IGCSE Matemáticas · Topic 1 · Tema 1
30:48
Número
Dos autobuses salen de la misma parada a las nueve en punto. Uno pasa cada doce minutos, el otro cada dieciocho. ¿Cuándo vuelven a salir juntos? No a los treinta…
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This handout covers Topic 1, Number. Cambridge Maths has two levels: Core and Extended. Parts marked (Extended) are only tested on the Extended papers; everything else is for both levels.
Esta hoja de trabajo cubre el Tema 1, Números. Cambridge Maths tiene dos niveles: Core (Fundamental) y Extended (Ampliado). Las partes marcadas con (Extended) solo se evalúan en los exámenes de nivel Ampliado; todo lo demás es común para ambos niveles.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Identify and use: • natural numbers • integers (positive, zero and negative) • prime numbers • square numbers • cube numbers • common factors • common multiples • rational and irrational numbers • reciprocals. | Example tasks include: • convert between numbers and words, e.g. six billion is 6000000000 10007 is ten thousand and seven • express 72 as a product of its prime factors • find the highest common factor (HCF) of two numbers • find the lowest common multiple (LCM) of two numbers. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Identificar y utilizar: • números naturales • enteros (positivos, cero y negativos) • números primos • cuadrados perfectos • cubos perfectos • divisores comunes • múltiplos comunes • números racionales e irracionales • recíprocos. | Ejemplos de tareas incluyen: • convertir entre números y palabras, p. ej., seis mil millones es 6000000000; 10007 es diez mil y siete • expresar 72 como producto de sus factores primos • encontrar el máximo común divisor (MCD) de dos números • encontrar el mínimo común múltiplo (mcm) de dos números. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Identify and use: • natural numbers • integers (positive, zero and negative) • prime numbers • square numbers • cube numbers • common factors • common multiples • rational and irrational numbers • reciprocals. | Example tasks include: • convert between numbers and words, e.g. six billion is 6000000000 10007 is ten thousand and seven • express 72 as a product of its prime factors • find the highest common factor (HCF) of two numbers • find the lowest common multiple (LCM) of two numbers. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Identificar y utilizar: • números naturales • enteros (positivos, cero y negativos) • números primos • cuadrados perfectos • cubos perfectos • divisores comunes • múltiplos comunes • números racionales e irracionales • recíprocos. | Ejemplos de tareas incluyen: • convertir entre números y palabras, p. ej., seis mil millones es 6000000000; 10007 es diez mil y siete • expresar 72 como producto de sus factores primos • hallar el máximo común divisor (MCD) de dos números • hallar el mínimo común múltiplo (mcm) de dos números. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
You must know the words for the different kinds of number. Examiners give marks for using them correctly.
Every integer above $1$ is prime, or can be written as a product 乘积 of prime numbers. To write a number as a product of its prime factors 质因数, keep dividing by the smallest prime that fits.
Worked example. Write $72$ as a product of its prime factors.
The highest common factor (HCF) 最大公因数 of two numbers is the largest factor they share. The lowest common multiple (LCM) 最小公倍数 is the smallest multiple they share. Prime factors give a quick method.
Worked example. Find the HCF and LCM of $72$ and $120$.
First write each as a product of primes:
Debes conocer los términos para los diferentes tipos de números. Los examinadores otorgan puntos por usarlos correctamente.
Todo entero mayor que $1$ es primo o puede escribirse como un producto 乘积 de números primos. Para escribir un número como un producto de sus factores primos 质因数, sigue dividiendo por el menor primo que sea divisor.
Ejemplo resuelto. Escribe $72$ como un producto de sus factores primos.
El máximo común divisor (MCD) 最大公因数 de dos números es el mayor factor que comparten. El mínimo común múltiplo (mcm) 最小公倍数 es el menor múltiplo que comparten. Los factores primos proporcionan un método rápido.
Ejemplo resuelto. Encuentra el MCD y el mcm de $72$ y $120$.
Primero escribe cada uno como un producto de primos:
Todo número natural es también un entero, todo entero es racional; observa cómo se anidan los conjuntos numéricos y cómo la unión e intersección los combinan.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| natural number/ˈnætʃərəl ˈnʌmbə/ | 自然数 | zì rán shù |
| integer/ˈɪntɪdʒə/ | 整数 | zhěng shù |
| factor/ˈfæktə/ | 因数 | yīn shù |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | 余数 | yú shù |
| product/ˈprɒdʌkt/ | 乘积 | chéng jī |
| prime factor/praɪm ˈfæktə/ | 质因数 | zhì yīn shù |
| highest common factor/ˈhaɪɪst ˈkɒmən ˈfæktə/ | 最大公因数 | zuì dà gōng yīn shù |
| lowest common multiple/ˈləʊɪst ˈkɒmən ˈmʌltɪpl/ | 最小公倍数 | zuì xiǎo gōng bèi shù |
| set/set/ | 集合 | jí hé |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Understand and use set language, notation and Venn diagrams to describe sets. | Venn diagrams are limited to two sets. The following set notation will be used: • $n(A)$ Number of elements in set $A$ • $A'$ Complement of set $A$ • $\mathscr{E}$ Universal set • $A \cup B$ Union of $A$ and $B$ • $A \cap B$ Intersection of $A$ and $B$. Example definition of sets: $A = \{x : x \text{ is a natural number}\}$ $B = \{a, b, c, \dots\}$ $C = \{x : a \leqslant x \leqslant b\}$. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Comprender y utilizar el lenguaje, la notación y los diagramas de Venn para describir conjuntos. | Los diagramas de Venn están limitados a dos conjuntos. Se utilizará la siguiente notación de conjuntos: • $n(A)$ Número de elementos en el conjunto $A$ • $A'$ Complemento del conjunto $A$ • $\mathscr{E}$ Conjunto universal • $A \cup B$ Unión de $A$ y $B$ • $A \cap B$ Intersección de $A$ y $B$. Ejemplo de definición de conjuntos: $A = \{x : x \text{ is a natural number}\}$ $B = \{a, b, c, \dots\}$ $C = \{x : a \leqslant x \leqslant b\}$. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Understand and use set language, notation and Venn diagrams to describe sets and represent relationships between sets. | Venn diagrams are limited to two or three sets. The following set notation will be used: • $n(A)$ Number of elements in set $A$ • $\in$ "... is an element of ..." • $\notin$ "... is not an element of ..." • $A'$ Complement of set $A$ • $\varnothing$ The empty set • $\mathscr{E}$ Universal set • $A \subseteq B$ $A$ is a subset of $B$ • $A \nsubseteq B$ $A$ is not a subset of $B$ • $A \cup B$ Union of $A$ and $B$ • $A \cap B$ Intersection of $A$ and $B$. Example definition of sets: $A = \{x : x \text{ is a natural number}\}$ $B = \{(x, y) : y = mx + c\}$ $C = \{x : a \leqslant x \leqslant b\}$ $D = \{a, b, c, \dots\}$. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Comprender y utilizar el lenguaje de conjuntos, la notación y los diagramas de Venn para describir conjuntos y representar relaciones entre conjuntos. | Los diagramas de Venn están limitados a dos o tres conjuntos. Se utilizará la siguiente notación de conjuntos: • $n(A)$ Número de elementos en el conjunto $A$ • $\in$ "... es un elemento de ..." • $\notin$ "... no es un elemento de ..." • $A'$ Complemento del conjunto $A$ • $\varnothing$ El conjunto vacío • $\mathscr{E}$ Conjunto universal • $A \subseteq B$ $A$ es un subconjunto de $B$ • $A \nsubseteq B$ $A$ no es un subconjunto de $B$ • $A \cup B$ Unión de $A$ y $B$ • $A \cap B$ Intersección de $A$ y $B$. Ejemplo de definición de conjuntos: $A = \{x : x \text{ is a natural number}\}$ $B = \{(x, y) : y = mx + c\}$ $C = \{x : a \leqslant x \leqslant b\}$ $D = \{a, b, c, \dots\}$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
A set 集合 is a collection of objects. Each object in the set is an element 元素 of the set. You should know this notation:
| Symbol | Meaning |
|---|---|
| $n(A)$ | the number of elements in set $A$ |
| $x \in A$ | $x$ is an element of $A$ |
| $x \notin A$ | $x$ is not an element of $A$ |
| $\mathscr{E}$ | the universal set 全集 — everything being talked about |
| $A'$ | the complement 补集 of $A$ — everything not in $A$ |
| $\varnothing$ | the empty set 空集 — a set with no elements |
| $A \subseteq B$ | $A$ is a subset 子集 of $B$ — every element of $A$ is also in $B$ |
| $A \cup B$ | the union 并集 — elements in $A$ or $B$ or both |
| $A \cap B$ | the intersection 交集 — elements in both $A$ and $B$ |
A Venn diagram 维恩图 draws each set as a circle inside a rectangle (the universal set). Core uses two sets; Extended may use three.
Worked example. $\mathscr{E} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, $A = \{\text{even numbers}\}$, $B = \{\text{multiples of } 3\}$.
You may also see a set written as a rule, e.g. $C = \{x : 1 \leqslant x \leqslant 5\}$ means "all values $x$ such that $1 \leqslant x \leqslant 5$".
Un conjunto 集合 es una colección de objetos. Cada objeto en el conjunto es un elemento 元素 del conjunto. Debes conocer esta notación:
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| $n(A)$ | el número de elementos en el conjunto $A$ |
| $x \in A$ | $x$ es un elemento de $A$ |
| $x \notin A$ | $x$ no es un elemento de $A$ |
| $\mathscr{E}$ | el conjunto universal 全集 — todo lo que se está discutiendo |
| $A'$ | el complemento 补集 de $A$ — todo lo que no está en $A$ |
| $\varnothing$ | el conjunto vacío 空集 — un conjunto sin elementos |
| $A \subseteq B$ | $A$ es un subconjunto 子集 de $B$ — cada elemento de $A$ también está en $B$ |
| $A \cup B$ | la unión 并集 — elementos en $A$ o en $B$ o en ambos |
| $A \cap B$ | la intersección 交集 — elementos en tanto $A$ como en $B$ |
Un diagrama de Venn 维恩图 representa cada conjunto como un círculo dentro de un rectángulo (el conjunto universal). El básico utiliza dos conjuntos; el extendido puede utilizar tres.
Ejemplo resuelto. $\mathscr{E} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, $A = \{\text{even numbers}\}$, $B = \{\text{multiples of } 3\}$.
También puedes ver un conjunto escrito mediante una regla, por ejemplo: $C = \{x : 1 \leqslant x \leqslant 5\}$ significa "todos los valores $x$ tales que $1 \leqslant x \leqslant 5$".
Toque las regiones para ver unión, intersección y complemento — el lenguaje de los conjuntos.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| multiple/ˈmʌltɪpl/ | 倍数 | bèi shù |
| common factor/ˈkɒmən ˈfæktə/ | 公因数 | gōng yīn shù |
| common multiple/ˈkɒmən ˈmʌltɪpl/ | 公倍数 | gōng bèi shù |
| prime number/praɪm ˈnʌmbə/ | 质数 | zhì shù |
| square number/skweə ˈnʌmbə/ | 平方数 | píng fāng shù |
| cube number/kjuːb ˈnʌmbə/ | 立方数 | lì fāng shù |
| rational number/ˈræʃənl ˈnʌmbə/ | 有理数 | yǒu lǐ shù |
| fraction/ˈfrækʃn/ | 分数 | fēn shù |
| irrational number/ɪˈræʃənl ˈnʌmbə/ | 无理数 | wú lǐ shù |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | 倒数 | dào shǔ |
| element/ˈelɪmənt/ | 元素 | yuán sù |
| universal set/ˌjuːnɪˈvɜːsl set/ | 全集 | quán jí |
| complement/ˈkɒmplɪmənt/ | 补集 | bǔ jí |
| empty set/ˈempti set/ | 空集 | kōng jí |
| subset/ˈsʌbset/ | 子集 | zi jí |
| union/ˈjuːnɪən/ | 并集 | bìng jí |
| intersection/ˌɪntəˈsekʃn/ | 交集 | jiāo jí |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | 维恩图 | wéi ēn tú |
| power/ˈpaʊə/ | 幂 | mì |
| index/ˈɪndeks/ | 指数 | zhǐ shù |
| square root/skweə ruːt/ | 平方根 | píng fāng gēn |
| cube root/kjuːb ruːt/ | 立方根 | lì fāng gēn |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate with the following: • squares • square roots • cubes • cube roots • other powers and roots of numbers. | Includes recall of squares and their corresponding roots from 1 to 15, and recall of cubes and their corresponding roots of 1, 2, 3, 4, 5 and 10, e.g.: • Write down the value of $\sqrt{169}$ . • Work out $5^2 \times \sqrt[3]{8}$ . |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Realice los siguientes cálculos: • cuadrados • raíces cuadradas • cubos • raíces cúbicas • otras potencias y raíces de números. | Incluye la memorización de los cuadrados y sus correspondientes raíces del 1 al 15, así como la memorización de los cubos y sus correspondientes raíces del 1, 2, 3, 4, 5 y 10, p. ej.: • Escriba el valor de $\sqrt{169}$ . • Calcule $5^2 \times \sqrt[3]{8}$ . |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate with the following: • squares • square roots • cubes • cube roots • other powers and roots of numbers. | Includes recall of squares and their corresponding roots from 1 to 15, and recall of cubes and their corresponding roots of 1, 2, 3, 4, 5 and 10, e.g.: • Write down the value of $\sqrt{169}$. • Work out $5^2 \times \sqrt[3]{8}$. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Realice los siguientes cálculos: • cuadrados • raíces cuadradas • cubos • raíces cúbicas • otras potencias y raíces de números. | Incluye la recuperación de los cuadrados y sus correspondientes raíces de 1 a 15, y la recuperación de los cubos y sus correspondientes raíces de 1, 2, 3, 4, 5 y 10, p. ej.: • Escriba el valor de $\sqrt{169}$. • Calcule $5^2 \times \sqrt[3]{8}$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
You should be able to recall the squares from $1^2$ to $15^2$ (and their roots), and the cubes of $1, 2, 3, 4, 5$ and $10$.
Worked example. Work out $5^{2} \times \sqrt[3]{8}$.
Deberías ser capaz de recordar los cuadrados desde $1^2$ hasta $15^2$ (y sus raíces), y los cubos de $1, 2, 3, 4, 5$ y $10$.
Ejemplo resuelto. Calcula $5^{2} \times \sqrt[3]{8}$.
cuadrado = x^2
Cambia la base y observa cómo crecen las potencias mientras que las raíces deshacen las potencias.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand and use indices (positive, zero and negative integers). | e.g. find the value of $7^{-2}$. |
| 2 Understand and use the rules of indices. | e.g. find the value of $2^{-3} \times 2^4$, $(2^3)^2$, $2^3 \div 2^4$. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Comprender y utilizar índices (enteros positivos, cero y negativos). | ej. encontrar el valor de $7^{-2}$. |
| 2 Comprender y aplicar las reglas de los índices. | ej. encontrar el valor de $2^{-3} \times 2^4$, $(2^3)^2$, $2^3 \div 2^4$. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand and use indices (positive, zero, negative, and fractional). | Examples include: • $6^{\frac{1}{2}} = \sqrt{6}$ • $16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16}$ • find the value of $7^{-2}$, $81^{\frac{1}{2}}$, $8^{-\frac{2}{3}}$. |
| 2 Understand and use the rules of indices. | e.g. find the value of $2^{-3} \times 2^4$, $(2^3)^2$, $2^3 \div 2^4$. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Comprender y utilizar los índices (positivos, cero, negativos y fraccionarios). | Ejemplos incluyen: • $6^{\frac{1}{2}} = \sqrt{6}$ • $16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16}$ • hallar el valor de $7^{-2}$, $81^{\frac{1}{2}}$, $8^{-\frac{2}{3}}$. |
| 2 Comprender y aplicar las reglas de los índices. | p. ej. hallar el valor de $2^{-3} \times 2^4$, $(2^3)^2$, $2^3 \div 2^4$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
When you multiply or divide powers of the same base 底数, use these rules:
Some special powers:
(Fractional powers like $a^{\frac{m}{n}}$ are Extended.)
Worked examples.
Cuando multiplicas o divides potencias de la misma base 底数, usa estas reglas:
Algunas potencias especiales:
(Las potencias fraccionarias como $a^{\frac{m}{n}}$ son Extendidas).
Ejemplos resueltos.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| base/beɪs/ | 底数 | dǐ shù |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use the standard form $A \times 10^n$ where $n$ is a positive or negative integer and $1 \leqslant A < 10$. | |
| 2 Convert numbers into and out of standard form. | |
| 3 Calculate with values in standard form. | Core candidates are expected to calculate with standard form only on Paper 3. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Utilizar la forma estándar $A \times 10^n$, donde $n$ es un entero positivo o negativo y $1 \leqslant A < 10$. | |
| 2 Convertir números a y desde la forma estándar. | |
| 3 Realizar cálculos con valores en forma estándar. | Se espera que los candidatos de nivel básico realicen cálculos con forma estándar únicamente en el Examen 3. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use the standard form $A \times 10^n$ where $n$ is a positive or negative integer and $1 \leqslant A < 10$. | |
| 2 Convert numbers into and out of standard form. | |
| 3 Calculate with values in standard form. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Utilizar la forma estándar $A \times 10^n$, donde $n$ es un entero positivo o negativo y $1 \leqslant A < 10$. | |
| 2 Convertir números a y desde la forma estándar. | |
| 3 Realizar cálculos con valores en forma estándar. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Standard form 科学记数法 writes a number as $A \times 10^{n}$, where $1 \leqslant A < 10$ and $n$ is an integer. It is used for very large or very small numbers.
To convert, count how many places the decimal point moves:
Worked example. Work out $(3 \times 10^{5}) \times (2 \times 10^{-2})$.
Multiply the front numbers and add the powers:
La notación científica 科学记数法 escribe un número como $A \times 10^{n}$, donde $1 \leqslant A < 10$ y $n$ es un entero. Se utiliza para números muy grandes o muy pequeños.
Para convertir, cuenta cuántas posiciones se mueve el punto decimal:
Ejemplo resuelto. Calcula $(3 \times 10^{5}) \times (2 \times 10^{-2})$.
Multiplique los números de delante y sume las potencias:
Escribe un número grande o pequeño en la forma A × 10ⁿ.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| standard form/ˈstændəd fɔːm/ | 科学记数法 | kē xué jì shù fǎ |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand and use surds, including simplifying expressions. | Examples include: • $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ • $\sqrt{200} - \sqrt{32} = 6\sqrt{2}$. |
| 2 Rationalise the denominator. | Examples include: • $\frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$ • $\frac{1}{-1 + \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Comprender y usar radicales, incluyendo la simplificación de expresiones. | Ejemplos incluyen: • $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ • $\sqrt{200} - \sqrt{32} = 6\sqrt{2}$. |
| 2 Racionalizar el denominador. | Ejemplos incluyen: • $\frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$ • $\frac{1}{-1 + \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
A surd 根式 is a root that is irrational, such as $\sqrt{5}$. Leave it in exact form instead of rounding. Two useful rules:
Simplify a surd by taking out the largest square factor.
Worked example. Simplify $\sqrt{20}$ and $\sqrt{200} - \sqrt{32}$.
To rationalise the denominator 分母有理化 means to remove a surd from the bottom of a fraction (the denominator 分母). Multiply the top and bottom by a value that clears the surd.
Worked example. Rationalise $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$ and $\dfrac{1}{-1+\sqrt{3}}$.
Un radical 根式 es una raíz que es irracional, como por ejemplo $\sqrt{5}$. Déjelo en forma exacta en lugar de redondearlo. Dos reglas útiles:
Simplificar un radical extrayendo el mayor factor cuadrado.
Ejemplo resuelto. Simplificar $\sqrt{20}$ y $\sqrt{200} - \sqrt{32}$.
Racionalizar el denominador significa eliminar un radical del fondo de una fracción (el denominador). Multiplique la parte superior e inferior por un valor que elimine el radical.
Ejemplo resuelto. Racionalizar $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$ y $\dfrac{1}{-1+\sqrt{3}}$.
Descomponer un radical en factores cuadrados y simplificarlo.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| surd/sɜːd/ | 根式 | gēn shì |
| rationalise the denominator/ˈræʃənəlaɪz ðə dɪˈnɒmɪneɪtə/ | 分母有理化 | fēn mǔ yǒu lǐ huà |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | 分母 | fēn mǔ |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | 分子 | fèn zǐ |
| proper fraction/ˈprɒpə ˈfrækʃn/ | 真分数 | zhēn fēn shù |
| improper fraction/ɪmˈprɒpə ˈfrækʃn/ | 假分数 | jiǎ fēn shù |
| mixed number/mɪkst ˈnʌmbə/ | 带分数 | dài fēn shù |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use the language and notation of the following in appropriate contexts: • proper fractions • improper fractions • mixed numbers • decimals • percentages. | Candidates are expected to be able to write fractions in their simplest form. Candidates are not expected to use recurring decimal notation. |
| 2 Recognise equivalence and convert between these forms. | Candidates are not expected to demonstrate the conversion of a recurring decimal to a fraction and vice versa. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Utilizar el lenguaje y la notación de los siguientes en contextos apropiados: • fracciones propias • fracciones impropias • números mixtos • decimales • porcentajes. | Se espera que los candidatos sean capaces de escribir las fracciones en su forma más simple. No se espera que los candidatos utilicen la notación de decimales periódicos. |
| 2 Reconocer equivalencias y realizar conversiones entre estas formas. | No se espera que los candidatos demuestren la conversión de un decimal periódico a una fracción y viceversa. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use the language and notation of the following in appropriate contexts: • proper fractions • improper fractions • mixed numbers • decimals • percentages. | Candidates are expected to be able to write fractions in their simplest form. Recurring decimal notation is required, e.g. • $0.1\dot{7} = 0.1777...$ • $0.1\dot{2}\dot{3} = 0.1232323...$ • $0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123...$ |
| 2 Recognise equivalence and convert between these forms. | Includes converting between recurring decimals and fractions and vice versa, e.g. write $0.1\dot{7}$ as a fraction. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Utilizar el lenguaje y la notación de los siguientes en contextos apropiados: • fracciones propias • fracciones impropias • números mixtos • decimales • porcentajes. | Se espera que los candidatos sean capaces de escribir las fracciones en su forma más simple. Es necesaria la notación de decimales periódicos, p. ej.: • $0.1\dot{7} = 0.1777...$ • $0.1\dot{2}\dot{3} = 0.1232323...$ • $0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123...$ |
| 2 Reconocer equivalencias y realizar conversiones entre estas formas. | Incluye la conversión entre decimales periódicos y fracciones y viceversa, p. ej.: escribir $0.1\dot{7}$ como una fracción. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
A fraction has a numerator 分子 (the top) and a denominator (the bottom).
Change between improper and mixed: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$ because $7 \div 4 = 1$ remainder $3$.
A decimal 小数 uses place value after a point. A percentage 百分比 means "out of $100$", so $37\% = \frac{37}{100} = 0.37$.
| To change | Method | Example |
|---|---|---|
| fraction → decimal | divide top by bottom | $\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0.375$ |
| decimal → percentage | multiply by $100$ | $0.07 = 7\%$ |
| percentage → fraction | put over $100$, then simplify | $7\% = \frac{7}{100}$ |
| percentage → decimal | divide by $100$ | $34\% = 0.34$ |
Write a fraction in its simplest form 最简形式 by dividing the top and bottom by their HCF: $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ (both divided by $6$).
A recurring decimal 循环小数 repeats the same digits forever. Dots mark the repeating part: $0.1\dot{7} = 0.1777\ldots$ and $0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123\ldots$
To turn a recurring decimal into a fraction, multiply so the repeating parts line up, then subtract.
Worked example. Write $0.1\dot{7}$ as a fraction.
Let $x = 0.1777\ldots$ Only the $7$ repeats, so use $10x$ and $100x$:
Una fracción tiene un numerador (la parte superior) y un denominador (la parte inferior).
Cambiar entre impropias y mixtas: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$ porque $7 \div 4 = 1$ residuo $3$.
Un decimal 小数 usa el valor posicional después de un punto. Un porcentaje 百分比 significa "de cada $100$", es decir, $37\% = \frac{37}{100} = 0.37$.
| Para cambiar | Método | Ejemplo |
|---|---|---|
| fracción → decimal | divide el numerador entre el denominador | $\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0.375$ |
| decimal → porcentaje | multiplica por $100$ | $0.07 = 7\%$ |
| porcentaje → fracción | pon sobre $100$, luego simplifica | $7\% = \frac{7}{100}$ |
| porcentaje → decimal | divide por $100$ | $34\% = 0.34$ |
Escribe una fracción en su forma más simple 最简形式 dividiendo el numerador y el denominador por su MCD: $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ (ambos divididos por $6$).
Un decimal periódico 循环小数 repite los mismos dígitos para siempre. Los puntos marcan la parte que se repite: $0.1\dot{7} = 0.1777\ldots$ y $0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123\ldots$
Para convertir un decimal periódico en una fracción, multiplica de manera que las partes repetidas coincidan y luego resta.
Ejemplo resuelto. Escribe $0.1\dot{7}$ como una fracción.
Sea $x = 0.1777\ldots$ Solo se repite el $7$, por lo que utiliza $10x$ y $100x$:
Clasificar formas numéricas equivalentes y operaciones.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| decimal/ˈdesɪml/ | 小数 | xiǎo shù |
| recurring decimal/rɪˈkɜːrɪŋ ˈdesɪml/ | 循环小数 | xún huán xiǎo shù |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Use the four operations for calculations with integers, fractions and decimals, including correct ordering of operations and use of brackets. | Includes: • negative numbers • improper fractions • mixed numbers • practical situations, e.g. temperature changes. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Utilice las cuatro operaciones para realizar cálculos con números enteros, fracciones y decimales, incluyendo el orden correcto de las operaciones y el uso de paréntesis. | Incluye: • números negativos • fracciones impropias • números mixtos • situaciones prácticas, p. ej., cambios de temperatura. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Use the four operations for calculations with integers, fractions and decimals, including correct ordering of operations and use of brackets. | Includes: • negative numbers • improper fractions • mixed numbers • practical situations, e.g. temperature changes. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Utilizar las cuatro operaciones para realizar cálculos con números enteros, fracciones y decimales, incluyendo el orden correcto de las operaciones y el uso de paréntesis. | Incluye: • números negativos • fracciones impropias • números mixtos • situaciones prácticas, p. ej., cambios de temperatura. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Work in this order — the order of operations 运算顺序: brackets first, then indices (powers and roots), then multiply and divide (left to right), then add and subtract (left to right).
Worked example. Work out $-6 \times -3 + 7 \times 2$.
Do the multiplications first: $-6 \times -3 = 18$ and $7 \times 2 = 14$. Then add: $18 + 14 = 32$.
A change in temperature from $-5\,{}^{\circ}\text{C}$ to $3\,{}^{\circ}\text{C}$ is a rise of $8\,{}^{\circ}\text{C}$.
Worked example. Work out $1\frac{7}{15} - \frac{4}{5}$, giving the answer in its simplest form.
Change the mixed number to an improper fraction, then use denominator $15$:
Trabaja en este orden: el orden de las operaciones 运算顺序: primero los paréntesis, luego los exponentes (potencias y raíces), después multiplicar y dividir (de izquierda a derecha) y finalmente sumar y restar (de izquierda a derecha).
Ejemplo resuelto. Calcula $-6 \times -3 + 7 \times 2$.
Haz primero las multiplicaciones: $-6 \times -3 = 18$ y $7 \times 2 = 14$. Luego suma: $18 + 14 = 32$.
Un cambio de temperatura de $-5\,{}^{\circ}\text{C}$ a $3\,{}^{\circ}\text{C}$ es un aumento de $8\,{}^{\circ}\text{C}$.
Ejemplo resuelto. Calcula $1\frac{7}{15} - \frac{4}{5}$, dando la respuesta en su forma más simple.
Convierte el número mixto a fracción impropia, luego usa el denominador $15$:
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| order of operations/ˈɔːdə ɒv ˌɒpəˈreɪʃnz/ | 运算顺序 | yùn suàn shùn xù |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | 大小 | dà xiǎo |
| multiplier/ˌmʌltɪˈplaɪə/ | 乘数 | chéng shù |
| ratio/ˈreɪʃɪəʊ/ | 比 | bǐ |
| proportion/prəˈpɔːʃn/ | 比例 | bǐ lì |
| scale/skeɪl/ | 比例尺 | bǐ lì chǐ |
| rate/reɪt/ | 比率 | bǐ lǜ |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Order quantities by magnitude and demonstrate familiarity with the symbols $=, \ne, >, <, \geqslant$ and $\leqslant$. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Ordenar cantidades según su magnitud y demostrar familiaridad con los símbolos $=, \ne, >, <, \geqslant$ y $\leqslant$. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Order quantities by magnitude and demonstrate familiarity with the symbols $=, \neq, >, <, \geqslant$ and $\leqslant$. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Ordenar cantidades según su magnitud y demostrar familiaridad con los símbolos $=, \neq, >, <, \geqslant$ y $\leqslant$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Use these symbols to compare numbers by magnitude 大小 (size):
| Symbol | Meaning |
|---|---|
| $=$ | is equal to |
| $\neq$ | is not equal to |
| $>$ | is greater than |
| $<$ | is less than |
| $\geqslant$ | is greater than or equal to |
| $\leqslant$ | is less than or equal to |
To put a mixed list in order, change every value to a decimal first.
Worked example. Put $34\%$, $\frac{1}{3}$ and $\frac{3}{10}$ in order, smallest first.
As decimals: $34\% = 0.34$, $\frac{1}{3} = 0.333\ldots$, $\frac{3}{10} = 0.3$. So the order is
Usa estos símbolos para comparar números según su magnitud 大小 (tamaño):
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| $=$ | es igual a |
| $\neq$ | no es igual a |
| $>$ | es mayor que |
| $<$ | es menor que |
| $\geqslant$ | es mayor o igual que |
| $\leqslant$ | es menor o igual que |
Para ordenar una lista mixta, cambia todos los valores a decimales primero.
Ejemplo resuelto. Ordena $34\%$, $\frac{1}{3}$ y $\frac{3}{10}$, del menor al mayor.
Como decimales: $34\% = 0.34$, $\frac{1}{3} = 0.333\ldots$, $\frac{3}{10} = 0.3$. Así que el orden es
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate a given percentage of a quantity. | |
| 2 Express one quantity as a percentage of another. | |
| 3 Calculate percentage increase or decrease. | |
| 4 Calculate with simple and compound interest. | Formulas are not given. Percentage calculations may include: • deposit • discount • profit and loss (as an amount or a percentage) • earnings • percentages over 100%. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Calcular un porcentaje dado de una cantidad. | |
| 2 Expresar una cantidad como porcentaje de otra. | |
| 3 Calcular el aumento o la disminución porcentual. | |
| 4 Calcular con interés simple y compuesto. | No se proporcionan fórmulas. Los cálculos de porcentajes pueden incluir: • depósito • descuento • ganancia y pérdida (en cantidad o en porcentaje) • ingresos • porcentajes superiores al 100%. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate a given percentage of a quantity. | |
| 2 Express one quantity as a percentage of another. | |
| 3 Calculate percentage increase or decrease. | |
| 4 Calculate with simple and compound interest. | Problems may include repeated percentage change. Formulas are not given. |
| 5 Calculate using reverse percentages. | e.g. find the cost price given the selling price and the percentage profit. Percentage calculations may include: • deposit • discount • profit and loss (as an amount or a percentage) • earnings • percentages over 100%. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Calcular un porcentaje dado de una cantidad. | |
| 2 Expresar una cantidad como porcentaje de otra. | |
| 3 Calcular el aumento o la disminución porcentual. | |
| 4 Calcular con interés simple y compuesto. | Los problemas pueden incluir cambios porcentuales repetidos. No se proporcionan fórmulas. |
| 5 Calcular usando porcentajes inversos. | p. ej., encontrar el precio de coste dados el precio de venta y el porcentaje de beneficio. Los cálculos de porcentajes pueden incluir: • depósito • descuento • ganancia y pérdida (como cantidad o como porcentaje) • ingresos • porcentajes superiores al 100 %. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Find a percentage of an amount. $15\%$ of $\$80 = 0.15 \times 80 = \$12$.
Write one amount as a percentage of another. A score of $18$ out of $25$ is $\frac{18}{25} \times 100\% = 72\%$.
Percentage increase or decrease uses
Worked example. A price rises from $\$40$ to $\$50$. Find the percentage increase.
The change is $\$10$, so $\frac{10}{40} \times 100\% = 25\%$ increase.
A quick way is a multiplier 乘数. To increase by $15\%$, multiply by $1.15$; to decrease by $15\%$, multiply by $0.85$.
Interest 利息 is money paid for borrowing or for saving. The principal 本金 is the starting amount.
Worked example. Find the value of $\$500$ saved at $4\%$ compound interest for $3$ years.
A reverse percentage 逆百分比 problem gives the amount after a change and asks for the original. To solve it, divide by the multiplier — do not just take the percentage off.
Worked example. A coat costs $\$60$ after a $20\%$ increase. Find the original price.
$\$60$ is $120\%$ of the original, so the original price is $60 \div 1.2 = \$50$.
Encontrar un porcentaje de una cantidad. $15\%$ de $\$80 = 0.15 \times 80 = \$12$.
Escribir una cantidad como porcentaje de otra. Una puntuación de $18$ sobre $25$ es $\frac{18}{25} \times 100\% = 72\%$.
Aumento o disminución porcentual usa
Ejemplo resuelto. Un precio sube de $\$40$ to $\$50$. Encuentre el porcentaje de aumento.
El cambio es $\$10$, so $\frac{10}{40} \times 100\% = 25\%$ de aumento.
Una forma rápida es usar un multiplicador 乘数. Para aumentar en $15\%$, multiplique por $1.15$; para disminuir en $15\%$, multiplique por $0.85$.
Interés 利息 es el dinero pagado por pedir prestado o ahorrar. El capital 本金 es la cantidad inicial.
Ejemplo resuelto. Calcule el valor de $\$500$ saved at $4\%$ compound interest for $3$ años.
Un problema de porcentaje inverso 逆百分比 da la cantidad después de un cambio y pide la original. Para resolverlo, divida por el multiplicador — no simplemente quite el porcentaje.
Ejemplo resuelto. Un abrigo cuesta $\$60$ after a $20\%$ de aumento. Encuentre el precio original.
$\$60$ is $120\%$ of the original, so the original price is $60 \div 1.2 = \$50$.
valor nuevo = valor antiguo x multiplicador
Cambia el multiplicador y observa cómo cambia el valor final.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| percentage/pəˈsentɪdʒ/ | 百分比 | bǎi fēn bǐ |
| simplest form/ˈsɪmpəlɪst fɔːm/ | 最简形式 | zuì jiǎn xíng shì |
| interest/ˈɪntrest/ | 利息 | lì xī |
| principal/ˈprɪnsɪpl/ | 本金 | běn jīn |
| simple interest/ˈsɪmpl ˈɪntrest/ | 单利 | dān lì |
| compound interest/ˈkɒmpaʊnd ˈɪntrest/ | 复利 | fù lì |
| reverse percentage/rɪˈvɜːs pəˈsentɪdʒ/ | 逆百分比 | nì bǎi fēn bǐ |
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | 指数增长 | zhǐ shù zēng zhǎng |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Use exponential growth and decay. | e.g. depreciation, population change. Knowledge of e is not required. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Utilizar el crecimiento y el decaimiento exponenciales. | p. ej., depreciación, cambio poblacional. No se requiere conocimiento de e. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
When a quantity changes by the same percentage in each time period, it shows exponential growth 指数增长 (it gets bigger) or exponential decay 指数衰减 (it gets smaller). Use the compound formula. Depreciation 折旧, where something like a car loses value each year, is decay.
Worked example. A car worth $\$20\,000$ loses $15\%$ of its value each year. Find its value after $4$ years.
The multiplier is $0.85$, so
Cuando una cantidad cambia en el mismo porcentaje en cada período de tiempo, muestra crecimiento exponencial 指数增长 (se hace más grande) o decrecimiento exponencial 指数衰减 (se hace más pequeño). Use la fórmula compuesta. La depreciación 折旧, donde algo como un auto pierde valor cada año, es un decrecimiento.
Ejemplo resuelto. Un auto valiendo $\$20\,000$ loses $15\%$ of its value each year. Find its value after $4$ años.
El multiplicador es $0.85$, así que
El dinero crece por un factor de (1 + r) cada año, por lo que las curvas de interés compuesto se sitúan por encima del interés simple. Arrastra la tasa y el número de años.
y = a·bˣ
Cambia la base b: si b > 1 hay crecimiento, si 0 < b < 1 hay decaimiento — útil para intereses y poblaciones.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | 指数衰减 | zhǐ shù shuāi jiǎn |
| depreciation/dɪˌpriːʃɪˈeɪʃn/ | 折旧 | zhé jiù |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Understand and use ratio and proportion to: | |
| • give ratios in their simplest form | e.g. 20:30:40 in its simplest form is 2:3:4. |
| • divide a quantity in a given ratio | |
| • use proportional reasoning and ratios in context. | e.g. adapt recipes; use map scales; determine best value. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Comprender y utilizar la proporción y la proporcionalidad para: | |
| • expresar las proporciones en su forma más simple | ej. 20:30:40 en su forma más simple es 2:3:4. |
| • dividir una cantidad según una proporción dada | |
| • aplicar el razonamiento proporcional y las proporciones en contextos reales. | ej. adaptar recetas; usar escalas de mapas; determinar la mejor relación calidad-precio. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Understand and use ratio and proportion to: | |
| • give ratios in their simplest form | e.g. 20:30:40 in its simplest form is 2:3:4. |
| • divide a quantity in a given ratio | |
| • use proportional reasoning and ratios in context. | e.g. adapt recipes; use map scales; determine best value. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Comprender y utilizar la proporción y la proporcionalidad para: | |
| • expresar proporciones en su forma más simple | ej. 20:30:40 en su forma más simple es 2:3:4. |
| • dividir una cantidad según una proporción dada | |
| • aplicar razonamiento proporcional y proporciones en contextos reales. | ej. adaptar recetas; usar escalas de mapas; determinar el mejor valor. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
A ratio 比 compares quantities, written like $a:b$. Simplify it like a fraction by dividing by the HCF: $20:30:40 = 2:3:4$.
Dividing in a ratio. Share $\$48$ in the ratio $3:5$.
The total number of parts is $3 + 5 = 8$. One part is $48 \div 8 = \$6$. So the shares are $3 \times 6 = \$18$ and $5 \times 6 = \$30$.
Proportion 比例 means two ratios are equal. Use it for recipes, map scales 比例尺 and finding best value.
Worked example. $3$ pens cost $\$1.80$. Find the cost of $7$ pens.
One pen costs $1.80 \div 3 = \$0.60$. So $7$ pens cost $7 \times 0.60 = \$4.20$.
Una proporción 比 compara cantidades, escrita como $a:b$. Simplifíquela como una fracción dividiendo por el MCD: $20:30:40 = 2:3:4$.
Dividir en una proporción. Reparta $\$48$ in the ratio $3:5$.
El número total de partes es $3 + 5 = 8$. Una parte es $48 \div 8 = \$6$. So the shares are $3 \times 6 = \$18$ y $5 \times 6 = \$30$.
Proporcionalidad 比例 significa que dos proporciones son iguales. Úsela para recetas, escalas 比例尺 de mapas y encontrar la mejor relación calidad-precio.
Ejemplo resuelto. $3$ bolígrafos cuestan $\$1.80$. Find the cost of $7$ bolígrafos.
Un bolígrafo cuesta $1.80 \div 3 = \$0.60$. So $7$ pens cost $7 \times 0.60 = \$4.20$.
y = ax
La proporcionalidad directa es una línea recta que pasa por el origen — duplicas x y duplicas y.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use common measures of rate. | e.g. calculate with: • hourly rates of pay • exchange rates between currencies • flow rates • fuel consumption. |
| 2 Apply other measures of rate. | e.g. calculate with: • pressure • density • population density. Required formulas will be given in the question. |
| 3 Solve problems involving average speed. | Knowledge of speed/distance/time formula is required. e.g. A cyclist travels 45 km in 3 hours 45 minutes. What is their average speed? Notation used will be, e.g. m/s (metres per second), $\text{g/cm}^3$ (grams per cubic centimetre). |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Utilizar medidas comunes de tasa. | p. ej., calcular con: • tarifas por hora • tipos de cambio entre divisas • tasas de flujo • consumo de combustible. |
| 2 Aplicar otras medidas de tasa. | p. ej., calcular con: • presión • densidad • densidad poblacional. Las fórmulas necesarias se proporcionarán en el enunciado. |
| 3 Resolver problemas que involucren velocidad media. | Se requiere conocimiento de la fórmula de velocidad/distancia/tiempo. p. ej., Un ciclista recorre 45 km en 3 horas y 45 minutos. ¿Cuál es su velocidad media? La notación utilizada será, p. ej., m/s (metros por segundo), $\text{g/cm}^3$ (gramos por centímetro cúbico). |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use common measures of rate. | e.g. calculate with: • hourly rates of pay • exchange rates between currencies • flow rates • fuel consumption. |
| 2 Apply other measures of rate. | e.g. calculate with: • pressure • density • population density. Required formulas will be given in the question. |
| 3 Solve problems involving average speed. | Knowledge of speed/distance/time formula is required. e.g. A cyclist travels 45 km in 3 hours 45 minutes. What is their average speed? Notation used will be, e.g. m/s (metres per second), g/cm$^{3}$ (grams per cubic centimetre). |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Utilizar medidas comunes de tasa. | ej. calcular con: • tarifas por hora • tipos de cambio entre divisas • tasas de flujo • consumo de combustible. |
| 2 Aplicar otras medidas de tasa. | ej. calcular con: • presión • densidad • densidad de población. Las fórmulas requeridas se proporcionarán en la pregunta. |
| 3 Resolver problemas que involucren velocidad promedio. | Se requiere conocimiento de la fórmula velocidad/distancia/tiempo. ej. Un ciclista recorre 45 km en 3 horas y 45 minutos. ¿Cuál es su velocidad promedio? La notación utilizada será, ej. m/s (metros por segundo), g/cm$^{3}$ (gramos por centímetro cúbico). |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
A rate 比率 compares two quantities measured in different units, such as price per kilogram, or distance per hour.
Average speed 平均速度 uses
Worked example. A cyclist travels $45\text{ km}$ in $3$ hours $45$ minutes. Find the average speed.
First change the time to hours: $3$ h $45$ min $= 3.75$ h. Then
Other rates work the same way. Density 密度 is found from mass 质量 and volume 体积:
Other examples are flow rate, fuel consumption and population density 人口密度. If a rate needs a special formula (such as pressure 压强), the question will give it to you.
Una tasa 比率 compara dos cantidades medidas en unidades diferentes, como el precio por kilogramo o la distancia por hora.
La velocidad media 平均速度 utiliza
Ejemplo resuelto. Un ciclista recorre $45\text{ km}$ en $3$ horas $45$ minutos. Halla la velocidad media.
Primero convierte el tiempo a horas: $3$ h $45$ min $= 3.75$ h. Entonces
Otras tasas funcionan de la misma manera. La densidad se calcula a partir de la masa y el volumen:
Otros ejemplos son el caudal, el consumo de combustible y la densidad de población 人口密度. Si una tasa requiere una fórmula especial (como la presión 压强), el examen te la proporcionará.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| average speed/ˈævrɪdʒ spiːd/ | 平均速度 | píng jūn sù dù |
| density/ˈdensɪti/ | 密度 | mì dù |
| mass/mæs/ | 质量 | zhì liàng |
| volume/ˈvɒljuːm/ | 体积 | tǐ jī |
| population density/ˌpɒpjʊˈleɪʃn ˈdensɪti/ | 人口密度 | rén kǒu mì dù |
| pressure/ˈpreʃə/ | 压强 | yā qiáng |
| decimal place/ˈdesɪml pleɪs/ | 小数位 | xiǎo shù wèi |
| significant figure/sɪɡˈnɪfɪkənt ˈfɪɡə/ | 有效数字 | yǒu xiào shù zì |
| estimate/ˈestɪmət/ | 估算 | gū suàn |
| lower bound/ˈləʊə baʊnd/ | 下界 | xià jiè |
| upper bound/ˈʌpə baʊnd/ | 上界 | shàng jiè |
| area/ˈeərɪə/ | 面积 | miàn jī |
| time zone/taɪm zəʊn/ | 时区 | shí qū |
| exchange rate/eksˈtʃeɪndʒ reɪt/ | 汇率 | huì lǜ |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Round values to a specified degree of accuracy. | Includes decimal places and significant figures. |
| 2 Make estimates for calculations involving numbers, quantities and measurements. | e.g. write 5764 correct to the nearest thousand. e.g. by writing each number correct to 1 significant figure, estimate the value of $$\frac{41.3}{9.79 \times 0.765}$$ . |
| 3 Round answers to a reasonable degree of accuracy in the context of a given problem. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Redondear valores a un grado de precisión especificado. | Incluye decimales y cifras significativas. |
| 2 Realizar estimaciones para cálculos que involucren números, cantidades y medidas. | p. ej. escribir 5764 correcto al mil más cercano. p. ej. escribiendo cada número correcto a 1 cifra significativa, estimar el valor de $$\frac{41.3}{9.79 \times 0.765}$$ . |
| 3 Redondear respuestas a un grado razonable de precisión en el contexto de un problema dado. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Round values to a specified degree of accuracy. | Includes decimal places and significant figures. e.g. write 5764 correct to the nearest thousand. |
| 2 Make estimates for calculations involving numbers, quantities and measurements. | e.g. by writing each number correct to 1 significant figure, estimate the value of $$\frac{41.3}{9.79 \times 0.765}$$ . |
| 3 Round answers to a reasonable degree of accuracy in the context of a given problem. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Redondear valores a un grado de precisión especificado. | Incluye decimales y cifras significativas. ej. escribir 5764 correcto al mil más cercano. |
| 2 Realizar estimaciones para cálculos que involucren números, cantidades y mediciones. | ej. escribiendo cada número correcto a 1 cifra significativa, estimar el valor de $$\frac{41.3}{9.79 \times 0.765}$$ . |
| 3 Redondear respuestas a un grado de razonable en el contexto de un problema dado. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Rule: look at the next digit. If it is $5$ or more, round up; if it is less, round down.
To estimate 估算 an answer, round every number to $1$ s.f., then calculate.
Worked example. Estimate $\dfrac{41.3}{9.79 \times 0.765}$.
Regla: observa el siguiente dígito. Si es $5$ o mayor, redondea hacia arriba; si es menor, redondea hacia abajo.
Para estimar 估算 una respuesta, redondea cada número a $1$ s.f., luego calcula.
Ejemplo resuelto. Estima $\dfrac{41.3}{9.79 \times 0.765}$.
Clasificar números según la decisión necesaria para la precisión.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Give upper and lower bounds for data rounded to a specified accuracy. | e.g. write down the upper bound of a length measured correct to the nearest metre. Candidates are not expected to find the bounds of the results of calculations which have used data rounded to a specified accuracy. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Determinar los límites superior e inferior para datos redondeados a una precisión especificada. | ej. escribir el límite superior de una longitud medida con corrección al metro más cercano. No se espera que los candidatos hallen los límites de los resultados de cálculos que han utilizado datos redondeados a una precisión especificada. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Give upper and lower bounds for data rounded to a specified accuracy. | e.g. write down the upper bound of a length measured correct to the nearest metre. |
| 2 Find upper and lower bounds of the results of calculations which have used data rounded to a specified accuracy. | Example calculations include: • calculate the upper bound of the perimeter or the area of a rectangle given dimensions measured to the nearest centimetre • find the lower bound of the speed given rounded values of distance and time. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Dar los límites superior e inferior para datos redondeados a una precisión especificada. | p. ej., escribir el límite superior de una longitud medida con precisión al metro más cercano. |
| 2 Encontrar los límites superior e inferior de los resultados de cálculos que han utilizado datos redondeados a una precisión especificada. | Los ejemplos de cálculos incluyen: • calcular el límite superior del perímetro o del área de un rectángulo dadas dimensiones medidas al centímetro más cercano • encontrar el límite inferior de la velocidad dados valores redondeados de distancia y tiempo. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
A rounded value could really be anything that rounds to it. The smallest possible value is the lower bound 下界; the largest is the upper bound 上界. For a value rounded to the nearest unit, the bounds lie half a unit on each side.
Worked example. A height $h$ is $635\text{ m}$, correct to the nearest metre. Give the bounds.
So the lower bound is $634.5\text{ m}$ and the upper bound is $635.5\text{ m}$.
Combine the bounds to get the bound you want.
Worked example. A rectangle is $8\text{ cm}$ by $5\text{ cm}$, each side to the nearest cm. Find the largest possible area 面积.
Use the upper bounds of both sides: $8.5 \times 5.5 = 46.75\text{ cm}^{2}$. (The smallest area uses the lower bounds: $7.5 \times 4.5 = 33.75\text{ cm}^{2}$.)
For a divided quantity such as $\text{speed} = \dfrac{\text{distance}}{\text{time}}$, the largest speed comes from the largest distance divided by the smallest time.
Un valor redondeado podría ser realmente cualquier cosa que se redondee a él. El valor más pequeño posible es el límite inferior 下界; el mayor es el límite superior 上界. Para un valor redondeado a la unidad más cercana, los límites están situados a media unidad en cada lado.
Ejemplo resuelto. Una altura $h$ es $635\text{ m}$, correcta a la nearest metre. Da los límites.
Por lo tanto, el límite inferior es $634.5\text{ m}$ y el límite superior es $635.5\text{ m}$.
Combina los límites para obtener el límite que deseas.
Ejemplo resuelto. Un rectángulo mide $8\text{ cm}$ por $5\text{ cm}$, cada lado redondeado al centímetro más cercano. Encuentre el área 面积 más grande posible.
Utilice los límites superiores de ambos lados: $8.5 \times 5.5 = 46.75\text{ cm}^{2}$. (El área más pequeña utiliza los límites inferiores: $7.5 \times 4.5 = 33.75\text{ cm}^{2}$.)
Para una cantidad dividida como $\text{speed} = \dfrac{\text{distance}}{\text{time}}$, la velocidad más grande se obtiene dividiendo la distancia más grande por el tiempo más pequeño.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate with time: seconds (s), minutes (min), hours (h), days, weeks, months, years, including the relationship between units. | 1 year = 365 days. |
| 2 Calculate times in terms of the 24-hour and 12-hour clock. | In the 24-hour clock, for example, 3.15 a.m. will be denoted by 03 15 and 3.15 p.m. by 15 15. |
| 3 Read clocks and timetables. | Includes problems involving time zones, local times and time differences. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Realizar cálculos con el tiempo: segundos (s), minutos (min), horas (h), días, semanas, meses, años, incluyendo la relación entre las unidades. | 1 año = 365 días. |
| 2 Calcular horarios en términos del reloj de 24 horas y del reloj de 12 horas. | En el reloj de 24 horas, por ejemplo, las 3:15 a.m. se expresan como 03 15 y las 3:15 p.m. como 15 15. |
| 3 Leer relojes y horarios. | Incluye problemas que involucran zonas horarias, horas locales y diferencias de tiempo. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate with time: seconds (s), minutes (min), hours (h), days, weeks, months, years, including the relationship between units. | 1 year = 365 days. |
| 2 Calculate times in terms of the 24-hour and 12-hour clock. | In the 24-hour clock, for example, 3.15 a.m. will be denoted by 0315 and 3.15 p.m. by 1515. |
| 3 Read clocks and timetables. | Includes problems involving time zones, local times and time differences. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Realizar cálculos con unidades de tiempo: segundos (s), minutos (min), horas (h), días, semanas, meses y años, incluyendo las relaciones entre estas unidades. | 1 año = 365 días. |
| 2 Calcular tiempos según el sistema de 24 horas y el sistema de 12 horas. | En el sistema de 24 horas, por ejemplo, las 3:15 a.m. se expresan como 0315 y las 3:15 p.m. como 1515. |
| 3 Interpretar relojes y horarios. | Incluye problemas que involucran zonas horarias, horas locales y diferencias de tiempo. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Worked example. A film starts at $19\,35$ and lasts $70$ minutes. Find the time it finishes.
$70$ min $= 1$ h $10$ min. Adding $1$ hour gives $20\,35$; adding $10$ minutes gives $20\,45$.
For timetables and time zone 时区 problems, add or subtract the time difference between the places.
Ejemplo resuelto. Una película comienza a las $19\,35$ y dura $70$ minutos. Encuentra la hora en que termina.
$70$ min $= 1$ h $10$ min. Al sumar $1$ hora se obtiene $20\,35$; al sumar $10$ minutos se obtiene $20\,45$.
Para horarios y problemas de zona horaria 时区, suma o resta la diferencia de tiempo entre los lugares.
Elegir la operación que corresponde a un problema de medición real.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate with money. | |
| 2 Convert from one currency to another. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Realizar operaciones con dinero. | |
| 2 Convertir de una moneda a otra. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate with money. | |
| 2 Convert from one currency to another. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Calcular con dinero. | |
| 2 Convertir de una moneda a otra. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Work with money as ordinary decimals, but give answers to $2$ d.p. (so $\$4.8$ is written $\$4.80$).
Currency conversion. Use the exchange rate 汇率 as a multiplier.
Worked example. The exchange rate is $\$1 = €0.92$. Convert $\$150$ to euros, and convert $€138$ back to dollars.
Trabaja con el dinero como decimales ordinarios, pero da respuestas con $2$ d.p. (por ejemplo, $\$4.8$ is written $\$4.80$).
Conversión de moneda. Utiliza la tasa de cambio 汇率 como multiplicador.
Ejemplo resuelto. La tasa de cambio es $\$1 = €0.92$. Convert $\$150$ a euros, y convierte $€138$ de vuelta a dólares.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use a calculator efficiently. | e.g. know not to round values within a calculation and to only round the final answer. |
| 2 Enter values appropriately on a calculator. | e.g. enter 2 hours 30 minutes as 2.5 hours or 2° 30’ 0’’. |
| 3 Interpret the calculator display appropriately. | e.g. in money 4.8 means $4.80; in time 3.25 means 3 hours 15 minutes. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Utilice la calculadora de manera eficiente. | Ej.: saber que no se deben redondear los valores dentro de un cálculo, sino únicamente la respuesta final. |
| 2 Introduzca los valores adecuadamente en la calculadora. | Ej.: introduzca 2 horas 30 minutos como 2,5 horas o como 2° 30’ 0’’. |
| 3 Interprete correctamente la pantalla de la calculadora. | Ej.: en dinero, 4,8 significa $4,80; en tiempo, 3,25 significa 3 horas y 15 minutos. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use a calculator efficiently. | e.g. know not to round values within a calculation and to only round the final answer. |
| 2 Enter values appropriately on a calculator. | e.g. enter 2 hours 30 minutes as 2.5 hours or 2° 30' 0''. |
| 3 Interpret the calculator display appropriately. | e.g. in money 4.8 means $4.80; in time 3.25 means 3 hours 15 minutes. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Utilice la calculadora de forma eficiente. | Ej.: saber no redondear valores dentro de un cálculo y solo redondear la respuesta final. |
| 2 Introduzca los valores adecuadamente en la calculadora. | Ej.: introduzca 2 horas 30 minutos como 2,5 horas o 2° 30' 0''. |
| 3 Interprete la pantalla de la calculadora de forma adecuada. | Ej.: en dinero, 4,8 significa $4,80; en tiempo, 3,25 significa 3 horas 15 minutos. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
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