AP Giải tích BC · Chủ đề 10
8:20
Dãy Vô Hạn
Bạn có thể cộng vô hạn số lượng và nhận được kết quả hữu hạn không? Thật đáng ngạc nhiên, có thể. Cộng mãi mãi, và đôi khi tổng sẽ tiến tới vô hạn — nhưng đôi khi nó…
Giọng đọc tiếng Anh · phụ đề tiếng Anh + 中文 được ghi trực tiếp
Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-7): Áp dụng giới hạn có thể giúp chúng ta xác định tổng hữu hạn của vô số số hạng.
Mục tiêu học tập LIM-7.A: Xác định liệu một chuỗi hội tụ hay phân kỳ. CHỈ DÀNH CHO BC
Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP
Một chuỗi vô hạn cộng vô số các số hạng, $\sum_{n=1}^\infty a_n$. Giá trị của nó được định nghĩa là giới hạn của các tổng riêng $S_N=a_1+a_2+\cdots+a_N$. Nếu $S_N$ tiến tới một số hữu hạn $L$, chuỗi hội tụ về $L$; ngược lại nó phân kỳ. Mọi câu hỏi về sự hội tụ thực chất là câu hỏi về giới hạn của các tổng riêng.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| infinite series/ˈɪnfɪnət ˈsɪəriːz/ | dãy vô hạn |
| partial sums/ˈpɑːʃl sʌmz/ | tổng riêng |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | hội tụ |
| diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/ | phân kỳ |
| geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/ | cấp số nhân |
| integral test/ˈɪntɪɡrəl test/ | tiêu chuẩn tích phân |
| harmonic series/hɑːˈmɒnɪk ˈsɪəriːz/ | dãy điều hòa |
| Direct comparison/daɪˈrekt kəmˈpærɪsn/ | so sánh trực tiếp |
| Limit comparison/ˈlɪmɪt kəmˈpærɪsn/ | So sánh giới hạn |
| alternating series/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz/ | dãy xen kẽ |
| ratio test/ˈreɪʃɪəʊ test/ | tiêu chuẩn tỷ số |
| converges absolutely/kənˈvɜːdʒɪz ˌæbsəˈluːtli/ | hội tụ tuyệt đối |
| converges conditionally/kənˈvɜːdʒɪz kənˈdɪʃənəli/ | hội tụ điều kiện |
Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-7): Áp dụng giới hạn có thể giúp chúng ta xác định tổng hữu hạn của vô số số hạng.
Mục tiêu học tập LIM-7.A: Xác định liệu một chuỗi hội tụ hay phân kỳ. CHỈ DÀNH CHO BC
Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP
Một chuỗi hình học $\sum ar^{n}$ có một tỉ số $r$ không đổi giữa các số hạng. Nó hội tụ chính xác khi $|r|<1$, và lúc đó
Ví dụ đã giải. Tính tổng $3+\tfrac32+\tfrac34+\tfrac38+\cdots$. Tại đây $a=3$ và $r=\tfrac12$ (với $|r|<1$), nên tổng là $\dfrac{a}{1-r}=\dfrac{3}{1-\tfrac12}=6$.
Một chuỗi hình học $\sum ar^n$ chỉ hội tụ khi $|r|<1$, tổng bằng $\frac{a}{1-r}$. Thay đổi tỉ số và quan sát các tổng riêng phần ổn định hay bùng nổ.
Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-7): Áp dụng giới hạn có thể giúp chúng ta xác định tổng hữu hạn của vô số số hạng.
Mục tiêu học tập LIM-7.A: Xác định liệu một chuỗi hội tụ hay phân kỳ. CHỈ DÀNH CHO BC
Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP
Nếu các số hạng không tiến tới zero, tổng sẽ không hội tụ: nếu $\lim_{n\to\infty}a_n\neq0$, chuỗi phân kỳ. Đây chỉ là tiêu chuẩn kiểm tra sự phân kỳ – nếu các số hạng thực sự tiến tới zero, kết quả của phép thử này không xác định (chuỗi vẫn có thể phân kỳ, ví dụ như chuỗi điều hòa). Luôn kiểm tra phép thử nhanh này trước.
Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-7): Áp dụng giới hạn có thể giúp chúng ta xác định tổng hữu hạn của vô số số hạng.
Mục tiêu học tập LIM-7.A: Xác định liệu một chuỗi hội tụ hay phân kỳ. CHỈ DÀNH CHO BC
Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP
Nếu $a_n=f(n)$ cho một hàm dương, giảm dần và liên tục $f$, thì $\sum a_n$ và $\int_1^\infty f(x)\,dx$ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Tiêu chuẩn integral biến câu hỏi về chuỗi thành câu hỏi về tích phân bất thường, và đó chính là cơ sở để chứng minh quy tắc p-series bên dưới.
Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-7): Áp dụng giới hạn có thể giúp chúng ta xác định tổng hữu hạn của vô số số hạng.
Mục tiêu học tập LIM-7.A: Xác định liệu một chuỗi hội tụ hay phân kỳ. CHỈ DÀNH CHO BC
Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP
Một p-series $\sum \dfrac{1}{n^p}$ hội tụ nếu $p>1$ và phân kỳ nếu $p\le1$. Trường hợp đặc biệt $p=1$, $\sum\dfrac1n$, là chuỗi điều hòa – nó phân kỳ mặc dù các số hạng tiến tới zero (một sự thật nổi tiếng, bắt buộc phải nhớ). Họ p-series là thước đo chuẩn để so sánh với các phép thử khác.
Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-7): Áp dụng giới hạn có thể giúp chúng ta xác định tổng hữu hạn của vô số số hạng.
Mục tiêu học tập LIM-7.A: Xác định liệu một chuỗi hội tụ hay phân kỳ. CHỈ DÀNH CHO BC
Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP
So sánh một chuỗi chưa quen thuộc với một chuỗi đã biết (p-series hoặc chuỗi hình học):
Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-7): Áp dụng giới hạn có thể giúp chúng ta xác định tổng hữu hạn của vô số số hạng.
Mục tiêu học tập LIM-7.A: Xác định liệu một chuỗi hội tụ hay phân kỳ. CHỈ DÀNH CHO BC
Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP
Một dãy xen dấu có các số hạng đổi dấu, $\sum(-1)^n b_n$. Nó hội tụ nếu các $b_n$ là dương, giảm dần, và $\lim b_n=0$. Điều này cho phép các chuỗi như $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$ hội tụ ngay cả khi các số hạng tương tự không có dấu (chuỗi điều hòa) lại phân kỳ.
Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-7): Áp dụng giới hạn có thể giúp chúng ta xác định tổng hữu hạn của vô số số hạng.
Mục tiêu học tập LIM-7.A: Xác định liệu một chuỗi hội tụ hay phân kỳ. CHỈ DÀNH CHO BC
Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP
Tiêu chuẩn tỷ số xem xét $L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$:
Nó là phép thử ưu tiên cho các chuỗi có factorial hoặc $n$ lũy thừa, và chính là cách bạn tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.
Ví dụ mẫu. Test $\displaystyle\sum \frac{n}{2^n}$. Tỷ số là $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\dfrac{2^n}{n}=\dfrac{n+1}{2n}\to\dfrac12<1$, vì vậy chuỗi hội tụ.
Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-7): Áp dụng giới hạn có thể giúp chúng ta xác định tổng hữu hạn của vô số số hạng.
Mục tiêu học tập LIM-7.A: Xác định liệu một chuỗi hội tụ hay phân kỳ. CHỈ DÀNH CHO BC
Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP
Một chuỗi hội tụ tuyệt đối nếu $\sum|a_n|$ hội tụ. Nó hội tụ điều kiện nếu $\sum a_n$ hội tụ nhưng $\sum|a_n|$ phân kỳ (ví dụ điển hình là $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$). Hội tụ tuyệt đối là tính chất mạnh hơn; hội tụ điều kiện phụ thuộc vào sự triệt tiêu dấu.
Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-7): Áp dụng giới hạn có thể giúp chúng ta xác định tổng hữu hạn của vô số số hạng.
Mục tiêu học tập LIM-7.B: xấp xỉ tổng của một chuỗi. CHỈ DÀNH CHO BC
Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP
Đối với một dãy xen dấu hội tụ, sai số khi dừng lại ở tổng riêng thứ $N$ không lớn hơn số hạng đầu tiên bị bỏ qua:
**Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-8):**Chuỗi lũy thừa cho phép chúng ta biểu diễn các hàm số tương ứng trên một khoảng phù hợp.
Mục tiêu học tập LIM-8.A: Biểu diễn một hàm số tại một điểm dưới dạng đa thức Taylor. CHỈ DÀNH CHO BC
Mục tiêu học tập LIM-8.B: xấp xỉ giá trị hàm số bằng đa thức Taylor. CHỈ DÀNH CHO BC
Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP
Một đa thức Taylor xấp xỉ một hàm số gần tâm $x=a$ bằng cách sử dụng đạo hàm tại điểm đó:
Kỹ năng thi: hãy có khả năng xây dựng một đa thức Taylor từ bảng giá trị đạo hàm và sử dụng nó để ước lượng giá trị hàm số.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | đa thức Taylor |
| Lagrange error bound/ˈlæɡreɪndʒ ˈerə baʊnd/ | Bound sai số Lagrange |
| power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/ | dãy lũy thừa |
| radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | bán kính hội tụ |
| interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | miền hội tụ |
**Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-8):**Chuỗi lũy thừa cho phép chúng ta biểu diễn các hàm số tương ứng trên một khoảng phù hợp.
Mục tiêu học tập LIM-8.C: Xác định bound sai số đi kèm với xấp xỉ đa thức Taylor. CHỈ DÀNH CHO BC
Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP
Bound lỗi Lagrange giới hạn mức độ mà một đa thức Taylor có thể lệch khỏi giá trị thực:
**Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-8):**Chuỗi lũy thừa cho phép chúng ta biểu diễn các hàm số tương ứng trên một khoảng phù hợp.
Mục tiêu học tập LIM-8.D: Xác định bán kính hội tụ và khoảng hội tụ của một chuỗi lũy thừa. CHỈ DÀNH CHO BC
Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP
Một chuỗi lũy thừa $\sum c_n(x-a)^n$ hội tụ cho $x$ trong một bán kính hội tụ $R$ của tâm $a$. Tìm $R$ với tiêu chuẩn tỷ số. Sau đó test hai điểm cuối riêng biệt (tiêu chuẩn tỷ số không xác định ở đó) để đưa ra khoảng hội tụ đầy đủ – bao gồm hoặc loại trừ từng điểm cuối.
Ví dụ minh họa. Tìm bán kính hội tụ của $\displaystyle\sum \frac{x^n}{n}$. Test tỷ lệ cho $\left|\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\dfrac{n}{x^n}\right|=|x|\dfrac{n}{n+1}\to|x|$, điều này xảy ra khi $<1$ $|x|<1$, nên $R=1$. Kiểm tra các đầu mút, $x=-1$ cho chuỗi điều hòa xen dấu hội tụ và $x=1$ cho chuỗi điều hòa phân kỳ, nên khoảng hội tụ là $[-1,1)$.
**Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-8):**Chuỗi lũy thừa cho phép chúng ta biểu diễn các hàm số tương ứng trên một khoảng phù hợp.
Mục tiêu học tập LIM-8.E: Biểu diễn một hàm dưới dạng chuỗi Taylor hoặc chuỗi Maclaurin. CHỈ DÀNH CHO BC
Mục tiêu học tập LIM-8.F: Giải thích chuỗi Taylor và chuỗi Maclaurin. CHỈ DÀNH CHO BC
Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP
Mở rộng đa thức Taylor thành vô hạn số hạng tạo ra một chuỗi Taylor (hoặc Maclaurin). Học thuộc lòng các chuỗi Maclaurin quan trọng:
Ví dụ minh họa. Tìm chuỗi Maclaurin của $e^{x^2}$. Thay $x^2$ vào $x$ trong $e^x=\sum\dfrac{x^n}{n!}$:
y = asin(bx + c) + d
Một chuỗi Taylor xây dựng hàm số từ các đạo hàm của nó tại một điểm; thêm nhiều số hạng sẽ ôm sát đường cong (ở đây $\sin x$) trên một phạm vi rộng hơn.
**Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-8):**Chuỗi lũy thừa cho phép chúng ta biểu diễn các hàm số tương ứng trên một khoảng phù hợp.
Mục tiêu học tập LIM-8.G: Biểu diễn một hàm đã cho dưới dạng chuỗi lũy thừa. CHỈ DÀNH CHO BC
Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP
Vì một chuỗi lũy thừa có thể lấy đạo hàm và tích phân từng số hạng (trong bán kính của nó), bạn có thể xây dựng các chuỗi mới từ các chuỗi đã biết – ví dụ: lấy tích phân chuỗi hình học cho $\dfrac{1}{1-x}$ để có chuỗi của $-\ln(1-x)=\sum_{n\ge 1}\dfrac{x^n}{n}$, hoặc thay $-x^2$ để có chuỗi của $\dfrac{1}{1+x^2}$. Biểu diễn hàm số dưới dạng chuỗi lũy thừa cho phép bạn xấp xỉ các giá trị và tích phân không có nguyên hàm sơ cấp.
Kỹ năng thi: phần tự do trả lời BC series thường yêu cầu bạn suy ra một chuỗi Maclaurin mới từ một chuỗi đã biết, tìm khoảng hội tụ của nó, và sử dụng bound dãy xen dấu hoặc Lagrange để ước lượng sai số – những kỹ năng đỉnh cao của khóa học.
Làm theo từng bước, kèm theo bài tập kiểm tra ngay lập tức.
Đang tải danh sách môn…