ลอการิทึม ตรีโกณมิติ และวิธีเชิงตัวเลข (Pure 3)
| English | ไทย |
|---|---|
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | ลอการิทึม |
| exponential equation/ˌekspəˈnenʃl ɪˈkweɪʒn/ | สมการเอ็กซ์โพเนนเชียล |
| decay/dɪˈkeɪ/ | การสลายตัว |
| linearise/ˈlɪnɪəraɪz/ | ทำให้เป็นเชิงเส้น |
| convergence/kənˈvɜːdʒəns/ | การรวมตัว |
สร้างพื้นฐานจากสิ่งที่รู้
- Pure 3 ไม่ได้แนะนำแนวคิดใหม่ทั้งหมด — แต่ลึกซึ้งและขยายทักษะจาก Pure 2
- ลอการิทึม ฟังก์ชันตรีโกณมิติ และวิธีเชิงตัวเลข กลับมาพร้อมปัญหาที่ยากขึ้นและการประยุกต์ใช้ที่หลากหลาย
ทบทวนลอการิทึม
- กฎลอการิทึมเกี่ยวกับ $e^x$ และ $\ln x$ กลับมาในบริบทที่ซับซ้อนกว่า: การแก้สมการเอ็กซ์โพเนนเชียล การสร้างแบบจำลองการเติบโตและการสลายตัว และการทำให้ข้อมูลเป็นเชิงเส้น
- ทักษะสำคัญ: เมื่อตัวแปรอยู่ในเลขชี้กำลัง ให้เอาลอการิทึมทั้งสองข้าง
ตัวอย่างวิธีทำ. แก้ $5e^{2x} = 30$. หาร: $e^{2x} = 6$.取 $\ln$: $2x = \ln 6$, ดังนั้น $x = \dfrac{\ln 6}{2} \approx 0.896$
เส้นตรง r = a + t b: เริ่มที่ a แล้วเลื่อนไป t เท่าของทิศทาง b
ln(e³) มีค่าเท่าไร?
ln และ e เป็นฟังก์ชันผกผันกัน ดังนั้น ln(e³) = 3
แก้สมการ 5e^(2x) = 30 เพื่อหาค่า x (ทศนิยม 2 ตำแหน่ง)
e^(2x) = 6, ดังนั้น 2x = ln 6, x = (ln 6)/2 ≈ 0.896 ≈ 0.90.
ทบทวนตรีโกณมิติ
- $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$, $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$.
- สูตรมุมรวมและมุมคู่ รวมถึง $R$-รูปของ $a\sin\theta + b\cos\theta$
- อสมการเหล่านี้มีความสำคัญต่อการหาอินทิกรัลและแก้สมการตรีโกณมิติ
อย่าสับสนกับ identity $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ (เครื่องหมายบวก) ไม่ใช่ $1 - \tan^2\theta$. เครื่องหมายมาจาก $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ หารด้วย $\cos^2\theta$
วงกลมหน่วย
(cos θ, sin θ)
สูตร R เขียน a sin θ + b cos θ ในรูปคลื่นเดียว — และทั้งหมดอยู่บนวงกลมนี้
ใช้ sec²θ ≡ 1 + tan²θ, ถ้า tan θ = 3 แล้ว sec²θ มีค่าเท่าไร?
sec²θ = 1 + 3² = 1 + 9 = 10.
sec²θ ≡ 1 − tan²θ.
เอกลักษณ์ที่ถูกต้องคือ sec²θ ≡ 1 + tan²θ (เป็นบวก ไม่ใช่ลบ)
ทบทวนวิธีเชิงตัวเลข
- การเปลี่ยนเครื่องหมาย เพื่อกักขังราก แล้วใช้ สูตรการทำซ้ำ $x_{n+1} = F(x_n)$
- การลู่เข้าต้องให้ $|F'(x)| < 1$ อยู่ใกล้ราก
allow_no_figure: บทเรียนทบทวนที่รวมทักษะ Pure 2 (ลอการิทึม ตรีโกณมิติ วิธีเชิงตัวเลข) — ไม่มีการนำเสนอแนวคิดภาพใหม่
รากเชิงตัวเลขหาได้จากการเปลี่ยนเครื่องหมาย แล้วนำไปใช้ซ้ำด้วย:
การทำซ้ำนำ x_{n+1} = F(x_n) มาใช้จนกว่าค่าจะลู่เข้าสู่ราก
ตัวอย่างวิธีทำ — การใช้ R-formula
- แสดง $3\sin\theta + 4\cos\theta$ ในรูป $R\sin(\theta + \alpha)$
- $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. $\tan\alpha = \dfrac{4}{3} \Rightarrow \alpha \approx 53.1^{\circ}$.
- ดังนั้น $3\sin\theta + 4\cos\theta = 5\sin(\theta + 53.1^{\circ})$
- ค่าสูงสุดคือ $5$ (เมื่อ $\sin(\theta + 53.1^{\circ}) = 1$)
- การพล็อต $\ln y$ เทียบกับ $x$ จะได้เส้นตรงwhose ความชัน และ จุดตัดแกน ช่วยหาค่าคงที่ (โดยใช้ เลขชี้กำลัง และ ฟังก์ชันผกผัน); ต้องรู้จักฟังก์ชันตรีโกณมิติ역คือ เซคานต์, โคเซคานต์, โคแท젱นท์; และการทำซ้ำ $x_{n+1}=F(x_n)$ แสดงถึง การลู่เข้า สู่รากของสมการ
สำหรับสมการ 3 sin θ + 4 cos θ = R sin(θ + α) ค่าของ R คืออะไร?
R = √(3² + 4²) = √25 = 5.
คุณเข้าใจแล้ว
- 3.2 ลอการิทึม, 3.3 อัตลักษณ์ตรีโกณ/สูตรมุม, 3.6 วิธีคำนวณเชิงตัวเลข = ทักษะ Pure 2
- ใช้ $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ และ R-formula เหมือนเดิม
- หากา都是由โดย การเปลี่ยนสัญญาณ แล้วใช้ การทำซ้ำ $x_{n+1} = F(x_n)$