เวกเตอร์
| English | ไทย |
|---|---|
| vector/ˈvektə/ | เวกเตอร์ |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | ขนาด |
| unit vector/ˈjuːnɪt ˈvektə/ | เวกเตอร์หน่วย |
| parallel/ˈpærəlel/ | 并联电路中 |
| intersect/ˌɪntəˈsekt/ | ตัดกัน |
| skew/skjuː/ | skew |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | ตั้งฉาก |
| scalar product/ˈskeɪlə ˈprɒdʌkt/ | ผลคูณสเกลาร์ |
การนำทางใน 3 มิติ
- ดาวเทียม GPS ติดตามตำแหน่งของคุณในสามมิติ ยานบินนำทางโดยใช้ heading, pitch และ roll
- Vectors คือคณิตศาสตร์ของความ方向和ขนาดในพื้นที่ — สำคัญต่อฟิสิกส์ วิศวกรรม และคอมพิวเตอร์กราฟิก
Vectors ใน 3 มิติ
- Vector มีขนาดและทิศทาง: $\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$
- Magnitude $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$; unit vector มี magnitude เป็น 1
ตัวอย่างแบบฝึกหัด. $\mathbf{v} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}$. Magnitude $= \sqrt{9 + 16} = 5$. Unit vector $= \dfrac{1}{5}(3\mathbf{i} + 4\mathbf{j})$
แรงเช่นลมและน้ำเป็นเวกเตอร์ มีทั้งขนาดและทิศทาง
ขนาดของเวกเตอร์ i + 2j + 2k คือเท่าใด?
|v| = √(1² + 2² + 2²) = √(1+4+4) = √9 = 3.
สมการ vector ของเส้นตรง
- เส้นตรงผ่านจุด $\mathbf{a}$ ในทิศทาง $\mathbf{b}$: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$
- เส้นตรงอาจ ขนานกัน (ทิศทางเดียวกัน), ตัดกัน (มีจุดร่วมกัน), หรือเป็น skew (ไม่ทั้งสองอย่าง)
เส้นเฉียงไม่ตัดกันและไม่ขนานกัน ใน 3D สองเส้นสามารถหลีกหนีจากกันได้โดยสิ้นเชิง — พวกมันไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกัน สิ่งนี้เกิดขึ้นไม่ได้ใน 2D
The scalar product
a · b = |a||b|cos θ
ผลคูณสเกลาร์ บ่งบอกถึงระดับที่เวกเตอร์สองตัวชี้ไปในทิศทางเดียวกัน — จะมีค่าเป็น ศูนย์ เมื่อมันตั้งฉากกัน
สมการเวกเตอร์ของเส้นตรงที่ผ่านจุด a ในทิศทาง b คือ:
r = a + tb, โดยที่ t เป็นพารามิเตอร์สเกลาร์
ใน 3D เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ตัดกันต้องขนานกันเสมอ
ใน 3D เส้นตรงสามารถเป็น lines skew —既不ขนาน也不ตัดกัน สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ใน 2D
Scalar (dot) product
- ดังนั้น $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ หมายความว่า vectors这两个 ตั้งฉากกัน
- ใช้มันเพื่อหา มุม ระหว่าง vectors สองตัว: $\cos\theta = \dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$
Scalar product ให้มุม: a·b = |a||b|cos θ, ดังนั้น cos θ = (a·b)/(|a||b|).
หาผลคูณสเกลาร์ (i + 2j + 2k)·(2i + 2j + k)
(1)(2) + (2)(2) + (2)(1) = 2 + 4 + 2 = 8.
If a·b = 0, the two vectors are perpendicular.
cos θ = 0 ทำให้ได้ θ = 90°, ดังนั้นผลคูณสเกลาร์เป็นศูนย์หมายถึงเวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกัน
If a·b = 6, |a| = 3, |b| = 4, what is cos θ?
cos θ = (a·b)/(|a||b|) = 6/(3×4) = 6/12 = 0.5.
ตัวอย่างแบบฝึกหัด — มุมระหว่าง vectors
- $\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$, $\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} - 2\mathbf{k}$.
- $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 2 + 2 - 4 = 0$. ดังนั้น $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$ จึงเป็น ตั้งฉากกัน ($\theta = 90^{\circ}$).
allow_no_figure: เวกเตอร์มีธรรมชาติเป็น 3 มิติและยากต่อการแสดงออกอย่างชัดเจนในแผนภาพ 2 มิติแบบนิ่ง — การเขียนสัญลักษณ์ทางพีชคณิตและตัวอย่างการหาคำตอบช่วยสื่อสารแนวคิดได้อย่างมีประสิทธิภาพ.
- ใช้ เวกเตอร์ตำแหน่ง และ เวกเตอร์การกระจัด และ เวกเตอร์หน่วย; ทฤษฎีบทอัตราส่วนแบ่งเส้นตรงตามอัตราส่วนที่กำหนดให้.
คุณเข้าใจแล้ว
- ขนาด $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$; เส้นตรง: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$
- ผลคูณสเกลาร์ $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = |\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta$
- $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ → ตั้งฉากกัน