Integration (Pure 3)
| English | ไทย |
|---|---|
| standard integral/ˈstændəd ˈɪntɪɡrəl/ | อินทิกรัลมาตรฐาน |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | ตัวเศษ |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | ตัวส่วน |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | การแยกเศษส่วนย่อย |
| integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | การอินทิเกรตด้วยการแทนที่ด้วยส่วนประกอบ |
| integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | การอินทิเกรตด้วยการแทนตัวแปร |
| change of variable/tʃeɪndʒ ɒv ˈveərɪəbl/ | การเปลี่ยนตัวแปร |
อินทิกรัลที่ให้มุม
- คุณสามารถอินทิเกรต $\dfrac{1}{x^2+1}$ เพื่อได้ $\tan^{-1}x$ — ฟังก์ชันที่คืนค่ามุม
- ความเชื่อมโยงระหว่างพีชคณิตและเรขาคณิตนี้เป็นหนึ่งในผลลัพธ์ที่สวยงามที่สุดของแคลคูลัส
อินทิกรัลมาตรฐานใหม่
- อินทิกรัลมาตรฐานใหม่: $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$
- รูปแบบ $\dfrac{k\,f'(x)}{f(x)}$ → $k\ln|f(x)| + C$, เช่น $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx = \ln(x^2+1) + C$
ตัวอย่างแบบฝึกหัด. $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + 4}\,dx = \dfrac{1}{2}\tan^{-1}\dfrac{x}{2} + C$ (ในที่นี้ $a = 2$)
สังเกตรูปแบบ. $\displaystyle\int \dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C$. ตัวเศษต้องเป็น (ค่าคูณของ) ความชันของตัวส่วน ถ้าไม่ใช่ คุณต้องใช้วิธีอื่น
The locus |z - a| = r เป็นวงกลมรัศมี r ศูนย์กลางที่ a
พื้นที่ใต้กราฟ
area = ∫ f(x) dx
วิธีการอินทิเกรตทุกแบบวัด พื้นที่ นี้ — ลากขอบเขตเพื่อรวมทั้งหมด
What is ∫ 2x/(x²+1) dx?
ส่วนบนคืออนุพันธ์ของส่วนล่าง (รูปแบบ k f′/f) ดังนั้นอินทิกรัลคือ ln(x²+1) + C
∫ 1/(x²+a²) dx = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C.
นี่คืออินทิกรัล Pure 3 มาตรฐานที่เชื่อมโยงกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันทังเจนต์ 역
∫ 1/(x²+9) dx = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C. ค่า a คืออะไร?
a² = 9, so a = 3.
∫ 1/(x²+1) dx = ln(x²+1) + C.
ตัวเศษไม่ใช่อนุพันธ์ของตัวส่วน อินทิกรัลที่ถูกต้องคือ tan⁻¹x + C
Partial fractions สำหรับอินทิเกรต
- Partial fractions: แยกฟังก์ชัน rationals แล้วอินทิเกรตแต่ละส่วนเป็นลอการิทึม
- ตัวอย่าง: $\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2-1}\,dx = \int\left(\dfrac{1}{2(x-1)} - \dfrac{1}{2(x+1)}\right)dx = \dfrac{1}{2}\ln|x-1| - \dfrac{1}{2}\ln|x+1| + C$
อินทิเกรตด้วยวิธีการแบ่งส่วน
- Integration by parts (สำหรับผลคูณ): $\displaystyle\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = uv - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx$
- เลือก $u$ เป็นส่วนที่จะลดรูปลงเมื่อหาความชัน
The integration-by-parts formula is ∫ u dv =:
Integration by parts: ∫ u dv = uv − ∫ v du.
อินทิเกรตด้วยการแทนตัวแปร
- Integration by substitution: การเปลี่ยนตัวแปรเปลี่ยนอินทิกรัลที่ยากให้ง่ายขึ้น
- ให้ $u = g(x)$, แล้ว $du = g'(x)\,dx$, และเขียนอินทิกรัลใหม่ในเทอมของ $u$
allow_no_figure: เทคนิคการอินทิเกรต (by parts, substitution, partial fractions) — เนื้อหาทางภาพคือการจัดการพีชคณิต ไม่ใช่แผนภูมิ
- การอินทิเกรตคือ การหาความชันย้อนกลับ
ใช้การแทนที่ u = x²+1, จงหา ∫₀² 2x/(x²+1) dx (2 dp)
∫₀² 2x/(x²+1) dx = [ln(x²+1)]₀² = ln 5 − ln 1 = ln 5 ≈ 1.61.
คุณเข้าใจแล้ว
- $\displaystyle\int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac1a\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$; $\displaystyle\int\frac{k f'(x)}{f(x)}dx = k\ln|f(x)| + C$
- by parts: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ (สำหรับผลคูณ)
- by substitution: เปลี่ยนตัวแปรเพื่อลดรูป