สมการเชิงอนุพันธ์
| English | ไทย |
|---|---|
| decay/dɪˈkeɪ/ | การสลายตัว |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | สมการเชิงอนุพันธ์ |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | อัตราการเปลี่ยนแปลง |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | เงื่อนไขเริ่มต้น |
| separable/ˈsepərəbl/ | แยกตัวแปรได้ |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | ค่าคงที่ของการอินทิเกรต |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | คำตอบเฉพาะ |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | คำตอบทั่วไป |
สมการที่คาดการณ์อนาคต
- ประชากรเติบโตเร็วแค่ไหน? สารกัมมันตรังสีสลายตัวอย่างไรเร็ว? ถ้วยกาแฟเย็นลงอย่างไร?
- คำถามทั้งหมดนำไปสู่ สมการเชิงอนุพันธ์ — ซึ่งเป็นสมการที่เชื่อมโยงปริมาณหนึ่งเข้ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงของมัน การแก้สมการเหล่านี้จะช่วยให้เราคาดการณ์อนาคตได้
สมการเชิงอนุพันธ์คืออะไร?
- สมการเชิงอนุพันธ์ เชื่อมโยงปริมาณหนึ่งเข้ากับ อัตราการเปลี่ยนแปลง ของมัน
- ตัวอย่าง: $\dfrac{dy}{dx} = ky$ บ่งบอกว่าอัตราการเติบโตแปรผันตรงกับค่าปัจจุบัน — ซึ่งเป็นการเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล
ตัวอย่างจากโลกจริง. กฎการเย็นตัวของนิวตัน: $\dfrac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{room}})$. อัตราการเย็นตัวแปรผันกับความแตกต่างของอุณหภูมิระหว่างวัตถุกับสิ่งแวดล้อม
ค่าคงที่สร้างครอบครัวของเส้นโค้ง; เงื่อนไขเริ่มต้นเลือกเส้นโค้งหนึ่ง
The slope field
dy/dx = a y
สมการเชิงอนุพันธ์ให้ ความชัน ที่ทุกจุด — คำตอบ คือเส้นโค้งที่-follow ความชันเหล่านั้นจาก y₀
สมการเชิงอนุพันธ์คือความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณหนึ่งกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของมัน
นี่คือลักษณะที่กำหนด: สมการจะประกอบด้วยทั้ง y และ dy/dx (หรืออนุพันธ์อันดับสูงกว่า)
สมการแยกตัวแปรได้
- สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งแบบ แยกตัวแปรได้: จัดกลุ่มพจน์ $y$ ไว้ด้านหนึ่ง และพจน์ $x$ ไว้อีกด้าน แล้วอินทิเกรตทั้งสองข้าง
- ตัวอย่าง: $\dfrac{dy}{dx} = xy \Rightarrow \dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx \Rightarrow \ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$
อย่าลืมค่าคงที่ของการอินทิเกรต เมื่ออินทิเกรตทั้งสองข้าง ให้เพิ่ม $+C$ เข้าไปทางใดทางหนึ่ง ค่าคงที่นี้จะกำหนดว่าเราจะได้อะไรเป็นคำตอบเฉพาะ
ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งแบบแยกตัวแปร คุณต้องทำ:
Separate the variables, then integrate each side.
คำตอบทั่วไปและคำตอบเฉพาะ
- คำตอบทั่วไป จะมีค่าคงที่อยู่ด้วย (ซึ่งเป็นครอบครัวของเส้นโค้ง)
- เงื่อนไขเริ่มต้น (ค่า Known) จะกำหนดค่าคงที่ → ได้ คำตอบเฉพาะ
An initial condition is used to:
ค่าที่กำหนดให้ช่วยกำหนดค่าคงที่อิสระ เปลี่ยนคำตอบทั่วไปให้เป็นคำตอบเฉพาะ
คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์จะประกอบด้วยค่าคงที่อิสระ
การอินทิเกรตทำให้เกิดค่าคงที่ ดังนั้นคำตอบทั่วไปจึงเป็นครอบครัวของเส้นโค้งทั้งหมด
ตัวอย่างวิธีทำ
- แก้ $\dfrac{dy}{dx} = xy$ โดยให้ $y = 1$ ที่ $x = 0$
- แยกตัวแปร: $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$. อินทิเกรต: $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$
- ใช้ $y(0) = 1$: $\ln 1 = 0 + C \Rightarrow C = 0$
- ดังนั้น $\ln y = \dfrac{x^2}{2} \Rightarrow y = e^{x^2/2}$
allow_no_figure: สมการเชิงอนุพันธ์ถูกแก้โดยใช้วิธีพีชคณิต — กระบวนการแก้สมการ (การแยกตัวแปร, การอินทิเกรต) เป็นเนื้อหาสำคัญ ไม่ใช่แผนภาพ
- แก้ สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง เพื่อสร้างโมเดลสำหรับ อัตราการเปลี่ยนแปลงในชีวิตจริง
แก้สมการ dy/dx = xy โดยที่ y(0) = 1. เมื่อ x = 2, y = e^(x²/2). หา y (2 ทศนิยม)
y = e^(x²/2). At x = 2: y = e² ≈ 7.39.
If ln y = x²/2 + C and y(0) = 1, what is C?
ln 1 = 0 + C, so C = 0.
คุณเข้าใจแล้ว
- แก้สมการแบบ แยกตัวแปรได้ โดยการแยกตัวแปรและอินทิเกรตทั้งสองข้าง
- คำตอบทั่วไป จะมีค่าคงที่; เงื่อนไขเริ่มต้น จะให้ คำตอบเฉพาะ
- สมการเชิงอนุพันธ์เชื่อมโยงปริมาณหนึ่งเข้ากับ อัตราการเปลี่ยนแปลง ของมัน