เอกสารฉบับนี้ครอบคลุมหัวข้อที่ 3: คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ 3 หัวข้อย่อย 3.1–3.6 สร้างพื้นฐานจากพีชคณิต ลอการิทึม ตรีโกณมิติ การหาอนุพันธ์ อินทิกรัล และวิธีเชิงตัวเลขของ คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ 2 ดังนั้นเอกสารฉบับนี้จึงอธิบายสิ่งที่เป็น ใหม่ ใน Pure 3 และครอบคลุมสามหัวข้อใหญ่ใหม่ ได้แก่ เวกเตอร์ สมการเชิงอนุพันธ์ และจำนวนเชิงซ้อน
คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ 3
Mathematics A-Level · หัวข้อ 3
13:36
คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ 3
เป็นเวลานานหลายศตวรรษ นักคณิตศาสตร์พบทางตัน: รากที่สองของลบหนึ่งคืออะไร? ไม่มีจำนวนธรรมดาใดที่เมื่อยกกำลังสองแล้วจะได้ค่าลบ พวกเขาเรียกว่าสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ และ...
การบรรยายภาษาอังกฤษ · คำบรรยายภาษาอังกฤษ + 中文 ลอยตัวบนภาพ
3.1
พีชคณิต
หลักสูตร
| ผู้เข้าสอบควรสามารถ: | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| • เข้าใจความหมายของ $|x|$, วาดกราฟของ $y = |ax + b|$ และใช้ความสัมพันธ์เช่น $|a| = |b| \iff a^2 = b^2$ และ $|x - a| < b \iff a - b < x < a + b$ ในการแก้สมการและอสมการ | กราฟของ $y = |\text{f}(x)|$ และ $y = \text{f}(|x|)$ สำหรับฟังก์ชันไม่เชิงเส้น $\text{f}$ ไม่ได้รวมอยู่ เช่น $|3x - 2| = |2x + 7|$, $2x + 5 < |x + 1|$. |
| • หาร พหุนาม ที่มีดีกรีไม่เกิน 4 ด้วยพหุนามเชิงเส้นหรือพหุนามกำลังสอง และระบุ ผลหาร และ เศษ (ซึ่งอาจเป็นศูนย์) | |
| • ใช้ ทฤษฎีบทตัวประกอบ และ ทฤษฎีบทเศษเหลือ | เช่น เพื่อหาตัวประกอบและเศษเหลือ แก้สมการพหุนามหรือหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบค่า รวมถึงตัวประกอบในรูปแบบ $(ax + b)$ ซึ่งสัมประสิทธิ์ของ $x$ ไม่เป็นหนึ่ง และการคำนวณเศษเหลือ |
| จำรูปแบบที่เหมาะสมในการเขียนฟังก์ชันตรรกยะในรูป เศษส่วนย่อย และดำเนินการแยกส่วน ในกรณีที่ตัวส่วนไม่ซับซ้อนกว่า – $(ax + b)(cx + d)(ex + f)$ – $(ax + b)(cx + d)^2$ – $(ax + b)(cx^2 + d)$ | ไม่รวมกรณีที่คุณเลขชี้กำลังของตัวเศษมากกว่าตัวส่วน |
| ใช้การกระจายของ $(1 + x)^n$, เมื่อ $n$ เป็นจำนวนตรรกยะ และ $|x| < 1$. | ไม่รวมการหพจน์ทั่วไปในการกระจาย การปรับอนุกรมมาตรฐานเพื่อกระจาย เช่น $(2 - \frac{1}{2}x)^{-1}$ นั้นรวมอยู่ และการหชุดค่าของ $x$使得 expansion มีค่าในกรณีดังกล่าวนี้ก็ตามรวมอยู่ |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
เครื่องมือใหม่สองอย่างเข้าร่วมกับพีชคณิตจาก Pure 2
ส่วนเศษส่วน
เศษส่วนเดียวที่มีตัวส่วนแยกตัวประกอบได้ สามารถแยกออกเป็นผลบวกของเศษส่วนที่ง่ายขึ้น นี่คือสิ่งที่เรียกว่าการเขียนในรูป เศษส่วนย่อย และทำให้ ฟังก์ชันตรรกยะ (เศษส่วนของพหุนาม) ง่ายต่อการอินทิเกรตหรือขยาย matching รูปแบบให้ตรงกับตัวส่วน:
ตรวจสอบก่อนว่าตัวเศษมี ดีกรีต่ำกว่า ตัวส่วนหรือไม่ หากไม่เป็น (“ตัวเศษหนักเกิน”) ให้ หาร พหุนามก่อน: การหารจะได้ ผลหาร บวกกับ เศษเหลือ หารด้วยตัวเดิม และเราแยกเฉพาะเศษส่วนproperที่เหลือเท่านั้น
เศษส่วนเดียวที่มีตัวส่วนแยกตัวประกอบได้ แยกออกเป็นผลบวกของเศษส่วนที่ง่ายขึ้น
$$\frac{1}{(ax+b)(cx+d)} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d}, \qquad \frac{1}{(ax+b)(cx+d)^2} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d} + \frac{C}{(cx+d)^2}.$$
ตัวอย่างมีคำตอบ. เขียน $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย
เขียน $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-2}$, ดังนั้น $x + 4 = A(x-2) + B(x+1)$ แทน $x = 2$: $6 = 3B$, ดังนั้น $B = 2$ แทน $x = -1$: $3 = -3A$, ดังนั้น $A = -1$ ดังนั้น
$$\frac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+1}.$$
การกระจายทวินามสำหรับเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน
การกระจายทวินาม ยังใช้ได้เมื่อเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนหรือติดลบ ตราบใดที่ $|x| < 1$:
$$(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots$$
เช่น $(1 + x)^{1/2} = 1 + \tfrac12 x - \tfrac18 x^2 + \cdots$ สำหรับ $|x| < 1$
สำรวจ
โค้งผกผัน
y = a/(x − b) + c
การแยกเศษส่วนย่อยแยกเศษส่วนยากให้เป็นเศษส่วนย่อยแบบ ผกผัน ที่ง่าย — แต่ละส่วนจะมี เส้นกำกับแนวตั้ง และ เส้นกำกับแนวนอน
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | การแยกเศษส่วนย่อย |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันตรรกยะ |
| quotient/ˈkwəʊʃənt/ | ผลหาร |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | เศษ |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | การขยายทวินาม |
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | การเปลี่ยนแปลงเครื่องหมาย |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | สูตรซ้ำ |
| reciprocals/rɪˈsɪprəklz/ | ส่วนกลับ (reciprocals) |
| secant/ˈsiːkənt/ | เส้นสัมผัส |
| cosecant/ˈkəʊsekənt/ | คอสีกัน |
| cotangent/ˈkəʊtændʒənt/ | โคแทนเจนต์ |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | ลู่เข้า |
| inverse tangent/ɪnˈvɜːs ˈtændʒənt/ | арктангенс |
| Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | การอินทิเกรตด้วยการแทนที่ |
| Integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | การอินทิเกรตด้วยการแทนที่ |
3.2 3.3 3.6
ลอการิทึม ตรีโกณมิติ และวิธีเชิงตัวเลข (จาก Pure 2)
หลักสูตร
| ผู้เข้าสอบควรสามารถ: | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| เข้าใจความสัมพันธ์ระหว่าง ลอการิทึม และ เลขชี้กำลัง และใช้กฎของลอการิทึม (ไม่รวมการเปลี่ยนฐาน) | |
| เข้าใจนิยามและคุณสมบัติของ $e^x$ และ $\ln x$, รวมถึงความสัมพันธ์ שלהกันเป็น ฟังก์ชันนาม역 และกราฟ שלה它们 | รวมถึงความรู้关于กราฟของ $y = e^{kx}$ สำหรับค่าบวกและลบของ $k$ |
| ใช้ลอการิทึมในการแก้สมการและอสมการที่ตัวแปรปรากฏในเลขชี้กำลัง | เช่น $2^x < 5$, $3 \times 2^{3x-1} < 5$, $3^{x+1} = 4^{2x-1}$. |
| ใช้ลอการิทึมเพื่อแปลงความสัมพันธ์ที่กำหนดให้ให้อยู่ในรูปเชิงเส้น และดังนั้นจึงหาค่าคงที่ที่ไม่ทราบค่าได้โดยการพิจารณา ความชัน และ/หรือ จุดตัดแกน | เช่น $y = kx^n$ ให้ $\ln y = \ln k + n \ln x$ ซึ่งเป็นเชิงเส้นใน $\ln x$ และ $\ln y$. $y = k(a^x)$ ให้ $\ln y = \ln k + x \ln a$ ซึ่งเป็นเชิงเส้นใน $x$ และ $\ln y$. |
| ผู้เข้าสอบควรสามารถ: | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| เข้าใจความสัมพันธ์ของฟังก์ชัน เซกแทนต์, โคเซกแทนต์ และ โคแทงเจนต์ กับ cos, sin และ tan และใช้สมบัติและกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหกสำหรับมุมทุกขนาด | |
| ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติเพื่อจัดรูปและหาค่าที่แน่นอนของนิพจน์ รวมถึงในการแก้สมการ และเลือกเอกลักษณ์หรือเอกลักษณ์ที่เหมาะสมกับบริบท โดยแสดงความคุ้นเคยเป็นพิเศษกับการใช้: – $\sec^2 \theta \equiv 1 + \tan^2 \theta$ และ $\cosec^2 \theta \equiv 1 + \cot^2 \theta$ – การกระจายของ $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$ และ $\tan(A \pm B)$ – สูตรสำหรับ $\sin 2A$, $\cos 2A$ และ $\tan 2A$ – การแสดง $a \sin \theta + b \cos \theta$ ในรูป $R \sin(\theta \pm \alpha)$ และ $R \cos(\theta \pm \alpha)$. | เช่น การจัดรูป $\cos(x - 30^\circ) - 3 \sin(x - 60^\circ)$. เช่น การแก้ $\tan \theta + \cot \theta = 4$, $2 \sec^2 \theta - \tan \theta = 5$, $3 \cos \theta + 2 \sin \theta = 1$. |
| ผู้เข้าสอบควรสามารถ: | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| • ประมาณหา ราก ของสมการ bằngวิธีการพิจารณากราฟและ/หรือการตรวจสอบการ เปลี่ยนเครื่องหมาย | เช่น การหาคู่จำนวนเต็มติดกันระหว่างซึ่งรากจะอยู่ |
| • เข้าใจแนวคิดและใช้สัญลักษณ์สำหรับลำดับการประมาณค่าที่ ลู่เข้า สู่รากของสมการ | |
| • เข้าใจว่าสูตรวนซ้ำแบบง่ายที่กำหนดให้ $x_{n+1} = \text{F}(x_n)$ มีความสัมพันธ์กับสมการที่กำลังแก้อย่างไร และใช้การวนซ้ำที่กำหนดให้ หรือการวนซ้ำที่สร้างจากการจัดรูปสมการใหม่ เพื่อกำหนดค่ารากให้มีความแม่นยำตามที่ต้องการ | ไม่มีการทดสอบความรู้เกี่ยวกับเงื่อนไขสำหรับการ ลู่เข้า แต่ต้องเข้าใจว่าการวนซ้ำอาจล้มเหลวในการลู่เข้า |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
หัวข้อย่อย 3.2, 3.3 และ 3.6 คือทักษะที่คุณพบใน Pure 2: กฎลอการิทึมพร้อม $e^x$ และ $\ln x$; เอกลักษณ์ $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ และ $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$, สูตรมุมรวมและมุมสองเท่า, และรูปแบบ $R$ ของ $a\sin\theta + b\cos\theta$; และการแก้สมการเชิงตัวเลขโดยการใช้ การเปลี่ยนสัญญาณ และ สูตรการทำซ้ำ $x_{n+1} = F(x_n)$ ใช้ให้เหมือนเดิม
ฟังก์ชันตรีโกณมิติใหม่สามชนิดคือ ค่าผกผัน ของฟังก์ชันที่คุ้นเคย: เซกेंट $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, โคเซกेंट $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$, และ โคแท젼ต์ $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$ (คำเตือนความจำ:จับคู่ ตัวอักษรที่สาม — sec เข้ากับ cosine) เอกลักษณ์ Pythagorean สองข้อข้างต้นมาจากการหาร $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ ด้วย $\cos^2\theta$ หรือ $\sin^2\theta$ โดยตรง สำหรับวิธีเชิงตัวเลข การทำซ้ำ $x_{n+1}=F(x_n)$ ลู่เข้า ไปยังคำตอบรากเมื่อค่าต่อเนื่องกันเข้าใกล้กันมากขึ้น
สำรวจ
วงกลมหน่วย
(cos θ, sin θ)
สูตร R เขียน a sin θ + b cos θ ในรูปคลื่นเดียว — และทั้งหมดอยู่บนวงกลมนี้
3.4
การหาอนุพันธ์ (Differentiation)
หลักสูตร
| ผู้เข้าสอบควรสามารถ: | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| ใช้ผลต่างของ $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $\tan^{-1} x$ ร่วมกับค่าคงตัวคูณ ผลบวก ผลลบ และฟังก์ชันประกอบ | อนุพันธ์ของ $\sin^{-1} x$ และ $\cos^{-1} x$ ไม่จำเป็น |
| • แยกผลคูณและผลหาร | เช่น $\frac{2x - 4}{3x + 2}$, $x^2 \ln x$, $x e^{1-x^2}$ |
| หาและใช้ผลต่างอันดับหนึ่งของฟังก์ชันที่นิยามโดย พารามิเตอร์ หรือโดย นัย | เช่น $x = t - e^{2t}$, $y = t + e^{2t}$. เช่น $x^2 + y^2 = xy + 7$. รวมถึงการใช้ในโจทย์ที่เกี่ยวข้องกับเส้นสัมผัสและเส้นปกติ |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
วิธีการเหล่านั้นคือของ Pure 2 (กฎคูณ กฎหาร และกฎลูกโซ่连同พารามิเตอร์และเส้นโค้งแบบนัยนิยต) มีอนุพันธ์หนึ่งเพิ่มเข้ามา — อาร์กแทนเจนต์:
$$\frac{d}{dx}\tan^{-1} x = \frac{1}{1 + x^2}.$$
ตัวอย่างมีคำตอบ. หาอนุพันธ์ของ $y = \tan^{-1}(3x)$
ใช้กฎลูกโซ่พร้อมกับผลลัพธ์ข้างต้น: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 + (3x)^2} \times 3 = \dfrac{3}{1 + 9x^2}.$
สำรวจ
ความชันที่จุดหนึ่ง
gradient = dy/dx
ไม่ว่าจะเป็นอนุพันธ์แบบชัดแจ้งหรือไม่ ความชันของ เส้นสัมผัส ก็ยังคงเป็น อนุพันธ์ — เลื่อนจุดเพื่อดูได้
3.5
การหาอินทิกรัล (Integration)
หลักสูตร
| ผู้เข้าสอบควรสามารถ: | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| ขยายแนวคิดเรื่อง 'การหาอนุพันธ์ย้อนกลับ' ให้รวมถึงการหาอินทิกรัลของ $e^{ax + b}$, $\frac{1}{ax + b}$, $\sin(ax + b)$, $\cos(ax + b)$, $\sec^2(ax + b)$ และ $\frac{1}{x^2 + a^2}$ | รวมถึงตัวอย่างเช่น $\frac{1}{2 + 3x^2}$. |
| ใช้ความสัมพันธ์ตรีโกณมิติในการหาอินทิกรัล | เช่น การใช้สูตรมุมสองเท่าในการหาอินทิกรัลของ $\sin^2 x$ หรือ $\cos^2(2x)$. |
| แยกตัวประกอบพหุนามเพื่ออินทิเกรตฟังก์ชันเชิงตรรกยะโดยวิธี แยกเศษส่วนย่อย | ครอบคลุมเฉพาะประเภทของเศษส่วนย่อยตามที่ระบุในหัวข้อ 3.1 ข้างต้น |
| จำแนกฟังก์ชันที่อินทิเกรตที่มีรูปแบบ $\frac{k f'(x)}{f(x)}$ และอินทิเกรตฟังก์ชันดังกล่าวได้ | เช่น การอินทิเกรต $\frac{x}{x^2 + 1}$, $\tan x$ |
| จำแนกเมื่อฟังก์ชันที่อินทิเกรตสามารถพิจารณาเป็นผลคูณได้อย่างเหมาะสม และใช้ การอินทิเกรตด้วยส่วนประกอบ | เช่น การอินทิเกรต $x \sin 2x$, $x^2 e^{-x}$, $\ln x$, $x \tan^{-1} x$ |
| ใช้การแทนค่าที่กำหนดให้เพื่อลดรูปและหาค่าของอินทิกรัลจำกัดหรือไม่จำกัด | เช่น เพื่ออินทิเกรต $\sin^2 2x \cos x$ โดยใช้การแทนค่า $u = \sin x$ |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
Pure 3 เพิ่มวิธีการทรงพลังหลายอย่าง
- อินทิกรัลมาตรฐานใหม่: $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$
- เศษส่วนย่อย: แยกฟังก์ชันตรรกยะก่อน แล้วอินทิเกรตแต่ละส่วนเป็นลอการิทึม
- รูปแบบ $\dfrac{k\,f'(x)}{f(x)}$: นี้อินทิเกรตได้เป็น $k\ln|f(x)| + C$ ตัวอย่างเช่น $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + C$
- การอินทิเกรตด้วยการแทนที่, ใช้สำหรับผลคูณ: $\displaystyle\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = uv - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx$
- การอินทิเกรตด้วยการแทนแปร: การเปลี่ยนตัวแปรที่กำหนดให้แปลงอินทิกรัลที่ยากให้เป็นอินทิกรัลที่ง่าย
ตัวอย่างมีคำตอบ. หา $\displaystyle\int x\cos x\,dx$.
ใช้การอินทิเกรตด้วยการแทนที่ด้วย $u = x$ และ $\dfrac{dv}{dx} = \cos x$, ดังนั้น $\dfrac{du}{dx} = 1$ และ $v = \sin x$:
$$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C.$$
สำรวจ
พื้นที่ใต้กราฟ
area = ∫ f(x) dx
วิธีการอินทิเกรตทั้งหมดวัด พื้นที่ นี้ — ลากขอบเขตเพื่อรวมค่าทั้งหมด
3.7
เวกเตอร์
หลักสูตร
| ผู้เข้าสอบควรสามารถ: | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| • ใช้สัญลักษณ์มาตรฐานสำหรับ เวกเตอร์ คือ $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$, $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, $x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, $\overrightarrow{AB}$, $\mathbf{a}$ | |
| • ทำการบวก ลบเวกเตอร์ และคูณเวกเตอร์กับ สเกลาร์ พร้อมตีความการดำเนินการเหล่านี้ในทางเรขาคณิต | เช่น ‘$OABC$ เป็นสี่เหลี่ยมขนาน’ เทียบเท่ากับ $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}$ ไม่ครอบคลุมรูปแบบทั่วไปของ ทฤษฎีบทอัตราส่วน แต่ต้องเข้าใจว่าจุดกึ่งกลางของ $AB$ มีเวกเตอร์ตำแหน่งคือ $\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$ |
| • คำนวณ ขนาด ของเวกเตอร์ และใช้ เวกเตอร์หนึ่งหน่วย, เวกเตอร์การกระจัด และ เวกเตอร์ตำแหน่ง | ใน 2 มิติหรือ 3 มิติ |
| • เข้าใจความหมายของสัญลักษณ์ทั้งหมดที่ใช้เมื่อเขียนสมการเส้นตรงในรูปแบบ $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$ และหาสมการเส้นตรงได้เมื่อมีข้อมูลเพียงพอ | เช่น การหาสมการเส้นตรงจากเวกเตอร์ตำแหน่งของจุดบนเส้นและเวกเตอร์ทิศทาง หรือเวกเตอร์ตำแหน่งของจุดสองจุดบนเส้น |
| • กำหนดว่าเส้นตรงสองเส้น ขนานกัน, ตัดกัน หรือเป็น เส้นคด (skew) และหาจุดตัดของเส้นตรงทั้งสองเมื่อมีอยู่ | ไม่ต้องคำนวณระยะทางสั้นที่สุดระหว่างเส้นคด และไม่ต้องหาสมการของเส้นตั้งฉากร่วมของเส้นคด |
| • ใช้สูตรในการคำนวณ ผลคูณสเกลาร์ ของเวกเตอร์สองตัว และใช้ผลคูณสเกลาร์ในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับเส้นตรงและจุด | เช่น การหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น และการหาจุดตัดจากจุดหนึ่งลงบนเส้นตรง; คำถามอาจเกี่ยวข้องกับวัตถุ 3D เช่น กล่องสี่เหลี่ยมลูกบาศก์, Tetrahedra (รูปทรงกรวย), ฯลฯ ความรู้เรื่อง ผลคูณเวกเตอร์ ไม่จำเป็น |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
เวกเตอร์ มีทั้งขนาดและทิศทาง เขียนเป็นคอลัมน์, หรือ $x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, หรือ $\overrightarrow{AB}$
- ขนาด (ความยาว) ของ $\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ คือ $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
- เวกเตอร์หน่วย มีขนาด $1$; นำเวกเตอร์ไปหารด้วยขนาดของมันเพื่อทำให้เป็นเวกเตอร์หนึ่ง
- เวกเตอร์ตำแหน่ง บอกรูปแบบของจุดจากจุดกำเนิด; เวกเตอร์การกระจัด $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ เชื่อมจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง การคูณด้วย สเกลาร์ (จำนวนธรรมดา) จะทำให้เวกเตอร์ยืดออก
เส้นตรงและผลคูณสเกลาร์
เส้นตรงที่ผ่านจุด $\mathbf{a}$ ในทิศทาง $\mathbf{b}$ มีสมการเวกเตอร์ $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$ สองเส้นอาจ ขนานกัน, ตัดกัน ที่จุดหนึ่ง, หรือเป็น เส้นคละ (ไม่ขนานและไม่พบกันเลย)
ผลคูณสเกลาร์ (ผลคูณจุด) ของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$ คือ
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta,$$
โดยที่ $\theta$ เป็นมุมระหว่างพวกมัน ดังนั้น $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ หมายความว่าเวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกัน
ตัวอย่างวิธีทำ หามุมระหว่าง $\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ และ $\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}$
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = (1)(2) + (2)(2) + (2)(1) = 8, \qquad |\mathbf{a}| = |\mathbf{b}| = 3$$
ดังนั้น $\cos\theta = \dfrac{8}{3\times 3} = \dfrac{8}{9}$, ทำให้ได้ $\theta = 27.3^\circ$
สำรวจ
การบวกเวกเตอร์และผลคูณสเกลาร์
ลากเวกเตอร์สองตัว ดู เวกเตอร์ผลรวม (ปลายติดต้น) และ ผลคูณสเกลาร์ ซึ่งเป็นศูนย์เมื่อตั้งฉากกัน
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| vector/ˈvektə/ | เวกเตอร์ |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | ขนาด |
| unit vector/ˈjuːnɪt ˈvektə/ | เวกเตอร์หน่วย |
| position vector/pəˈzɪʃn ˈvektə/ | เวกเตอร์ตำแหน่ง |
| displacement vector/dɪˈspleɪsmənt ˈvektə/ | เวกเตอร์การกระจัด |
| scalar/ˈskeɪlə/ | สเกลาร์ |
| parallel/ˈpærəlel/ | 并联电路中 |
| intersect/ˌɪntəˈsekt/ | ตัดกัน |
| skew lines/skjuː laɪnz/ | เส้นตรงไม่ตัดกัน |
| scalar product/ˈskeɪlə ˈprɒdʌkt/ | ผลคูณสเกลาร์ |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | สมการเชิงอนุพันธ์ |
| separable/ˈsepərəbl/ | แยกตัวแปรได้ |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | คำตอบทั่วไป |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | เงื่อนไขเริ่มต้น |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | คำตอบเฉพาะ |
| complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə/ | จำนวนเชิงซ้อน |
| real part/rɪəl pɑːt/ | ส่วนจริง |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | ส่วนจินตภาพ |
| Cartesian form/kɑːˈtiːzɪən fɔːm/ | รูปแบบคาร์ทีเซียน |
| conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | คอนจูเกต |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | โมดูลัส |
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | argument |
3.8
สมการเชิงอนุพันธ์ (Differential equations)
หลักสูตร
| ผู้เข้าสอบควรสามารถ: | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| จัดรูปประโยคอย่างง่ายที่เกี่ยวข้องกับ อัตราการเปลี่ยนแปลง ให้เป็น สมการเชิงอนุพันธ์ | รวมถึงการแนะนำและหาค่าคงที่สัมประสิทธิ์เมื่อจำเป็น |
| หาคำตอบทั่วไปของ สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ที่มีตัวแปร แยกตัว ได้通过对การอินทิเกรต | รวมถึงเทคนิคการอินทิเกรตใดๆ จากหัวข้อ 3.5 ข้างต้น |
| ใช้ เงื่อนไขเริ่มต้น เพื่อหา คำตอบเฉพาะ | |
| ตีความคำตอบของ สมการเชิงอนุพันธ์ ในบริบทของปัญหาที่ถูกจำลองด้วยสมการนั้น | เมื่อใช้สมการเชิงอนุพันธ์เพื่อจำลองสถานการณ์จริง จะไม่ต้องการความรู้พิเศษเกี่ยวกับบริบทนั้น |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
สมการเชิงอนุพันธ์ เชื่อมโยงปริมาณเข้ากับ อัตราการเปลี่ยนแปลง ของมัน ในการแก้สมการอันดับแรกที่มีตัวแปร แยกได้ ให้จัดทุกพจน์ $y$ ไว้ด้านหนึ่งและทุกพจน์ $x$ ไว้ด้านอื่น จากนั้นอินทิเกรตทั้งสองข้าง นี่คือ คำตอบทั่วไป ซึ่งมีค่าคงตัวอยู่ด้วย เงื่อนไขเริ่มต้น (ค่าที่ทราบแล้ว) จะกำหนดค่าคงตัวและให้ คำตอบเฉพาะ
ตัวอย่างวิธีทำ แก้ $\dfrac{dy}{dx} = xy$, โดยกำหนดให้ $y = 1$ เมื่อ $x = 0$
แยกตัวแปรและอินทิเกรต:
$$\int \frac{1}{y}\,dy = \int x\,dx \;\Rightarrow\; \ln y = \tfrac12 x^2 + c \;\Rightarrow\; y = A e^{x^2/2}$$
ใช้ $y = 1$ ที่ $x = 0$ จะได้ $A = 1$, ดังนั้น $y = e^{x^2/2}$
สำรวจ
สนามความชัน
เส้นเล็กๆ แต่ละเส้นแสดงความชัน $\frac{dy}{dx}$ ที่จุดนั้น เส้นโซลูชัน ตามลูกศร — เปลี่ยนจุดเริ่มต้นเพื่อดูเส้นอื่น
3.9
จำนวนเชิงซ้อน (Complex numbers)
หลักสูตร
| ผู้เข้าสอบควรสามารถ: | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| เข้าใจแนวคิดของ จำนวนเชิงซ้อน, จำความหมายของคำศัพท์ ส่วนจริง, ส่วนจินตภาพ, โมดูลัส, อาร์กิวเมนต์, -queryate และใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนเชิงซ้อนสองตัวเท่ากันก็ต่อเมื่อส่วนจริงและส่วนจินตภาพเท่ากัน | ต้องรู้จักสัญลักษณ์ $\text{Re } z$, $\text{Im } z$, $|z|$, $\arg z$, $z^*$ อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนมักจะหมายถึงมุม $\theta$ ที่ satisfy $-\pi < \theta \leqslant \pi$ แต่ในบางกรณีช่วง $0 \leqslant \theta < 2\pi$ อาจสะดวกกว่า คำตอบสามารถใช้ช่วงใดก็ได้เว้นแต่โจทย์จะกำหนดไว้ |
| ทำการบวก ลบ คูณ และหารจำนวนเชิงซ้อนสองตัวที่แสดงอยู่ใน รูปคาร์ทีเซียน $x + \text{i}y$ | สำหรับคำคำนวณที่เกี่ยวข้องกับการคูณหรือหาร ต้องแสดงรายละเอียดขั้นตอนการทำงานอย่างครบถ้วน |
| ใช้ผลลัพธ์ที่ว่า สำหรับสมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง รากที่ไม่ใช่จำนวนจริงจะเกิดเป็น คู่-queryate | เช่น ในการแก้สมการดีกรีสามหรือดีกรีสี่เมื่อทราบรากเชิงซ้อนหนึ่งตัว |
| แทนจำนวนเชิงซ้อนแบบเรขาคณิตโดยใช้อารมณ์ Argand diagram | |
| ทำการคูณและหารจำนวนเชิงซ้อนสองตัวที่แสดงอยู่ใน รูปขั้ว $r(\cos \theta + \text{i}\sin \theta) \equiv r\text{e}^{\text{i}\theta}$ | รวมถึงผลลัพธ์ $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ และ $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$ และผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องสำหรับการหาร |
| หาค่า รากที่สอง ของจำนวนเชิงซ้อน | เช่น รากที่สองของ $5 + 12\text{i}$ ในรูปคาร์ทีเซียนที่แน่นอน ต้องแสดงรายละเอียดขั้นตอนการทำงานอย่างครบถ้วน |
| เข้าใจในเชิงเรขาคณิตของผลคูณ-query ของจำนวนเชิงซ้อน และการบวก ลบ คูณ และหารจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน | |
| แสดงสมการและอสมการอย่างง่ายที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อนโดยใช้ โลคัส ใน แผนภาพอาร์แองด์ | เช่น $|z - a| < k$, $|z - a| = |z - b|$, $\arg(z - a) = \alpha$ |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
*ลวดลายที่คล้ายตัวเองเช่นบร็อกโคลีโรมานเชสเกิดจากการทำฟังก์ชันซ้ำในระนาบเชิงซ้อน
จำนวนเชิงซ้อน มีรูป $z = x + iy$, โดยที่ $i^2 = -1$ ที่นี่ $x$ เป็น ส่วนจริง และ $y$ เป็น ส่วนจินตภาพ รูป $x + iy$ นี้คือ รูปคาร์ทีเซียน จำนวนเชิงซ้อนสองตัวจะเท่ากันก็ต่อเมื่อส่วนจริงเท่ากันและส่วนจินตภาพเท่ากัน
- -queryate ของ $z = x + iy$ คือ $z^* = x - iy$ สำหรับพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จริง รากที่ไม่ใช่จริงจะมาคู่กับ-queryate
- โมดูลัส คือ $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ (ระยะห่างจากจุดกำเนิด) และ อาร์กูเมนต์ คือมุมที่จุดนั้นทำ ซึ่งวัดจากแกนจริงบวก
- คุณสามารถวาด $z$ เป็นจุดบน แผนภาพอาร์แองด์ (ระนาบเชิงซ้อน)
- รูปขั้ว คือ $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$, โดยที่ $r = |z|$ และ $\theta$ เป็นอาร์กูเมนต์ การคูณจะคูณโมดูลัสและบวกอาร์กูเมนต์เข้าด้วยกัน
- โลเคส ของจุดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขบน $z$ จะวาดบนแผนภาพอาร์แองด์ - เช่น $|z - a| = r$ เป็นวงกลม, $|z - a| = |z - b|$ เป็นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก, และ $\arg(z - a) = \theta$ เป็นครึ่งเส้น รากที่สอง ของจำนวนเชิงซ้อนมาจากสมการ $w^2 = z$
ในการหาร ให้คูณทั้งเศษและส่วนด้วย-queryate ของส่วน
ตัวอย่างฝึกหัด. เขียน $\dfrac{3 + i}{1 - i}$ ในรูป $x + iy$.
$$\frac{3 + i}{1 - i} = \frac{(3 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i + i + i^2}{1 + 1} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i$$
สมการหรืออสมการใน $z$ อธิบายถึง โลเคส (เส้นทางหรือพื้นที่) บนแผนภาพอาร์แองด์ ตัวอย่างเช่น $|z - a| = r$ เป็นวงกลมรัศมี $r$ ที่มีศูนย์กลางที่ $a$
สำรวจ
The Argand diagram
ลากจุด จำนวนเชิงซ้อน $a + bi$ เป็นจุดบนระนาบ; โมดูลัส คือระยะจากจุดกำเนิด และ อาร์กิวเมนต์ คือมุม
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| Argand diagram/ˈɑːɡænd ˈdaɪəɡræm/ | แผนภาพอาร์แองด์ |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | รูปแบบขั้ว |
| locus/ˈləʊkəs/ | locus |
3.9
ข้อแนะนำสำหรับการสอบ
- แยกฟังก์ชันตรรกยะออกเป็น เศษส่วนย่อย ก่อนอินทิเกรตหรือขยาย
- เลือก เทคนิคการอินทิเกรต ที่เหมาะสม (แทนที่, ส่วนประกอบ, หรือเศษส่วนย่อย)จากรูปแบบของตัวถูกอินทิเกรต
- ใช้ผลคูณสเกลาร์ (จุด) สำหรับ มุมระหว่างเวกเตอร์ และทดสอบความตั้งฉาก; เขียนเส้นตรงในรูป $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$
- ให้ จำนวนเชิงซ้อน ในรูปแบบที่ขอ (คาร์ทีเซียนหรือโมดูลัส-อาร์กูเมนต์) และแสดงบนแผนภาพอาร์แองด์
บทเรียนเชิงโต้ตอบสำหรับหัวข้อนี้
ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที