การหาอนุพันธ์ (Pure 3)
| English | ไทย |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | อนุพันธ์เชิงซ้อน (ดีริวทีฟ) |
| inverse tangent/ɪnˈvɜːs ˈtændʒənt/ | арктангенс |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | กฎโซ่ (Chain Rule) |
| parametric/ˌpærəˈmetrɪk/ | พารามิเตอร์ |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | กฎผลคูณ |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | ส่วนกลับ |
| implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | การหาอนุพันธ์แบบซ่อน |
ความชันที่ครบวงจร
- คุณรู้ความชันของ $\sin$, $\cos$, $\tan$, $e^x$ และ $\ln x$ แล้ว Pure 3 เพิ่มอีกหนึ่ง: arctan
- รวมกันแล้ว ความชันมาตรฐานเหล่านี้ทำให้คุณหาความชันขององค์ประกอบใดๆ ของฟังก์ชันพื้นฐานได้
ทบทวนวิธี Pure 2
- วิธีนั้นคือของ Pure 2: กฎผลคูณ product, กฎผลหาร quotient และกฎลูกโซ่ chain连同พารามิเตอร์และ曲线notification
- นี่คือเครื่องมือหลักของการหาความชัน — ฝึกให้精通และคุณสามารถแก้ปัญหาทุกประเภทได้
ตัวอย่างแบบฝึกหัด. $y = x^2 e^{3x}$. กฎผลคูณกับ $u = x^2$, $v = e^{3x}$: $\dfrac{dy}{dx} = 2x \cdot e^{3x} + x^2 \cdot 3e^{3x} = e^{3x}(2x + 3x^2)$.
z บนแผนภาพ Argand: modulus คือระยะทาง, argument คือมุม, conjugate คือการสะท้อน
ความชันที่จุดหนึ่ง
gradient = dy/dx
ไม่ว่าจะเป็นอนุพันธ์แบบชัดแจ้งหรือไม่ ความชันของ เส้นสัมผัส ก็ยังคงเป็น อนุพันธ์ — เลื่อนจุดเพื่อดูได้
การหาอนุพันธ์ของ Pure 3 ยังใช้กฎคูณ กฎหาร และกฎลูกโซ่จาก Pure 2
กฎเหล่านี้ถูกนำไปใช้ต่อ; มีเพียงอนุพันธ์ของ inverse-tangent เท่านั้นที่เป็นใหม่
ถ้า y = x²e^(3x), แล้ว dy/dx = e^(3x)(2x + 3x²). ที่ x = 0, dy/dx = ?
At x = 0: e⁰(0 + 0) = 1 × 0 = 0.
ความชันของ arctan
- ความชันมาตรฐานใหม่หนึ่งตัว:
- มันปรากฏในการอินทิเกรต (ส่วนกลับ) และในโจทย์อัตราการเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้อง
$\tan^{-1}x$ ไม่ใช่ $\dfrac{1}{\tan x}$. สัญลักษณ์ $\tan^{-1}x$ หมายถึง ฟังก์ชันผกผัน (arctan) ไม่ใช่ค่าผกผัน ค่าผกผันคือ $\cot x$
อนุพันธ์ของ tan⁻¹x คือ 1/(1+x²) ค่าของฟังก์ชันนี้ที่ x = 1 มีค่าเท่าไร?
1/(1 + 1²) = 1/2 = 0.5.
อนุพันธ์ของ tan⁻¹x ที่ x = 0 มีค่าเท่าไร?
1/(1 + 0²) = 1/1 = 1.
tan⁻¹x means 1/tan x.
tan⁻¹x เป็นฟังก์ชันผกผัน (arctan) ไม่ใช่ค่า reciprocal ค่า reciprocal คือ cot x
การหาความชันแบบnotification อีกครั้ง
- สำหรับสมการเช่น $x^2 + y^2 = 25$, หาความชันทุกพจน์เทียบกับ $x$
- เมื่อเจอพจน์ $y$, ใช้กฎลูกโซ่: $\dfrac{d}{dx}(y^2) = 2y\dfrac{dy}{dx}$
- จากนั้นแก้สมการเพื่อหาค่า $\dfrac{dy}{dx}$
allow_no_figure: บททบทวนที่รวบรวมวิธีการหาความชัน Pure 2 (product, quotient, chain rules) พร้อมความชันใหม่หนึ่งตัว — ไม่มีการนำเสนอแนวคิดทางภาพใหม่
ตัวอย่างแบบฝึกหัด — การหาความชันแบบnotification
- หา $\dfrac{dy}{dx}$ สำหรับ $x^2 + xy + y^2 = 7$
- หาความชัน: $2x + y + x\dfrac{dy}{dx} + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0$
- รวบรวมพจน์ $\dfrac{dy}{dx}$: $(x + 2y)\dfrac{dy}{dx} = -(2x + y)$
- $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2x + y}{x + 2y}$.
- หาความชันความสัมพันธ์ที่กำหนดโดย notification หรือ parametrically
เมื่อหาอนุพันธ์ของ y² โดยปริยายเทียบกับ x จะได้:
โดยกฎลูกโซ่: d/dx(y²) = 2y · dy/dx
คุณเข้าใจแล้ว
- นำกลับมาใช้ product / quotient / chain rules จาก Pure 2
- ความชันใหม่: $\dfrac{d}{dx}\tan^{-1}x = \dfrac{1}{1 + x^2}$
- ยังจัดการ parametric และ implicit curves ได้เหมือนเดิม