הבנה מתמשכת (VAR-1): בשל כך ששינוי עשוי להיות אקראי או לא, המסקנות הן לא וודאות.
מטרות למידה VAR-1.A: זיהוי שאלות לענות עליהן, על בסיס שינוי בנתוני משתנה אחד. [מיומנות 1.A]
- VAR-1.A.1 מספרים עשויים להעביר מידע משמעותי, כאשר הם ממוקמים בהקשר.
חקר נתוני משתנה אחד
סטטיסטיקה - AP · נושא 1
9:03
חקר נתוני משתנה אחד
מדדו את אותו דבר עשרים פעמים ותקבלו לא אותה תשובה עשרים פעמים. עשרים תלמידים מדדו שולחן אחד. הערכים משתנים. זה אינו…
קריאת קול באנגלית · תרגום אנגלי + סינית שרוף בתוך הסרטון
1.1
הצגת סטטיסטיקה: מה נוכל ללמוד מהנתונים?
סיילבוס
מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP
סטטיסטיקה היא המדע של למידה מנתונים – מספרים או תווים שנאספו מהעולם האמיתי. נתונים משתנים, ולכן אנו מתארים דפוסים ומסבירים את ההתנעות במקום לה预期 שכל ערך יהיה זהה. שאלה סטטיסטית מצפה לתשובה המבוססת על נתונים משתנים.
שתי הבדלים עוברים בכל הקורס. פרמטר הוא סיכום מספרי של אוכלוסייה שלמה; סטטיסטיקה היא סיכום מספרי של דגימה - אנו משתמשים בסטטיסטיקה כדי להעריך את הפרמטר שאינו ניתן למדידה ישירה.此外，סטטיסטיקה תיאורית רק מסכמת את סט הנתונים בפנינו, בעוד שסטטיסטיקה אינפרינציאלית משתמשת בדגימה כדי לעשות ולבחון טענות לגבי האוכלוסייה הגדולה יותר.
1.2
שפת המשתנים: משתנים
סיילבוס
הבנה מתמשכת (VAR-1): בשל כך ששינוי עשוי להיות אקראי או לא, המסקנות הן לא וודאות.
מטרת הלמידה VAR-1.B: זיהוי משתנים בקבוצת נתונים. [מיומנות 2.A]
- VAR-1.B.1 משתנה הוא תכונה השונה מאדם אחד לאחר.
מטרת הלמידה VAR-1.C: סיווג סוגי משתנים. [מיומנות 2.A]
- VAR-1.C.1 משתנה קטגוריאלי מקבל ערכים שהם שמות קטגוריות או תוויות קבוצות.
- VAR-1.C.2 משתנה כמותי הוא משתנה המקבל ערכים מספריים לכמות שנמדדה או נספרה.
- דוגמאות מדגמות עבור VAR-1.C:
- משתנים קטגוריאליים:
- יד דומיננטית
- קבוצת גיל (צעיר או זקן)
- התואר הגבוה ביותר שהושג
- משתנים כמותיים:
- גיל מבנה
- גובה ילד
- ריכוז הדוגמה
- משתנים קטגוריאליים:
- דוגמאות מדגמות עבור VAR-1.C:
מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP
משתנה הוא מאפיין שיכול להשתנות בין פרטים. שני סוגים:
- קטגורי (איכותי): הערכים הם תוויות/קבוצות (צבע עיניים, מותג).
- כמותי: הערכים הם מספרים שעליהם ניתן לבצע חישובים (גובה, גיל). משתנים כמותיים הם דיסקרטיים (ניתנים לספירה) או רציפים (נמדדים).
בחירת הגרף והסיכום המתאימים תלו בסוג המשתנה.
חקור
קטגורי או כמותי?
כל משתנה הוא או קטגורי (הוא תווה ליחידה קבוצה) או כמותי (מספר נמדד שאפשר לחשב ממנו ממוצע). סוגו קובע אילו גרפים וסיכומים מותר לך להשתמש בהם.
1.3
ייצוג משתנה קטגורי בטבלאות
סיילבוס
הבנה מתמשכת (UNC-1): ייצוגים גרפיים וסטטיסטיקה מאפשרים לזהות ולייצג תכונות מרכזיות של נתונים.
מטרות למידה UNC-1.A: ייצוג נתונים קטגוריאליים באמצעות טבלאות תדירות או תדירות יחסית. [מיומנות 2.B]
- UNC-1.A.1 טבלת תדירות מציגה את מספר המקרים הנופלים בכל קטגוריה. טבלת תדירות יחסית מציגה את הפרופורציה של המקרים הנופלים בכל קטגוריה.
מטרות למידה UNC-1.B: תיאור נתונים קטגוריאליים המוצגים בטבלאות תדירות או תדירות יחסית. [מיומנות 2.A]
- UNC-1.B.1 אחוזים, תדירויות יחסיות ומדדים מספקים את אותה מידע כמו פרופורציות.
- UNC-1.B.2 ספירות ותדירויות יחסיות של נתונים קטגוריאליים חושפות מידע שיכול לשמש להנמנת טענות לגבי הנתונים בהקשר.
מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP
טבלת תדירות מפרטת את הספירה (התדירות) של כל קטגוריה; טבלת תדירות יחסית מפרטת את החלק היחסי (הספירה חולקת בסך הכל) של כל קטגוריה. תדירויות יחסיות מאפשרות השוואה הוגנת בין קבוצות בגדלים שונים.
1.4
ייצוג משתנה קטגורי בגרפים
סיילבוס
הבנה מתמשכת (UNC-1): ייצוגים גרפיים וסטטיסטיקה מאפשרים לזהות ולייצג תכונות מרכזיות של נתונים.
מטרות למידה UNC-1.C: ייצוג נתונים קטגוריאליים גרפית. [מיומנות 2.B]
- UNC-1.C.1 גרפי עמודות (או גרפי פס) משמשים להצגת תדירויות (ספירות) או תדירויות יחסיות (פרופורציות) עבור נתונים קטגוריאליים.
- UNC-1.C.2 הגובה או האורך של כל עמודה בגרף עמודות מתאימים לספירה או לפרופורציה של הצפות הנופלות בתוך כל קטגוריה.
- UNC-1.C.3 קיימות דרכים נוספות רבות לייצוג תדירויות (ספירות) או תדירויות יחסיות (פרופורציות) עבור נתונים קטגוריאליים.
מטרות למידה UNC-1.D: תיאור נתונים קטגוריאליים המוצגים גרפית. [מיומנות 2.A]
- UNC-1.D.1 ייצוגים גרפיים של משתנה קטגוריאלי חושפים מידע שיכול לשמש להנמנת טענות לגבי הנתונים בהקשר.
מטרות למידה UNC-1.E: השוואת מספר קבוצות נתונים קטגוריאליים. [מיומנות 2.D]
- UNC-1.E.1 טבלאות תדירות, גרפי עמודות או ייצוגים אחרים יכולים לשמש להשוואה בין שתי קבוצות נתונים או יותר על פי אותו משתנה קטגוריאלי.
מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP
גרף עמודתי מציג את הספירה או החלק היחסי של כל קטגוריה כעמודות נפרדות; גרף עיגולי מציג את חלקו של כל קטגוריה מהכלל. גובה העמודות (או הפיסות) מאפשר השוואה בין הקטגוריות במבט אחד. העמודות יכולות להיות מסודרות לפי הגודל או לפי סדר טבעי של הקטגוריה.
חקור
הצג משתנה קטגוריאלי כגרף עיגולי
גרף עיגולי ממיר את חלקו של כל קטגוריה מהכלל לעיגול: חלק גדול יותר הוא עיגול גדול יותר, וכל העיגולים יחד מייצגים 100%. זהו ציור טבלת תדירות יחסית.
1.5
ייצוג משתנה כמותי בגרפים
סיילבוס
הבנה מתמשכת (UNC-1): ייצוגים גרפיים וסטטיסטיקה מאפשרים לזהות ולייצג תכונות מרכזיות של נתונים.
מטרות למידה UNC-1.F: סיווג סוגי משתנים כמותיים. [מיומנות 2.A]
- UNC-1.F.1 משתנה דיסקרטי יכול לקבל מספר ספיר של ערכים. מספר הערכים עשוי להיות סופי או אינסופי ספיר, כמו במספרי הספירה.
- UNC-1.F.2 משתנה רציף יכול לקבל ערכים אינסופיים, אך ערכים אלו אינם ספריים. ללא תלות בגודל המרווח בין שני ערכים של משתנה רציף, תמיד ניתן למצוא ערך נוסף ביניהם.
- דוגמאות להמחשה עבור UNC-1.F:
- משתנה בדיד:
- מספר תלמידים בכיתה
- משתנה רציף:
- גובה ילד
- משתנה בדיד:
- דוגמאות להמחשה עבור UNC-1.F:
מטרת הלמידה UNC-1.G: ייצוג נתונים כמותיים גרפית. [מיומנות 2.B]
- UNC-1.G.1 בהיסטוגרמה, גובהו של כל עמודה מייצג את מספר או את היחס של הנתונים הנופלים בתוך המרווח המתאים לעמודה זו. שינוי רוחב המרווחים עלול לשנות את מראה ההיסטוגרמה.
- UNC-1.G.2 במסדרת גבעות ועלים, כל ערך נתון מחולק ל"גבעה" (הספרה הראשונה או הספרות הראשונות) ול"עלה" (בדרך כלל הספרה האחרונה).
- UNC-1.G.3 דיאגרמת נקודות מייצגת כל תצפית באמצעות נקודה, כאשר המיקום על הציר האופקי מתאים לערך הנתון של התצפית זו, כאשר ערכים זהים כמעט ערוכים אחד מעל השני.
- UNC-1.G.4 גרף מצטבר מייצג את מספר או את היחס של נתונים קטניםים או שווים לערך נתון.
- UNC-1.G.5 קיימים עוד דרכים רבות ליצוג גרפי של חלוקות נתונים כמותיים.
מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP
עבור מספרים, השתמש ב-גרף נקודות, גרף עוקץ-עלה או היסטוגרם (עמודות מעל רווחי ערך הנקראים ** bins**). אלו מראים את ההתפלגות – כיצד הערכים מתפזרים. רוחב ה-bins בהיסטוגרם משנה את התמונה, לכן יש לבחור אותו כדי לחשוף את הצורה.
חקור
חקור כיצד רוחב סל משפיע על היסטוגרם
היסטוגרם מקבץ נתונים לסלים בעלי רוחב שווה ומצייר עמודה מעל כל אחד. שינוי הסלים וחשוב כיצד אותו נתונים יכול להיראות מחוספס (רוחב צר מדי) או חלק (רוחב רחב מדי) — הצורה היא בחירה.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| Statistics/stəˈtɪstɪks/ | סטטיסטיקה |
| data/ˈdeɪtə/ | נתונים |
| variation/ˌveərɪˈeɪʃn/ | שונות |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | פרמטר |
| statistic/stəˈtɪstɪk/ | סטטיסטיקה |
| descriptive statistics/dɪˈskrɪptɪv stəˈtɪstɪks/ | סטטיסתיב תיאורי |
| inferential statistics/ɪnfəˈrenʃl stəˈtɪstɪks/ | סטטיסטיב היסקי |
| variable/ˈveərɪəbl/ | משתנה |
| Categorical/ˌkætɪˈɡɒrɪkl/ | קטגורי |
| Quantitative/ˈkwɒntɪteɪtɪv/ | כמותי |
| frequency table/ˈfriːkwənsi ˈteɪbl/ | טבלת תדירות |
| relative frequency/ˈrelətɪv ˈfriːkwənsi/ | תדירות יחסית |
| proportion/prəˈpɔːʃn/ | פרופורציה |
| Bar charts/bɑː tʃɑːts/ | דיאגרמת עמודות |
| dotplot/ˈdɒtplɒt/ | דיאגרמת נקודות |
| stem-and-leaf plot/stem ænd liːf plɒt/ | תרשים עלה וענף |
| histogram/ˈhɪstəɡræm/ | היסטוגרמה |
1.6
תיאור ההתפלגות של משתנה כמותי
סיילבוס
הבנה מתמשכת (UNC-1): ייצוגים גרפיים וסטטיסטיקה מאפשרים לזהות ולייצג תכונות מרכזיות של נתונים.
מטרת הלמידה UNC-1.H: תיאור מאפייני חלוקות נתונים כמותיים. [מיומנות 2.A]
- UNC-1.H.1 תיאורים של חלוקת נתונים כמותיים כוללים צורה, מרכזיות ושיבוש (פיזור), כמו גם מאפיינים בולטים כלשהם כגון ערכים קיצוניים, רווחים, צבירים או פסגות מרובות.
- UNC-1.H.2 ערכים קיצוניים לנתוני משתנה אחד הם נקודות נתונים שהן קטנות או גדולות בצורה בולטת ביחס לשאר הנתונים.
- UNC-1.H.3 חלוקה היא אלכסונית ימינה (אלכסון חיובי) אם הזנב הימני ארוך מהשמאלי. חלוקה היא אלכסונית שמאלה (אלכסון שלילי) אם הזנב השמאלי ארוך מימני. חלוקה היא סימטרית אם החלק השמאלי הוא תמונת ראי של החלק הימני.
- UNC-1.H.4 גרפים חד-משתניים עם פסגה אחת ראשית נקראים חד-פסגתיים. גרפים עם שתי פסגות בולטות הם דו-פסגתיים. גרף בו גובה העמודות הוא בערך זהה (ללא פסגות בולטות) הוא בערך אחיד.
- UNC-1.H.5 רווח הוא אזור בחלוקה בין שני ערכי נתונים שאין בו נתונים שנצפו.
- UNC-1.H.6 צבירים הם ריכוזי נתונים המופרדים בדרך כלל על ידי רווחים.
- UNC-1.H.7 סטטיסטיקה תיאורית אינה יחסה מאפיינים של קבוצת נתונים לאוכלוסייה רחבה יותר, אך עשויה לספק בסיס לניחוחות לבדיקות בעתיד.
מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP
תיארו ארבעה דברים (זכרו את SOCS):
- צורה: סימטרית או אל-סימטרית שמאלה/ימינה (זנב ארוך בצד זה), וכמה פסגות - פסגה ראשית אחת היא חד-שיאית, שתי פסגות בולטות הן דו-שיאיות, ועמודות בקירוב שוות הן אחידות.
- ערכים קיצוניים: ערכים בלתי רגילים הרחק משאר הערכים.
- מרכז: ערך אופייני (ממוצע או ממוצע מחוסר קצוות).
- פיזור: עד כמה הערכים משתנים (טווח, IQR, סטיית תקן).
תמיד תארו צורה/מרכז/פיזור בתוך ההקשר, עם יחידות מידה.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| distribution/ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | התפלגות |
| Shape/ʃeɪp/ | צורה |
| skewed/skjuːd/ | מעווכת |
| unimodal/ˌʌnɪˈmɒdl/ | חד-שיא |
| bimodal/baɪˈmɒdl/ | דו-שיא |
| uniform/ˈjuːnɪfɔːm/ | אחידה |
| Outliers/ˈaʊtlaɪəz/ | ערכים קיצוניים |
| mean/miːn/ | ממוצע |
| median/ˈmiːdiːən/ | חציון |
| interquartile range/ˌɪntəˈkwɔːtaɪl reɪndʒ/ | טווח רבעוני |
1.7
סטטיסתיקת סיכום למשתנה כמותי
סיילבוס
הבנה מתמשכת (UNC-1): ייצוגים גרפיים וסטטיסטיקה מאפשרים לזהות ולייצג תכונות מרכזיות של נתונים.
מטרות לימוד UNC-1.I: חשב מידות מרכז ומיקום לנתונים כמותיים. [מיומנות 2.C]
- UNC-1.I.1 סטטיסטיקה היא סיכום מספרי של נתוני דוגמה.
- UNC-1.I.2 הממוצע הוא סכום כל ערכי הנתונים מחולק במספר הערכים. לדוגמה, הממוצע מסומן על ידי $x$: $\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$, כאשר $x_i$ מייצג את ה$i^{\text{th}}$ נקודת הנתון בדוגמה ו$n$ מייצג את מספר ערכי הנתונים בדוגמה.
- UNC-1.I.3 הניצב (המחצית) של מערך נתונים הוא הערך האמצעי כאשר הנתונים מסודרים. כאשר מספר נקודות הנתונים הוא זוגי, הניצב יכול לקבל כל ערך בין שני הערכים האמצעיים. בתרומיות AP, הערך הנפוץ ביותר עבור הניצב של מערך נתונים עם מספר זוגי של ערכים הוא הממוצע של שני הערכים האמצעיים.
- UNC-1.I.4 הרביע הראשון, Q1, הוא הניצב של החצי ממערך הנתונים המסודר מהמינימום ועד למיקום הניצב. הרביע השלישי, Q3, הוא הניצב של החצי ממערך הנתונים המסודר ממיקום הניצב עד למקסימום. Q1 ו-Q3 יוצרים את הגבולות עבור 50% המרכזיים של ערכים במערך נתונים מסודר.
- UNC-1.I.5 ה$p^{\text{th}}$ פרצנטיל מתורגם כערך שעבורו $p\%$ מהנתונים קטנים או שווים לו.
מטרות לימוד UNC-1.J: חשב מידות התפלגות לנתונים כמותיים. [מיומנות 2.C]
- UNC-1.J.1 שלושה מידות התפלגות (או פיזור) נפוצות בהתפלגות הן טווח, טווח רביעי ואי-סטינדרט.
- UNC-1.J.2 הטווח מוגדר כהפרש בין הערך המקסימלי לערך המינימלי של הנתונים. טווח הרביעים (IQR) מוגדר כהפרש בין הרביע השלישי לרביע הראשון: $Q3 - Q1$. גם הטווח וגם טווח הרביעים הם דרכים אפשריות למדוד את ההתפלגות של משתנה כמותי.
- UNC-1.J.3 אי-סטינדרט הוא דרך למדוד את ההתפלגות של משתנה כמותי. לדוגמה, האי-סטינדרט מסומן על ידי $s$: $s_x = \sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum(x_i - \bar{x})^2}$. ריבוע האי-סטינדרט של הדוגמה, $s^2$, נקרא וاریאנס הדוגמה.
- UNC-1.J.4 שינוי יחידות המדידה משפיע על ערכי הסטטיסטיקות המחושבות.
מטרות לימוד UNC-1.K: הסבר הבחירה במידת מרכז ו/או התפלגות ספציפית לתיאור מערך נתונים כמותי. [מיומנות 4.B]
- UNC-1.K.1 קיימות שיטות רבות לזיהוי ערכים קיצוניים. שתי שיטות הנפוצות בקורס זה הן:
- UNC-1.K.1.i ערך קיצוני הוא ערך גדול ב-$1.5 \times \text{IQR}$ מעל הרביע השלישי או יותר מ-$1.5 \times \text{IQR}$ מתחת לרביע הראשון.
- UNC-1.K.1.ii ערך קיצוני הוא ערך הנמצא 2 או יותר אי-סטינדרטים מעל או מתחת לממוצע.
- UNC-1.K.2 הממוצע, האי-סטינדרט והטווח נחשבים ללא-עמידים (או לא-רובסטיים) משום שהם מושפעים מערכים קיצוניים. הניצב וה-IQR נחשבים לעמידים (או רובסטיים), משום שערכים קיצוניים אינם משפיעים עליהם באופן משמעותי (אם בכלל על ערכם).
מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP
- מרכז: ה-ממוצע $\bar{x}=\dfrac{\sum x_i}{n}$ (אחוזי) וה-מדIAN (ערך אמצעי). המדIAN עמיד בפני ערכים קיצוניים; הממוצע נמשך לכיוון הסטייה.
- התפזרות: הטווח, טווח הרבעונים $\text{IQR}=Q_3-Q_1$ (50% האמצעיים), וסטיית התקן $s_x=\sqrt{\dfrac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$ (מרחק טיפוסי מהממוצע; ריבועו הוא שונות).
- סיכום חמשת המספרים: מינימום, $Q_1$, מדIAN, $Q_3$, מקסימום.
השתמש במידות עמידות (מדIAN, IQR) לנתונים עם סטייה; ממוצע וסטיית תקן לנתונים המנומסים בערך סימטריים.
רביע של ערך הוא אחוז הנתונים הנמצאים באותו ערך או מתחת לו – ולכן המדIAN הוא הרביע ה-50 וה$Q_1$ הוא הרביע ה-25. גרף תדירות יחסית מצטברת מאפשר קריאה קלה של רביעים: עבור כל ערך הוא מציג את החלק מהנתונים הנמצאים באותו ערך או מתחת לו, העולה מ-0 ל-1. עלה מערך לעומת הגרף וחוצה אל הרביע שלו, או הפוך את השלבים כדי למצוא את הערך ברביע נתון (אותה קריאה עובדת גם מגרף תדירות מצטברת).
דוגמה פותרת. עבור הנתונים $4, 8, 6, 10, 7$: הממוצע הוא $\bar{x}=\dfrac{4+8+6+10+7}{5}=\dfrac{35}{5}=7$. לאחר סידור ל$4,6,7,8,10$, המדIAN הוא הערך האמצעי, $7$. הממוצע והמדIAN מסכימים כאן מכיוון שהנתונים הם מנומסים בערך סימטריים.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| standard deviation/ˈstændəd ˌdiːvɪˈeɪʃn/ | סטיית תקן |
| variance/ˈveərɪəns/ | שונות |
| five-number summary/faɪv ˈnʌmbə ˈsʌməri/ | סיכום חמישה מספרים |
| percentile/pəˈsentaɪl/ | אחוזון |
| cumulative relative frequency graph/ˈkjuːmjʊlətɪv ˈrelətɪv ˈfriːkwənsi ɡræf/ | גרף תדירות יחסית מצטברת |
1.8
ייצוג גרפי של סטטיסטיקות סיכום
סיילבוס
הבנה מתמשכת (UNC-1): ייצוגים גרפיים וסטטיסטיקה מאפשרים לזהות ולייצג תכונות מרכזיות של נתונים.
מטרות לימוד UNC-1.L: ייצג סיכום סטטיסטי לנתונים כמותיים בגרפים. [מיומנות 2.B]
- UNC-1.L.1 יחד, ערך הנתונים המינימלי, הרביע הראשון (Q1), הניצב, הרביע השלישי (Q3) וערך הנתונים המקסימלי מרכיבים את סיכום חמש המספרים.
- UNC-1.L.2 גרף קופסה הוא ייצוג גרפי של סיכום חמישה מספרים (ערך מינימלי, רביע ראשון, מוסיף, רביע שלישי, ערך מקסימלי). הקופסה מייצגת את 50% האמצעיים של הנתונים, עם קו במוסיף וקצוות הקופסה המתאימים לרבעים. קווים ("זנבות") נמתחים מהרבעים הנקודה הקיצונית ביותר שאינה אנומליה, ואנומליות מצוין על ידי סממן משלום מעבר לכך.
מטרות למידה UNC-1.M: לתאר סטטיסטיקות סיכום של נתונים כמותיים המיוצגים גרפית. [מיומנות 2.A]
- UNC-1.M.1 סטטיסטיקות סיכום של נתונים כמותיים, או של קבוצות נתונים כמותיים, יכולות לשמש להנמק טענות לגבי הנתונים בהקשר.
- UNC-1.M.2 אם ההתפלגות היא סימטרית יחסית, אזי הממוצע והמוסיף נמצאים קרוב אחד לשני. אם ההתפלגות נוטה ימינה, אזי הממוצע בדרך כלל נמצא מימין למוסיף. אם ההתפלגות נוטה שמאלה, אזי הממוצע בדרך כלל נמצא משמאל למוסיף.
מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP
תרשים קופסה מצייר סיכום חמישה מספרים: קופסה מ-$Q_1$ עד $Q_3$ עם ה médian בתוכה, ו"זנבות" לערכים הקיצוניים ביותר שאינם חריגים. נקודה היא חריג אם היא נמצאת יותר מ-$1.5\times\text{IQR}$ מעבר לרביעית – כלל שעשוי להתבקש ליישם. תרשימי קופסה אידיאליים להשוואה בין מספר קבוצות בצדדים זה של זה.
דוגמה פותרת. לערכת נתונים יש $Q_1=20$ ו$Q_3=32$, ולכן $\text{IQR}=12$. מחסומי הערכים הקיצוניים הם $Q_1-1.5(12)=2$ ו$Q_3+1.5(12)=50$. כל ערך הנמוך מ$2$ או הגבוה מ$50$ מסומן כערך קיצוני.
חקור
חקור סיכום חמישה מספרים כמגדר
גרור $Q_1$, את האמצעי, ואת $Q_3$ כדי לראות את הקופסה (אורכה הוא IQR) וכיצד מיקום האמצעי בתוך הקופסה חושף שיפוע — אמצעי קרוב ל$Q_1$ מעיד על התפלגות עם שיפוע ימיני.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| boxplot/ˈbɒksplɒt/ | תרשים קופסאות |
| normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | התפלגות נורמלית |
1.9
השוואת התפלגות של משתנה כמותי
סיילבוס
הבנה מתמשכת (UNC-1): ייצוגים גרפיים וסטטיסטיקה מאפשרים לזהות ולייצג תכונות מרכזיות של נתונים.
מטרות למידה UNC-1.N: להשוות ייצוגים גרפיים עבור מספר קבוצות נתונים כמותיים. [מיומנות 2.D]
- UNC-1.N.1 כל אחד מהייצוגים הגרפיים, למשל היסטוגרמות, גרפי קופסה בצדדים זה לזה וכו', יכול לשמש להשוואה בין שתי דגימות עצמאיות או יותר בתחומי מרכז, פיזור, אשכולות, רווחים, אנומליות ומאפיינים אחרים.
מטרות למידה UNC-1.O: להשוות סטטיסטיקות סיכום עבור מספר קבוצות נתונים כמותיים. [מיומנות 2.D]
- UNC-1.O.1 כל אחד מהסיכומים המספריים (למשל ממוצע, סטיית תקן, תדירות יחסית ועוד) יכול לשמש להשוואה בין שתי דגימות עצמאיות או יותר.
מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP
כדי להשוות בין שתי קבוצות או יותר, השווה צורה, מרכז והתפזרות, ומזכר ערכים קיצוניים – תמיד עם מילים比较 ("קבוצה A יש לה מדIAN גבוה יותר מקבוצה B") ובקשר. אל תסתפק בתיאור כל קבוצה בנפרד; ביצע השוואה במפורש.
חקור
השוואת התפלגויות באמצעות גרף קופסה
גרף קופסה מציג את סיכום החמישה מספרים. הנחת שני גרפי קופסה על אותו קנה מידה מאפשרת להשוות בין מרכז (מדיום), פיזור (IQR = רוחב הקופסה) ושיפוע במבט אחד – השיטה ההוגנת להשוואת קבוצות.
1.10
ההתפלגות הנורמלית
סיילבוס
| Enduring Understanding | Learning Objective | Essential Knowledge |
|---|---|---|
VAR-2 | VAR-2.A |
|
VAR-2.B |
| |
VAR-2.C |
|
מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP
התפלגות נורמלית היא מודל סימטרי ובעל צורת פעמון המתואר על ידי הממוצע $\mu$ והסטייה התקנית $\sigma$. הכלל האמפירי (68–95–99.7): כ-68% מהערכים נמצאים בתוך $1\sigma$ מהממוצע, 95% בתוך $2\sigma$, וכ-99.7% בתוך $3\sigma$.
ערך $z$-ציון מדד כמה סטיות תקן ערך נמצא מהממוצע:
$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}.$$
המרה ל-score זמן תקין ($z$), ולאחר מכן שימוש בטבלה הנורמלית או בטכנולוגיה למציאת חלק (שטח) מתחת, מעל או בין ערכים – והפוך התהליך למציאת ערך מאחוז מסוים.
דוגמה מוצגת. ציוני מבחן הם בעלי התפלגות נורמלית עם $\mu=500$ ו$\sigma=100$. ציון של $700$ הוא $z=\dfrac{700-500}{100}=2$. לפי הכלל האמפירי, $95\%$ מהציונים נמצאים בתוך $2\sigma$, ולכן $2.5\%$ נמצאים מעל $700$ – כלומר ציון של $700$ נמצא בכ-האחוז ה-$97.5$.
חקור
חקור שטח תחת העקומה הנורמלית
היחס של נתונים מתחת לערך שווה ל-שטח תחת העקומה שמאליו. צבעתם זנב או פס מרכזי כדי לראות את 68–95–99.7 הכלל האמפירי ולקרוא ציון-$z$ כשטח.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| empirical rule/emˈpɪrɪkl ruːl/ | חוק ניסויי |
| $z$-score/ˈzed skɔː/ | ציון סטנדרטי $z$-score |
1.10
טיפים לבחינות
- תארו התפלגות לפי צורה, מרכז, פיזור ושיפועים (SOCS) – תמיד בהקשר.
- הממוצע נמשך על ידי שיפועים; המדiane עמידה בפניהם, ולכן מומלץ להשתמש במדiane עבור נתונים אל-סימטריים.
- עבור התפלגות נורמלית השתמשו בכלל 68–95–99.7 ובציוני ז'י $z=\tfrac{x-\mu}{\sigma}$.
- השוו התפלגויות באמצעות גרפי קופסה צמודים ותנו הערכה לגבי מרכז, פיזור וצורה.
- הסטייה התקנית מודדת מרחק טיפוסי מהממוצע; הקשר IQR הוא עם המדiane.
שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.
- הקדמה לסטטיסטיקה: מה ניתן ללמוד מהנתונים?
- שפת השינוי: משתנים
- ייצוג משתנה קטגוריאלי באמצעות טבלאות
- ייצוג משתנה קטגוריאלי באמצעות גרפים
- ייצוג משתנה כמותי באמצעות גרפים
- תיאור החלוקה של משתנה כמותי
- סטטיסטיקות סיכום למשתנה כמותי
- ייצוגים גרפיים של תמצית סטטיסטית
- השוואת חלוקות של משתנה כמותי
- ההתפלגות הנורמלית