Mensuración

5.1

Units of measure · ⁨Unidades de medida⁩

Syllabus

English

Subject content	Notes and examples
Use metric units of mass, length, area, volume and capacity in practical situations and convert quantities into larger or smaller units.	Units include: • mm, cm, m, km • $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ • $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ • ml, l • g, kg. Conversion between units includes: • between different units of area, e.g. $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$ • between units of volume and capacity, e.g. $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$.

Español

Contenido de la asignatura	Notas y ejemplos
Utilizar unidades métricas de masa, longitud, área, volumen y capacidad en situaciones prácticas y convertir cantidades a unidades mayores o menores.	Las unidades incluyen: • mm, cm, m, km • $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ • $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ • ml, l • g, kg. La conversión entre unidades incluye: • entre diferentes unidades de área, por ejemplo, $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$ • entre unidades de volumen y capacidad, por ejemplo, $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$.

Contenido de la asignatura

Notas y ejemplos

Utilizar unidades métricas de masa, longitud, área, volumen y capacidad en situaciones prácticas y convertir cantidades a unidades mayores o menores.

Las unidades incluyen: • mm, cm, m, km • $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ • $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ • ml, l • g, kg. La conversión entre unidades incluye: • entre diferentes unidades de área, por ejemplo, $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$ • entre unidades de volumen y capacidad, por ejemplo, $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$.

English

Subject content	Notes and examples
Use metric units of mass, length, area, volume and capacity in practical situations and convert quantities into larger or smaller units.	Units include: • mm, cm, m, km • $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ • $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ • ml, l • g, kg. Conversion between units includes: • between different units of area, e.g. $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$ • between units of volume and capacity, e.g. $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$.

Español

Contenido del tema	Notas y ejemplos
Utilice unidades métricas de masa, longitud, área, volumen y capacidad en situaciones prácticas y convierta cantidades a unidades más grandes o más pequeñas.	Las unidades incluyen: • mm, cm, m, km • $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ • $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ • ml, l • g, kg. La conversión entre unidades incluye: • entre diferentes unidades de área, por ejemplo, $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$ • entre unidades de volumen y capacidad, por ejemplo, $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$.

Contenido del tema

Notas y ejemplos

Utilice unidades métricas de masa, longitud, área, volumen y capacidad en situaciones prácticas y convierta cantidades a unidades más grandes o más pequeñas.

Las unidades incluyen: • mm, cm, m, km • $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ • $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ • ml, l • g, kg. La conversión entre unidades incluye: • entre diferentes unidades de área, por ejemplo, $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$ • entre unidades de volumen y capacidad, por ejemplo, $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Fuente: Plan de estudios Cambridge International⁩

English

We use metric 公制 units for mass 质量 (g, kg), length 长度 (mm, cm, m, km), area 面积, volume 体积 and capacity 容量 (ml, litres — the space inside a container).

To change units, be careful with squares and cubes:

Length: $1\text{ m} = 100\text{ cm}$.
Area: $1\text{ m}^{2} = 100^{2} = 10\,000\text{ cm}^{2}$.
Volume: $1\text{ m}^{3} = 100^{3} = 1\,000\,000\text{ cm}^{3}$.
Capacity: $1\text{ litre} = 1000\text{ cm}^{3}$, so $1\text{ m}^{3} = 1000$ litres.

Worked example. Convert $3\text{ m}^{2}$ to $\text{cm}^{2}$.

$$3 \times 10\,000 = 30\,000\text{ cm}^{2}.$$

Español

Utilizamos unidades métricas para masa (g, kg), longitud (mm, cm, m, km), área, volumen y capacidad (ml, litros — el espacio dentro de un recipiente).

Una escalera: km a m (×1000), m a cm (×100), cm a mm (×10) — Cambio de unidades de longitud: multiplica bajando, divide subiendo

Para cambiar de unidades, ten cuidado con los cuadrados y los cubos:

Longitud: $1\text{ m} = 100\text{ cm}$.
Área: $1\text{ m}^{2} = 100^{2} = 10\,000\text{ cm}^{2}$.
Volumen: $1\text{ m}^{3} = 100^{3} = 1\,000\,000\text{ cm}^{3}$.
Capacidad: $1\text{ litre} = 1000\text{ cm}^{3}$, por lo tanto $1\text{ m}^{3} = 1000$ litros.

Ejemplo resuelto. Convertir $3\text{ m}^{2}$ a $\text{cm}^{2}$.

$$3 \times 10\,000 = 30\,000\text{ cm}^{2}.$$

Explore · ⁨Explorar⁩

Laboratorio de elección de unidad

Elija la unidad que coincida con la escala de medición.

Vocabulary · ⁨Vocabulario⁩ Train · ⁨Entrenar⁩

English · ⁨Inglés⁩	Chinese · ⁨Chino⁩	Pinyin
volume/ˈvɒljuːm/	体积	tǐ jī
capacity/kəˈpæsɪti/	容量	róng liàng
perimeter/pəˈrɪmɪtə/	周长	zhōu cháng

5.2

Perimeter and area of basic shapes · ⁨Perímetro y área de figuras básicas⁩

Syllabus

English

Subject content	Notes and examples
Carry out calculations involving the perimeter and area of a rectangle, triangle, parallelogram and trapezium.	Except for area of a triangle, formulas are not given.

Español

Contenido temático	Notas y ejemplos
Realizar cálculos sobre el perímetro y el área de un rectángulo, triángulo, paralelogramo y trapecio.	Excepto para el área del triángulo, no se proporcionan fórmulas.

English

Subject content	Notes and examples
Carry out calculations involving the perimeter and area of a rectangle, triangle, parallelogram and trapezium.	Except for the area of a triangle, formulas are not given.

Español

Contenido del tema	Notas y ejemplos
Realizar cálculos con el perímetro y el área de un rectángulo, triángulo, paralelogramo y trapecio.	Excepto por el área de un triángulo, no se proporcionan fórmulas.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Fuente: Plan de estudios Cambridge International⁩

English

The perimeter 周长 is the distance all the way round a shape. The area is the amount of flat space inside it. Here $b$ is the base 底 and $h$ is the perpendicular height 高.

Shape	Area
rectangle 矩形	$\text{length} \times \text{width}$
triangle 三角形	$\tfrac{1}{2} \times b \times h$
parallelogram 平行四边形	$b \times h$
trapezium 梯形	$\tfrac{1}{2}(a + b)h$, where $a$ and $b$ are the two parallel sides

Worked example. A trapezium has parallel sides $6\text{ cm}$ and $10\text{ cm}$, and height $4\text{ cm}$. Find its area.

$$\tfrac{1}{2}(6 + 10) \times 4 = \tfrac{1}{2} \times 16 \times 4 = 32\text{ cm}^{2}.$$

Español

El perímetro es la distancia total alrededor de una figura. El área es la cantidad de espacio plano que contiene. Aquí $b$ es la base y $h$ es la altura perpendicular.

Figura	Área
rectángulo	$\text{length} \times \text{width}$
triángulo	$\tfrac{1}{2} \times b \times h$
paralelogramo	$b \times h$
trapecio 梯形	$\tfrac{1}{2}(a + b)h$, donde $a$ y $b$ son los dos lados paralelos

Un rectángulo, triángulo, paralelogramo y trapecio con su base, altura y lados paralelos marcados, cada uno con su fórmula de área — Área de las figuras básicas; $b$ es la base, $h$ la altura perpendicular y $a$, $b$ los dos lados paralelos de un trapecio.

Ejemplo resuelto. Un trapecio tiene lados paralelos $6\text{ cm}$ y $10\text{ cm}$, y una altura $4\text{ cm}$. Encuentra su área.

$$\tfrac{1}{2}(6 + 10) \times 4 = \tfrac{1}{2} \times 16 \times 4 = 32\text{ cm}^{2}.$$

Explore · ⁨Explorar⁩

Laboratorio de escalado del área

área = lado^2

Cambiar la longitud del lado y ver por qué el área crece de forma cuadrática.

Vocabulary · ⁨Vocabulario⁩ Train · ⁨Entrenar⁩

English · ⁨Inglés⁩	Chinese · ⁨Chino⁩	Pinyin
metric/ˈmetrɪk/	公制	gōng zhì
mass/mæs/	质量	zhì liàng
length/leŋθ/	长度	cháng dù
area/ˈeərɪə/	面积	miàn jī
base/beɪs/	底	dǐ

5.3

Circles · ⁨Círculos⁩

Syllabus

English

Subject content	Notes and examples
1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle.	Answers may be asked for in terms of $\pi$.
2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle, where the sector angle is a factor of $360^\circ$.	Formulas are given in the List of formulas.

Español

Contenido del tema	Notas y ejemplos
1 Realizar cálculos que involucren la circunferencia y el área de un círculo.	Las respuestas pueden solicitarse en términos de $\pi$.
2 Realizar cálculos que involucren la longitud de arco y el área de un sector como fracciones de la circunferencia y el área de un círculo, donde el ángulo del sector es un factor de $360^\circ$.	Las fórmulas se encuentran en la Lista de fórmulas.

English

Subject content	Notes and examples
1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle.	Answers may be asked for in terms of $\pi$. Formulas are given in the List of formulas.
2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle.	Includes minor and major sectors.

Español

Contenido temático	Notas y ejemplos
1 Realizar cálculos con la circunferencia y el área de un círculo.	Las respuestas pueden pedirse en términos de $\pi$. Las fórmulas se encuentran en la Lista de fórmulas.
2 Realizar cálculos con la longitud del arco y el área del sector como fracciones de la circunferencia y el área de un círculo.	Incluye sectores menores y mayores.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Fuente: Plan de estudios Cambridge International⁩

English

For a circle 圆 with radius 半径 $r$ (and diameter 直径 $d = 2r$):

$$\text{circumference} = 2\pi r = \pi d, \qquad \text{area} = \pi r^{2}.$$

The circumference 圆周 is the distance round the circle.

Worked example. A circle has radius $7\text{ cm}$. Find its circumference and area (leave $\pi$ in the answer).

$$\text{circumference} = 2\pi \times 7 = 14\pi\text{ cm}, \qquad \text{area} = \pi \times 7^{2} = 49\pi\text{ cm}^{2}.$$

Español

Para un círculo 圆 con radio 半径 $r$ (y diámetro 直径 $d = 2r$):

Un círculo con radio r; circunferencia = πd y área = πr² — Un círculo: circunferencia = pi d y área = pi r squared

$$\text{circumference} = 2\pi r = \pi d, \qquad \text{area} = \pi r^{2}.$$

La circunferencia 圆周 es la distancia alrededor del círculo.

Ejemplo resuelto. Un círculo tiene radio $7\text{ cm}$. Encuentra su circunferencia y área (deja $\pi$ en la respuesta).

$$\text{circumference} = 2\pi \times 7 = 14\pi\text{ cm}, \qquad \text{area} = \pi \times 7^{2} = 49\pi\text{ cm}^{2}.$$

Vocabulary · ⁨Vocabulario⁩ Train · ⁨Entrenar⁩

English · ⁨Inglés⁩	Chinese · ⁨Chino⁩	Pinyin
circle/ˈsɜːkl/	圆	yuán
radius/ˈreɪdɪəs/	半径	bàn jìng
diameter/daɪˈæmɪtə/	直径	zhí jìng
circumference/sɜːˈkʌmfrəns/	圆周	yuán zhōu

5.3

Arcs and sectors · ⁨Arcos y sectores⁩

Syllabus

English

Subject content	Notes and examples
1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle.	Answers may be asked for in terms of $\pi$.
2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle, where the sector angle is a factor of $360^\circ$.	Formulas are given in the List of formulas.

Español

Contenido del tema	Notas y ejemplos
1 Realizar cálculos que involucren la circunferencia y el área de un círculo.	Las respuestas pueden solicitarse en términos de $\pi$.
2 Realizar cálculos que involucren la longitud de arco y el área de un sector como fracciones de la circunferencia y el área de un círculo, donde el ángulo del sector es un factor de $360^\circ$.	Las fórmulas se encuentran en la Lista de fórmulas.

English

Subject content	Notes and examples
1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle.	Answers may be asked for in terms of $\pi$. Formulas are given in the List of formulas.
2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle.	Includes minor and major sectors.

Español

Contenido temático	Notas y ejemplos
1 Realizar cálculos con la circunferencia y el área de un círculo.	Las respuestas pueden pedirse en términos de $\pi$. Las fórmulas se encuentran en la Lista de fórmulas.
2 Realizar cálculos con la longitud del arco y el área del sector como fracciones de la circunferencia y el área de un círculo.	Incluye sectores menores y mayores.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Fuente: Plan de estudios Cambridge International⁩

English

An arc 弧 is part of the circumference. A sector 扇形 is a "pizza slice" between two radii. If the sector angle is $\theta$, the arc and sector are that fraction $\dfrac{\theta}{360}$ of the whole circle:

$$\text{arc length} = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r, \qquad \text{sector area} = \frac{\theta}{360} \times \pi r^{2}.$$

A small slice is a minor sector 小扇形; the large rest is a major sector 大扇形.

Worked example. Find the arc length 弧长 and area of a sector with angle $90^{\circ}$ and radius $8\text{ cm}$.

The fraction is $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$, so

$$\text{arc} = \tfrac{1}{4} \times 2\pi \times 8 = 4\pi\text{ cm}, \qquad \text{area} = \tfrac{1}{4} \times \pi \times 8^{2} = 16\pi\text{ cm}^{2}.$$

Español

Un arco es una parte de la circunferencia. Un sector es un "trozo de pizza" entre dos radios. Si el ángulo del sector es $\theta$, el arco y el sector son esa fracción $\dfrac{\theta}{360}$ del círculo completo:

$$\text{arc length} = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r, \qquad \text{sector area} = \frac{\theta}{360} \times \pi r^{2}.$$

Un sector sombreado de un círculo con el ángulo central theta, un radio r, y el arco a lo largo de su borde curvo — Un sector es la fracción $\tfrac{\theta}{360}$ del círculo completo, por lo que su arco y área son esa fracción de la circunferencia y del área.

Un trozo pequeño es un sector menor; el resto grande es un sector mayor.

Ejemplo resuelto. Calcule la longitud de arco 弧长 y el área de un sector con ángulo $90^{\circ}$ y radio $8\text{ cm}$.

La fracción es $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$, por lo tanto

$$\text{arc} = \tfrac{1}{4} \times 2\pi \times 8 = 4\pi\text{ cm}, \qquad \text{area} = \tfrac{1}{4} \times \pi \times 8^{2} = 16\pi\text{ cm}^{2}.$$

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Arcos y sectores

s = rθ · A = ½r²θ

Un ángulo o radio más grande significa un arco más largo y un área de sector mayor.

Explore · ⁨Explorar⁩

Longitud de arco y área de sector

Cambie el ángulo y el radio y lea la longitud de arco y el área del sector — una fracción del círculo entero.

Vocabulary · ⁨Vocabulario⁩ Train · ⁨Entrenar⁩

English · ⁨Inglés⁩	Chinese · ⁨Chino⁩	Pinyin
arc/ɑːk/	弧	hú
sector/ˈsektə/	扇形	shàn xíng
minor sector/ˈmaɪnə ˈsektə/	小扇形	xiǎo shàn xíng
major sector/ˈmeɪdʒə ˈsektə/	大扇形	dà shàn xíng
arc length/ɑːk leŋθ/	弧长	hú zhǎng

5.4

Surface area and volume of solids · ⁨Área superficial y volumen de sólidos⁩

Syllabus

English

Subject content	Notes and examples
Carry out calculations and solve problems involving the surface area and volume of a: • cuboid • prism • cylinder • sphere • pyramid • cone.	Answers may be asked for in terms of $\pi$. The following formulas are given in the List of formulas: • curved surface area of a cylinder • curved surface area of a cone • surface area of a sphere • volume of a prism • volume of a pyramid • volume of a cylinder • volume of a cone • volume of a sphere. The term prism refers to any solid with a uniform cross-section, e.g. a cylindrical sector.

Subject content

Notes and examples

Carry out calculations and solve problems involving the surface area and volume of a: • cuboid • prism • cylinder • sphere • pyramid • cone.

Answers may be asked for in terms of $\pi$. The following formulas are given in the List of formulas: • curved surface area of a cylinder • curved surface area of a cone • surface area of a sphere • volume of a prism • volume of a pyramid • volume of a cylinder • volume of a cone • volume of a sphere. The term prism refers to any solid with a uniform cross-section, e.g. a cylindrical sector.

Español

Contenido del tema	Notas y ejemplos
Realizar cálculos y resolver problemas relacionados con el área superficial y el volumen de: • prisma rectangular • prisma • cilindro • esfera • pirámide • cono.	Las respuestas pueden solicitarse en términos de $\pi$. Las siguientes fórmulas se encuentran en la Lista de fórmulas: • área lateral de un cilindro • área lateral de un cono • área superficial de una esfera • volumen de un prisma • volumen de una pirámide • volumen de un cilindro • volumen de un cono • volumen de una esfera. El término prisma se refiere a cualquier sólido con una sección transversal uniforme, p. ej., un sector cilíndrico.

Contenido del tema

Notas y ejemplos

Realizar cálculos y resolver problemas relacionados con el área superficial y el volumen de: • prisma rectangular • prisma • cilindro • esfera • pirámide • cono.

Las respuestas pueden solicitarse en términos de $\pi$. Las siguientes fórmulas se encuentran en la Lista de fórmulas: • área lateral de un cilindro • área lateral de un cono • área superficial de una esfera • volumen de un prisma • volumen de una pirámide • volumen de un cilindro • volumen de un cono • volumen de una esfera. El término prisma se refiere a cualquier sólido con una sección transversal uniforme, p. ej., un sector cilíndrico.

English

Subject content	Notes and examples
Carry out calculations and solve problems involving the surface area and volume of a: • cuboid • prism • cylinder • sphere • pyramid • cone.	Answers may be asked for in terms of $\pi$. The following formulas are given in the List of formulas: • curved surface area of a cylinder • curved surface area of a cone • surface area of a sphere • volume of a prism • volume of a pyramid • volume of a cylinder • volume of a cone • volume of a sphere. The term prism refers to any solid with a uniform cross-section, e.g. a cylindrical sector.

Subject content

Notes and examples

Carry out calculations and solve problems involving the surface area and volume of a: • cuboid • prism • cylinder • sphere • pyramid • cone.

Answers may be asked for in terms of $\pi$. The following formulas are given in the List of formulas: • curved surface area of a cylinder • curved surface area of a cone • surface area of a sphere • volume of a prism • volume of a pyramid • volume of a cylinder • volume of a cone • volume of a sphere. The term prism refers to any solid with a uniform cross-section, e.g. a cylindrical sector.

Español

Contenido del tema	Notas y ejemplos
Realizar cálculos y resolver problemas que involucren el área superficial y el volumen de un: • prisma rectangular • prisma • cilindro • esfera • pirámide • cono.	Las respuestas pueden solicitarse en términos de $\pi$. Las siguientes fórmulas se proporcionan en la Lista de fórmulas: • área superficial lateral de un cilindro • área superficial lateral de un cono • área superficial de una esfera • volumen de un prisma • volumen de una pirámide • volumen de un cilindro • volumen de un cono • volumen de una esfera. El término prisma se refiere a cualquier sólido con una sección transversal uniforme, p. ej., un sector cilíndrico.

Contenido del tema

Notas y ejemplos

Realizar cálculos y resolver problemas que involucren el área superficial y el volumen de un: • prisma rectangular • prisma • cilindro • esfera • pirámide • cono.

Las respuestas pueden solicitarse en términos de $\pi$. Las siguientes fórmulas se proporcionan en la Lista de fórmulas: • área superficial lateral de un cilindro • área superficial lateral de un cono • área superficial de una esfera • volumen de un prisma • volumen de una pirámide • volumen de un cilindro • volumen de un cono • volumen de una esfera. El término prisma se refiere a cualquier sólido con una sección transversal uniforme, p. ej., un sector cilíndrico.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Fuente: Plan de estudios Cambridge International⁩

English

The surface area 表面积 is the total area of all the outside faces. The volume is the space inside. For these solids ($r$ = radius, $h$ = height):

Solid	Volume	Surface area
cuboid 长方体	$\text{length} \times \text{width} \times \text{height}$	add the six faces
prism 棱柱	(cross-section 横截面 area) $\times$ length	—
cylinder 圆柱	$\pi r^{2} h$	$2\pi r h$ (curved surface area 侧面积) $+\, 2\pi r^{2}$
pyramid 棱锥	$\tfrac{1}{3} \times \text{base area} \times h$	—
cone 圆锥	$\tfrac{1}{3}\pi r^{2} h$	$\pi r l$ (curved) $+\, \pi r^{2}$, where $l$ is the slant height 斜高
sphere 球	$\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$	$4\pi r^{2}$

Worked example. A cylinder has radius $5\text{ cm}$ and height $10\text{ cm}$. Find its volume and total surface area (in terms of $\pi$).

$$\text{volume} = \pi \times 5^{2} \times 10 = 250\pi\text{ cm}^{3}.$$

$$\text{surface area} = 2\pi(5)(10) + 2\pi(5)^{2} = 100\pi + 50\pi = 150\pi\text{ cm}^{2}.$$

Español

The pyramids of Giza — Las pirámides de Giza son pirámides de base cuadrada — un sólido 3D.

El área superficial (表面积) es el área total de todas las caras exteriores. El volumen es el espacio interior. Para estos sólidos ($r$ = radio, $h$ = altura):

Sólido	Volumen	Área superficial
prisma rectangular (长方体)	$\text{length} \times \text{width} \times \text{height}$	sumar las seis caras
prisma (棱柱)	(área de la sección transversal 横截面) $\times$ longitud	—
cilindro (圆柱)	$\pi r^{2} h$	$2\pi r h$ (área lateral) $+\, 2\pi r^{2}$
pirámide (棱锥)	$\tfrac{1}{3} \times \text{base area} \times h$	—
cono (圆锥)	$\tfrac{1}{3}\pi r^{2} h$	$\pi r l$ (curvo) $+\, \pi r^{2}$, donde $l$ es la altura inclinada (斜高)
esfera (球)	$\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$	$4\pi r^{2}$

Un prisma rectangular, cilindro, cono y esfera dibujados en 3D con sus dimensiones de radio, altura, longitud y altura oblicua etiquetadas — Sólidos comunes y las dimensiones ($r$, $h$, $\ell$, inclinada $l$) utilizadas en sus fórmulas de volumen y área superficial.

Ejemplo resuelto. Un cilindro tiene radio $5\text{ cm}$ y altura $10\text{ cm}$. Encuentre su volumen y área superficial total (en términos de $\pi$).

$$\text{volume} = \pi \times 5^{2} \times 10 = 250\pi\text{ cm}^{3}.$$

$$\text{surface area} = 2\pi(5)(10) + 2\pi(5)^{2} = 100\pi + 50\pi = 150\pi\text{ cm}^{2}.$$

Explore · ⁨Explorar⁩

Laboratorio de escalado de volumen

el área superficial crece con scale^2

Cambiar la escala de longitud y ver cómo el volumen crece más rápido que el área superficial.

Vocabulary · ⁨Vocabulario⁩ Train · ⁨Entrenar⁩

English · ⁨Inglés⁩	Chinese · ⁨Chino⁩	Pinyin
height/haɪt/	高	gāo
rectangle/ˈrektæŋɡl/	矩形	jǔ xíng
triangle/ˈtraɪæŋɡl/	三角形	sān jiǎo xíng
parallelogram/ˌpærəˈleləɡræm/	平行四边形	píng xíng sì biān xíng
trapezium/trəˈpiːzɪəm/	梯形	tī xíng
surface area/ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/	表面积	biǎo miàn jī
cuboid/ˈkjuːbɔɪd/	长方体	cháng fāng tǐ
prism/ˈprɪzəm/	棱柱	léng zhù
cross-section/krɒs ˈsekʃn/	横截面	héng jié miàn
cylinder/ˈsɪlɪndə/	圆柱	yuán zhù
curved surface area/kɜːvd ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/	侧面积	cè miàn jī
pyramid/ˈpɪrəmɪd/	棱锥	léng zhuī
cone/kəʊn/	圆锥	yuán zhuī
slant height/slænt haɪt/	斜高	xié gāo
sphere/sfɪə/	球	qiú

5.5

Compound shapes and parts of shapes · ⁨Figuras compuestas y partes de figuras⁩

Syllabus

English

Subject content	Notes and examples
1 Carry out calculations and solve problems involving perimeters and areas of: • compound shapes • parts of shapes.	Answers may be asked for in terms of $\pi$.
2 Carry out calculations and solve problems involving surface areas and volumes of: • compound solids • parts of solids.	e.g. find the volume of half of a sphere.

Español

Contenido temático	Notas y ejemplos
1 Realizar cálculos y resolver problemas que impliquen perímetros y áreas de: • figuras compuestas • partes de figuras.	Las respuestas pueden solicitarse en términos de $\pi$.
2 Realizar cálculos y resolver problemas que impliquen áreas superficiales y volúmenes de: • sólidos compuestos • partes de sólidos.	p. ej., encontrar el volumen de la mitad de una esfera.

English

Subject content	Notes and examples
1 Carry out calculations and solve problems involving perimeters and areas of: • compound shapes • parts of shapes.	Answers may be asked for in terms of $\pi$.
2 Carry out calculations and solve problems involving surface areas and volumes of: • compound solids • parts of solids.	e.g. find the surface area and volume of a frustum.

Español

Contenido del tema	Notas y ejemplos
1 Realizar cálculos y resolver problemas que involucren perímetros y áreas de: • figuras compuestas • partes de figuras.	Las respuestas pueden pedirse en términos de $\pi$.
2 Realizar cálculos y resolver problemas que involucren áreas superficiales y volúmenes de: • sólidos compuestos • partes de sólidos.	p. ej., encontrar el área superficial y el volumen de un tronco de cono.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Fuente: Plan de estudios Cambridge International⁩

English

A compound shape 组合图形 is made by joining or cutting simple shapes. Split it into parts you know, then add or subtract.

For "parts" of a circle or solid, take the right fraction. For example, a hemisphere 半球 (half a sphere) has volume

$$\tfrac{1}{2} \times \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{2}{3}\pi r^{3}.$$

A frustum 平截头体 is a cone or pyramid with its top cut off; find its volume by subtracting the small top cone from the whole cone.

Worked example. Find the area of a shape made of a rectangle $8\text{ cm} \times 5\text{ cm}$ with a semicircle of diameter $5\text{ cm}$ on one end.

The semicircle has radius $2.5\text{ cm}$:

$$\text{area} = 8 \times 5 + \tfrac{1}{2}\pi (2.5)^{2} = 40 + 3.125\pi \approx 49.8\text{ cm}^{2}.$$

Español

Stacked shipping containers — Los recipientes apilados son prismas rectangulares; el volumen es largo por ancho por alto.

Una figura compuesta (组合图形) se forma uniendo o cortando formas simples. Divídala en partes que conozca, luego sume o reste.

Para "partes" de un círculo o sólido, tome la fracción correcta. Por ejemplo, una semiesfera (半球) (mitad de una esfera) tiene volumen

$$\tfrac{1}{2} \times \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{2}{3}\pi r^{3}.$$

Un tronco de cono o pirámide (平截头体) es un cono o pirámide al que se le ha cortado la parte superior; encuentre su volumen restando el cono pequeño superior del cono completo.

Ejemplo resuelto. Encuentre el área de una figura formada por un rectángulo $8\text{ cm} \times 5\text{ cm}$ con un semicírculo de diámetro $5\text{ cm}$ en un extremo.

Un rectángulo de 8 por 5 con un semicírculo de diámetro 5 adjunto a su extremo derecho — Divida una figura compuesta en partes que conozca — aquí un rectángulo más un semicírculo — luego sume las áreas.

El semicírculo tiene radio $2.5\text{ cm}$:

$$\text{area} = 8 \times 5 + \tfrac{1}{2}\pi (2.5)^{2} = 40 + 3.125\pi \approx 49.8\text{ cm}^{2}.$$

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Ruta de figura compuesta

Descomponer una figura compuesta en partes simples, luego recombinarlas.

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English · ⁨Inglés⁩	Chinese · ⁨Chino⁩	Pinyin
compound shape/ˈkɒmpaʊnd ʃeɪp/	组合图形	zǔ hé tú xíng
hemisphere/ˈhemɪsfɪə/	半球	bàn qiú
frustum/ˈfrʌstəm/	平截头体	píng jié tóu tǐ

5.5

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English

Match the formula to the shape: the area of a circle is $\pi r^2$, the circumference is $\pi d$ (or $2\pi r$) — do not mix them up.
Keep units consistent, and remember area units are squared and volume units cubed (e.g. $1\text{ m}^2 = 10\,000\text{ cm}^2$).
For an arc or sector, take the fraction $\frac{\theta}{360}$ of the whole circumference or area.
Surface area is the total of all the faces — draw the net if you are unsure. Leave an answer in terms of $\pi$ only if the question allows it.

Español

Empareje la fórmula con la figura: el área de un círculo es $\pi r^2$, la circunferencia es $\pi d$ (o $2\pi r$) — no los confunda.
Mantenga las unidades consistentes, y recuerde que las unidades de área son al cuadrado y las de volumen al cubo (p. ej., $1\text{ m}^2 = 10\,000\text{ cm}^2$).
Para un arco o sector, tome la fracción $\frac{\theta}{360}$ de la circunferencia o área completa.
El área superficial es la suma de todas las caras — dibuje la planifolia si está inseguro. Deje la respuesta en términos de $\pi$ solo si la pregunta lo permite.