredondar valores para um grau especificado de precisão. | Inclui casas decimais e algarismos significativos. p.ex. escrever 5764 correto ao milhar mais próximo. |
| 2 Fazer estimativas para cálculos envolvendo números, quantidades e medições. | p.ex. escrevendo cada número correto a 1 algarismo significativo, estimar o valor de $$\frac{41.3}{9.79 \times 0.765}$$ . |
| 3 Arredonde respostas a um grau razoável de precisão no contexto de um problema dado. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
Rule: look at the next digit. If it is $5$ or more, round up; if it is less, round down.
To estimate 估算 an answer, round every number to $1$ s.f., then calculate.
Worked example. Estimate $\dfrac{41.3}{9.79 \times 0.765}$.
Regra: olhe para o próximo dígito. Se for $5$ ou mais, arredonde para cima; se for menor, arredonde para baixo.
Para estimar 估算 uma resposta, arredonde todos os números para $1$ a.s., depois calcule.
Exemplo resolvido. Estime $\dfrac{41.3}{9.79 \times 0.765}$.
Classifique números pela decisão necessária para precisão.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Give upper and lower bounds for data rounded to a specified accuracy. | e.g. write down the upper bound of a length measured correct to the nearest metre. Candidates are not expected to find the bounds of the results of calculations which have used data rounded to a specified accuracy. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Dê limites superior e inferior para dados arredondados para uma precisão especificada. | ex.: escreva o limite superior de um comprimento medido correto até o metro mais próximo. Os candidatos não são esperados para encontrar os limites dos resultados de cálculos que usaram dados arredondados para uma precisão especificada. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Give upper and lower bounds for data rounded to a specified accuracy. | e.g. write down the upper bound of a length measured correct to the nearest metre. |
| 2 Find upper and lower bounds of the results of calculations which have used data rounded to a specified accuracy. | Example calculations include: • calculate the upper bound of the perimeter or the area of a rectangle given dimensions measured to the nearest centimetre • find the lower bound of the speed given rounded values of distance and time. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Dar limites superior e inferior para dados arredondados a uma precisão especificada. | p.ex. escrever o limite superior de um comprimento medido correto até ao metro mais próximo. |
| 2 Encontrar limites superior e inferior dos resultados de cálculos que utilizaram dados arredondados a uma precisão especificada. | Exemplos de cálculos incluem: • calcular o limite superior do perímetro ou área de um retângulo dadas dimensões medidas até ao centímetro mais próximo • encontrar o limite inferior da velocidade dados valores arredondados de distância e tempo. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
A rounded value could really be anything that rounds to it. The smallest possible value is the lower bound 下界; the largest is the upper bound 上界. For a value rounded to the nearest unit, the bounds lie half a unit on each side.
Worked example. A height $h$ is $635\text{ m}$, correct to the nearest metre. Give the bounds.
So the lower bound is $634.5\text{ m}$ and the upper bound is $635.5\text{ m}$.
Combine the bounds to get the bound you want.
Worked example. A rectangle is $8\text{ cm}$ by $5\text{ cm}$, each side to the nearest cm. Find the largest possible area 面积.
Use the upper bounds of both sides: $8.5 \times 5.5 = 46.75\text{ cm}^{2}$. (The smallest area uses the lower bounds: $7.5 \times 4.5 = 33.75\text{ cm}^{2}$.)
For a divided quantity such as $\text{speed} = \dfrac{\text{distance}}{\text{time}}$, the largest speed comes from the largest distance divided by the smallest time.
Um valor arredondado pode realmente ser qualquer coisa que arredonde para ele. O menor valor possível é o limite inferior 下界; o maior é o limite superior 上界. Para um valor arredondado para a unidade mais próxima, os limites ficam meio unidade de cada lado.
Exemplo resolvido. Uma altura $h$ é $635\text{ m}$, correta ao metro mais próximo. Dê os limites.
Então o limite inferior é $634.5\text{ m}$ e o limite superior é $635.5\text{ m}$.
Combine os limites para obter o limite desejado.
Exemplo resolvido. Um retângulo é $8\text{ cm}$ por $5\text{ cm}$, cada lado até o centímetro mais próximo. Encontre a área 面积 máxima possível.
Use os limites superiores de ambos os lados: $8.5 \times 5.5 = 46.75\text{ cm}^{2}$. (A área mínima usa os limites inferiores: $7.5 \times 4.5 = 33.75\text{ cm}^{2}$.)
Para uma quantidade dividida como $\text{speed} = \dfrac{\text{distance}}{\text{time}}$, a maior velocidade vem da maior distância dividida pelo menor tempo.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate with time: seconds (s), minutes (min), hours (h), days, weeks, months, years, including the relationship between units. | 1 year = 365 days. |
| 2 Calculate times in terms of the 24-hour and 12-hour clock. | In the 24-hour clock, for example, 3.15 a.m. will be denoted by 03 15 and 3.15 p.m. by 15 15. |
| 3 Read clocks and timetables. | Includes problems involving time zones, local times and time differences. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Calcule com tempo: segundos (s), minutos (min), horas (h), dias, semanas, meses, anos, incluindo a relação entre unidades. | 1 year = 365 days. |
| 2 Calcule horários em termos do relógio de 24 horas e 12 horas. | No relógio de 24 horas, por exemplo, 3.15 a.m. será denotado por 03 15 e 3.15 p.m. por 15 15. |
| 3 Leia relógios e horários. | Inclui problemas envolvendo fusos horários, horários locais e diferenças de tempo. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate with time: seconds (s), minutes (min), hours (h), days, weeks, months, years, including the relationship between units. | 1 year = 365 days. |
| 2 Calculate times in terms of the 24-hour and 12-hour clock. | In the 24-hour clock, for example, 3.15 a.m. will be denoted by 0315 and 3.15 p.m. by 1515. |
| 3 Read clocks and timetables. | Includes problems involving time zones, local times and time differences. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Calcule com tempo: segundos (s), minutos (min), horas (h), dias, semanas, meses, anos, incluindo a relação entre unidades. | 1 year = 365 days. |
| 2 Calcular tempos em termos do relógio de 24 horas e de 12 horas. | No relógio de 24 horas, por exemplo, 3.15 da manhã será denotado por 0315 e 3.15 da tarde por 1515. |
| 3 Leia relógios e horários. | Inclui problemas envolvendo fusos horários, horários locais e diferenças de tempo. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
Worked example. A film starts at $19\,35$ and lasts $70$ minutes. Find the time it finishes.
$70$ min $= 1$ h $10$ min. Adding $1$ hour gives $20\,35$; adding $10$ minutes gives $20\,45$.
For timetables and time zone 时区 problems, add or subtract the time difference between the places.
Exemplo resolvido. Um filme começa às $19\,35$ e dura $70$ minutos. Encontre a hora em que termina.
$70$ min $= 1$ h $10$ min. Somar $1$ hora dá $20\,35$; somar $10$ minutos dá $20\,45$.
Para horários e problemas de fusos horários 时区, some ou subtraia a diferença de tempo entre os lugares.
Escolha a operação que corresponde a um problema de medição real.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate with money. | |
| 2 Convert from one currency to another. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Calcule com dinheiro. | |
| 2 Converta de uma moeda para outra. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
Work with money as ordinary decimals, but give answers to $2$ d.p. (so $\$4.8$ is written $\$4.80$).
Currency conversion. Use the exchange rate 汇率 as a multiplier.
Worked example. The exchange rate is $\$1 = €0.92$. Convert $\$150$ to euros, and convert $€138$ back to dollars.
Trabalhe com dinheiro como decimais comuns, mas dê respostas com $2$ casas decimais (portanto $\$4.8$ is written $\$4.80$).
Conversão de moeda. Use a taxa de câmbio 汇率 como multiplicador.
Exemplo resolvido. A taxa de câmbio é $\$1 = €0.92$. Convert $\$150$ em euros, e converta $€138$ de volta para dólares.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use a calculator efficiently. | e.g. know not to round values within a calculation and to only round the final answer. |
| 2 Enter values appropriately on a calculator. | e.g. enter 2 hours 30 minutes as 2.5 hours or 2° 30’ 0’’. |
| 3 Interpret the calculator display appropriately. | e.g. in money 4.8 means $4.80; in time 3.25 means 3 hours 15 minutes. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Use a calculadora eficientemente. | ex. saiba não arredondar valores dentro de um cálculo e apenas arredondar a resposta final. |
| 2 Insira valores apropriadamente na calculadora. | ex. insira 2 horas 30 minutos como 2.5 horas ou 2° 30’ 0’’. |
| 3 Interprete o visor da calculadora apropriadamente. | ex. em dinheiro 4.8 significa $4.80; em tempo 3.25 significa 3 horas 15 minutos. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use a calculator efficiently. | e.g. know not to round values within a calculation and to only round the final answer. |
| 2 Enter values appropriately on a calculator. | e.g. enter 2 hours 30 minutes as 2.5 hours or 2° 30' 0''. |
| 3 Interpret the calculator display appropriately. | e.g. in money 4.8 means $4.80; in time 3.25 means 3 hours 15 minutes. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Use a calculadora eficientemente. | ex. saiba não arredondar valores dentro de um cálculo e apenas arredondar a resposta final. |
| 2 Insira os valores adequadamente em uma calculadora. | p. ex., insira 2 horas 30 minutos como 2.5 horas ou 2° 30' 0''. |
| 3 Interprete o visor da calculadora apropriadamente. | ex. em dinheiro 4.8 significa $4.80; em tempo 3.25 significa 3 horas 15 minutos. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
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