พีชคณิต (Pure 3)
| English | ไทย |
|---|---|
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | การแยกเศษส่วนย่อย |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันตรรกยะ |
| factorise/ˈfæktəraɪz/ | แยกตัวประกอบ |
| repeated factor/rɪˈpiːtɪd ˈfæktə/ | ตัวประกอบซ้ำ |
| irreducible quadratic/ɪrɪˈdjuːsɪbl kwɒˈdrætɪk/ | พหุนามกำลังสองที่แยกตัวประกอบไม่ได้ |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | การขยายทวินาม |
การแยกส่วนที่ยากต่อการแยก
- คุณไม่สามารถอินทิเกรต $\dfrac{1}{x^2 - 1}$ ได้โดยตรง แต่สามารถแยกออกเป็น $\dfrac{1}{2(x-1)} - \dfrac{1}{2(x+1)}$ และแต่ละส่วนจะเป็นลอการิทึมที่ง่าย
- เศษส่วนย่อย ช่วยแปลงฟังก์ชันตรรกยะที่ซับซ้อนให้เป็นส่วนย่อยที่ง่าย — สำคัญสำหรับการอินทิเกรตและการขยายอนุกรม
เศษส่วนย่อย
- เศษส่วนที่มีตัวส่วนแยกตัวประกอบได้ สามารถแยกเป็นเศษส่วนย่อยที่ง่ายขึ้น:
- ทำให้ ฟังก์ชันตรรกยะ ง่ายต่อการอินทิเกรตหรือขยาย
ตัวอย่างวิธีทำ. $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-2}$. คูณกระจาย: $x+4 = A(x-2) + B(x+1)$. ตั้ง $x = -1$: $3 = -3A \Rightarrow A = -1$. ตั้ง $x = 2$: $6 = 3B \Rightarrow B = 2$. ผลลัพธ์: $\dfrac{2}{x-2} - \dfrac{1}{x+1}$.
ผลคูณสเกลาร์วัดปริมาณของ b ที่ชี้ไปในทิศทางของ a: |b| cos theta
โค้งผกผัน
y = a/(x − b) + c
การแยกเศษส่วนย่อยแยกเศษส่วนยากให้เป็นเศษส่วนย่อยแบบ ผกผัน ที่ง่าย — แต่ละส่วนจะมี เส้นกำกับแนวตั้ง และ เส้นกำกับแนวนอน
เขียน (x+4)/((x+1)(x−2)) = A/(x+1) + B/(x−2), แทนค่า x = 2 เพื่อหาค่า B
ที่ x = 2: 2 + 4 = B(2 + 1), ดังนั้น 6 = 3B, ได้ B = 2
การแยกเศษส่วนย่อยทำให้ฟังก์ชันตรรกยะง่ายต่อการอินทิเกรต
เศษส่วนย่อยแต่ละตัวอินทิเกรตเป็นลอการิทึม ดังนั้นการแยกก่อนจึงทำให้การอินทิเกรตง่ายขึ้น
ตัวประกอบซ้ำและกำลังสองที่แยกตัวประกอบไม่ได้
- ตัวประกอบซ้ำ $(cx+d)^2$: ต้องใช้ $\dfrac{B}{cx+d} + \dfrac{C}{(cx+d)^2}$
- กำลังสองที่แยกตัวประกอบไม่ได้ $(x^2 + a^2)$: ต้องใช้ $\dfrac{Bx + C}{x^2 + a^2}$
อย่าลืมพจน์ของตัวประกอบซ้ำ $\dfrac{1}{x(x+1)^2} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x+1} + \dfrac{C}{(x+1)^2}$. การละเลย $\dfrac{C}{(x+1)^2}$ เป็นข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
ตัวเลขวันหยุด
สำหรับ 1/(x(x+1)²) รูปแบบการแยกเศษส่วนย่อยประกอบด้วย:
ตัวประกอบซ้ำ (x+1)² ต้องมีทั้งพจน์ B/(x+1) และ C/(x+1)²
การขยายทวินามสำหรับเลขชี้กำลังตรรกยะ
- ใช้ได้กับเลขชี้กำลังเศษส่วน/ลบ $n$ เมื่อ $|x| < 1$
- e.g. $(1+x)^{1/2} = 1 + \tfrac12 x - \tfrac18 x^2 + \cdots$
การขยายพจน์สองพจน์ (1+x)ⁿ สำหรับเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนหรือลบ ใช้ได้ก็ต่อเมื่อ:
สำหรับเลขชี้กำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็มบวกอนุกรมจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อ |x| < 1
ในการขยาย (1+x)^(1/2) สัมประสิทธิ์ของ x² คือ n(n-1)/2! เมื่อ n=1/2. หาค่ามัน
(1/2)(1/2 - 1)/2 = (1/2)(-1/2)/2 = -1/8 = -0.125.
ตัวอย่างวิธีทำ — การอินทิเกรตด้วยเศษส่วนย่อย
- $\displaystyle\int \frac{x+4}{(x+1)(x-2)}\,dx = \int\left(\frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+1}\right)dx = 2\ln|x-2| - \ln|x+1| + C$.
allow_no_figure: เทคนิคพีชคณิต (การแยกเศษส่วนย่อย) — เนื้อหาภาพคือกระบวนการจัดการทางพีชคณิตเอง ไม่ใช่แผนภูมิ
- ใช้ ทฤษฎีบทตัวประกอบ และ ทฤษฎีบทเศษเหลือ: การหาร พหุนาม จะได้ผลหารและ เศษเหลือ
∫ 2/(x-2) dx = 2 ln|x-2| + C. ที่ x = 3, ค่าของ 2 ln|x-2| (ทศนิยม 2 ตำแหน่ง) คืออะไร?
2 ln|3-2| = 2 ln(1) = 2 × 0 = 0.
คุณเข้าใจแล้ว
- เศษส่วนย่อย แยกฟังก์ชันตรรกยะเพื่อใช้อินทิเกรตหรือขยาย
- ตรงกับรูปแบบที่ตัวส่วน (ตัวประกอบซ้ำ → เพิ่มพจน์ $\dfrac{C}{(cx+d)^2}$)
- ทวินาม ใช้ได้กับเลขชี้กำลังตรรกยะ $n$ เมื่อ $|x| < 1$