Este folleto cubre el Tema 3, Geometría de coordenadas. Las partes marcadas con (Expandido) solo se evalúan en los exámenes Expandidos; todo lo demás es para ambos niveles.
Geometría analítica
IGCSE Matemáticas · Tema 3
7:35
Geometría analítica
Mira hacia abajo en una ciudad como esta y cada esquina de calle tiene una dirección: tantos bloques hacia los lados, tantos bloques hacia arriba. Dos números, y sabes exactamente dónde estás…
Narración en inglés · Subtítulos en inglés + 中文 quemados en pantalla
3.1
Coordenadas
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Utilice e interprete coordenadas cartesianas en dos dimensiones. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Un punto en un gráfico se describe mediante sus coordenadas 坐标, a veces llamadas coordenadas cartesianas, escritas $(x, y)$. El primer número es el valor horizontal y el segundo es el valor vertical.
- Las dos líneas numéricas son los ejes 坐标轴: el eje horizontal 水平 $x$ y el eje vertical 竖直 $y$.
- Se cruzan en el origen 原点, el punto $(0, 0)$.
- Los ejes dividen la cuadrícula en cuatro cuadrantes 象限.
Por lo tanto, el punto $(3, -2)$ se encuentra moviéndose $3$ a la derecha y $2$ hacia abajo.
Explorar
El plano cartesiano
y = mx + c
Cada punto tiene una coordenada (x, y). Una línea recta es el conjunto de puntos donde y depende de x de una manera fija.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| coordinates/kəʊˈɔːdɪnəts/ | 坐标 | zuò biāo |
| axes/ˈæksɪz/ | 坐标轴 | zuò biāo zhóu |
| horizontal/ˌhɒrɪˈzɒntl/ | 水平 | shuǐ píng |
| vertical/ˈvɜːtɪkl/ | 竖直 | shù zhí |
| origin/ˈɒrɪdʒɪn/ | 原点 | yuán diǎn |
| quadrants/ˈkwɒdrənts/ | 象限 | xiàng xiàn |
3.5
La ecuación de una línea recta
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Interpretar y obtener la ecuación de un gráfico de línea recta en la forma $y = mx + c$. | Las preguntas pueden: • utilizar y solicitar líneas en las formas $y = mx + c$, $x = k$ • implicar encontrar la ecuación cuando se proporciona el gráfico • pedir la pendiente o la intersección con el eje $y$ de un gráfico a partir de una ecuación, p. ej., encontrar la pendiente y la intersección con el eje $y$ del gráfico con la ecuación $y = 6x + 3$. Se espera que los candidatos den ecuaciones de una línea en su forma completamente simplificada. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Interpretar y obtener la ecuación de un gráfico de línea recta. | Las preguntas pueden: • utilizar y solicitar líneas en diferentes formas, por ejemplo, $ax + by = c$, $y = mx + c$, $x = k$ • implicar encontrar la ecuación cuando se da el gráfico • pedir la pendiente o la intersección con el eje $y$ de un gráfico a partir de una ecuación, por ejemplo, encontrar la pendiente y la intersección con el eje $y$ del gráfico cuya ecuación es $5x + 4y = 8$. Se espera que los candidatos den las ecuaciones de una línea en una forma completamente simplificada. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
La mayoría de las líneas rectas pueden escribirse como
$$y = mx + c,$$
donde $m$ es la pendiente 斜率 (inclinación) y $c$ es la intersección 截距 — el valor de $y$ donde la línea cruza el eje $y$.
- Una línea como $x = k$ (por ejemplo $x = 3$) es vertical.
- Una línea como $y = k$ (por ejemplo $y = 3$) es horizontal.
Una línea también puede darse como $ax + by = c$. Reorganízala en $y = mx + c$ para leer la pendiente y la intersección.
Ejemplo resuelto. Encuentra la pendiente y la intersección en el eje $y$ de $5x + 4y = 8$.
$$4y = -5x + 8 \;\Rightarrow\; y = -\tfrac{5}{4}x + 2.$$
Así que la pendiente es $-\tfrac{5}{4}$ y la intersección en el eje $y$ es $2$.
Explorar
y = mx + c
y = ax + b
Arrastre la pendiente y la intersección. a es la pendiente (pendiente pronunciada) y b es donde la línea cruja el eje y.
3.3
Pendiente
Syllabus
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Encontrar la pendiente de una recta. | A partir de una cuadrícula únicamente. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Encontrar la pendiente de una recta. | |
| 2 Calcular la pendiente de una recta a partir de las coordenadas de dos puntos sobre ella. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
La pendiente mide qué tan empinada es una línea:
$$m = \frac{\text{change in } y}{\text{change in } x} = \frac{\text{rise}}{\text{run}}.$$
Una pendiente positiva sube hacia la derecha; una pendiente negativa baja hacia la derecha.
Ejemplo resuelto. Encuentra la pendiente de la línea que pasa por $(1, 2)$ y $(4, 11)$.
$$m = \frac{11 - 2}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3.$$
Explorar
Pendiente
y = ax + b
La pendiente mide la inclinación — ascenso sobre avance.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | 斜率 | xié lǜ |
| intercept/ˌɪntəˈsept/ | 截距 | jié jù |
| table of values/ˈteɪbl ɒv ˈvæljuːz/ | 数值表 | shù zhí biǎo |
| line segment/laɪn ˈseɡmənt/ | 线段 | xiàn duàn |
3.2
Dibujar un gráfico de línea recta
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Dibujar gráficos de línea recta para ecuaciones lineales. | Las ecuaciones se darán en la forma $y = mx + c$ (p. ej., $y = -2x + 5$), a menos que se proporcione una tabla de valores. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Dibujar gráficas de rectas para ecuaciones lineales. | Ejemplos incluyen: • $y = -2x + 5$ • $y = 7 - 4x$ • $3x + 2y = 5$. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Para dibujar $y = mx + c$, la forma más rápida es:
- Marca la intersección $c$ en el eje $y$.
- Utiliza la pendiente para avanzar hasta más puntos (para $m = 3$, avanza $1$ a la derecha y $3$ hacia arriba).
- Une los puntos con una línea recta.
También puedes crear una pequeña tabla de valores: elige dos o tres valores de $x$, calcula los correspondientes valores de $y$ y representa los puntos.
3.5
Encontrar la ecuación de una recta
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Interpretar y obtener la ecuación de un gráfico de línea recta en la forma $y = mx + c$. | Las preguntas pueden: • utilizar y solicitar líneas en las formas $y = mx + c$, $x = k$ • implicar encontrar la ecuación cuando se proporciona el gráfico • pedir la pendiente o la intersección con el eje $y$ de un gráfico a partir de una ecuación, p. ej., encontrar la pendiente y la intersección con el eje $y$ del gráfico con la ecuación $y = 6x + 3$. Se espera que los candidatos den ecuaciones de una línea en su forma completamente simplificada. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Interpretar y obtener la ecuación de un gráfico de línea recta. | Las preguntas pueden: • utilizar y solicitar líneas en diferentes formas, por ejemplo, $ax + by = c$, $y = mx + c$, $x = k$ • implicar encontrar la ecuación cuando se da el gráfico • pedir la pendiente o la intersección con el eje $y$ de un gráfico a partir de una ecuación, por ejemplo, encontrar la pendiente y la intersección con el eje $y$ del gráfico cuya ecuación es $5x + 4y = 8$. Se espera que los candidatos den las ecuaciones de una línea en una forma completamente simplificada. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Si conoces la pendiente $m$ y un punto en la recta, sustituye el punto en $y = mx + c$ para encontrar $c$.
Ejemplo resuelto. Una recta tiene pendiente $3$ y pasa por $(1, 2)$. Encuentra su ecuación.
$$y = 3x + c, \qquad 2 = 3(1) + c, \qquad c = -1.$$
Por lo tanto, la ecuación es $y = 3x - 1$. (Si te dan dos puntos, primero encuentra la pendiente y luego haz esto.)
3.4
Longitud y punto medio (Ampliado)
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Calcular la longitud de un segmento de recta. | |
| 2 Encontrar las coordenadas del punto medio de un segmento de recta. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Un segmento de línea es la parte recta entre dos puntos.
Para encontrar la longitud 长度 del segmento entre $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$, utiliza el teorema de Pitágoras 勾股定理 sobre las diferencias horizontal y vertical:
$$\text{length} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.$$
Para encontrar el punto medio 中点 (el punto exactamente en el centro), promedia las coordenadas:
$$\text{midpoint} = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \; \frac{y_1 + y_2}{2} \right).$$
Ejemplo resuelto. Encuentra la longitud y el punto medio del segmento desde $(1, 2)$ hasta $(4, 6)$.
$$\text{length} = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$$
$$\text{midpoint} = \left( \frac{1 + 4}{2}, \; \frac{2 + 6}{2} \right) = (2.5, \, 4).$$
Explorar
Laboratorio de longitud y punto medio
el punto medio está a la mitad entre los extremos
Moverse a lo largo de un segmento de recta y ver el punto medio como la mitad.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| length/leŋθ/ | 长度 | cháng dù |
| Pythagoras' theorem/paɪˈθæɡərəs ˈθɪərəm/ | 勾股定理 | gōu gǔ dìng lǐ |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | 中点 | zhōng diǎn |
3.6
Líneas paralelas
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Encontrar la pendiente y la ecuación de una recta paralela a una recta dada. | Ej.: encontrar la ecuación de la recta paralela a $y = 4x - 1$ que pasa por el punto $(1, -3)$. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Encontrar la pendiente y la ecuación de una línea recta paralela a una línea dada. | Ej.: encontrar la ecuación de la línea paralela a $y = 4x - 1$ que pasa por el punto $(1, -3)$. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Paralelas 平行 Las líneas nunca se encuentran, por lo que tienen la misma pendiente.
Ejemplo resuelto. Encuentra la ecuación de la línea paralela a $y = 4x - 1$ que pasa por $(1, -3)$.
La pendiente también es $4$. Sustituye el punto:
$$-3 = 4(1) + c \;\Rightarrow\; c = -7,$$
por lo que la línea es $y = 4x - 7$.
Explorar
Paralelas & perpendiculares
y = ax + b
Paralelas comparten una pendiente; las pendientes perpendiculares multiplicadas dan −1.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| parallel/ˈpærəlel/ | 平行 | píng xíng |
3.7
Rectas perpendiculares (Ampliación)
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Encontrar la pendiente y la ecuación de una recta perpendicular a una recta dada. | Ejemplos incluyen: • encontrar la pendiente de una recta perpendicular a $2y = 3x + 1$ • encontrar la ecuación de la mediatriz de la recta que une los puntos $(-3, 8)$ y $(9, -2)$. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Dos rectas son perpendiculares 垂直 si se intersectan formando un ángulo recto 直角. El producto de sus pendientes es $-1$:
$$m_1 \times m_2 = -1, \qquad \text{so} \qquad m_2 = -\frac{1}{m_1}.$$
En palabras: invierte la fracción y cambia el signo.
Ejemplo resuelto. Halla la pendiente de una recta perpendicular a $2y = 3x + 1$.
Reordena: $y = \tfrac{3}{2}x + \tfrac{1}{2}$, de modo que la pendiente sea $\tfrac{3}{2}$. La pendiente perpendicular es $-\tfrac{2}{3}$.
Mediatriz
La mediatriz 垂直平分线 de un segmento lo divide por la mitad en un ángulo recto. Para encontrar su ecuación: obtén el punto medio y luego utiliza la pendiente perpendicular a través de ese punto medio.
Ejemplo resuelto. Encuentra la mediatriz del segmento que une $(-3, 8)$ y $(9, -2)$.
- Punto medio: $\left( \frac{-3 + 9}{2}, \frac{8 + (-2)}{2} \right) = (3, 3)$.
- Pendiente del segmento: $\frac{-2 - 8}{9 - (-3)} = \frac{-10}{12} = -\tfrac{5}{6}$.
- Pendiente perpendicular: $\frac{6}{5}$.
A través de $(3, 3)$: $\; 3 = \tfrac{6}{5}(3) + c \Rightarrow c = 3 - \tfrac{18}{5} = -\tfrac{3}{5}$. Por lo tanto, la bisectriz es
$$y = \tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{5}.$$
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | 垂直 | chuí zhí |
| right angle/raɪt ˈæŋɡl/ | 直角 | zhí jiǎo |
| perpendicular bisector/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə baɪˈsektə/ | 垂直平分线 | chuí zhí píng fēn xiàn |
3.7
Consejos para el examen
- La recta tiene la forma $y = mx + c$: $m$ es la pendiente y $c$ es donde la recta cruza el eje $y$.
- Pendiente = (cambio en $y$) ÷ (cambio en $x$). Mantenga las dos coordenadas en el mismo orden en el numerador y en el denominador.
- Las líneas paralelas tienen la misma pendiente; las líneas perpendiculares tienen pendientes que multiplicadas dan como resultado $-1$ (el recíproco negativo).
- El punto medio es el promedio de las coordenadas; la distancia entre dos puntos se obtiene aplicando Pitágoras a las diferencias.
Lecciones interactivas sobre este tema
Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.