IGCSE Matemáticas · Topic 2 · Tema 2
19:38
Álgebra y gráficos
Mira el cable principal de este puente. Esa curva no es casualidad. Cada cable así cuelga en la misma forma, y una regla corta describe cada punto en…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Narración en inglés · Subtítulos en inglés + 中文 quemados en pantalla
This handout covers Topic 2, Algebra and graphs. Parts marked (Extended) are only tested on the Extended papers; everything else is for both levels.
Este folleto cubre el Tema 2, Álgebra y gráficas. Las partes marcadas como (Extended) solo se evalúan en los exámenes extendidos; todo lo demás es para ambos niveles.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Know that letters can be used to represent generalised numbers. | |
| 2 Substitute numbers into expressions and formulas. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Saber que las letras pueden usarse para representar números generalizados. | |
| 2 Sustituir números en expresiones y fórmulas. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Know that letters can be used to represent generalised numbers. | |
| 2 Substitute numbers into expressions and formulas. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Saber que las letras pueden utilizarse para representar números generalizados. | |
| 2 Sustituir números en expresiones y fórmulas. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
In algebra 代数 we use letters to stand for numbers. A letter whose value can change is a variable 变量. To substitute 代入 means to put a number in place of a letter.
Worked example. Find the value of $3x^{2} - 2y$ when $x = 4$ and $y = 5$.
En el álgebra usamos letras para representar números. Una letra cuyo valor puede cambiar es una variable. Sustituir significa poner un número en lugar de una letra.
Ejemplo resuelto. Encuentra el valor de $3x^{2} - 2y$ cuando $x = 4$ y $y = 5$.
Seguir el trabajo con expresiones desde la agrupación de términos hasta la resolución.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| variable/ˈveərɪəbl/ | 变量 | biàn liàng |
| substitute/ˈsʌbstɪtjuːt/ | 代入 | dài rù |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Simplify expressions by collecting like terms. | Simplify means give the answer in its simplest form, e.g. $2a + 3b + 5a - 9b = 7a - 6b$. |
| 2 Expand products of algebraic expressions. | e.g. expand $3x(2x - 4y)$. Includes products of two brackets involving one variable, e.g. expand $(2x + 1)(x - 4)$. |
| 3 Factorise by extracting common factors. | Factorise means factorise fully, e.g. $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Simplificar expresiones agrupando términos semejantes. | Simplificar significa presentar la respuesta en su forma más sencilla, p. ej. $2a + 3b + 5a - 9b = 7a - 6b$. |
| 2 Expandir productos de expresiones algebraicas. | p. ej. expandir $3x(2x - 4y)$. Incluye productos de dos paréntesis con una variable, p. ej. expandir $(2x + 1)(x - 4)$. |
| 3 Factorizar extrayendo factores comunes. | Factorizar implica factorizar completamente, p. ej. $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Simplify expressions by collecting like terms. | Simplify means give the answer in its simplest form, e.g. $2a^2 + 3ab - 1 + 5a^2 - 9ab + 4 = 7a^2 - 6ab + 3$. |
| 2 Expand products of algebraic expressions. | e.g. expand $3x(2x - 4y)$, $(3x + y)(x - 4y)$. Includes products of more than two brackets, e.g. expand $(x - 2)(x + 3)(2x + 1)$. |
| 3 Factorise by extracting common factors. | Factorise means factorise fully, e.g. $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| 4 Factorise expressions of the form: • $ax + bx + kay + kby$ • $a^2x^2 - b^2y^2$ • $a^2 + 2ab + b^2$ • $ax^2 + bx + c$ • $ax^3 + bx^2 + cx$. | |
| 5 Complete the square for expressions in the form $ax^2 + bx + c$. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Simplificar expresiones agrupando términos semejantes. | Simplificar significa dar la respuesta en su forma más sencilla, p. ej. $2a^2 + 3ab - 1 + 5a^2 - 9ab + 4 = 7a^2 - 6ab + 3$. |
| 2 Desarrollar productos de expresiones algebraicas. | p. ej. desarrollar $3x(2x - 4y)$, $(3x + y)(x - 4y)$. Incluye productos de más de dos paréntesis, p. ej. desarrollar $(x - 2)(x + 3)(2x + 1)$. |
| 3 Factorizar extrayendo factores comunes. | Factorizar implica factorizar completamente, p. ej. $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| 4 Factorizar expresiones de la forma: • $ax + bx + kay + kby$ • $a^2x^2 - b^2y^2$ • $a^2 + 2ab + b^2$ • $ax^2 + bx + c$ • $ax^3 + bx^2 + cx$. | |
| 5 Completar el cuadrado para expresiones de la forma $ax^2 + bx + c$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
A term 项 is a single part of an expression 表达式, such as $5a$ or $-9b$. Like terms 同类项 have exactly the same letters; you may add or subtract them. The number in front of the letter is the coefficient 系数.
Worked example. Simplify $2a^{2} + 3ab - 1 + 5a^{2} - 9ab + 4$.
Collect like terms: $2a^{2} + 5a^{2} = 7a^{2}$, $3ab - 9ab = -6ab$, $-1 + 4 = 3$. So the answer is
To expand 展开 means to multiply out brackets 括号. Multiply every term inside by the term outside; for two brackets, multiply every term in the first by every term in the second.
Worked examples.
For three brackets (Extended), expand two first, then multiply by the third:
Un término es una parte individual de una expresión, como $5a$ o $-9b$. Los términos semejantes tienen exactamente las mismas letras; puedes sumarlas o restarlas. El número delante de la letra es el coeficiente.
Ejemplo resuelto. Simplifique $2a^{2} + 3ab - 1 + 5a^{2} - 9ab + 4$.
Agrupa términos semejantes: $2a^{2} + 5a^{2} = 7a^{2}$, $3ab - 9ab = -6ab$, $-1 + 4 = 3$. Así que la respuesta es
Expandir significa multiplicar los paréntesis. Multiplica cada término dentro por el término exterior; para dos paréntesis, multiplica cada término del primero por cada término del segundo.
Ejemplos resueltos.
Para tres paréntesis (Extended), expande dos primero, luego multiplica por el tercero:
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| term/tɜːm/ | 项 | xiàng |
| expression/ekˈspreʃn/ | 表达式 | biǎo dá shì |
| like terms/laɪk tɜːmz/ | 同类项 | tóng lèi xiàng |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | 系数 | xì shù |
| expand/ekˈspænd/ | 展开 | zhǎn kāi |
| brackets/ˈbrækɪts/ | 括号 | kuò hào |
| factorise/ˈfæktəraɪz/ | 因式分解 | yīn shì fēn jiě |
| common factor/ˈkɒmən ˈfæktə/ | 公因式 | gōng yīn shì |
| difference of two squares/ˈdɪfrəns ɒv tuː skweəz/ | 平方差 | píng fāng chà |
| perfect square/ˈpɜːfekt skweə/ | 完全平方 | wán quán píng fāng |
| area/ˈeərɪə/ | 面积 | miàn jī |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Simplify expressions by collecting like terms. | Simplify means give the answer in its simplest form, e.g. $2a + 3b + 5a - 9b = 7a - 6b$. |
| 2 Expand products of algebraic expressions. | e.g. expand $3x(2x - 4y)$. Includes products of two brackets involving one variable, e.g. expand $(2x + 1)(x - 4)$. |
| 3 Factorise by extracting common factors. | Factorise means factorise fully, e.g. $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Simplificar expresiones agrupando términos semejantes. | Simplificar significa presentar la respuesta en su forma más sencilla, p. ej. $2a + 3b + 5a - 9b = 7a - 6b$. |
| 2 Expandir productos de expresiones algebraicas. | p. ej. expandir $3x(2x - 4y)$. Incluye productos de dos paréntesis con una variable, p. ej. expandir $(2x + 1)(x - 4)$. |
| 3 Factorizar extrayendo factores comunes. | Factorizar implica factorizar completamente, p. ej. $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Simplify expressions by collecting like terms. | Simplify means give the answer in its simplest form, e.g. $2a^2 + 3ab - 1 + 5a^2 - 9ab + 4 = 7a^2 - 6ab + 3$. |
| 2 Expand products of algebraic expressions. | e.g. expand $3x(2x - 4y)$, $(3x + y)(x - 4y)$. Includes products of more than two brackets, e.g. expand $(x - 2)(x + 3)(2x + 1)$. |
| 3 Factorise by extracting common factors. | Factorise means factorise fully, e.g. $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| 4 Factorise expressions of the form: • $ax + bx + kay + kby$ • $a^2x^2 - b^2y^2$ • $a^2 + 2ab + b^2$ • $ax^2 + bx + c$ • $ax^3 + bx^2 + cx$. | |
| 5 Complete the square for expressions in the form $ax^2 + bx + c$. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Simplificar expresiones agrupando términos semejantes. | Simplificar significa dar la respuesta en su forma más sencilla, p. ej. $2a^2 + 3ab - 1 + 5a^2 - 9ab + 4 = 7a^2 - 6ab + 3$. |
| 2 Desarrollar productos de expresiones algebraicas. | p. ej. desarrollar $3x(2x - 4y)$, $(3x + y)(x - 4y)$. Incluye productos de más de dos paréntesis, p. ej. desarrollar $(x - 2)(x + 3)(2x + 1)$. |
| 3 Factorizar extrayendo factores comunes. | Factorizar implica factorizar completamente, p. ej. $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| 4 Factorizar expresiones de la forma: • $ax + bx + kay + kby$ • $a^2x^2 - b^2y^2$ • $a^2 + 2ab + b^2$ • $ax^2 + bx + c$ • $ax^3 + bx^2 + cx$. | |
| 5 Completar el cuadrado para expresiones de la forma $ax^2 + bx + c$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
To factorise 因式分解 is the opposite of expanding: write the expression as a product of brackets. Always take out the common factor 公因式 first.
Worked example. $9x^{2} + 15xy = 3x(3x + 5y)$, because $3x$ divides both terms.
The following patterns are Extended.
Grouping (four terms): take a common factor from each pair.
Difference of two squares 平方差: $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$.
Perfect square 完全平方: $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$.
Quadratic 二次 expressions $ax^{2} + bx + c$: find two numbers that multiply to $a \times c$ and add to $b$, then split the middle term.
Worked example. Factorise $2x^{2} + 7x + 3$.
Here $a \times c = 6$ and $b = 7$. The numbers $1$ and $6$ work. Split and group:
For $ax^{3} + bx^{2} + cx$, take out the common $x$ first: $2x^{3} + 7x^{2} + 3x = x(2x^{2} + 7x + 3) = x(x + 3)(2x + 1)$.
Factorizar es lo opuesto a expandir: escribe la expresión como un producto de paréntesis. Siempre saca primero el factor común.
Ejemplo resuelto. $9x^{2} + 15xy = 3x(3x + 5y)$, porque $3x$ divide ambos términos.
Los siguientes patrones son Extended.
Por agrupación (cuatro términos): saca un factor común de cada par.
Diferencia de cuadrados 平方差: $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$.
Cuadrado perfecto 完全平方: $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$.
Expresiones cuadráticas $ax^{2} + bx + c$: encuentra dos números que multiplicados den $a \times c$ y sumados den $b$, luego divide el término medio.
Ejemplo resuelto. Factoriza $2x^{2} + 7x + 3$.
Aquí $a \times c = 6$ y $b = 7$. Los números $1$ y $6$ funcionan. Divide y agrupa:
Para $ax^{3} + bx^{2} + cx$, saca primero el factor común $x$: $2x^{3} + 7x^{2} + 3x = x(2x^{2} + 7x + 3) = x(x + 3)(2x + 1)$.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Simplify expressions by collecting like terms. | Simplify means give the answer in its simplest form, e.g. $2a^2 + 3ab - 1 + 5a^2 - 9ab + 4 = 7a^2 - 6ab + 3$. |
| 2 Expand products of algebraic expressions. | e.g. expand $3x(2x - 4y)$, $(3x + y)(x - 4y)$. Includes products of more than two brackets, e.g. expand $(x - 2)(x + 3)(2x + 1)$. |
| 3 Factorise by extracting common factors. | Factorise means factorise fully, e.g. $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| 4 Factorise expressions of the form: • $ax + bx + kay + kby$ • $a^2x^2 - b^2y^2$ • $a^2 + 2ab + b^2$ • $ax^2 + bx + c$ • $ax^3 + bx^2 + cx$. | |
| 5 Complete the square for expressions in the form $ax^2 + bx + c$. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Simplificar expresiones agrupando términos semejantes. | Simplificar significa dar la respuesta en su forma más sencilla, p. ej. $2a^2 + 3ab - 1 + 5a^2 - 9ab + 4 = 7a^2 - 6ab + 3$. |
| 2 Desarrollar productos de expresiones algebraicas. | p. ej. desarrollar $3x(2x - 4y)$, $(3x + y)(x - 4y)$. Incluye productos de más de dos paréntesis, p. ej. desarrollar $(x - 2)(x + 3)(2x + 1)$. |
| 3 Factorizar extrayendo factores comunes. | Factorizar implica factorizar completamente, p. ej. $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| 4 Factorizar expresiones de la forma: • $ax + bx + kay + kby$ • $a^2x^2 - b^2y^2$ • $a^2 + 2ab + b^2$ • $ax^2 + bx + c$ • $ax^3 + bx^2 + cx$. | |
| 5 Completar el cuadrado para expresiones de la forma $ax^2 + bx + c$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Completing the square 配方法 rewrites $x^{2} + bx + c$ as $(x + p)^{2} + q$. Take half of the $x$-coefficient, square it, then balance.
Worked example. Write $x^{2} + 6x + 1$ in completed-square form.
Half of $6$ is $3$, and $3^{2} = 9$:
When the $x^{2}$ has a coefficient, take it out of the first two terms first:
Completar el cuadrado reescribe $x^{2} + bx + c$ como $(x + p)^{2} + q$. Toma la mitad del coeficiente de $x$, eleva al cuadrado y equilibra.
Ejemplo resuelto. Escribe $x^{2} + 6x + 1$ en forma completada.
La mitad de $6$ es $3$, y $3^{2} = 9$:
Cuando el término $x^{2}$ tiene un coeficiente, sácalo de los primeros dos términos primero:
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | 二次 | èr cì |
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | 配方法 | pèi fāng fǎ |
| algebraic fraction/ˌældʒɪˈbreɪɪk ˈfrækʃn/ | 分式 | fēn shì |
| rational expression/ˈræʃənl ekˈspreʃn/ | 有理式 | yǒu lǐ shì |
| indices/ˈɪndɪsiːz/ | 指数 | zhǐ shù |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Manipulate algebraic fractions. | Examples include: • $\frac{x}{3} + \frac{x - 4}{2}$ • $\frac{2x}{3} - \frac{3(x - 5)}{2}$ • $\frac{3a}{4} \times \frac{9a}{10}$ • $\frac{3a}{4} \div \frac{9a}{10}$ • $\frac{1}{x - 2} + \frac{x + 1}{x - 3}$. |
| 2 Factorise and simplify rational expressions. | e.g. $\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 5x + 6}$. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Manipular fracciones algebraicas. | Ejemplos incluyen: • $\frac{x}{3} + \frac{x - 4}{2}$ • $\frac{2x}{3} - \frac{3(x - 5)}{2}$ • $\frac{3a}{4} \times \frac{9a}{10}$ • $\frac{3a}{4} \div \frac{9a}{10}$ • $\frac{1}{x - 2} + \frac{x + 1}{x - 3}$. |
| 2 Factorizar y simplificar expresiones racionales. | p. ej. $\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 5x + 6}$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
An algebraic fraction 分式 has algebra on the top or bottom. Add and subtract using a common denominator; multiply and divide as with ordinary fractions.
Worked examples.
To simplify a rational expression 有理式, factorise the top and bottom, then cancel common brackets.
Una fracción algebraica tiene álgebra en el numerador o denominador. Suma y resta usando un denominador común; multiplica y divide como con fracciones ordinarias.
Ejemplos resueltos.
Para simplificar una expresión racional, factoriza el numerador y el denominador, luego cancela los paréntesis comunes.
Simplificar fracciones algebraicas factorizando antes de cancelar.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| algebra/ˈældʒɪbrə/ | 代数 | dài shù |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand and use indices (positive, zero and negative). | e.g. $2^x = 32$. Find the value of $x$. |
| 2 Understand and use the rules of indices. | e.g. simplify: • $(5x^3)^2$ • $12a^5 \div 3a^{-2}$ • $6x^7y^4 \times 5x^{-5}y$. Knowledge of logarithms is not required. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Comprender y usar índices (positivos, cero y negativos). | p. ej. $2^x = 32$. Hallar el valor de $x$. |
| 2 Comprender y usar las reglas de los índices. | p. ej. simplificar: • $(5x^3)^2$ • $12a^5 \div 3a^{-2}$ • $6x^7y^4 \times 5x^{-5}y$. No se requiere conocimiento de logaritmos. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand and use indices (positive, zero, negative and fractional). | e.g. solve: • $32^x = 2$ • $5^{x+1} = 25^x$. |
| 2 Understand and use the rules of indices. | e.g. simplify: • $3x^{-4} \times \frac{2}{3}x^{\frac{1}{2}}$ • $\frac{2}{5}x^{\frac{1}{2}} \div 2x^{-2}$ • $\left(\frac{2x^5}{3}\right)^3$. Knowledge of logarithms is not required. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Comprender y usar índices (positivos, cero, negativos y fraccionarios). | p. ej. resolver: • $32^x = 2$ • $5^{x+1} = 25^x$. |
| 2 Comprender y usar las reglas de los índices. | p. ej. simplificar: • $3x^{-4} \times \frac{2}{3}x^{\frac{1}{2}}$ • $\frac{2}{5}x^{\frac{1}{2}} \div 2x^{-2}$ • $\left(\frac{2x^5}{3}\right)^3$. No se requiere conocimiento de logaritmos. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
The laws of indices 指数 work with letters too: $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$, $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$, and $(a^{m})^{n} = a^{mn}$.
Worked examples.
You can also solve simple index equations by writing both sides with the same base 底数.
Worked example. Solve $2^{x} = 32$. Since $32 = 2^{5}$, you get $x = 5$.
Las leyes de los índices también funcionan con letras: $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$, $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$, y $(a^{m})^{n} = a^{mn}$.
Ejemplos resueltos.
También puedes resolver ecuaciones de índices simples escribiendo ambos lados con la misma base.
Ejemplo resuelto. Resuelve $2^{x} = 32$. Dado que $32 = 2^{5}$, obtienes $x = 5$.
Clasificar ejemplos de leyes de índices según la regla que se utiliza.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| base/beɪs/ | 底数 | dǐ shù |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Construct simple expressions, equations and formulas. | e.g. write an expression for a number that is 2 more than $n$. Includes constructing linear simultaneous equations. |
| 2 Solve linear equations in one unknown. | Examples include: • $3x + 4 = 10$ • $5 - 2x = 3(x + 7)$. |
| 3 Solve simultaneous linear equations in two unknowns. | |
| 4 Change the subject of simple formulas. | e.g. change the subject of formulas where: • the subject only appears once • there is not a power or root of the subject. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Construir expresiones, ecuaciones y fórmulas sencillas. | p. ej., escribir una expresión para un número que sea 2 más que $n$. Incluye la construcción de ecuaciones lineales simultáneas. |
| 2 Resolver ecuaciones lineales con una incógnita. | Los ejemplos incluyen: • $3x + 4 = 10$ • $5 - 2x = 3(x + 7)$. |
| 3 Resolver ecuaciones lineales simultáneas con dos incógnitas. | |
| 4 Despejar la variable principal en fórmulas sencillas. | p. ej., despejar la variable principal en fórmulas donde: • la variable principal aparece solo una vez • no hay potencias ni raíces de la variable principal. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Construct expressions, equations and formulas. | e.g. write an expression for the product of two consecutive even numbers. Includes constructing simultaneous equations. |
| 2 Solve linear equations in one unknown. | Examples include: • $3x + 4 = 10$ • $5 - 2x = 3(x + 7)$. |
| 3 Solve fractional equations with numerical and linear algebraic denominators. | Examples include: • $\frac{x}{2x + 1} = 4$ • $\frac{2}{x + 2} + \frac{3}{2x - 1} = 1$ • $\frac{x}{x + 2} = \frac{3}{x - 6}$. |
| 4 Solve simultaneous linear equations in two unknowns. | |
| 5 Solve simultaneous equations, involving one linear and one non-linear. | With powers no higher than two. |
| 6 Solve quadratic equations by factorisation, completing the square and by use of the quadratic formula. | Includes writing a quadratic expression in completed square form. Candidates may be expected to give solutions in surd form. The quadratic formula is given in the List of formulas. |
| 7 Change the subject of formulas. | e.g. change the subject of a formula where: • the subject appears twice • there is a power or root of the subject. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Construir expresiones, ecuaciones y fórmulas. | Ej.: escribir una expresión para el producto de dos números pares consecutivos. Incluye la construcción de sistemas de ecuaciones simultáneas. |
| 2 Resolver ecuaciones lineales con una incógnita. | Los ejemplos incluyen: • $3x + 4 = 10$ • $5 - 2x = 3(x + 7)$. |
| 3 Resolver ecuaciones fraccionarias con denominadores numéricos y algebraicos lineales. | Los ejemplos incluyen: • $\frac{x}{2x + 1} = 4$ • $\frac{2}{x + 2} + \frac{3}{2x - 1} = 1$ • $\frac{x}{x + 2} = \frac{3}{x - 6}$. |
| 4 Resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas con dos incógnitas. | |
| 5 Resolver sistemas de ecuaciones simultáneas que involucran una lineal y una no lineal. | Con potencias no superiores a dos. |
| 6 Resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización, completando el cuadrado y utilizando la fórmula general. | Incluye escribir una expresión cuadrática en forma de cuadrado completo. Se puede esperar que los candidatos den soluciones en forma radical. La fórmula general se encuentra en la Lista de fórmulas. |
| 7 Despejar variables en fórmulas. | Ej.: despejar la variable principal en una fórmula donde: • la variable aparece dos veces • existe una potencia o raíz de la variable. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
An equation 方程 says two expressions are equal. To solve a linear 一次 equation, do the same operation to both sides until the unknown 未知数 is alone.
Worked example. Solve $5 - 2x = 3(x + 7)$.
A fractional equation 分式方程 has the unknown in a denominator. Multiply both sides by the denominator to clear it.
Worked example. Solve $\dfrac{x}{2x + 1} = 4$.
Simultaneous equations 联立方程 are two equations solved together. For two linear equations, add or subtract to remove one letter.
Worked example. Solve $2x + y = 7$ and $3x - y = 8$.
Adding removes $y$: $5x = 15$, so $x = 3$. Then $y = 7 - 2(3) = 1$.
For one linear and one quadratic equation (Extended), substitute the linear into the curve.
Worked example. Solve $y = x + 2$ and $y = x^{2}$.
so $x = 2$ (giving $y = 4$) or $x = -1$ (giving $y = 1$).
There are three methods.
Worked example (formula). Solve $2x^{2} + 3x - 1 = 0$. Here $a = 2$, $b = 3$, $c = -1$:
To change the subject 公式变形 of a formula means to rearrange it so a chosen letter is alone on one side.
Worked example. Make $r$ the subject of $A = \pi r^{2}$ (Extended, because of the power).
When the letter appears twice (Extended), collect those terms and factorise. To make $x$ the subject of $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$:
Una ecuación dice que dos expresiones son iguales. Para resolver una ecuación lineal, realiza la misma operación en ambos lados hasta que la incógnita esté sola.
Ejemplo resuelto. Resuelva $5 - 2x = 3(x + 7)$.
Una ecuación fraccionaria tiene la incógnita en un denominador. Multiplica ambos lados por el denominador para eliminarlo.
Ejemplo resuelto. Resuelva $\dfrac{x}{2x + 1} = 4$.
Las ecuaciones simultáneas son dos ecuaciones resueltas juntas. Para dos ecuaciones lineales, suma o resta para eliminar una letra.
Ejemplo resuelto. Resuelve $2x + y = 7$ y $3x - y = 8$.
Sumar elimina $y$: $5x = 15$, así que $x = 3$. Luego $y = 7 - 2(3) = 1$.
Para una ecuación lineal y una ecuación cuadrática (Extended), sustituye la lineal en la curva.
Ejemplo resuelto. Resuelve $y = x + 2$ y $y = x^{2}$.
así que $x = 2$ (dando $y = 4$) o $x = -1$ (dando $y = 1$).
Hay tres métodos.
Ejemplo resuelto (fórmula). Resuelve $2x^{2} + 3x - 1 = 0$. Aquí $a = 2$, $b = 3$, $c = -1$:
Cambiar el sujeto de una fórmula significa rearrreglarla para que una letra elegida esté sola en un lado.
Ejemplo resuelto. Haz que $r$ sea el sujeto de $A = \pi r^{2}$ (Extended, debido al exponente).
Cuando la letra aparece dos veces (Extended), agrupa esos términos y factoriza. Para hacer que $x$ sea el sujeto de $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$:
y = ax² + bx + c
Resolver significa encontrar las raíces — donde la curva cruza el eje x.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| equation/ɪˈkweɪʒn/ | 方程 | fāng chéng |
| linear/ˈlɪnɪə/ | 一次 | yī cì |
| unknown/ʌnˈnəʊn/ | 未知数 | wèi zhī shù |
| fractional equation/ˈfrækʃənl ɪˈkweɪʒn/ | 分式方程 | fēn shì fāng chéng |
| simultaneous equations/ˌsɪməlˈteɪnɪəs ɪˈkweɪʒnz/ | 联立方程 | lián lì fāng chéng |
| quadratic formula/kwɒˈdrætɪk ˈfɔːmjʊlə/ | 求根公式 | qiú gēn gōng shì |
| change the subject/tʃeɪndʒ ðə ˈsʌbdʒekt/ | 公式变形 | gōng shì biàn xíng |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Represent and interpret inequalities, including on a number line. | When representing and interpreting inequalities on a number line: • open circles should be used to represent strict inequalities (<, >) • closed circles should be used to represent inclusive inequalities ($\leqslant$, $\geqslant$) e.g. $-3 \leqslant x < 1$ |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Representar e interpretar desigualdades, incluyendo en una recta numérica. | Al representar e interpretar desigualdades en una recta numérica: • se deben usar círculos abiertos para representar desigualdades estrictas (<, >) • se deben usar círculos cerrados para representar desigualdades inclusivas ($\leqslant$, $\geqslant$) p. ej. $-3 \leqslant x < 1$ |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Represent and interpret inequalities, including on a number line. | When representing and interpreting inequalities on a number line: • open circles should be used to represent strict inequalities (<, >) • closed circles should be used to represent inclusive inequalities ($\leqslant$, $\geqslant$). e.g. $-3 \leqslant x < 1$ |
| 2 Construct, solve and interpret linear inequalities. | Examples include: • $3x < 2x + 4$ • $-3 \leqslant 3x - 2 < 7$. |
| 3 Represent and interpret linear inequalities in two variables graphically. | The following conventions should be used: • broken lines should be used to represent strict inequalities (<, >) • solid lines should be used to represent inclusive inequalities ($\leqslant$, $\geqslant$) • shading should be used to represent unwanted regions (unless otherwise directed in the question). e.g. graphs of $x < 1$ and $y \geqslant 1$ |
| 4 List inequalities that define a given region. | Linear programming problems are not included. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Representar e interpretar desigualdades, incluidas en una recta numérica. | Al representar e interpretar desigualdades en una recta numérica: • se deben usar círculos abiertos para representar desigualdades estrictas (<, >) • se deben usar círculos cerrados para representar desigualdades inclusivas ($\leqslant$, $\geqslant$). p. ej. $-3 \leqslant x < 1$ |
| 2 Construir, resolver e interpretar desigualdades lineales. | Los ejemplos incluyen: • $3x < 2x + 4$ • $-3 \leqslant 3x - 2 < 7$. |
| 3 Representar e interpretar gráficamente desigualdades lineales en dos variables. | Se deben seguir las siguientes convenciones: • se deben usar líneas discontinuas para representar desigualdades estrictas (<, >) • se deben usar líneas continuas para representar desigualdades inclusivas ($\leqslant$, $\geqslant$) • se debe sombrear para representar regiones no deseadas (salvo que se indique lo contrario en el enunciado del ejercicio). p. ej. gráficos de $x < 1$ y $y \geqslant 1$ |
| 4 Enumerar desigualdades que definan una región dada. | No se incluyen problemas de programación lineal. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
An inequality 不等式 uses $<$, $>$, $\leqslant$ or $\geqslant$. Solve it like an equation, but reverse the sign if you multiply or divide by a negative number.
Worked example. Solve $-3 \leqslant 3x - 2 < 7$.
Add $2$ to all parts, then divide by $3$:
On a number line 数轴, use an open circle for $<$ or $>$ (value not included) and a closed circle for $\leqslant$ or $\geqslant$ (value included).
An inequality in two letters describes a region 区域 of the graph. Draw the boundary line (broken for $<$ or $>$, solid for $\leqslant$ or $\geqslant$) and shade the unwanted side. You may also be asked to list the inequalities that define a given region.
Una desigualdad usa $<$, $>$, $\leqslant$ o $\geqslant$. Resuélvela como una ecuación, pero invierte el signo si multiplicas o divides por un número negativo.
Ejemplo resuelto. Resuelva $-3 \leqslant 3x - 2 < 7$.
Suma $2$ a todas las partes, luego divide por $3$:
En una recta numérica, usa un círculo abierto para $<$ o $>$ (valor no incluido) y un círculo cerrado para $\leqslant$ o $\geqslant$ (valor incluido).
Una desigualdad en dos letras describe una región de la gráfica. Dibuja la línea límite (rota para $<$ o $>$, sólida para $\leqslant$ o $\geqslant$) y sombre el lado no deseado. También te pueden pedir listar las desigualdades que definen una región dada.
y = ax + b
Una desigualdad pregunta dónde la línea está por encima o por debajo de un valor.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| inequality/ɪniːˈkwɒlɪti/ | 不等式 | bù děng shì |
| number line/ˈnʌmbə laɪn/ | 数轴 | shù zhóu |
| region/ˈriːdʒn/ | 区域 | qū yù |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Continue a given number sequence or pattern. | e.g. write the next two terms in this sequence: 1, 3, 6, 10, 15, ... , ... |
| 2 Recognise patterns in sequences, including the term-to-term rule, and relationships between different sequences. | |
| 3 Find and use the $n$th term of the following sequences: (a) linear (b) simple quadratic (c) simple cubic. | e.g. find the $n$th term of 2, 5, 10, 17 |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Continuar una secuencia numérica o patrón dado. | p. ej. escribir los dos términos siguientes en esta secuencia: 1, 3, 6, 10, 15, ... , ... |
| 2 Reconocer patrones en las sucesiones, incluida la regla de término a término, y las relaciones entre diferentes sucesiones. | |
| 3 Encontrar y usar el $n$-ésimo término de las siguientes sucesiones: (a) lineales (b) cuadráticas simples (c) cúbicas simples. | p. ej. encontrar el $n$-ésimo término de 2, 5, 10, 17 |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Continue a given number sequence or pattern. | Subscript notation may be used, e.g. $T_n$ is the $n$th term of sequence $T$. |
| 2 Recognise patterns in sequences, including the term-to-term rule, and relationships between different sequences. | Includes linear, quadratic, cubic and exponential sequences and simple combinations of these. |
| 3 Find and use the $n$th term of sequences. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Continuar una secuencia numérica o patrón dado. | Puede utilizarse la notación de subíndices, por ejemplo, $T_n$ es el $n$ término de la secuencia $T$. |
| 2 Reconocer patrones en las secuencias, incluida la regla de paso a paso, y las relaciones entre diferentes secuencias. | Incluye secuencias lineales, cuadráticas, cúbicas y exponenciales, así como combinaciones simples de estas. |
| 3 Encontrar y utilizar el $n$ término de las secuencias. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
A sequence 数列 is a list of numbers that follow a rule. The term-to-term rule 递推规则 tells you how to get the next term from the one before.
To find the rule for the term in position $n$ (the $n$th term), look at how the terms change.
Linear sequence (the terms go up by the same amount each time). The difference is the multiple of $n$.
Worked example. Find the $n$th term of $2, 5, 8, 11, \dots$
The terms go up by $3$, so start with $3n$. Since $3 \times 1 = 3$ but the first term is $2$, subtract $1$: the $n$th term is $3n - 1$.
Quadratic sequence (the differences themselves change by the same amount). The second difference equals $2 \times$ the coefficient of $n^{2}$.
Worked example. Find the $n$th term of $2, 5, 10, 17, \dots$
First differences are $3, 5, 7$; the second difference is $2$, so the $n^{2}$ part is $1n^{2}$. Subtracting $n^{2}$ ($1, 4, 9, 16$) from the sequence leaves $1, 1, 1, 1$. So the $n$th term is $n^{2} + 1$.
A cubic 三次 sequence such as $1, 8, 27, 64, \dots$ has $n$th term $n^{3}$. An exponential sequence 指数数列 such as $2, 6, 18, 54, \dots$ multiplies by a fixed number each time; here the $n$th term is $2 \times 3^{\,n-1}$.
Una secuencia es una lista de números que siguen una regla. La regla de término a término te dice cómo obtener el siguiente término a partir del anterior.
Para encontrar la regla para el término en la posición $n$ (el $n$th término), observa cómo cambian los términos.
Secuencia lineal (los términos aumentan en la misma cantidad cada vez). La diferencia es el múltiplo de $n$.
Ejemplo resuelto. Encuentra el $n$th término de $2, 5, 8, 11, \dots$
Los términos aumentan en $3$, así que comienza con $3n$. Dado que $3 \times 1 = 3$ pero el primer término es $2$, resta $1$: el $n$th término es $3n - 1$.
Secuencia cuadrática (las diferencias mismas cambian en la misma cantidad). La segunda diferencia es igual a $2 \times$ el coeficiente de $n^{2}$.
Ejemplo resuelto. Encuentra el $n$th término de $2, 5, 10, 17, \dots$
Las diferencias primeras son $3, 5, 7$; la diferencia segunda es $2$, por lo que la parte $n^{2}$ es $1n^{2}$. Restando $n^{2}$ ($1, 4, 9, 16$) de la secuencia queda $1, 1, 1, 1$. Así que el término $n$ es $n^{2} + 1$.
Una secuencia cúbica 三次 como $1, 8, 27, 64, \dots$ tiene el término $n$ igual a $n^{3}$. Una secuencia exponencial 指数数列 como $2, 6, 18, 54, \dots$ multiplica por un número fijo cada vez; aquí el término $n$ es $2 \times 3^{\,n-1}$.
Construya un término de una secuencia aritmética (sumar d) o geométrica (multiplicar por r) paso a paso.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| sequence/ˈsiːkwəns/ | 数列 | shù liè |
| term-to-term rule/tɜːm tə tɜːm ruːl/ | 递推规则 | dì tuī guī zé |
| cubic/ˈkjuːbɪk/ | 三次 | sān cì |
| exponential sequence/ˌekspəˈnenʃl ˈsiːkwəns/ | 指数数列 | zhǐ shù shù liè |
| direct proportion/daɪˈrekt prəˈpɔːʃn/ | 正比例 | zhèng bǐ lì |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Express direct and inverse proportion in algebraic terms and use this form of expression to find unknown quantities. | Includes linear, square, square root, cube and cube root proportion. Knowledge of proportional symbol ($\propto$) is required. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Expresar la proporcionalidad directa e inversa en términos algebraicos y utilizar esta forma de expresión para encontrar cantidades desconocidas. | Incluye proporcionalidad lineal, al cuadrado, raíz cuadrada, cúbica y raíz cúbica. Se requiere conocimiento del símbolo de proporcionalidad ($\propto$). |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Two quantities are in direct proportion 正比例 if one is always a fixed multiple of the other: $y \propto x$ means $y = kx$, where $k$ is a constant 常数. They are in inverse proportion 反比例 if one rises as the other falls: $y \propto \dfrac{1}{x}$ means $y = \dfrac{k}{x}$. The symbol $\propto$ is read "is proportional to". You can also have proportion to a square, square root, cube or cube root.
Worked example. $y$ is in direct proportion to $x$, and $y = 12$ when $x = 3$. Find $y$ when $x = 7$.
First find $k$: $12 = k \times 3$, so $k = 4$ and $y = 4x$. Then $y = 4 \times 7 = 28$.
Dos cantidades están en proporción directa 正比例 si una es siempre un múltiplo fijo de la otra: $y \propto x$ significa $y = kx$, donde $k$ es una constante 常数. Están en proporción inversa 反比例 si una aumenta mientras la otra disminuye: $y \propto \dfrac{1}{x}$ significa $y = \dfrac{k}{x}$. El símbolo $\propto$ se lee "es proporcional a". También puede haber proporción al cuadrado, raíz cuadrada, cubo o raíz cúbica.
Ejemplo resuelto. $y$ está en proporción directa con $x$, y es $y = 12$ cuando $x = 3$. Encuentre $y$ cuando $x = 7$.
Primero encuentre $k$: $12 = k \times 3$, así que $k = 4$ y $y = 4x$. Luego $y = 4 \times 7 = 28$.
y = a/x
Proporción inversa: cuando x se duplica, y se reduce a la mitad — una curva recíproca con dos asíntotas.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| constant/ˈkɒnstənt/ | 常数 | cháng shù |
| inverse proportion/ɪnˈvɜːs prəˈpɔːʃn/ | 反比例 | fǎn bǐ lì |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use and interpret graphs in practical situations including travel graphs and conversion graphs. | e.g. interpret the gradient of a straight-line graph as a rate of change. |
| 2 Draw graphs from given data. | e.g. draw a distance–time graph to represent a journey. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Usar e interpretar gráficas en situaciones prácticas, incluidas las gráficas de desplazamiento y las gráficas de conversión. | p. ej., interpretar la pendiente de una gráfica lineal como una tasa de cambio. |
| 2 Dibujar gráficas a partir de datos dados. | p. ej., dibujar una gráfica de distancia–tiempo para representar un viaje. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use and interpret graphs in practical situations including travel graphs and conversion graphs. | Includes estimation and interpretation of the gradient of a tangent at a point. |
| 2 Draw graphs from given data. | |
| 3 Apply the idea of rate of change to simple kinematics involving distance–time and speed–time graphs, acceleration and deceleration. | |
| 4 Calculate distance travelled as area under a speed–time graph. | Areas will involve linear sections of the graph only. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Usar e interpretar gráficas en situaciones prácticas, incluidas las gráficas de desplazamiento y las gráficas de conversión. | Incluye la estimación e interpretación de la pendiente de una tangente en un punto. |
| 2 Dibujar gráficas a partir de datos dados. | |
| 3 Aplicar el concepto de tasa de cambio a cinemática simple que involucra gráficas de distancia–tiempo y velocidad–tiempo, aceleración y desaceleración. | |
| 4 Calcular la distancia recorrida como el área bajo una gráfica de velocidad–tiempo. | Las áreas implicarán únicamente secciones lineales de la gráfica. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
The gradient 斜率 (steepness) of a graph shows a rate of change 变化率.
On a speed–time graph the gradient is the acceleration 加速度 (or deceleration 减速度 if the speed falls), and the area 面积 under the graph is the distance 距离 travelled.
Worked example. A car speeds up from rest to $20\text{ m/s}$ in $8\text{ s}$, then stays at $20\text{ m/s}$ for $12\text{ s}$. Find the acceleration and the total distance.
Acceleration $= \dfrac{20}{8} = 2.5\text{ m/s}^{2}$. The distance is the area: a triangle plus a rectangle,
La pendiente 斜率 (inclinación) de una gráfica muestra una tasa de cambio 变化率.
En una gráfica velocidad-tiempo la pendiente es la aceleración 加速度 (o desaceleración 减速度 si la velocidad disminuye), y el área 面积 bajo la gráfica es la distancia 距离 recorrida.
Ejemplo resuelto. Un coche acelera desde el reposo hasta $20\text{ m/s}$ en $8\text{ s}$, luego se mantiene a $20\text{ m/s}$ durante $12\text{ s}$. Encuentre la aceleración y la distancia total.
Aceleración $= \dfrac{20}{8} = 2.5\text{ m/s}^{2}$. La distancia es el área: un triángulo más un rectángulo,
y = ax + b
Una gráfica de distancia–tiempo o de costos se lee a partir de su pendiente y su intercepto.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| distance/ˈdɪstəns/ | 距离 | jù lí |
| table of values/ˈteɪbl ɒv ˈvæljuːz/ | 数值表 | shù zhí biǎo |
| coordinates/kəʊˈɔːdɪnəts/ | 坐标 | zuò biāo |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Construct tables of values, and draw, recognise and interpret graphs for functions of the following forms: • $ax + b$ • $\pm x^2 + ax + b$ • $\frac{a}{x} \ (x \neq 0)$ where $a$ and $b$ are integer constants. | |
| 2 Solve associated equations graphically, including finding and interpreting roots by graphical methods. | e.g. find the intersection of a line and a curve. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Construir tablas de valores, y dibujar, reconocer e interpretar gráficas para funciones de las siguientes formas: • $ax + b$ • $\pm x^2 + ax + b$ • $\frac{a}{x} \ (x \neq 0)$ donde $a$ y $b$ son constantes enteras. | |
| 2 Resolver ecuaciones asociadas gráficamente, incluyendo la localización e interpretación de raíces mediante métodos gráficos. | p. ej. encontrar la intersección entre una recta y una curva. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Construct tables of values, and draw, recognise and interpret graphs for functions of the following forms: • $a x^n$ (includes sums of no more than three of these) • $a b^x + c$ where $n = -2, -1, -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 1, 2, 3$; $a$ and $c$ are rational numbers; and $b$ is a positive integer. | Examples include: • $y = x^3 + x - 4$ • $y = 2x + \frac{3}{x^2}$ • $y = \frac{1}{4} \times 2^x$. |
| 2 Solve associated equations graphically, including finding and interpreting roots by graphical methods. | e.g. finding the intersection of a line and a curve. |
| 3 Draw and interpret graphs representing exponential growth and decay problems. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Construir tablas de valores, dibujar, reconocer e interpretar gráficas para funciones de las siguientes formas: • $a x^n$ (incluye sumas de no más de tres de estas) • $a b^x + c$ donde $n = -2, -1, -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 1, 2, 3$; $a$ y $c$ son números racionales; y $b$ es un entero positivo. | Ejemplos incluyen: • $y = x^3 + x - 4$ • $y = 2x + \frac{3}{x^2}$ • $y = \frac{1}{4} \times 2^x$. |
| 2 Resolver ecuaciones asociadas gráficamente, incluyendo la búsqueda e interpretación de raíces mediante métodos gráficos. | p. ej., encontrar la intersección de una recta y una curva. |
| 3 Dibujar e interpretar gráficas que representan problemas de crecimiento y decrecimiento exponencial. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
To draw a graph, make a table of values 数值表: choose values of $x$, work out $y$, then plot the coordinates 坐标 and join them with a smooth curve.
The points where a graph crosses the $x$-axis (the horizontal axis 坐标轴) are the roots 根 — the solutions of $y = 0$.
You can solve an equation by reading a graph. The intersection point 交点 of a line and a curve gives the solution of the two equations together.
For exponential growth 指数增长 and exponential decay 指数衰减, the graph of $y = a\,b^{x} + c$ rises (or falls) faster and faster and flattens towards a horizontal line.
Para dibujar una gráfica, haga una tabla de valores 数值表: elija valores de $x$, calcule $y$, luego grafique las coordenadas 坐标 y únalas con una curva suave.
Los puntos donde una gráfica cruza el eje $x$ (el eje horizontal axis 坐标轴) son las raíces 根 — las soluciones de $y = 0$.
Puede resolver una ecuación leyendo una gráfica. El punto de intersección 交点 de una línea y una curva da la solución de las dos ecuaciones juntas.
Para el crecimiento exponencial 指数增长 y el decaimiento exponencial 指数衰减, la gráfica de $y = a\,b^{x} + c$ sube (o baja) cada vez más rápido y se aplana hacia una línea horizontal.
y = ax² + bx + c
Arrastre a, b y c y observe cómo se mueve la parábola — su punto de giro y dónde cruja los ejes.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| axis/ˈæksɪs/ | 坐标轴 | zuò biāo zhóu |
| roots/ruːts/ | 根 | gēn |
| intersection point/ˌɪntəˈsekʃn pɔɪnt/ | 交点 | jiāo diǎn |
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | 指数增长 | zhǐ shù zēng zhǎng |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | 指数衰减 | zhǐ shù shuāi jiǎn |
| symmetry/ˈsɪmətri/ | 对称 | duì chèn |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Recognise, sketch and interpret graphs of the following functions: (a) linear (b) quadratic. | Knowledge of symmetry and roots is required. Knowledge of turning points is not required. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Reconocer, esbozar e interpretar gráficas de las siguientes funciones: (a) lineales (b) cuadráticas. | Se requiere conocimiento de la simetría y de las raíces. No se requiere conocimiento de los puntos de giro. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Recognise, sketch and interpret graphs of the following functions: (a) linear (b) quadratic (c) cubic (d) reciprocal (e) exponential. | Functions will be equivalent to: • $ax + by = c$ • $y = ax^2 + bx + c$ • $y = ax^3 + b$ • $y = ax^3 + bx^2 + cx$ • $y = \frac{a}{x} + b$ • $y = ar^x + b$ where $a$, $b$ and $c$ are rational numbers and $r$ is a rational, positive number. Knowledge of turning points, roots and symmetry is required. Knowledge of vertical and horizontal asymptotes is required. Finding turning points of quadratics by completing the square is required. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Reconocer, esbozar e interpretar gráficas de las siguientes funciones: (a) lineal (b) cuadrática (c) cúbica (d) recíproca (e) exponencial. | Las funciones serán equivalentes a: • $ax + by = c$ • $y = ax^2 + bx + c$ • $y = ax^3 + b$ • $y = ax^3 + bx^2 + cx$ • $y = \frac{a}{x} + b$ • $y = ar^x + b$ donde $a$, $b$ y $c$ son números racionales y $r$ es un número racional positivo. Se requiere conocimiento de puntos de inflexión, raíces y simetría. Se requiere conocimiento de asíntotas verticales y horizontales. Se requiere el cálculo de puntos de inflexión de cuadráticas completando el cuadrado. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
A quick sketch should show the right shape and the key features: where it crosses the axes, any symmetry 对称, and any line the curve gets close to.
| Function | Shape |
|---|---|
| linear, $y = mx + c$ | straight line; gradient $m$, $y$-intercept 截距 $c$ |
| quadratic, $y = ax^{2} + bx + c$ | a parabola 抛物线 (U-shape if $a>0$, $\cap$-shape if $a<0$) |
| cubic, $y = ax^{3} + bx + c$ | an S-shaped curve |
| reciprocal, $y = \dfrac{a}{x} + b$ | two separate curves |
| exponential, $y = a\,r^{x} + b$ | fast growth or decay |
For a parabola, completing the square gives the turning point 转折点 (the lowest or highest point). For example $y = (x + 3)^{2} - 8$ has its turning point at $(-3, -8)$.
An asymptote 渐近线 is a line that the curve gets closer and closer to but never touches — for example, the $x$-axis for $y = \dfrac{a}{x}$, or the line $y = b$ for $y = a\,r^{x} + b$.
Un esbozo rápido debe mostrar la forma correcta y las características clave: dónde cruza los ejes, cualquier simetría 对称, y cualquier línea a la que la curva se acerque.
| Función | Forma |
|---|---|
| lineal, $y = mx + c$ | línea recta; pendiente $m$, intercepto 截距 $y$-eje $c$ |
| cuadrática, $y = ax^{2} + bx + c$ | a parábola 抛物线 (forma de U si $a>0$, $\cap$-shape si $a<0$) |
| cúbica, $y = ax^{3} + bx + c$ | una curva en forma de S |
| recíproca, $y = \dfrac{a}{x} + b$ | dos curvas separadas |
| exponencial, $y = a\,r^{x} + b$ | crecimiento o decaimiento rápido |
Para una parábola, completar el cuadrado da el punto de giro 转折点 (el punto más bajo o más alto). Por ejemplo, $y = (x + 3)^{2} - 8$ tiene su punto de giro en $(-3, -8)$.
Una asíntota 渐近线 es una línea a la que la curva se acerca cada vez más pero nunca toca — por ejemplo, el eje $x$ para $y = \dfrac{a}{x}$, o la línea $y = b$ para $y = a\,r^{x} + b$.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| intercept/ˌɪntəˈsept/ | 截距 | jié jù |
| parabola/pəˈræbələ/ | 抛物线 | pāo wù xiàn |
| turning point/ˈtɜːnɪŋ pɔɪnt/ | 转折点 | zhuǎn zhé diǎn |
| asymptote/ˈæsɪmptəʊt/ | 渐近线 | jiàn jìn xiàn |
| differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | 微分 | wēi fēn |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Estimate gradients of curves by drawing tangents. | |
| 2 Use the derivatives of functions of the form $ax^n$, where $a$ is a rational constant and $n$ is a positive integer or zero, and simple sums of not more than three of these. | $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ notation will be expected. |
| 3 Apply differentiation to gradients and stationary points (turning points). | |
| 4 Discriminate between maxima and minima by any method. | Maximum and minimum points may be identified by: • an accurate sketch • use of the second differential • inspecting the gradient either side of a turning point. Candidates are not expected to identify points of inflection. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Estimar las pendientes de curvas trazando tangentes. | |
| 2 Utilizar las derivadas de funciones de la forma $ax^n$, donde $a$ es una constante racional y $n$ es un entero positivo o cero, y sumas simples de no más de tres de estas. | Se esperará el uso de la notación $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$. |
| 3 Aplicar la diferenciación a pendientes y puntos estacionarios (puntos de inflexión/turning points). | |
| 4 Distinguir entre máximos y mínimos mediante cualquier método. Los puntos de máximo y mínimo pueden identificarse por: • un boceto preciso • el uso de la segunda diferencial • inspeccionando la pendiente a ambos lados de un punto de giro. No se espera que los candidatos identifiquen puntos de inflexión. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Differentiation 微分 finds the gradient of a curve at any point. You can estimate it by drawing a tangent 切线 (a line that just touches the curve) and measuring its gradient.
The exact rule: if $y = ax^{n}$, then the derivative 导数 is
Differentiate a sum term by term.
Worked example. If $y = x^{3} + 2x^{2} - 5x$, then $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^{2} + 4x - 5$.
A stationary point 驻点 (turning point) is where the gradient is zero, so set $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0$.
Worked example. Find the turning point of $y = x^{2} - 6x + 5$.
The turning point is $(3, -4)$. To decide whether a turning point is a maximum 最大值 or a minimum 最小值, check the sign of the gradient on each side, or use the second derivative (positive means a minimum).
La diferenciación 微 encuentra la pendiente de una curva en cualquier punto. Puede estimarla trazando una tangente 切线 (una línea que solo toca la curva) y midiendo su pendiente.
La regla exacta: si $y = ax^{n}$, entonces la derivada 导数 es
Diferencie una suma término por término.
Ejemplo resuelto. Si $y = x^{3} + 2x^{2} - 5x$, entonces $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^{2} + 4x - 5$.
Un punto estacionario 驻点 (punto de giro) es donde la pendiente es cero, así que iguale $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0$ a cero.
Ejemplo resuelto. Encuentre el punto de giro de $y = x^{2} - 6x + 5$.
El punto de giro es $(3, -4)$. Para decidir si un punto de giro es un máximo 最大值 o un mínimo 最小值, verifique el signo de la pendiente en cada lado, o use la segunda derivada (positiva significa un mínimo).
y = ax³ + bx² + cx + d
Mueva el punto: la tangente muestra la pendiente allí, que es lo que encuentra la diferenciación.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | 斜率 | xié lǜ |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | 变化率 | biàn huà lǜ |
| travel graph/ˈtrævl ɡræf/ | 行程图 | xíng chéng tú |
| conversion graph/kənˈvɜːʃn ɡræf/ | 换算图 | huàn suàn tú |
| acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/ | 加速度 | jiā sù dù |
| deceleration/dɪˌseləˈreɪʃn/ | 减速度 | jiǎn sù dù |
| tangent/ˈtændʒənt/ | 切线 | qiè xiàn |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | 导数 | dǎo shù |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | 驻点 | zhù diǎn |
| maximum/ˈmæksɪməm/ | 最大值 | zuì dà zhí |
| minimum/ˈmɪnɪməm/ | 最小值 | zuì xiǎo zhí |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand functions, domain and range and use function notation. | Examples include: • $f(x) = 3x - 5$ • $g(x) = \frac{3(x + 4)}{5}$ • $h(x) = 2x^2 + 3$. |
| 2 Understand and find inverse functions $f^{-1}(x)$. | |
| 3 Form composite functions as defined by $gf(x) = g(f(x))$. | e.g. $f(x) = \frac{3}{x + 2}$ and $g(x) = (3x + 5)^2$. Find $fg(x)$. Give your answer as a fraction in its simplest form. Candidates are not expected to find the domains and ranges of composite functions. This topic may include mapping diagrams. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Comprender funciones, dominio y rango, y utilizar la notación de funciones. | Ejemplos incluyen: • $f(x) = 3x - 5$ • $g(x) = \frac{3(x + 4)}{5}$ • $h(x) = 2x^2 + 3$. |
| 2 Comprender y encontrar funciones inversas $f^{-1}(x)$. | |
| 3 Formar funciones compuestas según lo definido por $gf(x) = g(f(x))$. | p. ej. $f(x) = \frac{3}{x + 2}$ y $g(x) = (3x + 5)^2$. Encontrar $fg(x)$. Dar la respuesta como una fracción en su forma más simple. A los candidatos no se les espera que encuentren los dominios y rangos de las funciones compuestas. Este tema puede incluir diagramas de mapeo. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
A function 函数 turns each input into one output. We write $f(x)$, for example $f(x) = 3x - 5$, so $f(2) = 1$. The set of allowed inputs is the domain 定义域; the set of possible outputs is the range 值域.
The inverse function 反函数 $f^{-1}(x)$ undoes the function. To find it, write $y = f(x)$, swap the roles, and make $x$ the subject.
Worked example. Find the inverse of $f(x) = 3x - 5$.
A composite function 复合函数 applies one function after another: $gf(x)$ means "do $f$ first, then $g$".
Worked example. If $f(x) = 2x$ and $g(x) = x + 3$, then
Una función 函数 convierte cada entrada en una salida. Escribimos $f(x)$, por ejemplo $f(x) = 3x - 5$, así que $f(2) = 1$. El conjunto de entradas permitidas es el dominio 定义域; el conjunto de salidas posibles es el rango 值域.
La función inversa 反函数 $f^{-1}(x)$ deshace la función. Para encontrarla, escriba $y = f(x)$, intercambie los roles, y haga $x$ el sujeto.
Ejemplo resuelto. Halla la inversa de $f(x) = 3x - 5$.
Una función compuesta 复合函数 aplica una función después de otra: $gf(x)$ significa "hacer $f$ primero, luego $g$".
Ejemplo resuelto. Si $f(x) = 2x$ y $g(x) = x + 3$, entonces
y = f(x)
Una función convierte cada entrada en exactamente una salida — observa su forma.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| function/ˈfʌŋkʃn/ | 函数 | hán shù |
| domain/dəˈmeɪn/ | 定义域 | dìng yì yù |
| range/reɪndʒ/ | 值域 | zhí yù |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | 反函数 | fǎn hán shù |
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | 复合函数 | fù hé hán shù |
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.
Past Papers · Exámenes Anteriores
Loading subjects… · Cargando asignaturas…