Matemática do IGCSE · Topic 2 · Tópico 2
19:38
Álgebra e gráficos
Olhe para o cabo principal desta ponte. Essa curva não é acidental. Todo cabo como esse pende na mesma forma, e uma regra curta descreve cada ponto em…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Narração em inglês · Legendas em inglês + 中文 gravadas
This handout covers Topic 2, Algebra and graphs. Parts marked (Extended) are only tested on the Extended papers; everything else is for both levels.
Este material cobre o Tópico 2, Álgebra e gráficos. As partes marcadas (Estendido) são testadas apenas nas provas Estendidas; tudo o mais é para ambos os níveis.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Know that letters can be used to represent generalised numbers. | |
| 2 Substitute numbers into expressions and formulas. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Saiba que letras podem ser usadas para representar números generalizados. | |
| 2 Substitua números em expressões e fórmulas. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
In algebra 代数 we use letters to stand for numbers. A letter whose value can change is a variable 变量. To substitute 代入 means to put a number in place of a letter.
Worked example. Find the value of $3x^{2} - 2y$ when $x = 4$ and $y = 5$.
Na álgebra 代数 usamos letras para representar números. Uma letra cujo valor pode mudar é uma variável 变量. Substituir 代入 significa colocar um número no lugar de uma letra.
Exemplo resolvido. Encontre o valor de $3x^{2} - 2y$ quando $x = 4$ e $y = 5$.
Siga o trabalho de expressão desde agrupar termos até resolver.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Simplify expressions by collecting like terms. | Simplify means give the answer in its simplest form, e.g. $2a + 3b + 5a - 9b = 7a - 6b$. |
| 2 Expand products of algebraic expressions. | e.g. expand $3x(2x - 4y)$. Includes products of two brackets involving one variable, e.g. expand $(2x + 1)(x - 4)$. |
| 3 Factorise by extracting common factors. | Factorise means factorise fully, e.g. $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Simplifique expressões agrupando termos semelhantes. | Simplificar significa dar a resposta na forma mais simples, ex. $2a + 3b + 5a - 9b = 7a - 6b$. |
| 2 Expandir produtos de expressões algébricas. | p.ex. expandir $3x(2x - 4y)$. Inclui produtos de dois colchetes envolvendo uma variável, p.ex. expandir $(2x + 1)(x - 4)$. |
| 3 Fatore extraindo fatores comuns. | Fatorizar significa fatorizar completamente, ex. $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Simplify expressions by collecting like terms. | Simplify means give the answer in its simplest form, e.g. $2a^2 + 3ab - 1 + 5a^2 - 9ab + 4 = 7a^2 - 6ab + 3$. |
| 2 Expand products of algebraic expressions. | e.g. expand $3x(2x - 4y)$, $(3x + y)(x - 4y)$. Includes products of more than two brackets, e.g. expand $(x - 2)(x + 3)(2x + 1)$. |
| 3 Factorise by extracting common factors. | Factorise means factorise fully, e.g. $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| 4 Factorise expressions of the form: • $ax + bx + kay + kby$ • $a^2x^2 - b^2y^2$ • $a^2 + 2ab + b^2$ • $ax^2 + bx + c$ • $ax^3 + bx^2 + cx$. | |
| 5 Complete the square for expressions in the form $ax^2 + bx + c$. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Simplifique expressões agrupando termos semelhantes. | Simplificar significa dar a resposta na forma mais simples, ex. $2a^2 + 3ab - 1 + 5a^2 - 9ab + 4 = 7a^2 - 6ab + 3$. |
| 2 Expandir produtos de expressões algébricas. | p.ex. expandir $3x(2x - 4y)$, $(3x + y)(x - 4y)$. Inclui produtos de mais de dois parênteses, p.ex. expandir $(x - 2)(x + 3)(2x + 1)$. |
| 3 Fatore extraindo fatores comuns. | Fatorizar significa fatorizar completamente, ex. $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| 4 Fatorizar expressões da forma: • $ax + bx + kay + kby$ • $a^2x^2 - b^2y^2$ • $a^2 + 2ab + b^2$ • $ax^2 + bx + c$ • $ax^3 + bx^2 + cx$. | |
| 5 Completar o quadrado para expressões da forma $ax^2 + bx + c$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
A term 项 is a single part of an expression 表达式, such as $5a$ or $-9b$. Like terms 同类项 have exactly the same letters; you may add or subtract them. The number in front of the letter is the coefficient 系数.
Worked example. Simplify $2a^{2} + 3ab - 1 + 5a^{2} - 9ab + 4$.
Collect like terms: $2a^{2} + 5a^{2} = 7a^{2}$, $3ab - 9ab = -6ab$, $-1 + 4 = 3$. So the answer is
To expand 展开 means to multiply out brackets 括号. Multiply every term inside by the term outside; for two brackets, multiply every term in the first by every term in the second.
Worked examples.
For three brackets (Extended), expand two first, then multiply by the third:
Um termo 项 é uma parte única de uma expressão 表达式, como $5a$ ou $-9b$. Termos semelhantes 同类项 têm exatamente as mesmas letras; você pode somá-los ou subtraí-los. O número à frente da letra é o coeficiente 系数.
Exemplo resolvido. Simplifique $2a^{2} + 3ab - 1 + 5a^{2} - 9ab + 4$.
Junte termos semelhantes: $2a^{2} + 5a^{2} = 7a^{2}$, $3ab - 9ab = -6ab$, $-1 + 4 = 3$. Portanto a resposta é
Para expandir 展开 significa multiplicar fora dos parênteses 括号. Multiplique cada termo dentro pelo termo de fora; para dois parênteses, multiplique cada termo do primeiro por cada termo do segundo.
Exemplos resolvidos.
Para três parênteses (Estendido), expanda dois primeiro, depois multiplique pelo terceiro:
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| algebra/ˈældʒɪbrə/ | 代数 | dài shù |
| variable/ˈveərɪəbl/ | 变量 | biàn liàng |
| substitute/ˈsʌbstɪtjuːt/ | 代入 | dài rù |
| term/tɜːm/ | 项 | xiàng |
| expression/ekˈspreʃn/ | 表达式 | biǎo dá shì |
| like terms/laɪk tɜːmz/ | 同类项 | tóng lèi xiàng |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | 系数 | xì shù |
| expand/ekˈspænd/ | 展开 | zhǎn kāi |
| brackets/ˈbrækɪts/ | 括号 | kuò hào |
| factorise/ˈfæktəraɪz/ | 因式分解 | yīn shì fēn jiě |
| common factor/ˈkɒmən ˈfæktə/ | 公因式 | gōng yīn shì |
| difference of two squares/ˈdɪfrəns ɒv tuː skweəz/ | 平方差 | píng fāng chà |
| perfect square/ˈpɜːfekt skweə/ | 完全平方 | wán quán píng fāng |
| area/ˈeərɪə/ | 面积 | miàn jī |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Simplify expressions by collecting like terms. | Simplify means give the answer in its simplest form, e.g. $2a + 3b + 5a - 9b = 7a - 6b$. |
| 2 Expand products of algebraic expressions. | e.g. expand $3x(2x - 4y)$. Includes products of two brackets involving one variable, e.g. expand $(2x + 1)(x - 4)$. |
| 3 Factorise by extracting common factors. | Factorise means factorise fully, e.g. $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Simplifique expressões agrupando termos semelhantes. | Simplificar significa dar a resposta na forma mais simples, ex. $2a + 3b + 5a - 9b = 7a - 6b$. |
| 2 Expandir produtos de expressões algébricas. | p.ex. expandir $3x(2x - 4y)$. Inclui produtos de dois colchetes envolvendo uma variável, p.ex. expandir $(2x + 1)(x - 4)$. |
| 3 Fatore extraindo fatores comuns. | Fatorizar significa fatorizar completamente, ex. $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Simplify expressions by collecting like terms. | Simplify means give the answer in its simplest form, e.g. $2a^2 + 3ab - 1 + 5a^2 - 9ab + 4 = 7a^2 - 6ab + 3$. |
| 2 Expand products of algebraic expressions. | e.g. expand $3x(2x - 4y)$, $(3x + y)(x - 4y)$. Includes products of more than two brackets, e.g. expand $(x - 2)(x + 3)(2x + 1)$. |
| 3 Factorise by extracting common factors. | Factorise means factorise fully, e.g. $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| 4 Factorise expressions of the form: • $ax + bx + kay + kby$ • $a^2x^2 - b^2y^2$ • $a^2 + 2ab + b^2$ • $ax^2 + bx + c$ • $ax^3 + bx^2 + cx$. | |
| 5 Complete the square for expressions in the form $ax^2 + bx + c$. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Simplifique expressões agrupando termos semelhantes. | Simplificar significa dar a resposta na forma mais simples, ex. $2a^2 + 3ab - 1 + 5a^2 - 9ab + 4 = 7a^2 - 6ab + 3$. |
| 2 Expandir produtos de expressões algébricas. | p.ex. expandir $3x(2x - 4y)$, $(3x + y)(x - 4y)$. Inclui produtos de mais de dois parênteses, p.ex. expandir $(x - 2)(x + 3)(2x + 1)$. |
| 3 Fatore extraindo fatores comuns. | Fatorizar significa fatorizar completamente, ex. $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| 4 Fatorizar expressões da forma: • $ax + bx + kay + kby$ • $a^2x^2 - b^2y^2$ • $a^2 + 2ab + b^2$ • $ax^2 + bx + c$ • $ax^3 + bx^2 + cx$. | |
| 5 Completar o quadrado para expressões da forma $ax^2 + bx + c$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
To factorise 因式分解 is the opposite of expanding: write the expression as a product of brackets. Always take out the common factor 公因式 first.
Worked example. $9x^{2} + 15xy = 3x(3x + 5y)$, because $3x$ divides both terms.
The following patterns are Extended.
Grouping (four terms): take a common factor from each pair.
Difference of two squares 平方差: $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$.
Perfect square 完全平方: $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$.
Quadratic 二次 expressions $ax^{2} + bx + c$: find two numbers that multiply to $a \times c$ and add to $b$, then split the middle term.
Worked example. Factorise $2x^{2} + 7x + 3$.
Here $a \times c = 6$ and $b = 7$. The numbers $1$ and $6$ work. Split and group:
For $ax^{3} + bx^{2} + cx$, take out the common $x$ first: $2x^{3} + 7x^{2} + 3x = x(2x^{2} + 7x + 3) = x(x + 3)(2x + 1)$.
Fatorar 因式分解 é o oposto de expandir: escreva a expressão como um produto de parênteses. Sempre tire primeiro o fator comum 公因式.
Exemplo resolvido. $9x^{2} + 15xy = 3x(3x + 5y)$, porque $3x$ divide ambos os termos.
Os seguintes padrões são Estendidos.
Agrupamento (quatro termos): tire um fator comum de cada par.
Diferença de quadrados 平方差: $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$.
Quadrado perfeito 完全平方: $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$.
Expressões quadráticas 二次 $ax^{2} + bx + c$: encontre dois números que multipliquem para dar $a \times c$ e somem para dar $b$, então separe o termo do meio.
Exemplo resolvido. Fatore $2x^{2} + 7x + 3$.
Aqui $a \times c = 6$ e $b = 7$. Os números $1$ e $6$ funcionam. Separe e agrupe:
Para $ax^{3} + bx^{2} + cx$, extraia primeiro o $x$ comum: $2x^{3} + 7x^{2} + 3x = x(2x^{2} + 7x + 3) = x(x + 3)(2x + 1)$.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Simplify expressions by collecting like terms. | Simplify means give the answer in its simplest form, e.g. $2a^2 + 3ab - 1 + 5a^2 - 9ab + 4 = 7a^2 - 6ab + 3$. |
| 2 Expand products of algebraic expressions. | e.g. expand $3x(2x - 4y)$, $(3x + y)(x - 4y)$. Includes products of more than two brackets, e.g. expand $(x - 2)(x + 3)(2x + 1)$. |
| 3 Factorise by extracting common factors. | Factorise means factorise fully, e.g. $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| 4 Factorise expressions of the form: • $ax + bx + kay + kby$ • $a^2x^2 - b^2y^2$ • $a^2 + 2ab + b^2$ • $ax^2 + bx + c$ • $ax^3 + bx^2 + cx$. | |
| 5 Complete the square for expressions in the form $ax^2 + bx + c$. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Simplifique expressões agrupando termos semelhantes. | Simplificar significa dar a resposta na forma mais simples, ex. $2a^2 + 3ab - 1 + 5a^2 - 9ab + 4 = 7a^2 - 6ab + 3$. |
| 2 Expandir produtos de expressões algébricas. | p.ex. expandir $3x(2x - 4y)$, $(3x + y)(x - 4y)$. Inclui produtos de mais de dois parênteses, p.ex. expandir $(x - 2)(x + 3)(2x + 1)$. |
| 3 Fatore extraindo fatores comuns. | Fatorizar significa fatorizar completamente, ex. $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| 4 Fatorizar expressões da forma: • $ax + bx + kay + kby$ • $a^2x^2 - b^2y^2$ • $a^2 + 2ab + b^2$ • $ax^2 + bx + c$ • $ax^3 + bx^2 + cx$. | |
| 5 Completar o quadrado para expressões da forma $ax^2 + bx + c$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
Completing the square 配方法 rewrites $x^{2} + bx + c$ as $(x + p)^{2} + q$. Take half of the $x$-coefficient, square it, then balance.
Worked example. Write $x^{2} + 6x + 1$ in completed-square form.
Half of $6$ is $3$, and $3^{2} = 9$:
When the $x^{2}$ has a coefficient, take it out of the first two terms first:
Completando o quadrado 配方法 reescreve $x^{2} + bx + c$ como $(x + p)^{2} + q$. Tire metade do coeficiente de $x$, eleve ao quadrado, depois equilibre.
Exemplo resolvido. Escreva $x^{2} + 6x + 1$ na forma de quadrado completo.
Metade de $6$ é $3$, e $3^{2} = 9$:
Quando o $x^{2}$ tem um coeficiente, tire-o dos primeiros dois termos primeiro:
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | 二次 | èr cì |
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | 配方法 | pèi fāng fǎ |
| algebraic fraction/ˌældʒɪˈbreɪɪk ˈfrækʃn/ | 分式 | fēn shì |
| rational expression/ˈræʃənl ekˈspreʃn/ | 有理式 | yǒu lǐ shì |
| indices/ˈɪndɪsiːz/ | 指数 | zhǐ shù |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Manipulate algebraic fractions. | Examples include: • $\frac{x}{3} + \frac{x - 4}{2}$ • $\frac{2x}{3} - \frac{3(x - 5)}{2}$ • $\frac{3a}{4} \times \frac{9a}{10}$ • $\frac{3a}{4} \div \frac{9a}{10}$ • $\frac{1}{x - 2} + \frac{x + 1}{x - 3}$. |
| 2 Factorise and simplify rational expressions. | e.g. $\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 5x + 6}$. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Manipule frações algébricas. | Exemplos incluem: • $\frac{x}{3} + \frac{x - 4}{2}$ • $\frac{2x}{3} - \frac{3(x - 5)}{2}$ • $\frac{3a}{4} \times \frac{9a}{10}$ • $\frac{3a}{4} \div \frac{9a}{10}$ • $\frac{1}{x - 2} + \frac{x + 1}{x - 3}$. |
| 2 Fatorar e simplificar expressões racionais. | p.ex. $\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 5x + 6}$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
An algebraic fraction 分式 has algebra on the top or bottom. Add and subtract using a common denominator; multiply and divide as with ordinary fractions.
Worked examples.
To simplify a rational expression 有理式, factorise the top and bottom, then cancel common brackets.
Uma fração algébrica 分式 tem álgebra no numerador ou denominador. Some e subtraia usando um denominador comum; multiplique e divida como com frações comuns.
Exemplos resolvidos.
Para simplificar uma expressão racional 有理式, fatore o numerador e o denominador, depois cancele os parênteses comuns.
Simplifique frações algébricas fatorando antes de cancelar.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand and use indices (positive, zero and negative). | e.g. $2^x = 32$. Find the value of $x$. |
| 2 Understand and use the rules of indices. | e.g. simplify: • $(5x^3)^2$ • $12a^5 \div 3a^{-2}$ • $6x^7y^4 \times 5x^{-5}y$. Knowledge of logarithms is not required. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Compreenda e use índices (positivos, zero e negativos). | Ex. $2^x = 32$. Encontre o valor de $x$. |
| 2 Compreenda e use as regras dos índices. | Ex. simplifique: • $(5x^3)^2$ • $12a^5 \div 3a^{-2}$ • $6x^7y^4 \times 5x^{-5}y$. Conhecimento de logaritmos não é necessário. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand and use indices (positive, zero, negative and fractional). | e.g. solve: • $32^x = 2$ • $5^{x+1} = 25^x$. |
| 2 Understand and use the rules of indices. | e.g. simplify: • $3x^{-4} \times \frac{2}{3}x^{\frac{1}{2}}$ • $\frac{2}{5}x^{\frac{1}{2}} \div 2x^{-2}$ • $\left(\frac{2x^5}{3}\right)^3$. Knowledge of logarithms is not required. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Compreenda e utilize índices (positivos, zero, negativos e fracionários). | p.ex. resolva: • $32^x = 2$ • $5^{x+1} = 25^x$. |
| 2 Compreenda e use as regras dos índices. | Ex. simplifique: • $3x^{-4} \times \frac{2}{3}x^{\frac{1}{2}}$ • $\frac{2}{5}x^{\frac{1}{2}} \div 2x^{-2}$ • $\left(\frac{2x^5}{3}\right)^3$. Conhecimento de logaritmos não é necessário. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
The laws of indices 指数 work with letters too: $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$, $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$, and $(a^{m})^{n} = a^{mn}$.
Worked examples.
You can also solve simple index equations by writing both sides with the same base 底数.
Worked example. Solve $2^{x} = 32$. Since $32 = 2^{5}$, you get $x = 5$.
As leis dos expoentes 指数 funcionam com letras também: $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$, $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$, e $(a^{m})^{n} = a^{mn}$.
Exemplos resolvidos.
Você também pode resolver equações de índice simples escrevendo ambos os lados com a mesma base 底数.
Exemplo resolvido. Resolva $2^{x} = 32$. Como $32 = 2^{5}$, você obtém $x = 5$.
Classifique exemplos de leis de índice pela regra sendo usada.
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| base/beɪs/ | 底数 | dǐ shù |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Construct simple expressions, equations and formulas. | e.g. write an expression for a number that is 2 more than $n$. Includes constructing linear simultaneous equations. |
| 2 Solve linear equations in one unknown. | Examples include: • $3x + 4 = 10$ • $5 - 2x = 3(x + 7)$. |
| 3 Solve simultaneous linear equations in two unknowns. | |
| 4 Change the subject of simple formulas. | e.g. change the subject of formulas where: • the subject only appears once • there is not a power or root of the subject. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Construa expressões, equações e fórmulas simples. | Ex. escreva uma expressão para um número que seja 2 unidades maior que $n$. Inclui a construção de sistemas lineares simultâneos. |
| 2 Resolva equações lineares com uma incógnita. | Exemplos incluem: • $3x + 4 = 10$ • $5 - 2x = 3(x + 7)$. |
| 3 Resolva sistemas lineares simultâneos com duas incógnitas. | |
| 4 Mude o tema de fórmulas simples. | Ex. mude o tema de fórmulas onde: • o tema aparece apenas uma vez • não há potências ou raízes do tema. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Construct expressions, equations and formulas. | e.g. write an expression for the product of two consecutive even numbers. Includes constructing simultaneous equations. |
| 2 Solve linear equations in one unknown. | Examples include: • $3x + 4 = 10$ • $5 - 2x = 3(x + 7)$. |
| 3 Solve fractional equations with numerical and linear algebraic denominators. | Examples include: • $\frac{x}{2x + 1} = 4$ • $\frac{2}{x + 2} + \frac{3}{2x - 1} = 1$ • $\frac{x}{x + 2} = \frac{3}{x - 6}$. |
| 4 Solve simultaneous linear equations in two unknowns. | |
| 5 Solve simultaneous equations, involving one linear and one non-linear. | With powers no higher than two. |
| 6 Solve quadratic equations by factorisation, completing the square and by use of the quadratic formula. | Includes writing a quadratic expression in completed square form. Candidates may be expected to give solutions in surd form. The quadratic formula is given in the List of formulas. |
| 7 Change the subject of formulas. | e.g. change the subject of a formula where: • the subject appears twice • there is a power or root of the subject. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Construa expressões, equações e fórmulas. | p.ex. escreva uma expressão para o produto de dois números pares consecutivos. Inclui a construção de sistemas de equações simultâneas. |
| 2 Resolva equações lineares com uma incógnita. | Exemplos incluem: • $3x + 4 = 10$ • $5 - 2x = 3(x + 7)$. |
| 3 Resolva equações fracionárias com denominadores numéricos e algébricos lineares. | Exemplos incluem: • $\frac{x}{2x + 1} = 4$ • $\frac{2}{x + 2} + \frac{3}{2x - 1} = 1$ • $\frac{x}{x + 2} = \frac{3}{x - 6}$. |
| 4 Resolva sistemas de equações lineares simultâneas em duas incógnitas. | |
| 5 Resolva sistemas de equações simultâneas, envolvendo uma linear e uma não-linear. | Com potências não superiores a duas. |
| 6 Resolva equações quadráticas por fatoração, completação do quadrado e pelo uso da fórmula geral. | Inclui escrever uma expressão quadrática na forma de quadrado completo. Os candidatos podem ser solicitados a dar soluções em forma radical. A fórmula geral está dada na Lista de fórmulas. |
| 7 Mude o sujeito das fórmulas. | p.ex. mude o sujeito de uma fórmula onde: • o sujeito aparece duas vezes • há uma potência ou raiz do sujeito. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
An equation 方程 says two expressions are equal. To solve a linear 一次 equation, do the same operation to both sides until the unknown 未知数 is alone.
Worked example. Solve $5 - 2x = 3(x + 7)$.
A fractional equation 分式方程 has the unknown in a denominator. Multiply both sides by the denominator to clear it.
Worked example. Solve $\dfrac{x}{2x + 1} = 4$.
Simultaneous equations 联立方程 are two equations solved together. For two linear equations, add or subtract to remove one letter.
Worked example. Solve $2x + y = 7$ and $3x - y = 8$.
Adding removes $y$: $5x = 15$, so $x = 3$. Then $y = 7 - 2(3) = 1$.
For one linear and one quadratic equation (Extended), substitute the linear into the curve.
Worked example. Solve $y = x + 2$ and $y = x^{2}$.
so $x = 2$ (giving $y = 4$) or $x = -1$ (giving $y = 1$).
There are three methods.
Worked example (formula). Solve $2x^{2} + 3x - 1 = 0$. Here $a = 2$, $b = 3$, $c = -1$:
To change the subject 公式变形 of a formula means to rearrange it so a chosen letter is alone on one side.
Worked example. Make $r$ the subject of $A = \pi r^{2}$ (Extended, because of the power).
When the letter appears twice (Extended), collect those terms and factorise. To make $x$ the subject of $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$:
Uma equação 方程 diz que duas expressões são iguais. Para resolver uma equação linear 一次, faça a mesma operação nos dois lados até que o incógnita 未知数 fique sozinha.
Exemplo resolvido. Resolva $5 - 2x = 3(x + 7)$.
Uma equação fracionária 分式方程 tem a incógnita em um denominador. Multiplique ambos os lados pelo denominador para eliminá-lo.
Exemplo resolvido. Resolva $\dfrac{x}{2x + 1} = 4$.
Equações simultâneas 联立方程 são duas equações resolvidas juntas. Para duas equações lineares, some ou subtraia para eliminar uma letra.
Exemplo resolvido. Resolva $2x + y = 7$ e $3x - y = 8$.
Somar remove $y$: $5x = 15$, logo $x = 3$. Então $y = 7 - 2(3) = 1$.
Para uma equação linear e uma quadrática (Estendido), substitua a linear na curva.
Exemplo resolvido. Resolva $y = x + 2$ e $y = x^{2}$.
então $x = 2$ (dando $y = 4$) ou $x = -1$ (dando $y = 1$).
Existem três métodos.
Exemplo resolvido (fórmula). Resolva $2x^{2} + 3x - 1 = 0$. Aqui $a = 2$, $b = 3$, $c = -1$:
Para isolar uma variável 公式变形 de uma fórmula significa reorganizá-la para que uma letra escolhida fique sozinha de um lado.
Exemplo resolvido. Isolare $r$ em $A = \pi r^{2}$ (Estendido, devido ao expoente).
Quando a letra aparece duas vezes (Estendido), agrupe esses termos e fatore. Para isolar $x$ em $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$:
y = ax² + bx + c
Resolver significa encontrar as raízes — onde a curva cruza o eixo x.
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| equation/ɪˈkweɪʒn/ | 方程 | fāng chéng |
| linear/ˈlɪnɪə/ | 一次 | yī cì |
| unknown/ʌnˈnəʊn/ | 未知数 | wèi zhī shù |
| fractional equation/ˈfrækʃənl ɪˈkweɪʒn/ | 分式方程 | fēn shì fāng chéng |
| simultaneous equations/ˌsɪməlˈteɪnɪəs ɪˈkweɪʒnz/ | 联立方程 | lián lì fāng chéng |
| quadratic formula/kwɒˈdrætɪk ˈfɔːmjʊlə/ | 求根公式 | qiú gēn gōng shì |
| change the subject/tʃeɪndʒ ðə ˈsʌbdʒekt/ | 公式变形 | gōng shì biàn xíng |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Represent and interpret inequalities, including on a number line. | When representing and interpreting inequalities on a number line: • open circles should be used to represent strict inequalities (<, >) • closed circles should be used to represent inclusive inequalities ($\leqslant$, $\geqslant$) e.g. $-3 \leqslant x < 1$ |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Represente e interprete desigualdades, incluindo em uma reta numérica. | Ao representar e interpretar desigualdades em uma reta numérica: • círculos abertos devem ser usados para representar desigualdades estritas (<, >) • círculos fechados devem ser usados para representar desigualdades inclusivas ($\leqslant$, $\geqslant$) ex. $-3 \leqslant x < 1$ |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Represent and interpret inequalities, including on a number line. | When representing and interpreting inequalities on a number line: • open circles should be used to represent strict inequalities (<, >) • closed circles should be used to represent inclusive inequalities ($\leqslant$, $\geqslant$). e.g. $-3 \leqslant x < 1$ |
| 2 Construct, solve and interpret linear inequalities. | Examples include: • $3x < 2x + 4$ • $-3 \leqslant 3x - 2 < 7$. |
| 3 Represent and interpret linear inequalities in two variables graphically. | The following conventions should be used: • broken lines should be used to represent strict inequalities (<, >) • solid lines should be used to represent inclusive inequalities ($\leqslant$, $\geqslant$) • shading should be used to represent unwanted regions (unless otherwise directed in the question). e.g. graphs of $x < 1$ and $y \geqslant 1$ |
| 4 List inequalities that define a given region. | Linear programming problems are not included. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Represente e interprete desigualdades, incluindo em uma reta numérica. | Ao representar e interpretar desigualdades em uma reta numérica: • círculos abertos devem ser usados para representar desigualdades estritas (<, >) • círculos fechados devem ser usados para representar desigualdades inclusivas ($\leqslant$, $\geqslant$). p.ex. $-3 \leqslant x < 1$ |
| 2 Construa, resolva e interprete desigualdades lineares. | Exemplos incluem: • $3x < 2x + 4$ • $-3 \leqslant 3x - 2 < 7$. |
| 3 Represente e interprete desigualdades lineares em duas variáveis graficamente. | As seguintes convenções devem ser usadas: • linhas tracejadas devem ser usadas para representar desigualdades estritas (<, >) • linhas sólidas devem ser usadas para representar desigualdades inclusivas ($\leqslant$, $\geqslant$) • sombreamento deve ser usado para representar regiões indesejadas (a menos que direcionado de outra forma na questão). p.ex. gráficos de $x < 1$ e $y \geqslant 1$ |
| 4 Liste desigualdades que definem uma região dada. | Problemas de programação linear não são incluídos. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
An inequality 不等式 uses $<$, $>$, $\leqslant$ or $\geqslant$. Solve it like an equation, but reverse the sign if you multiply or divide by a negative number.
Worked example. Solve $-3 \leqslant 3x - 2 < 7$.
Add $2$ to all parts, then divide by $3$:
On a number line 数轴, use an open circle for $<$ or $>$ (value not included) and a closed circle for $\leqslant$ or $\geqslant$ (value included).
An inequality in two letters describes a region 区域 of the graph. Draw the boundary line (broken for $<$ or $>$, solid for $\leqslant$ or $\geqslant$) and shade the unwanted side. You may also be asked to list the inequalities that define a given region.
Uma desigualdade 不等式 usa $<$, $>$, $\leqslant$ ou $\geqslant$. Resolva-a como uma equação, mas inverta o sinal se multiplicar ou dividir por um número negativo.
Exemplo resolvido. Resolva $-3 \leqslant 3x - 2 < 7$.
Some $2$ a todas as partes, depois divida por $3$:
Em uma reta numérica 数轴, use um círculo aberto para $<$ ou $>$ (valor não incluído) e um círculo fechado para $\leqslant$ ou $\geqslant$ (valor incluído).
Uma desigualdade em duas letras descreve uma região 区域 do gráfico. Desenhe a linha limite (tracejada para $<$ ou $>$, sólida para $\leqslant$ ou $\geqslant$) e sombree o lado indesejado. Você também pode ser solicitado a listar as desigualdades que definem uma região dada.
y = ax + b
Uma desigualdade pergunta onde a linha está acima ou abaixo de um valor.
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| inequality/ɪniːˈkwɒlɪti/ | 不等式 | bù děng shì |
| number line/ˈnʌmbə laɪn/ | 数轴 | shù zhóu |
| region/ˈriːdʒn/ | 区域 | qū yù |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Continue a given number sequence or pattern. | e.g. write the next two terms in this sequence: 1, 3, 6, 10, 15, ... , ... |
| 2 Recognise patterns in sequences, including the term-to-term rule, and relationships between different sequences. | |
| 3 Find and use the $n$th term of the following sequences: (a) linear (b) simple quadratic (c) simple cubic. | e.g. find the $n$th term of 2, 5, 10, 17 |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Continue uma sequência numérica ou padrão dado. | Ex. escreva os próximos dois termos nesta sequência: 1, 3, 6, 10, 15, ... , ... |
| 2 Reconheça padrões em sequências, incluindo a regra termo-para-termo e relações entre diferentes sequências. | |
| 3 Encontre e use o ⟨$n$⟩-ésimo termo das seguintes sequências: (a) linear (b) quadrática simples (c) cúbica simples. | Ex. encontre o ⟨$n$⟩-ésimo termo de 2, 5, 10, 17 |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Continue a given number sequence or pattern. | Subscript notation may be used, e.g. $T_n$ is the $n$th term of sequence $T$. |
| 2 Recognise patterns in sequences, including the term-to-term rule, and relationships between different sequences. | Includes linear, quadratic, cubic and exponential sequences and simple combinations of these. |
| 3 Find and use the $n$th term of sequences. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Continue uma sequência numérica ou padrão dado. | A notação de subscritos pode ser usada, p.ex. $T_n$ é o $n$-ésimo termo da sequência $T$. |
| 2 Reconheça padrões em sequências, incluindo a regra termo-a-termo e relações entre diferentes sequências. | Inclui sequências lineares, quadráticas, cúbicas e exponenciais e combinações simples destas. |
| 3 Encontre e use o $n$-ésimo termo de sequências. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
A sequence 数列 is a list of numbers that follow a rule. The term-to-term rule 递推规则 tells you how to get the next term from the one before.
To find the rule for the term in position $n$ (the $n$th term), look at how the terms change.
Linear sequence (the terms go up by the same amount each time). The difference is the multiple of $n$.
Worked example. Find the $n$th term of $2, 5, 8, 11, \dots$
The terms go up by $3$, so start with $3n$. Since $3 \times 1 = 3$ but the first term is $2$, subtract $1$: the $n$th term is $3n - 1$.
Quadratic sequence (the differences themselves change by the same amount). The second difference equals $2 \times$ the coefficient of $n^{2}$.
Worked example. Find the $n$th term of $2, 5, 10, 17, \dots$
First differences are $3, 5, 7$; the second difference is $2$, so the $n^{2}$ part is $1n^{2}$. Subtracting $n^{2}$ ($1, 4, 9, 16$) from the sequence leaves $1, 1, 1, 1$. So the $n$th term is $n^{2} + 1$.
A cubic 三次 sequence such as $1, 8, 27, 64, \dots$ has $n$th term $n^{3}$. An exponential sequence 指数数列 such as $2, 6, 18, 54, \dots$ multiplies by a fixed number each time; here the $n$th term is $2 \times 3^{\,n-1}$.
Uma sequência 数列 é uma lista de números que seguem uma regra. A regra termo a termo 递推规则 diz como obter o próximo termo a partir do anterior.
Para encontrar a regra para o termo na posição $n$ (o $n$th termo), observe como os termos mudam.
Sequência linear (os termos aumentam na mesma quantidade cada vez). A diferença é o múltiplo de $n$.
Exemplo resolvido. Encontre o $n$th termo de $2, 5, 8, 11, \dots$
Os termos aumentam em $3$, então comece com $3n$. Como $3 \times 1 = 3$ mas o primeiro termo é $2$, subtraia $1$: o $n$th termo é $3n - 1$.
Sequência quadrática (as diferenças em si mudam na mesma quantidade). A segunda diferença é igual a $2 \times$ o coeficiente de $n^{2}$.
Exemplo resolvido. Encontre o $n$th termo de $2, 5, 10, 17, \dots$
As primeiras diferenças são $3, 5, 7$; a segunda diferença é $2$, então a parte $n^{2}$ é $1n^{2}$. Subtraindo $n^{2}$ ($1, 4, 9, 16$) da sequência sobra $1, 1, 1, 1$. Então o $n$th termo é $n^{2} + 1$.
Uma sequência cúbica 三次 como $1, 8, 27, 64, \dots$ tem o $n$-ésimo termo $n^{3}$. Uma sequência exponencial 指数数列 como $2, 6, 18, 54, \dots$ multiplica por um número fixo a cada vez; aqui o $n$-ésimo termo é $2 \times 3^{\,n-1}$.
Construa um termo de uma sequência aritmética (soma d) ou geométrica (multiplica r) passo a passo.
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| sequence/ˈsiːkwəns/ | 数列 | shù liè |
| term-to-term rule/tɜːm tə tɜːm ruːl/ | 递推规则 | dì tuī guī zé |
| cubic/ˈkjuːbɪk/ | 三次 | sān cì |
| exponential sequence/ˌekspəˈnenʃl ˈsiːkwəns/ | 指数数列 | zhǐ shù shù liè |
| direct proportion/daɪˈrekt prəˈpɔːʃn/ | 正比例 | zhèng bǐ lì |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Express direct and inverse proportion in algebraic terms and use this form of expression to find unknown quantities. | Includes linear, square, square root, cube and cube root proportion. Knowledge of proportional symbol ($\propto$) is required. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Expresse proporção direta e inversa em termos algébricos e use esta forma de expressão para encontrar quantidades desconhecidas. | Inclui proporção linear, quadrada, raiz quadrada, cúbica e raiz cúbica. Conhecimento do símbolo de proporção ($\propto$) é necessário. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
Two quantities are in direct proportion 正比例 if one is always a fixed multiple of the other: $y \propto x$ means $y = kx$, where $k$ is a constant 常数. They are in inverse proportion 反比例 if one rises as the other falls: $y \propto \dfrac{1}{x}$ means $y = \dfrac{k}{x}$. The symbol $\propto$ is read "is proportional to". You can also have proportion to a square, square root, cube or cube root.
Worked example. $y$ is in direct proportion to $x$, and $y = 12$ when $x = 3$. Find $y$ when $x = 7$.
First find $k$: $12 = k \times 3$, so $k = 4$ and $y = 4x$. Then $y = 4 \times 7 = 28$.
Duas quantidades estão em proporção direta 正比例 se uma for sempre um múltiplo fixo da outra: $y \propto x$ significa $y = kx$, onde $k$ é uma constante 常数. Elas estão em proporção inversa 反比例 se uma aumenta à medida que a outra diminui: $y \propto \dfrac{1}{x}$ significa $y = \dfrac{k}{x}$. O símbolo $\propto$ é lido "é proporcional a". Você também pode ter proporção a um quadrado, raiz quadrada, cubo ou raiz cúbica.
Exemplo resolvido. $y$ está em proporção direta com $x$, e vale $y = 12$ quando $x = 3$. Encontre $y$ quando $x = 7$.
Primeiro encontre $k$: $12 = k \times 3$, então $k = 4$ e $y = 4x$. Depois $y = 4 \times 7 = 28$.
y = a/x
Proporcionalidade Inversa: conforme x dobra, y cai pela metade — uma curva recíproca com duas assintotas.
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| constant/ˈkɒnstənt/ | 常数 | cháng shù |
| inverse proportion/ɪnˈvɜːs prəˈpɔːʃn/ | 反比例 | fǎn bǐ lì |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use and interpret graphs in practical situations including travel graphs and conversion graphs. | e.g. interpret the gradient of a straight-line graph as a rate of change. |
| 2 Draw graphs from given data. | e.g. draw a distance–time graph to represent a journey. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Use e interprete gráficos em situações práticas, incluindo gráficos de deslocamento e gráficos de conversão. | Ex. interprete a inclinação de um gráfico de linha reta como uma taxa de variação. |
| 2 Desenhe gráficos a partir de dados fornecidos. | Ex. desenhe um gráfico distância-tempo para representar uma viagem. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use and interpret graphs in practical situations including travel graphs and conversion graphs. | Includes estimation and interpretation of the gradient of a tangent at a point. |
| 2 Draw graphs from given data. | |
| 3 Apply the idea of rate of change to simple kinematics involving distance–time and speed–time graphs, acceleration and deceleration. | |
| 4 Calculate distance travelled as area under a speed–time graph. | Areas will involve linear sections of the graph only. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Use e interprete gráficos em situações práticas, incluindo gráficos de viagem e gráficos de conversão. | Inclui estimativa e interpretação da inclinação de uma tangente em um ponto. |
| 2 Desenhe gráficos a partir de dados fornecidos. | |
| 3 Aplique a ideia de taxa de variação à cinemática simples envolvendo gráficos de distância-tempo e velocidade-tempo, aceleração e desaceleração. | |
| 4 Calcule a distância percorrida como área sob um gráfico de velocidade-tempo. | As áreas envolverão apenas seções lineares do gráfico. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
The gradient 斜率 (steepness) of a graph shows a rate of change 变化率.
On a speed–time graph the gradient is the acceleration 加速度 (or deceleration 减速度 if the speed falls), and the area 面积 under the graph is the distance 距离 travelled.
Worked example. A car speeds up from rest to $20\text{ m/s}$ in $8\text{ s}$, then stays at $20\text{ m/s}$ for $12\text{ s}$. Find the acceleration and the total distance.
Acceleration $= \dfrac{20}{8} = 2.5\text{ m/s}^{2}$. The distance is the area: a triangle plus a rectangle,
A inclinação 斜率 (declividade) de um gráfico mostra uma taxa de variação 变化率.
Em um gráfico velocidade-tempo, a inclinação é a aceleração 加速度 (ou desaceleração 减速度 se a velocidade cair), e a área 面积 sob o gráfico é a distância 距离 percorrida.
Exemplo resolvido. Um carro acelera do repouso até $20\text{ m/s}$ em $8\text{ s}$, depois mantém-se a $20\text{ m/s}$ por $12\text{ s}$. Encontre a aceleração e a distância total.
Aceleração $= \dfrac{20}{8} = 2.5\text{ m/s}^{2}$. A distância é a área: um triângulo mais um retângulo,
y = ax + b
Um gráfico de distância-tempo ou custo é lido através de sua inclinação e seu intercepto.
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | 斜率 | xié lǜ |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | 变化率 | biàn huà lǜ |
| travel graph/ˈtrævl ɡræf/ | 行程图 | xíng chéng tú |
| conversion graph/kənˈvɜːʃn ɡræf/ | 换算图 | huàn suàn tú |
| acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/ | 加速度 | jiā sù dù |
| deceleration/dɪˌseləˈreɪʃn/ | 减速度 | jiǎn sù dù |
| distance/ˈdɪstəns/ | 距离 | jù lí |
| table of values/ˈteɪbl ɒv ˈvæljuːz/ | 数值表 | shù zhí biǎo |
| coordinates/kəʊˈɔːdɪnəts/ | 坐标 | zuò biāo |
| axis/ˈæksɪs/ | 坐标轴 | zuò biāo zhóu |
| roots/ruːts/ | 根 | gēn |
| intersection point/ˌɪntəˈsekʃn pɔɪnt/ | 交点 | jiāo diǎn |
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | 指数增长 | zhǐ shù zēng zhǎng |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | 指数衰减 | zhǐ shù shuāi jiǎn |
| symmetry/ˈsɪmətri/ | 对称 | duì chèn |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Construct tables of values, and draw, recognise and interpret graphs for functions of the following forms: • $ax + b$ • $\pm x^2 + ax + b$ • $\frac{a}{x} \ (x \neq 0)$ where $a$ and $b$ are integer constants. | |
| 2 Solve associated equations graphically, including finding and interpreting roots by graphical methods. | e.g. find the intersection of a line and a curve. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Construa tabelas de valores, e desenhe, reconheça e interprete gráficos para funções das seguintes formas: • $ax + b$ • $\pm x^2 + ax + b$ • $\frac{a}{x} \ (x \neq 0)$ where $a$ and $b$ are integer constants. | |
| 2 Resolva equações associadas graficamente, incluindo encontrar e interpretar raízes por métodos gráficos. | ex.: encontre a interseção de uma reta e uma curva. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Construct tables of values, and draw, recognise and interpret graphs for functions of the following forms: • $a x^n$ (includes sums of no more than three of these) • $a b^x + c$ where $n = -2, -1, -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 1, 2, 3$; $a$ and $c$ are rational numbers; and $b$ is a positive integer. | Examples include: • $y = x^3 + x - 4$ • $y = 2x + \frac{3}{x^2}$ • $y = \frac{1}{4} \times 2^x$. |
| 2 Solve associated equations graphically, including finding and interpreting roots by graphical methods. | e.g. finding the intersection of a line and a curve. |
| 3 Draw and interpret graphs representing exponential growth and decay problems. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Construir tabelas de valores, e desenhar, reconhecer e interpretar gráficos para funções das seguintes formas: • $a x^n$ (inclui somas de no máximo três destes) • $a b^x + c$ onde $n = -2, -1, -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 1, 2, 3$; $a$ e $c$ são números racionais; e $b$ é um inteiro positivo. | Exemplos incluem: • $y = x^3 + x - 4$ • $y = 2x + \frac{3}{x^2}$ • $y = \frac{1}{4} \times 2^x$. |
| 2 Resolver equações associadas graficamente, incluindo encontrar e interpretar raízes por métodos gráficos. | p.ex. encontrando a interseção de uma reta e uma curva. |
| 3 Desenhar e interpretar gráficos representando problemas de crescimento e decaimento exponencial. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
To draw a graph, make a table of values 数值表: choose values of $x$, work out $y$, then plot the coordinates 坐标 and join them with a smooth curve.
The points where a graph crosses the $x$-axis (the horizontal axis 坐标轴) are the roots 根 — the solutions of $y = 0$.
You can solve an equation by reading a graph. The intersection point 交点 of a line and a curve gives the solution of the two equations together.
For exponential growth 指数增长 and exponential decay 指数衰减, the graph of $y = a\,b^{x} + c$ rises (or falls) faster and faster and flattens towards a horizontal line.
Para desenhar um gráfico, faça uma tabela de valores 数值表: escolha valores de $x$, calcule $y$, depois plote as coordenadas 坐标 e una-os com uma curva suave.
Os pontos onde um gráfico cruza o eixo $x$ (o eixo horizontal eixo 坐标轴) são as raízes 根 — as soluções de $y = 0$.
Você pode resolver uma equação lendo um gráfico. O ponto de interseção 交点 de uma linha e uma curva fornece a solução das duas equações juntas.
Para crescimento exponencial 指数增长 e decaimento exponencial 指数衰减, o gráfico de $y = a\,b^{x} + c$ sobe (ou desce) cada vez mais rápido e achata-se em direção a uma linha horizontal.
y = ax² + bx + c
Arraste a, b e c e observe a parábola mover-se — o seu ponto de viragem e onde cruza os eixos.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Recognise, sketch and interpret graphs of the following functions: (a) linear (b) quadratic. | Knowledge of symmetry and roots is required. Knowledge of turning points is not required. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Reconheça, esboce e interprete gráficos das seguintes funções: (a) linear (b) quadrática. | Conhecimento de simetria e raízes é necessário. Conhecimento de pontos de virada não é necessário. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Recognise, sketch and interpret graphs of the following functions: (a) linear (b) quadratic (c) cubic (d) reciprocal (e) exponential. | Functions will be equivalent to: • $ax + by = c$ • $y = ax^2 + bx + c$ • $y = ax^3 + b$ • $y = ax^3 + bx^2 + cx$ • $y = \frac{a}{x} + b$ • $y = ar^x + b$ where $a$, $b$ and $c$ are rational numbers and $r$ is a rational, positive number. Knowledge of turning points, roots and symmetry is required. Knowledge of vertical and horizontal asymptotes is required. Finding turning points of quadratics by completing the square is required. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| Reconhecer, esboçar e interpretar gráficos das seguintes funções: (a) lineares (b) quadráticas (c) cúbicas (d) recíprocas (e) exponenciais. | As funções serão equivalentes a: • $ax + by = c$ • $y = ax^2 + bx + c$ • $y = ax^3 + b$ • $y = ax^3 + bx^2 + cx$ • $y = \frac{a}{x} + b$ • $y = ar^x + b$ onde $a$, $b$ e $c$ são números racionais e $r$ é um número racional positivo. É necessário conhecimento de pontos de viragem, raízes e simetria. É necessário conhecimento de assíntotas verticais e horizontais. Encontrar pontos de viragem de quadráticas completando o quadrado é exigido. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
A quick sketch should show the right shape and the key features: where it crosses the axes, any symmetry 对称, and any line the curve gets close to.
| Function | Shape |
|---|---|
| linear, $y = mx + c$ | straight line; gradient $m$, $y$-intercept 截距 $c$ |
| quadratic, $y = ax^{2} + bx + c$ | a parabola 抛物线 (U-shape if $a>0$, $\cap$-shape if $a<0$) |
| cubic, $y = ax^{3} + bx + c$ | an S-shaped curve |
| reciprocal, $y = \dfrac{a}{x} + b$ | two separate curves |
| exponential, $y = a\,r^{x} + b$ | fast growth or decay |
For a parabola, completing the square gives the turning point 转折点 (the lowest or highest point). For example $y = (x + 3)^{2} - 8$ has its turning point at $(-3, -8)$.
An asymptote 渐近线 is a line that the curve gets closer and closer to but never touches — for example, the $x$-axis for $y = \dfrac{a}{x}$, or the line $y = b$ for $y = a\,r^{x} + b$.
Um esboço rápido deve mostrar a forma correta e os recursos-chave: onde cruza os eixos, qualquer simetria 对称, e qualquer linha a qual a curva se aproxima.
| Função | Formato |
|---|---|
| linear, $y = mx + c$ | linha reta; declive $m$, intercepto $y$-intercepto 截距 $c$ |
| quadrática, $y = ax^{2} + bx + c$ | uma parábola 抛物线 (forma de U se $a>0$, $\cap$forma de S se $a<0$) |
| cúbica, $y = ax^{3} + bx + c$ | uma curva em forma de S |
| recíproca, $y = \dfrac{a}{x} + b$ | duas curvas separadas |
| exponencial, $y = a\,r^{x} + b$ | crescimento ou decaimento rápido |
Para uma parábola, a completação de quadrado dá o ponto de virada 转折点 (o ponto mais baixo ou mais alto). Por exemplo, $y = (x + 3)^{2} - 8$ tem seu ponto de virada em $(-3, -8)$.
Uma assíntota 渐近线 é uma linha que a curva se aproxima cada vez mais, mas nunca toca — por exemplo, o eixo $x$ para $y = \dfrac{a}{x}$, ou a linha $y = b$ para $y = a\,r^{x} + b$.
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| intercept/ˌɪntəˈsept/ | 截距 | jié jù |
| parabola/pəˈræbələ/ | 抛物线 | pāo wù xiàn |
| turning point/ˈtɜːnɪŋ pɔɪnt/ | 转折点 | zhuǎn zhé diǎn |
| asymptote/ˈæsɪmptəʊt/ | 渐近线 | jiàn jìn xiàn |
| differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | 微分 | wēi fēn |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Estimate gradients of curves by drawing tangents. | |
| 2 Use the derivatives of functions of the form $ax^n$, where $a$ is a rational constant and $n$ is a positive integer or zero, and simple sums of not more than three of these. | $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ notation will be expected. |
| 3 Apply differentiation to gradients and stationary points (turning points). | |
| 4 Discriminate between maxima and minima by any method. | Maximum and minimum points may be identified by: • an accurate sketch • use of the second differential • inspecting the gradient either side of a turning point. Candidates are not expected to identify points of inflection. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Estimar gradientes de curvas desenhando tangentes. | |
| 2 Utilizar as derivadas de funções da forma $ax^n$, onde $a$ é uma constante racional e $n$ é um inteiro positivo ou zero, e somas simples de no máximo três destes. | A notação $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ será exigida. |
| 3 Aplicar diferenciação a gradientes e pontos estacionários (pontos de viragem). | |
| 4 Discriminar entre máximos e mínimos por qualquer método. | Pontos de máximo e mínimo podem ser identificados por: • um esboço preciso • uso da segunda derivada • inspecionar o gradiente de ambos os lados de um ponto de viragem. Os candidatos não são esperados a identificar pontos de inflexão. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
Differentiation 微分 finds the gradient of a curve at any point. You can estimate it by drawing a tangent 切线 (a line that just touches the curve) and measuring its gradient.
The exact rule: if $y = ax^{n}$, then the derivative 导数 is
Differentiate a sum term by term.
Worked example. If $y = x^{3} + 2x^{2} - 5x$, then $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^{2} + 4x - 5$.
A stationary point 驻点 (turning point) is where the gradient is zero, so set $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0$.
Worked example. Find the turning point of $y = x^{2} - 6x + 5$.
The turning point is $(3, -4)$. To decide whether a turning point is a maximum 最大值 or a minimum 最小值, check the sign of the gradient on each side, or use the second derivative (positive means a minimum).
Diferenciação 微分 encontra a inclinação de uma curva em qualquer ponto. Você pode estimá-la desenhando uma tangente 切线 (uma linha que apenas toca a curva) e medindo sua inclinação.
A regra exata: se $y = ax^{n}$, então a derivada 导数是
Diferencie uma soma termo a termo.
Exemplo resolvido. Se $y = x^{3} + 2x^{2} - 5x$, então $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^{2} + 4x - 5$.
Um ponto estacionário 驻点 (ponto de virada) é onde a inclinação é zero, então defina $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0$.
Exemplo resolvido. Encontre o ponto de virada de $y = x^{2} - 6x + 5$.
O ponto de virada é $(3, -4)$. Para decidir se um ponto de virada é um máximo 最大值 ou um mínimo 最小值, verifique o sinal da inclinação em cada lado, ou use a segunda derivada (positivo significa mínimo).
y = ax³ + bx² + cx + d
Mova o ponto: a tangente mostra o declive ali, que é o que a diferenciação encontra.
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| tangent/ˈtændʒənt/ | 切线 | qiè xiàn |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | 导数 | dǎo shù |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | 驻点 | zhù diǎn |
| maximum/ˈmæksɪməm/ | 最大值 | zuì dà zhí |
| minimum/ˈmɪnɪməm/ | 最小值 | zuì xiǎo zhí |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand functions, domain and range and use function notation. | Examples include: • $f(x) = 3x - 5$ • $g(x) = \frac{3(x + 4)}{5}$ • $h(x) = 2x^2 + 3$. |
| 2 Understand and find inverse functions $f^{-1}(x)$. | |
| 3 Form composite functions as defined by $gf(x) = g(f(x))$. | e.g. $f(x) = \frac{3}{x + 2}$ and $g(x) = (3x + 5)^2$. Find $fg(x)$. Give your answer as a fraction in its simplest form. Candidates are not expected to find the domains and ranges of composite functions. This topic may include mapping diagrams. |
| Conteúdo do assunto | Notas e exemplos |
|---|---|
| 1 Compreender funções, domínio e contradomínio e utilizar notação funcional. | Exemplos incluem: • $f(x) = 3x - 5$ • $g(x) = \frac{3(x + 4)}{5}$ • $h(x) = 2x^2 + 3$. |
| 2 Compreender e encontrar funções inversas $f^{-1}(x)$. | |
| 3 Formar funções compostas definidas por $gf(x) = g(f(x))$. | p.ex. $f(x) = \frac{3}{x + 2}$ e $g(x) = (3x + 5)^2$. Encontrar $fg(x)$. Apresentar a resposta como uma fração na sua forma mais simples. Os candidatos não são esperados a encontrar os domínios e contradomínios de funções compostas. Este tópico pode incluir diagramas de mapeamento. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
A function 函数 turns each input into one output. We write $f(x)$, for example $f(x) = 3x - 5$, so $f(2) = 1$. The set of allowed inputs is the domain 定义域; the set of possible outputs is the range 值域.
The inverse function 反函数 $f^{-1}(x)$ undoes the function. To find it, write $y = f(x)$, swap the roles, and make $x$ the subject.
Worked example. Find the inverse of $f(x) = 3x - 5$.
A composite function 复合函数 applies one function after another: $gf(x)$ means "do $f$ first, then $g$".
Worked example. If $f(x) = 2x$ and $g(x) = x + 3$, then
Uma função 函数 transforma cada entrada em uma saída. Escrevemos $f(x)$, por exemplo $f(x) = 3x - 5$, então $f(2) = 1$. O conjunto de entradas permitidas é o domínio 定义域; o conjunto de saídas possíveis é o contradomínio 值域.
A função inversa 反函数 $f^{-1}(x)$ desfaz a função. Para encontrá-la, escreva $y = f(x)$, troque os papéis e isole $x$.
Exemplo resolvido. Encontre a inversa de $f(x) = 3x - 5$.
Uma função composta 复合函数 aplica uma função após outra: $gf(x)$ significa "faça $f$ primeiro, depois $g$".
Exemplo resolvido. Se $f(x) = 2x$ e $g(x) = x + 3$, então
y = f(x)
Uma função transforma cada entrada em exatamente uma saída — observe sua forma.
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| function/ˈfʌŋkʃn/ | 函数 | hán shù |
| domain/dəˈmeɪn/ | 定义域 | dìng yì yù |
| range/reɪndʒ/ | 值域 | zhí yù |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | 反函数 | fǎn hán shù |
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | 复合函数 | fù hé hán shù |
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Passe por ele passo a passo, com exercícios de verificação instantânea.
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