Transformaciones y vectores

IGCSE Matemáticas · Tema 7

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Este folleto cubre el Tema 7, Transformaciones y vectores. Las partes marcadas (Ampliado) solo se examinan en los papeles Ampliados; todo lo demás es para ambos niveles. Los vectores como tema completo son Ampliados.

7.1

Transformaciones

Syllabus

Contenido del tema	Notas y ejemplos
Reconocer, describir y dibujar las siguientes transformaciones:	Las preguntas no implicarán combinaciones de transformaciones. Se debe utilizar una regla para todos los bordes rectos.
1 Reflexión de una figura en una línea vertical u horizontal.
2 Rotación de una figura alrededor del origen, vértices o puntos medios de los lados de la figura, en múltiplos de 90°.
3 Ampliación (o dilatación) de una figura desde un centro con un factor de escala.	Solo factores de escala positivos y fraccionarios.
4 Traslación de una figura mediante un vector $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.

Transformaciones	Notas y ejemplos
Reconocer, describir y dibujar las siguientes transformaciones:	Las preguntas pueden implicar combinaciones de transformaciones. Se debe utilizar una regla para todos los bordes rectos.
1 Reflexión de una figura en una línea recta.
2 Rotación de una figura alrededor de un centro en múltiplos de 90°.
3 Agrandamiento (o dilatación) de una figura desde un centro con un factor de escala.	Pueden utilizarse factores de escala positivos, fraccionarios y negativos.
4 Traslación de una figura mediante un vector $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.

Fuente: Plan de estudios Cambridge International

Trasladar, reflejar, rotar, agrandar

Islamic geometric tile patterns — Los azulejos geométricos se construyen reflejando, rotando y trasladando formas.

Una transformación 变换 cambia la posición o el tamaño de una figura. El original es el objeto y el resultado es la imagen. Hay cuatro tipos. Cuando se pida describir una transformación, debe nombrar el tipo y dar todos los detalles que figuran a continuación.

Reflexión

Una reflexión 反射 invierte la forma sobre una línea de simetría 对称轴. Cada punto de la imagen está a la misma distancia de la línea que el punto del objeto, pero al otro lado.

Para describirla, indique la ecuación de la línea de simetría (para el nivel Core, una línea horizontal o vertical; para Extended se permite cualquier línea, como $y = x$).

Ejemplo resuelto. Refleje el punto $(3, 2)$ en el eje $y$. Solo cambia el signo de $x$: la imagen es $(-3, 2)$. (En el eje $x$ sería $(3, -2)$.)

Un triángulo y su imagen espejo en lados opuestos del eje y, con un punto y su imagen a la misma distancia de la línea — Una reflexión invierte la forma sobre una línea de simetría (en este caso, el eje $y$); cada punto y su imagen están a la misma distancia de la línea.

Rotación

Una rotación 旋转 gira la figura alrededor de un punto fijo, el centro 中心 de rotación, en múltiplos de $90^{\circ}$.

Para describirla, indique el centro, el ángulo y la dirección (horaria o antihoraria).

Ejemplo resuelto. Rote $(3, 1)$ $90^{\circ}$ en sentido antihorario alrededor del origen. La regla es $(x, y) \to (-y, x)$, por lo tanto la imagen es $(-1, 3)$.

Un triángulo rotado 90 grados antihorario alrededor del origen, con una flecha curva mostrando el giro y el centro marcado — Una rotación gira la figura alrededor de un centro fijo — aquí $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor del origen.

Aumento de escala

Un aumento de escala 放大 cambia el tamaño mediante un factor de escala 比例因子 $k$, medido desde un centro fijo. Cada distancia desde el centro se multiplica por $k$.

Para describirlo, indique el centro y el factor de escala. Un factor de escala fraccionario (entre 0 y 1) hace que la figura sea más pequeña. Para Extended, $k$ también puede ser negativo (la imagen aparece al otro lado del centro).

Ejemplo resuelto. Aumente la escala de $(1, 2)$ desde el origen con un factor de escala de $2$. Multiplique ambas coordenadas: la imagen es $(2, 4)$.

Un triángulo pequeño y su imagen aumentada al doble de tamaño, con rayos que van desde el centro de aumento a través de los vértices correspondientes — Un aumento de escala multiplica todas las distancias desde el centro por el factor de escala (aquí $2$).

Traslación

Una traslación 平移 desliza la figura sin girarla, mediante un vector 向量 escrito como un vector columna 列向量 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ ($x$ horizontalmente, $y$ verticalmente hacia arriba).

Ejemplo resuelto. Traslade $(5, 3)$ mediante $\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$: muévalo $2$ unidades a la izquierda y $4$ hacia arriba para obtener $(3, 7)$.

Un triángulo y su imagen trasladada, unidos por tres flechas paralelas iguales que representan el vector columna — Una traslación desplaza cada punto mediante el mismo vector columna, sin giros.

(Extended: una pregunta puede pedirle que combine dos transformaciones y describa la única transformación que produce el mismo efecto.)

Explorar

Transformación de una figura

Traslade, refleje, gire o amplíe la figura y observe dónde aterriza.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
transformation/trænsfɔːˈmeɪʃn/	变换	biàn huàn
reflection/rɪˈflekʃn/	反射	fǎn shè
mirror line/ˈmɪrə laɪn/	对称轴	duì chèn zhóu
rotation/rəʊˈteɪʃn/	旋转	xuán zhuǎn
centre/ˈsentə/	中心	zhōng xīn
enlargement/enˈlɑːdʒmənt/	放大	fàng dà
scale factor/skeɪl ˈfæktə/	比例因子	bǐ lì yīn zi
translation/trænˈsleɪʃn/	平移	píng yí
vector/ˈvektə/	向量	xiàng liàng
column vector/ˈkɒlʌm ˈvektə/	列向量	liè xiàng liàng

7.2

Vectores en dos dimensiones (Extended)

Syllabus

Vectores en dos dimensiones	Notas y ejemplos
1 Describir una traslación usando un vector representado por $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AB}$ o $\mathbf{a}$.	Los vectores se imprimirán como $\overrightarrow{AB}$ o $\mathbf{a}$.
2 Sumar y restar vectores.
3 Multiplicar un vector por un escalar.

Fuente: Plan de estudios Cambridge International

Un barco de vela con una espinaque completa desplegada — Las fuerzas, como el viento, son vectores, con magnitud y dirección.

Un vector tiene tanto magnitud como dirección. Se puede escribir como un vector columna, como $\overrightarrow{AB}$ (desde $A$ hasta $B$), o en negrita como $\mathbf{a}$.

Sume o reste trabajando separadamente con los números superiores e inferiores.
Multiplique por un escalar 标量 (un número ordinario) multiplicando ambos números.

Ejemplo resuelto. Si $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ y $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$, entonces

$$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}, \qquad 3\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \end{pmatrix}.$$

Dos vectores a y b dibujados punta a cola, con el resultante a+b corriendo desde el inicio de a hasta la punta de b — Suma por la ley del triángulo: dibuje $\mathbf{b}$ desde la punta de $\mathbf{a}$, y $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ va desde el inicio hasta el final.

Explorar

Suma de vectores

Arrastre dos vectores y súmelos punta a cola para obtener el resultante.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
scalar/ˈskeɪlə/	标量	biāo liàng

7.3

Magnitud de un vector (Extended)

Syllabus

Magnitud de un vector	Notas y ejemplos
Calcula la magnitud de un vector $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ como $\sqrt{x^2 + y^2}$.	Las magnitudes de los vectores se denotan con barras dobles, p. ej.: • $\|\mathbf{a}\|$ es la magnitud de $\mathbf{a}$ • $\|\overrightarrow{AB}\|$ es la magnitud de $\overrightarrow{AB}$.

Fuente: Plan de estudios Cambridge International

La magnitud 模 (longitud) de un vector se calcula usando Pitágoras. Para $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$,

$$\left| \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}.$$

Ejemplo resuelto. La magnitud de $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ es $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$.

Un vector dibujado desde el origen con su parte horizontal 3 y su parte vertical 4 formando un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la longitud 5 — La magnitud de $\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$ se obtiene aplicando Pitágoras a sus componentes horizontales y verticales.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/	模	mó
directed line segment/daɪˈrektɪd laɪn ˈseɡmənt/	有向线段	yǒu xiàng xiàn duàn
position vector/pəˈzɪʃn ˈvektə/	位置向量	wèi zhì xiàng liàng
parallel/ˈpærəlel/	平行	píng xíng
collinear/ˈkɒlɪnɪə/	共线	gòng xiàn

7.4

Geometría vectorial (Extended)

Syllabus

Geometría vectorial	Notas y ejemplos
1 Representar vectores mediante segmentos de recta dirigidos.
2 Utilizar vectores de posición.
3 Usar la suma y diferencia de dos o más vectores para expresar vectores dados en términos de dos vectores coplanares.
4 Usar vectores para razonar y resolver problemas geométricos.	Ejemplos incluyen: • demostrar que los vectores son paralelos • demostrar que 3 puntos son colineales • resolver problemas vectoriales que involucran proporción y semejanza.

Fuente: Plan de estudios Cambridge International

Un vector se puede dibujar como un segmento de recta dirigido 有向线段 (una flecha). El vector de posición 位置向量 de un punto es el vector que va desde el origen $O$ hasta ese punto.

Una idea clave: el vector desde $A$ hasta $B$ es

$$\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a},$$

donde $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ son los vectores de posición de $A$ y $B$.

Vectores de posición a de O a A y b de O a B, con el vector de A a B etiquetado como b menos a — Para ir de $A$ a $B$, recorra hacia atrás a lo largo de $\mathbf{a}$ hasta $O$ y luego hacia adelante a lo largo de $\mathbf{b}$: por tanto $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$.

Dos vectores son paralelos 平行 si uno es un múltiplo escalar del otro (por ejemplo, $\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{CD}$). Tres puntos son colineales 共线 (están en una línea recta) si los vectores entre ellos son paralelos y comparten un punto. Puede expresar cualquier vector en términos de dos vectores coplanares 共面.

Ejemplo resuelto. $O$ es el origen, con $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ y $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$. $M$ es el punto medio de $AB$. Encuentre $\overrightarrow{OM}$ en términos de $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$.

$$\overrightarrow{OM} = \mathbf{a} + \tfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \mathbf{a} + \tfrac{1}{2}(\mathbf{b} - \mathbf{a}) = \tfrac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b}).$$

Explorar

Geometría vectorial

resultante = a + b

Combinar vectores para llegar a un punto — el vector resultante es la ruta directa.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
coplanar/ˌkəʊˈpleɪnə/	共面	gòng miàn

7.4

Consejos para el examen

Describa completamente cada transformación: una traslación (un vector), una reflexión (la línea de simetría), una rotación (centro, ángulo y dirección), un aumento de escala (centro y factor de escala).
Un factor de escala negativo invierte la imagen respecto al centro; uno fraccionario (entre 0 y 1) la hace más pequeña.
Sume vectores de punta a cola: sume los números superiores y luego los inferiores. La magnitud de un vector se calcula usando Pitágoras en sus componentes.
$\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ (extremo menos inicio). Dos vectores son paralelos si uno es un múltiplo escalar del otro.

Lecciones interactivas sobre este tema

Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.

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