จำนวนเชิงซ้อน
| English | ไทย |
|---|---|
| complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə/ | จำนวนเชิงซ้อน |
| real part/rɪəl pɑːt/ | ส่วนจริง |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | ส่วนจินตภาพ |
| conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | คอนจูเกต |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | โมดูลัส |
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | argument |
| Argand diagram/ˈɑːɡænd ˈdaɪəɡræm/ | แผนภาพอาร์แองด์ |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | รูปแบบขั้ว |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | discriminant |
จำนวนที่ไม่เคยมีอยู่จริง
- $\sqrt{-1}$ คืออะไร? มาหลายศตวรรษนักคณิตศาสตร์บอกว่ามันไม่มีอยู่จริง จนกระทั่งพวกเขาค้นพบว่าการ pretending ว่ามันมีอยู่จริง — โดยเรียกมันว่า $i$ — เปิดทางให้หาคำตอบของสมการที่เคยไม่มีคำตอบได้เลย
- จำนวนเชิงซ้อน ขยายเส้นจำนวนให้เป็นระนาบ และมีความจำเป็นต่อวิศวกรรมไฟฟ้า กลศาสตร์ควอนตัม และการประมวลผลสัญญาณ
จำนวนเชิงซ้อน
- จำนวนเชิงซ้อน คือ $z = x + iy$, โดยที่ $i^2 = -1$ — $x$ เป็น ส่วนจริง, $y$ เป็น ส่วนจินตภาพ
- -queryate $z^* = x - iy$. พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงจะมีรากที่ไม่ใช่จำนวนจริงมาคู่กันเป็น-queryate
- modulus $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$; argument คือมุมวัดจากแกนจริงบวก
ตัวอย่างทำพร้อม. $z = 3 + 4i$. Modulus $= \sqrt{9 + 16} = 5$.-queryate $= 3 - 4i$
$i^2 = -1$, ไม่ใช่ $1$. ในการคูณจำนวนเชิงซ้อน จำไว้ว่า $i^2 = -1$. ตัวอย่างเช่น, $(2+i)(3+i) = 6 + 2i + 3i + i^2 = 6 + 5i - 1 = 5 + 5i$
ลวดลายแบบ Self-similar อย่าง Romanesco เกิดจากการทำซ้ำในระนาบเชิงซ้อน
The Argand diagram
z = x + yi
วาดจำนวนเชิงซ้อนในรูปของ จุด: ระยะห่างจาก O คือ โมดูลัส และมุมคือ อาร์กิวเมนต์
โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน 3 + 4i มีค่าเท่าไร?
|z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
The conjugate of z = 5 + 2i is:
-queryate จะเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนจินตภาพ: z* = 5 − 2i
What is the value of i²?
By definition of the imaginary unit, i² = −1.
(2 + i)(3 + i) = a + bi. ค่าของ a (ส่วนจริง) คืออะไร?
(2+i)(3+i) = 6 + 2i + 3i + i² = 6 + 5i − 1 = 5 + 5i ส่วนจริง = 5
แผนภาพ Argant และรูปแบบขั้ว
- แทนค่า $z$ ด้วยจุดบน แผนภาพ Argant (แกนจริงแนวนอน, แกนจินตภาพแนวตั้ง)
บนแผนภาพ Argant, modulus |z| คือระยะห่างจากจุดกำเนิด และ argument คือมุม θ.
- รูปแบบขั้ว: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ — การคูณจะคูณ modulus และบวก argument เข้าด้วยกัน
การหารโดยใช้-queryate
- ในการ หาร ให้คูณทั้งเศษและส่วนด้วย-queryate ของส่วน
- ตัวอย่าง: $\dfrac{3+i}{1-i} = \dfrac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{3+3i+i+i^2}{1+1} = \dfrac{2+4i}{2} = 1 + 2i$
(3+i)/(1−i) = a + bi. ค่าของ b (ส่วนจินตภาพ) คืออะไร?
คูณด้วย (1+i)/(1+i): (3+i)(1+i)/2 = (3+3i+i−1)/2 = (2+4i)/2 = 1+2i ส่วนจินตภาพ = 2
การแก้สมการที่มีรากเชิงซ้อน
- สมการกำลังสองที่มี discriminant เป็นลบจะมีรากเชิงซ้อน: $x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2i$
- พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงจะมีรากที่ไม่ใช่จำนวนจริงมาคู่กันเป็น queryate: ถ้า $a + bi$ เป็นราก那么 $a - bi$ ก็จะเป็นรากเช่นกัน
allow_no_figure: การคำนวณจำนวนเชิงซ้อนและแผนภาพ Argant เป็นแนวคิดทางพีชคณิต/เรขาคณิตที่สื่อผ่านสัญลักษณ์และตัวอย่างทำพร้อมได้อย่างมีประสิทธิภาพ
- นอกจากรูปแบบ Cartesian และขั้วแล้ว ยังต้องหา รากที่สอง ของจำนวนเชิงซ้อนและวาด loci (เช่น $|z-a|=r$)
หากพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงมีรากคือ 2 + 3i มันต้องมีรากอีกตัวคือ 2 − 3i ด้วย
พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงจะมีรากที่ไม่ใช่จำนวนจริงเป็นคู่-queryate เสมอ
คุณเข้าใจแล้ว
- $z = x + iy$, $i^2 = -1$; -query $z^* = x - iy$; โมดูลัส $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$
- วาดบน แผนภาพ Argant; รูปแบบขั้ว $z = re^{i\theta}$
- หาร โดยคูณทั้งเศษและส่วนด้วย-queryate ของส่วน