Este folleto cubre el Tema 8, Probabilidad. Las partes marcadas como (Extended) solo se evalúan en los exámenes de nivel Extended; todo lo demás es para ambos niveles.
Probabilidad
IGCSE Matemáticas · Tema 8
7:31
Probabilidad
¿Lloverá mañana? ¿Se retrasará el autobús? ¿Esta tira mostrará un seis? Casi nada en la vida es seguro, y casi nada es imposible. La mayoría de las cosas se sitúan…
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8.1
La escala de probabilidad
Syllabus
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Comprender y utilizar la escala de probabilidad de 0 a 1. | No se requiere notación de probabilidad. Las probabilidades deben expresarse como fracción, decimal o porcentaje. Los problemas pueden requerir el uso de información procedente de tablas, gráficos o diagramas de Venn (limitado a dos conjuntos). |
| 2 Calcular la probabilidad de un evento simple. | |
| 3 Comprender que la probabilidad de que un evento no ocurra = 1 – la probabilidad de que el evento ocurra. | p. ej. La probabilidad de que una ficha sea azul es 0,8. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea azul? |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Comprender y utilizar la escala de probabilidad de 0 a 1. | $\text{P}(A)$ es la probabilidad de $A$ |
| 2 Comprender y utilizar la notación de probabilidad. | $\text{P}(A')$ es la probabilidad de que no ocurra $A$ |
| 3 Calcular la probabilidad de un evento único. | Las probabilidades deben expresarse como fracción, decimal o porcentaje. Los problemas pueden requerir el uso de información de tablas, gráficos o diagramas de Venn. |
| 4 Comprender que la probabilidad de que un evento no ocurra = 1 – la probabilidad de que el evento ocurra. | ej. $\text{P}(B) = 0.8$, hallar $\text{P}(B')$ |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Probabilidad 概率 mide qué tan probable es un event 事件. Se expresa en una escala que va desde $0$ (imposible) hasta $1$ (seguro), y puede escribirse como fracción, decimal o porcentaje. Escribimos $\text{P}(A)$ para la probabilidad del evento $A$.
Para los resultados igualmente probables,
$$\text{P}(\text{event}) = \frac{\text{number of favourable outcomes}}{\text{total number of outcomes}}.$$
La probabilidad de que un evento no ocurra es
$$\text{P}(A') = 1 - \text{P}(A).$$
Ejemplo resuelto. Una bolsa contiene $3$ fichas rojas y $5$ fichas azules. Encuentre la probabilidad de no sacar rojo.
$$\text{P}(\text{red}) = \frac{3}{8}, \qquad \text{P}(\text{not red}) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}.$$
Explorar
La escala de probabilidad
Deslice el marcador desde 0 (imposible) hasta 1 (seguro) para colocar un evento en la escala de probabilidad.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| probability/ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | 概率 | gài lǜ |
| event/ɪˈvent/ | 事件 | shì jiàn |
| outcome/ˈaʊtkʌm/ | 结果 | jié guǒ |
8.2
Frecuencia relativa y frecuencia esperada
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Comprender la frecuencia relativa como una estimación de la probabilidad. | ej. utilizar los resultados de experimentos con un girador para estimar la probabilidad de un resultado dado. |
| 2 Calcular frecuencias esperadas. | ej. utilizar la probabilidad para estimar un valor esperado a partir de una población. Incluye comprender lo que se entiende por justo, sesgado y aleatorio. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Comprender la frecuencia relativa como una estimación de la probabilidad. | p. ej., utilizar resultados de experimentos con un puntero para estimar la probabilidad de un resultado dado. |
| 2 Calcular las frecuencias esperadas. | p. ej., utilizar la probabilidad para estimar un valor esperado a partir de una población. |
| Incluye comprender el significado de justo, sesgado y aleatorio. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Cuando los resultados no son igualmente probables, realice un experimento. La frecuencia relativa estima la probabilidad:
$$\text{relative frequency} = \frac{\text{number of times it happened}}{\text{total number of trials}}.$$
Cuanto más ensayos realice, mejor será la estimación. Un objeto justo da igual probabilidad; uno con sesgo no lo hace; aleatorio significa que cada resultado ocurre por casualidad.
La frecuencia esperada es cuántas veces se espera que ocurra un evento en $n$ ensayos:
$$\text{expected frequency} = \text{P}(\text{event}) \times n.$$
Ejemplo resuelto. La probabilidad de sacar un seis es $\tfrac{1}{6}$. ¿Cuántos seis se esperan en $300$ lanzamientos?
$$\frac{1}{6} \times 300 = 50.$$
Explorar
Probabilidad de dos dados
Lanza los dos dados muchas veces: las barras comienzan a ser irregulares pero se estabilizan en el triángulo teórico con pico en 7 — la probabilidad experimental se acerca a la teoría.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| relative frequency/ˈrelətɪv ˈfriːkwənsi/ | 相对频率 | xiāng duì pín lǜ |
| expected frequency/ekˈspektɪd ˈfriːkwənsi/ | 期望频数 | qī wàng pín shuò |
| combined events/kəmˈbaɪnd ɪˈvents/ | 组合事件 | zǔ hé shì jiàn |
| independent events/ˌɪndɪˈpendənt ɪˈvents/ | 独立事件 | dú lì shì jiàn |
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | 互斥 | hù chì |
| sample space diagram/ˈsæmpl speɪs ˈdaɪəɡræm/ | 样本空间图 | yàng běn kōng jiān tú |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | 维恩图 | wéi ēn tú |
8.3
Eventos combinados
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Calcular la probabilidad de eventos combinados utilizando, cuando proceda: • diagramas del espacio muestral • diagramas de Venn • diagramas de árbol. | Los eventos combinados se realizarán únicamente con reemplazo. |
| Los diagramas de Venn se limitarán a dos conjuntos. | |
| En los diagramas de árbol, los resultados se escribirán al final de las ramas y las probabilidades a un lado de las mismas. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Calcular la probabilidad de eventos combinados utilizando, cuando sea apropiado: • diagramas del espacio muestral • diagramas de Venn | Los eventos combinados pueden ser con o sin reemplazo. |
| La notación $\text{P}(A \cap B)$ y $\text{P}(A \cup B)$ puede utilizarse en el contexto de los diagramas de Venn. | |
| • diagramas de árbol. | En los diagramas de árbol, los resultados se escribirán al final de las ramas y las probabilidades junto a las ramas. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Para dos o más eventos juntos (eventos combinados), dos reglas ayudan:
- Y (ambos ocurren): multiplicar las probabilidades — cuando los eventos son independientes (uno no afecta al otro).
- O (cualquiera ocurre): sumar las probabilidades — cuando los eventos son mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir ambos a la vez).
Tres diagramas te ayudan a organizar el trabajo.
Diagramas del espacio muestral
Un diagrama del espacio muestral es una tabla o cuadrícula que enumera todos los resultados posibles — útil para dos dados o dos ruletas. Cuenta los resultados deseados entre el total.
Diagramas de Venn
Un diagrama de Venn 维恩图 clasifica los resultados en conjuntos superpuestos. De él puedes leer $\text{P}(A \cap B)$ (en ambos) y $\text{P}(A \cup B)$ (en cualquiera).
Diagramas de árbol
Un diagrama de árbol 树状图 muestra cada etapa como un conjunto de ramas. Escribe la probabilidad en cada rama y el resultado al final. Multiplica a lo largo de las ramas, luego suma las rutas que deseas.
Ejemplo resuelto (con reemplazo). De la bolsa ($3$ rojas, $5$ azules), se extrae un contador, se devuelve y luego se extrae un segundo. Esto es con reemplazo 有放回, por lo que las probabilidades no cambian. Encuentre la probabilidad de obtener dos rojas.
$$\text{P}(\text{red, red}) = \frac{3}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{9}{64}.$$
Ejemplo resuelto (sin reemplazo, extendido). Ahora el primer contador no se devuelve — dibujando sin reemplazo 无放回. Después de sacar una roja, quedan $2$ rojas de un total de $7$:
$$\text{P}(\text{red, red}) = \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}.$$
Explorar
Árbol de probabilidad
Multiplica las probabilidades a lo largo de cada rama; los cuatro resultados siempre suman 1.
Explorar
Eventos combinados
P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A)
Combina dos eventos: el modelo de área muestra AND (intersección) frente a OR (unión).
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| fair/feə/ | 公平 | gōng píng |
| bias/ˈbaɪəs/ | 偏倚 | piān yǐ |
| random/ˈrændəm/ | 随机 | suí jī |
| tree diagram/triː ˈdaɪəɡræm/ | 树状图 | shù zhuàng tú |
| with replacement/wɪð rɪˈpleɪsmənt/ | 有放回 | yǒu fàng huí |
| without replacement/wɪˈðaʊt rɪˈpleɪsmənt/ | 无放回 | wú fàng huí |
| conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | 条件概率 | tiáo jiàn gài lǜ |
8.4
Probabilidad condicional (Ampliada)
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Calcular la probabilidad condicional utilizando diagramas de Venn, diagramas de árbol y tablas. | No se requiere conocimiento de la notación $\text{P}(A|B)$ ni de las fórmulas relacionadas con la probabilidad condicional. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
La probabilidad condicional 条件概率 es la probabilidad de que ocurra un evento dado que otro ya ha sucedido. Léala en un diagrama de Venn, una tabla de doble entrada o un diagrama de árbol observando únicamente la parte que coincide con la condición.
Ejemplo resuelto. En una clase de $30$, $18$ estudian francés y, de esos, $7$ también estudian alemán. Se selecciona al azar a un estudiante de francés. Calcule la probabilidad de que también estudie alemán.
Observe solo a los $18$ estudiantes de francés:
$$\text{P}(\text{German} \mid \text{French}) = \frac{7}{18}.$$
Explorar
Árboles de probabilidad
Cambie las probabilidades de las ramas y lea las probabilidades combinadas y condicionales del árbol.
8.4
Consejos para el examen
- Toda probabilidad se encuentra entre $0$ y $1$, y las probabilidades de todos los resultados posibles suman $1$.
- Para "y" (ambos eventos) multiplique las probabilidades; para "o" (cualquiera de los eventos) súmelas. En un diagrama de árbol, multiplique a lo largo de las ramas.
- Preste atención a sin reemplazo: la segunda probabilidad cambia porque un elemento ya ha sido extraído.
- Frecuencia esperada = probabilidad × número de ensayos.
Lecciones interactivas sobre este tema
Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.