IGCSE Matemáticas · Topic 6 · Tema 6
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Trigonometría
¿Qué tan alta es esa torre? No puedes subirla con una cinta métrica. Pero puedes quedarte en el suelo, caminar cincuenta metros hacia atrás, y medir un ángulo — el ángulo que…
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This handout covers Topic 6, Trigonometry. Parts marked (Extended) are only tested on the Extended papers; everything else is for both levels. Give angle answers to one decimal place.
Este folleto cubre el Tema 6, Trigonometría. Las partes marcadas (Ampliado) solo se examinan en los papeles Ampliados; todo lo demás es para ambos niveles. Da respuestas angulares con una cifra decimal.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Know and use Pythagoras’ theorem. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Conocer y aplicar el teorema de Pitágoras. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Know and use Pythagoras’ theorem. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Conocer y aplicar el teorema de Pitágoras. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Pythagoras' theorem 勾股定理 links the three sides of a right-angled triangle 直角三角形 (a triangle 三角形 with one $90^{\circ}$ angle). If the longest side (the hypotenuse 斜边, opposite the right angle) is $c$, then
Use it to find a missing side.
Worked example. A right-angled triangle has a hypotenuse of $13\text{ cm}$ and one short side of $5\text{ cm}$. Find the other short side.
El teorema de Pitágoras relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo (un triángulo con un ángulo $90^{\circ}$). Si el lado más largo (la hipotenusa, opuesto al ángulo recto) es $c$, entonces
Use it to find a missing side.
Ejemplo resuelto. Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de $13\text{ cm}$ y un cateto corto de $5\text{ cm}$. Encuentra el otro cateto corto.
Cambie los dos lados cortos y vea $a^2 + b^2 = c^2$ — los cuadrados de los lados realmente suman.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Know and use the sine, cosine and tangent ratios for acute angles in calculations involving sides and angles of a right-angled triangle. | Angles will be given in degrees and answers should be written in degrees, with decimals correct to one decimal place. |
| 2 Solve problems in two dimensions using Pythagoras’ theorem and trigonometry. | Knowledge of bearings may be required. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Conocer y utilizar las razones de seno, coseno y tangente para ángulos agudos en cálculos que involucren lados y ángulos de un triángulo rectángulo. | Los ángulos se darán en grados y las respuestas deben escribirse en grados, con decimales correctos hasta una posición decimal. |
| 2 Resolver problemas en dos dimensiones utilizando el teorema de Pitágoras y la trigonometría. | Puede ser necesario conocer los rumbos (acimut). |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Know and use the sine, cosine and tangent ratios for acute angles in calculations involving sides and angles of a right-angled triangle. | Angles will be given in degrees and answers should be written in degrees, with decimals correct to one decimal place. |
| 2 Solve problems in two dimensions using Pythagoras’ theorem and trigonometry. | Knowledge of bearings may be required. |
| 3 Know that the perpendicular distance from a point to a line is the shortest distance to the line. | |
| 4 Carry out calculations involving angles of elevation and depression. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Conocer y utilizar las razones seno, coseno y tangente para ángulos agudos en cálculos que involucran lados y ángulos de un triángulo rectángulo. | Los ángulos se darán en grados y las respuestas deben escribirse en grados, con decimales correctos hasta un lugar decimal. |
| 2 Resolver problemas en dos dimensiones utilizando el teorema de Pitágoras y la trigonometría. | Puede ser necesario conocer los rumbos (acimutales). |
| 3 Saber que la distancia perpendicular desde un punto a una línea es la distancia más corta a dicha línea. | |
| 4 Realizar cálculos que involucren ángulos de elevación y depresión. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Label the sides from the angle you are using: the opposite 对边 (across from the angle), the adjacent 邻边 (next to the angle), and the hypotenuse. The three ratios are the sine 正弦, cosine 余弦 and tangent ratio 正切 (sin, cos, tan):
Remember them as SOH-CAH-TOA. To find an angle, use the inverse ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$).
Worked example (find a side). In a right-angled triangle the hypotenuse is $10\text{ cm}$ and the angle is $30^{\circ}$. Find the opposite side.
Worked example (find an angle). The opposite side is $4\text{ cm}$ and the adjacent side is $3\text{ cm}$.
Etiqueta los lados desde el ángulo que estás utilizando: el opuesto (frente al ángulo), el adyacente (junto al ángulo) y la hipotenusa. Las tres razones son el seno, coseno y tangente (sin, cos, tan):
Recuérdalas como SOH-CAH-TOA. Para encontrar un ángulo, usa la inversa ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$).
Ejemplo resuelto (encontrar un lado). En un triángulo rectángulo la hipotenusa es $10\text{ cm}$ y el ángulo es $30^{\circ}$. Encuentre el lado opuesto.
Ejemplo resuelto (encontrar un ángulo). El lado opuesto es $4\text{ cm}$ y el lado adyacente es $3\text{ cm}$.
Arrastre el ángulo en el círculo unitario para ver de dónde provienen sen, cos y tan.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| Pythagoras' theorem/paɪˈθæɡərəs ˈθɪərəm/ | 勾股定理 | gōu gǔ dìng lǐ |
| right-angled triangle/raɪt ˈæŋɡld ˈtraɪæŋɡl/ | 直角三角形 | zhí jiǎo sān jiǎo xíng |
| triangle/ˈtraɪæŋɡl/ | 三角形 | sān jiǎo xíng |
| hypotenuse/haɪˈpɒtənjuːs/ | 斜边 | xié biān |
| opposite/ˈɒpəzɪt/ | 对边 | duì biān |
| adjacent/əˈdʒeɪsənt/ | 邻边 | lín biān |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Know and use the sine, cosine and tangent ratios for acute angles in calculations involving sides and angles of a right-angled triangle. | Angles will be given in degrees and answers should be written in degrees, with decimals correct to one decimal place. |
| 2 Solve problems in two dimensions using Pythagoras’ theorem and trigonometry. | Knowledge of bearings may be required. |
| 3 Know that the perpendicular distance from a point to a line is the shortest distance to the line. | |
| 4 Carry out calculations involving angles of elevation and depression. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Conocer y utilizar las razones seno, coseno y tangente para ángulos agudos en cálculos que involucran lados y ángulos de un triángulo rectángulo. | Los ángulos se darán en grados y las respuestas deben escribirse en grados, con decimales correctos hasta un lugar decimal. |
| 2 Resolver problemas en dos dimensiones utilizando el teorema de Pitágoras y la trigonometría. | Puede ser necesario conocer los rumbos (acimutales). |
| 3 Saber que la distancia perpendicular desde un punto a una línea es la distancia más corta a dicha línea. | |
| 4 Realizar cálculos que involucren ángulos de elevación y depresión. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
The angle of elevation 仰角 is the angle up from the horizontal to an object above you. The angle of depression 俯角 is the angle down from the horizontal to an object below you. The shortest distance from a point to a line is the perpendicular 垂直 distance.
Worked example. From a point $50\text{ m}$ from the foot of a tower, the angle of elevation to the top is $40^{\circ}$. Find the height of the tower.
El ángulo de elevación es el ángulo hacia arriba desde la horizontal hasta un objeto que está encima de ti. El ángulo de depresión es el ángulo hacia abajo desde la horizontal hasta un objeto que está debajo de ti. La distancia más corta desde un punto a una línea es la distancia perpendicular.
Ejemplo resuelto. Desde un punto $50\text{ m}$ de la base de una torre, el ángulo de elevación a la cima es $40^{\circ}$. Encuentre la altura de la torre.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | 垂直 | chuí zhí |
| trigonometric equation/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ɪˈkweɪʒn/ | 三角方程 | sān jiǎo fāng chéng |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Know the exact values of: 1 $\sin x$ and $\cos x$ for $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ and $90^\circ$. 2 $\tan x$ for $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ$ and $60^\circ$. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Conocer los valores exactos de: 1 $\sin x$ y $\cos x$ para $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ y $90^\circ$. 2 $\tan x$ para $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ$ y $60^\circ$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
You must know these exact values without a calculator.
| $x$ | $0^{\circ}$ | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $\tfrac{1}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan x$ | $0$ | $\tfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | — |
Debes conocer estos valores exactos sin calculadora.
| $x$ | $0^{\circ}$ | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $\tfrac{1}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan x$ | $0$ | $\tfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | — |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Recognise, sketch and interpret the following graphs for $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$: • $y = \sin x$ • $y = \cos x$ • $y = \tan x$. | |
| 2 Solve trigonometric equations involving $\sin x$, $\cos x$ or $\tan x$, for $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. | e.g. solve: • $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ for $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$ • $2 \cos x + 1 = 0$ for $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Reconocer, dibujar y analizar los siguientes gráficos para $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$: • $y = \sin x$ • $y = \cos x$ • $y = \tan x$. | |
| 2 Resolver ecuaciones trigonométricas que involucran $\sin x$, $\cos x$ o $\tan x$, para $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. | p. ej. resolver: • $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ para $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$ • $2 \cos x + 1 = 0$ para $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
For $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$:
A trigonometric equation 三角方程 often has more than one answer in this range. Use the graph (or the symmetry of the wave) to find them all.
Worked example. Solve $\sin x = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ for $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.
One answer is $x = 60^{\circ}$. The sine wave is also $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ at $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. So $x = 60^{\circ}$ or $120^{\circ}$.
Worked example. Solve $2\cos x + 1 = 0$ for $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.
Para $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$:
Una ecuación trigonométrica a menudo tiene más de una respuesta en este rango. Use el gráfico (o la simetría de la onda) para encontrarlas todas.
Ejemplo resuelto. Resuelve $\sin x = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ para $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.
Una respuesta es $x = 60^{\circ}$. La onda senoidal también es $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ en $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. Entonces $x = 60^{\circ}$ o $120^{\circ}$.
Ejemplo resuelto. Resuelve $2\cos x + 1 = 0$ para $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.
(cos θ, sin θ)
A medida que θ gira, sin y cos trazan sus ondas — y se repiten cada 360°.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| sine/saɪn/ | 正弦 | zhèng xián |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | 余弦 | yú xián |
| tangent ratio/ˈtændʒənt ˈreɪʃɪəʊ/ | 正切 | zhèng qiē |
| angle of elevation/ˈæŋɡl ɒv ˌelɪˈveɪʃn/ | 仰角 | yǎng jiǎo |
| angle of depression/ˈæŋɡl ɒv dɪˈpreʃn/ | 俯角 | fǔ jiǎo |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use the sine and cosine rules in calculations involving lengths and angles for any triangle. | Includes problems involving obtuse angles and the ambiguous case. |
| 2 Use the formula $\text{area of triangle} = \frac{1}{2} ab \sin C$. | The sine and cosine rules and the formula for area of a triangle are given in the List of formulas. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Utilizar las reglas del seno y del coseno en cálculos que impliquen longitudes y ángulos de cualquier triángulo. | Incluye problemas con ángulos obtusos y el caso ambiguo. |
| 2 Utilizar la fórmula $\text{area of triangle} = \frac{1}{2} ab \sin C$. | Las reglas del seno y del coseno, así como la fórmula para el área de un triángulo, se encuentran en la Lista de fórmulas. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
For any triangle (not just right-angled), with sides $a, b, c$ opposite angles $A, B, C$:
Use the sine rule 正弦定理 when you have a side and its opposite angle. Use the cosine rule 余弦定理 when you have two sides and the angle between them, or all three sides. With the sine rule, watch for the ambiguous case 两解情况, where an angle could be acute or obtuse.
The area of any triangle is
Worked example. A triangle has $b = 7\text{ cm}$, $c = 8\text{ cm}$ and the angle between them $A = 40^{\circ}$. Find side $a$.
Para cualquier triángulo (no solo rectángulo), con lados $a, b, c$ opuestos a ángulos $A, B, C$:
Utiliza la ley de senos cuando tengas un lado y su ángulo opuesto. Utiliza la ley de cosenos cuando tengas dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, o los tres lados. Con la ley de senos, ten cuidado con el caso ambiguo, donde un ángulo podría ser agudo u obtuso.
The area of any triangle is
Ejemplo resuelto. Un triángulo tiene $b = 7\text{ cm}$, $c = 8\text{ cm}$ y el ángulo entre ellos $A = 40^{\circ}$. Encuentra el lado $a$.
Dos lados y el ángulo entre ellos determinan el triángulo: la ley del coseno encuentra el tercer lado, la ley del seno los otros ángulos.
Gira el ángulo en el círculo unitario: el cateto horizontal es cos θ y el cateto vertical es sin θ — las mismas razones que usan las leyes del seno y el coseno.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| sine rule/saɪn ruːl/ | 正弦定理 | zhèng xián dìng lǐ |
| cosine rule/ˈkəʊsaɪn ruːl/ | 余弦定理 | yú xián dìng lǐ |
| ambiguous case/æmˈbɪɡjuːəs keɪs/ | 两解情况 | liǎng jiě qíng kuàng |
| plane/pleɪn/ | 平面 | píng miàn |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Carry out calculations and solve problems in three dimensions using Pythagoras' theorem and trigonometry, including calculating the angle between a line and a plane. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Realizar cálculos y resolver problemas en tres dimensiones utilizando el teorema de Pitágoras y la trigonometría, incluyendo el cálculo del ángulo entre una recta y un plano. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
In three dimensions, find a right-angled triangle inside the solid, then use Pythagoras or trigonometry on it. A common task is the angle between a line and a flat surface (a plane 平面).
Worked example. A box has a base $6\text{ cm}$ by $8\text{ cm}$ and height $5\text{ cm}$. Find the angle between a space diagonal and the base.
First the base diagonal: $\sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$. This diagonal and the height form a right-angled triangle, so the angle $\theta$ with the base is
En tres dimensiones, encuentre un triángulo rectángulo dentro del sólido, luego use Pitágoras o trigonometría en él. Una tarea común es el ángulo entre una línea y una superficie plana (un plano).
Ejemplo resuelto. Una caja tiene una base $6\text{ cm}$ por $8\text{ cm}$ y altura $5\text{ cm}$. Encuentre el ángulo entre una diagonal espacial y la base.
Primero la diagonal de la base: $\sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$. Esta diagonal y la altura forman un triángulo rectángulo, así que el ángulo $\theta$ con la base es
En un triángulo rectángulo a² + b² = c². La misma idea, aplicada dos veces, da longitudes dentro de sólidos 3-D.
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.
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