เอกสารฉบับนี้ครอบคลุมหัวข้อที่ 3: กลศาสตร์ขั้นสูง ซึ่งขยายเนื้อหากลศาสตร์ไปยังวัตถุโปรเจกไทล์ วัตถุแข็งเกร็ง การเคลื่อนที่วงกลม สายยางยืด แรงแปรผัน และการชนกัน เลือก $g = 10\ \text{m s}^{-2}$
กลศาสตร์เพิ่มเติม
Further Mathematics A-Level · หัวข้อ 3
8:04
กลศาสตร์เพิ่มเติม
โยนลูกบอล ยิงน้ำ喷射 หรือปล่อยอะไรบางอย่างขึ้นฟ้า — และมันจะวาดเส้นโค้งเดียวกันที่สวยงาม: พาราโบลา ความลับคือการแยกการเคลื่อนที่ออกเป็นสอง…
การบรรยายภาษาอังกฤษ · คำบรรยายภาษาอังกฤษ + 中文 ลอยตัวบนภาพ
3.1
การเคลื่อนที่ของวัตถุโปรเจกไทล์
หลักสูตร
| ผู้เข้าสอบควรสามารถ: | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 📐 สร้างแบบจำลองการเคลื่อนที่ของ วัตถุถูกยิง ว่าเป็นอนุภาคที่เคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่ และเข้าใจข้อจำกัดของแบบจำลอง | ไม่จำเป็นต้องใช้วิธีการเวกเตอร์ |
| 📐 ใช้สมการการเคลื่อนที่แนวนอนและแนวตั้งเพื่อแก้ปัญหาเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของวัตถุถูกยิง, รวมถึงการหาขนาดและทิศทางของความเร็ว ณ เวลาหรือตำแหน่งที่กำหนด, ระยะทางบนระนาบแนวนอน และความสูงสูงสุดที่ถึงได้ | |
| • หาและใช้ สมการคาร์ทีเซียน ของเส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุที่กระโดดขึ้นในอากาศ รวมถึงปัญหาที่มีความเร็วเริ่มต้นและ/หรือมุมในการยิงไม่ทราบค่า | ไม่รวมถึงความรู้เกี่ยวกับ 'พาราโบลาจำกัด' สำหรับจุดที่เข้าถึงได้ |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
วัตถุ โปรเจกไทล์ เคลื่อนที่อย่างอิสระภายใต้แรงโน้มถ่วง จึงมี ความเร่งคงที่ $g$ ชี้ลงด้านล่างและไม่มีความเร่งแนวนอน พิจารณาการเคลื่อนที่แนวนอนและแนวตั้งแยกจากกัน หากมันถูกยิงด้วยความเร็ว $u$ ที่มุม $\alpha$:
$$\text{horizontal: } x = u\cos\alpha\,\cdot t, \qquad \text{vertical: } y = u\sin\alpha\,\cdot t - \tfrac12 g t^2.$$
การกำจัด $t$ จะได้ สมการคาร์ทีเซียน ของ เส้นทาง (trajectory) ซึ่งเป็นพาราโบลา สำหรับความเร็วในการยิงคงที่ เส้นทางทั้งหมดจะอยู่ใต้ พาราโบลาค่าจำกัด (bounding parabola; envelope of reachable points) ระยะทางบนพื้นราบคือ $\dfrac{u^2\sin 2\alpha}{g}$ และความสูงสูงสุดคือ $\dfrac{u^2\sin^2\alpha}{2g}$
ตัวอย่างวิธีทำ. ขวดยิงด้วยความเร็ว $u = 20\ \text{m s}^{-1}$ ที่มุม $30^\circ$ เทียบกับแนวนอน หาระยะทางและความสูงสูงสุด
$$\text{range} = \frac{20^2\sin 60^\circ}{10} = 40\times 0.866 = 34.6\ \text{m}, \qquad \text{height} = \frac{20^2\sin^2 30^\circ}{2\times 10} = \frac{400\times 0.25}{20} = 5\ \text{m}.$$
สำรวจ
ยิงวัตถุ
ยิงลูกบอล แล้วเปลี่ยนมุมและความเร็ว การเคลื่อนที่แนวนอนมีความคงที่ขณะที่แรงโน้มถ่วงดึงลง — ทั้งสองรวมกันสร้างเส้นโค้งพาราโบลา หามุมที่ให้ระยะทางไกลที่สุด และลองทำบนดวงจันทร์
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| Further Mechanics/ˈfɜːðə mɪˈkænɪks/ | กลศาสตร์เพิ่มเติม |
| projectile/prəˈdʒektaɪl/ | วัตถุถูกยิง |
| constant acceleration/ˈkɒnstənt əkˌseləˈreɪʃn/ | ความเร่งคงที่ |
| Cartesian equation/kɑːˈtiːzɪən ɪˈkweɪʒn/ | สมการคาร์ทีเซียน |
| trajectory/trəˈdʒektəri/ | เส้นทาง |
| bounding parabola/ˈbaʊndɪŋ pəˈræbələ/ | พาราโบลาขอบเขต |
3.2
สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง
หลักสูตร
| ผู้เข้าสอบควรสามารถ: | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| • คำนวณ โมเมนต์ ของแรงรอบจุดหนึ่ง | สำหรับข้อสอบที่เกี่ยวข้องกับ แรงระนาบ เท่านั้น; ความเข้าใจในลักษณะเวกเตอร์ของโมเมนต์ไม่จำเป็น |
| • ใช้ผลลัพธ์ที่ว่าผลของแรงโน้มถ่วงต่อ ร่างกายแข็ง มีผลเทียบเท่าแรงเดียวกระทำที่ จุดศูนย์กลางมวล ของร่างกาย และระบุตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายสม่ำเสมอโดยใช้หลักการสมมาตร | |
| • ใช้ข้อมูลที่กำหนดให้เกี่ยวกับตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลของแผ่นบางรูปสามเหลี่ยมและรูปร่างเรียบง่ายอื่นๆ | การพิสูจน์ผลลัพธ์ที่ระบุไว้ในรายการสูตร MF19 ไม่จำเป็น |
| • กำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลของ ร่างกายประกอบ โดยพิจารณาจากระบบอนุภาคที่เทียบเท่า | กรณีง่ายเท่านั้น เช่น แผ่นบางรูปตัว L สม่ำเสมอ หรือกรวยสม่ำเสมอเชื่อมฐานกับครึ่งทรงกลมสม่ำเสมอที่มีรัศมีเท่ากัน |
| • ใช้หลักการที่ว่าถ้าร่างกายแข็งอยู่ใน สมดุล ภายใต้การกระทำของแรงระนาบ แล้วผลรวมของแรงเป็นศูนย์และผลรวมของโมเมนต์ของแรงรอบจุดใดๆ เป็นศูนย์ และกลับด้านของสิ่งนี้ | |
| • แก้ปัญหา涉及到การสมดุลของร่างกายแข็งภายใต้การกระทำของแรงระนาบ بماที่涉及到 การล้ม หรือ การลื่นไถล |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
โมเมนต์ ของแรงรอบจุดหนึ่งคือ แรง $\times$ คูยะ距ตั้งฉาก; เป็นตัววัดผลหมุน น้ำหนักของวัตถุกระทำที่ ศูนย์มวล ซึ่งคุณสามารถหาได้โดยใช้ ความสมมาตร สำหรับรูปร่างแบนเรียบสม่ำเสมอ (แผ่นบาง; lamina), หรือโดยการพิจารณาวัตถุผสมเป็นกลุ่มของอนุภาค
วัตถุแข็งเกร็งที่อยู่ภายใต้ แรงระนาบ อยู่ในสภาวะ สมดุล เมื่อเงื่อนไขทั้งสองนี้เป็นจริง: ผลรวมเวกเตอร์ของแรงเป็นศูนย์ และผลรวมโมเมนต์รอบจุดใด ๆ เป็นศูนย์ วัตถุนั้นอาจอยู่ในสภาวะใกล้จะ คว่ำ (toppling) หรือ ลื่นไถล (sliding)
ตัวอย่างวิธีทำ. คานสม่ำเสมอ $AB$ ยาว $4\ \text{m}$ และมีน้ำหนัก $100\ \text{N}$ วางอยู่บนจุดหมุนที่ $A$. แรงตั้งฉาก $F$ ที่ $B$ ทำให้คานอยู่ในแนวนอน หา $F$
คำนวณโมเมนต์รอบ $A$ (น้ำหนักกระทำที่ศูนย์กลาง, $2\ \text{m}$ จาก $A$):
$$F\times 4 = 100\times 2 \;\Rightarrow\; F = 50\ \text{N}.$$
สำรวจ
สมดุลของแรง
ผลรวม = 0
วัตถุอยู่ใน สมดุล เมื่อผลรวมของแรง ปลายต่อหัว กลับไปเป็นศูนย์
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| moment/ˈməʊmənt/ | ปัจจุบัน |
| centre of mass/ˈsentə ɒv mæs/ | ศูนย์กลางมวล |
| symmetry/ˈsɪmətri/ | symmetry |
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | จุดดุลยภาพ |
| toppling/ˈtɒplɪŋ/ | การล้มลง |
| sliding/ˈslaɪdɪŋ/ | การเลื่อน |
| angular speed/ˈæŋɡjʊlə spiːd/ | ความเร็วเชิงมุม |
| centripetal acceleration/senˈtrɪpɪtl əkˌseləˈreɪʃn/ | ความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลาง |
| horizontal circle/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈsɜːkl/ | วงกลมแนวนอน |
| vertical circle/ˈvɜːtɪkl ˈsɜːkl/ | วงกลมแนวตั้ง |
| Hooke's law/hʊks lɔː/ | กฎของฮুক |
| modulus of elasticity/ˈmɒdjʊləs ɒv ɪlæˈstɪsɪti/ | โมดูลัสของความยืดหยุ่น |
| elastic potential energy/ɪˈlæstɪk pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | พลังงานศักย์ยืดหยุ่น |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | สมการเชิงอนุพันธ์ |
| lamina/ˈlæmɪnə/ | แผ่นบาง |
| coplanar forces/ˌkəʊˈpleɪnə ˈfɔːsɪz/ | แรงระนาบ |
3.3
การเคลื่อนที่วงกลม
หลักสูตร
| ผู้เข้าสอบควรสามารถ: | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| เข้าใจแนวคิดของ ความเร็วเชิงมุม สำหรับอนุภาคที่เคลื่อนที่ในวงกลม และใช้ความสัมพันธ์ $v = r\omega$ | |
| เข้าใจว่า ความเร่ง ของอนุภาคที่เคลื่อนที่ในวงกลมด้วยความเร็วคงที่จะชี้เข้าหาจุดศูนย์กลางของวงกลม และใช้สูตร $r\omega^2$ และ $\frac{v^2}{r}$ | ไม่จำเป็นต้องพิสูจน์สูตรความเร่ง |
| แก้ปัญหาที่สามารถจำลองด้วยการเคลื่อนที่ของอนุภาคในวงกลมแนวนอนด้วยความเร็วคงที่ | |
| แก้ปัญหาที่สามารถจำลองด้วยการเคลื่อนที่ของอนุภาคในวงกลมแนวตั้งโดยไม่สูญเสียพลังงาน | รวมถึงการหา แรงสัมผัสปกติ หรือ แรงตึง ในเชือก การหาจุดที่แรงเหล่านี้เป็นศูนย์ และเงื่อนไขสำหรับการเคลื่อนที่วงกลมเต็มวง |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
สำหรับอนุภาคที่เคลื่อนที่ในวงกลมรัศมี $r$, ความเร็วเชิงมุม $\omega$ เชื่อมโยงกับความเร็วด้วย $v = r\omega$. ความเร่งชี้เข้าหาจุดศูนย์กลาง —即 ความเร่งสู่ศูนย์กลาง — ซึ่งมีขนาด
$$a = r\omega^2 = \frac{v^2}{r}.$$
ใน วงกลมแนวนอน ความเร็วคงที่ — какใน ลูกตุ้มนูน (conical pendulum; มวลแขวนบนเชือก) ใน วงกลมแนวตั้ง ใช้กฎอนุรักษ์พลังงาน เพราะความเร็วเปลี่ยนตามความสูง; แรงสัมผัสปกติ หรือแรงตึงเชือกทำหน้าที่เป็นแรงสู่ศูนย์กลาง
ตัวอย่างวิธีทำ. อนุภาคเคลื่อนที่ในวงกลมแนวนอนรัศมี $2\ \text{m}$ ด้วยความเร็วเชิงมุม $3\ \text{rad s}^{-1}$. หาความเร็วและความเร่งของมัน
$$v = r\omega = 2\times 3 = 6\ \text{m s}^{-1}, \qquad a = r\omega^2 = 2\times 3^2 = 18\ \text{m s}^{-2}.$$
สำรวจ
มุมในหน่วยเรเดียน
การเคลื่อนที่วงกลมวัดด้วยเรเดียน: ลากมุม θ และรัศมี r เพื่อดูส่วนโค้งที่กวาดผ่าน — ความเร็วเชิงมุม ω เปลี่ยนสิ่งนี้ให้เป็น v = rω
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| conical pendulum/ˈkɒnɪkl ˈpendjʊləm/ | ลูกตุ้มนาฬิกาขี้ผึ้ง |
| normal contact force/ˈnɔːml ˈkɒntækt fɔːs/ | แรงสัมผัสปกติ |
| oblique impact/əˈbliːk ˈɪmpækt/ | การชนเฉียง |
3.4
กฎของฮุก
หลักสูตร
| ผู้เข้าสอบควรสามารถ: | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| ใช้ กฎของฮุค เป็นแบบจำลองที่เชื่อมโยงแรงในเชือกยืดหยุ่นหรือสปริงกับการยืดหรือการอัด และเข้าใจคำศัพท์ โมดูลัสของความยืดหยุ่น | |
| ใช้สูตรสำหรับ พลังงานศักย์ยืดหยุ่น ที่สะสมในเชือกหรือสปริง | ไม่จำเป็นต้องพิสูจน์สูตร |
| แก้ปัญหา涉及到แรงจากเชือกยืดหยุ่นหรือสปริง بماที่涉及到需要考虑功和能量 | เช่น อนุภาคเคลื่อนที่ในแนวนอนหรือแนวตั้งหรือบนพื้นเอียงโดยยึดติดกับหนึ่งหรือหลายเชือกหรือสปริง หรืออนุภาคที่ยึดติดกับเชือกยืดหยุ่นที่ทำหน้าที่เป็น 'ลูกตุ้มนูน' |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
กฎของฮุก บอกว่าแรงตึงในสายยางยืดหรือสปริงเป็นสัดส่วนกับการยืดออก $x$:
$$T = \frac{\lambda x}{L},$$
โดยที่ $L$ คือความยาวธรรมชาติและ $\lambda$ คือ โมดูลัสของความยืดหยุ่น. การยืดออกเก็บ พลังงานศักย์ยืดหยุ่น ไว้:
$$E = \frac{\lambda x^2}{2L}.$$
ตัวอย่างวิธีทำ. สายยางยืดมีความยาวธรรมชาติ $2\ \text{m}$ และโมดูลัส $50\ \text{N}$ ถูกยืดออก $0.5\ \text{m}$. หาแรงตึงและพลังงานที่เก็บไว้
$$T = \frac{50\times 0.5}{2} = 12.5\ \text{N}, \qquad E = \frac{50\times 0.5^2}{2\times 2} = 3.125\ \text{J}.$$
สำรวจ
กฎของฮুক
F = k·x
แรง แปรผันตรงกับ การยืด — ความชันคือค่าความแข็ง k
3.5
การเคลื่อนที่เชิงเส้นภายใต้แรงแปรผัน
หลักสูตร
| ผู้เข้าสอบควรสามารถ: | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| แก้ปัญหาที่สามารถจำลองเป็นการเคลื่อนที่เชิงเส้นของอนุภาคภายใต้การกระทำของ แรงแปรผัน โดยการตั้งและแก้ สมการเชิงอนุพันธ์ ที่เหมาะสม | รวมถึงการใช้ $v \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ สำหรับความเร่ง เมื่อเหมาะสม calculus ที่ต้องการจำกัดอยู่เฉพาะเนื้อหาจาก Pure Mathematics 3 ใน Cambridge International A Level Mathematics (9709) มีเพียงสมการเชิงอนุพันธ์ที่แยกตัวแปรได้เท่านั้น |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
เมื่อแรงขึ้นอยู่กับตำแหน่ง $x$, ใช้ความเร่งในรูปแบบ $a = v\dfrac{dv}{dx}$ ซึ่งแปลงกฎของนิวตันให้เป็น สมการเชิงอนุพันธ์ ที่เชื่อมโยง $v$ กับ $x$
ตัวอย่างที่คำนวณแล้ว. อนุภาคที่มีมวล $8\ \text{kg}$ เคลื่อนที่ตามเส้นตรงภายใต้ แรงแปรผัน ขนาด $(x^3 + 4x)\ \text{N}$ ที่กระทำในทิศทางของการเคลื่อนที่ เมื่อ $x = 0$, $v = 1$. จงหา $v$ ในรูปของ $x$.
กฎของนิวตันให้ $8v\dfrac{dv}{dx} = x^3 + 4x$. แยกตัวแปรและอินทิเกรต:
$$\int 8v\,dv = \int (x^3 + 4x)\,dx \;\Rightarrow\; 4v^2 = \tfrac14 x^4 + 2x^2 + C.$$
เมื่อ $x = 0$, $v = 1$ ให้ $C = 4$, ดังนั้น $4v^2 = \tfrac14 x^4 + 2x^2 + 4 = 4\left(\tfrac{x^2}{4} + 1\right)^2$. จึงได้ $v = \tfrac14 x^2 + 1$.
สำรวจ
งานจากแรงแปรผัน
W = ∫ F dx
เมื่อแรงเปลี่ยนไป งานที่ทำ คือ พื้นที่ ภายใต้กราฟแรง–ระยะทาง
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| variable force/ˈveərɪəbl fɔːs/ | แรงแปรผัน |
| conservation of momentum/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv məʊˈmentəm/ | การอนุรักษ์โมเมนตัม |
| Newton's experimental law/ˈnjuːtnz ekˌsperɪˈmentl lɔː/ | กฎการทดลองของนิวตัน |
| coefficient of restitution/ˌkəʊɪˈfɪʃənt ɒv rɪstɪˈtjuːʃn/ | สัมประสิทธิ์การคืนตัว |
3.6
โมเมนตัม
หลักสูตร
| ผู้เข้าสอบควรสามารถ: | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| จำ กฎการทดลองของนิวตัน และนิยามของ สัมประสิทธิ์การคืนตัว คุณสมบัติ $0 \leqslant e \leqslant 1$ และความหมายของคำว่า 'ยืดหยุ่นสมบูรณ์' ($e = 1$) และ 'ไม่ยืดหยุ่น' ($e = 0$) | |
| ใช้ การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้น และ/หรือ กฎการทดลองของนิวตัน เพื่อแก้ปัญหาที่อาจจำลองเป็นการ ชนตรง หรือ ชนเฉียง ของทรงกลมเรียบสองลูก หรือ ชนตรง หรือ ชนเฉียง ของทรงกลมเรียบกับพื้นผิวคงที่ |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
ในการชนกัน โมเมนตัมเชิงเส้นรวม จะถูก conserve — ซึ่งเรียกว่า การ conserveโมเมนตัมเชิงเส้น. ความยืดหยุ่นวัดโดย กฎการทดลองของนิวตัน ซึ่งนิยาม สัมประสิทธิ์ความคืนตัว $e$:
$$e = \frac{\text{speed of separation}}{\text{speed of approach}}, \qquad 0 \leqslant e \leqslant 1.$$
ที่นี่ $e = 1$ คือการชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ (ไม่มีการสูญเสียพลังงาน) และ $e = 0$ คือการชนแบบไม่ยืดหยุ่น (วัตถุติดกัน) ในการชนแบบ เอียง ให้แยกความเร็วตามแนวและตั้งฉากกับแนวการชน โดยประยุกต์ใช้ค่าสัมประสิทธิ์ความคืนตัวตามแนวนั้นเท่านั้น
ตัวอย่างที่คำนวณแล้ว. ทรงกลม $A$ ที่มีมวล $2\ \text{kg}$ เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว $5\ \text{m s}^{-1}$ ชนกับทรงกลม $B$ ที่หยุดนิ่งซึ่งมีมวล $3\ \text{kg}$ โดยมี $e = 0.5$. จงหาความเร็วหลังจากการชน
โมเมนตัม: $2(5) = 2v_A + 3v_B$, ดังนั้น $2v_A + 3v_B = 10$. สัมประสิทธิ์ความคืนตัว: $v_B - v_A = 0.5(5) = 2.5$. แก้ระบบสมการจะได้ $v_A = 0.5\ \text{m s}^{-1}$ และ $v_B = 3.0\ \text{m s}^{-1}$.
สำรวจ
การชน
ตั้งมวลและความเร็วของแต่ละวัตถุแล้วชนกัน โมเมนตัมรวมอนุรักษ์ไว้ — ดูความเร็วสุดท้ายที่เกิดขึ้น
3.6
ข้อแนะนำสำหรับการสอบ
- สำหรับ ** projectile** ให้แยกเป็นcomponent การเคลื่อนที่แนวนอน (ความเร็วคงที่) และแนวตั้ง ($a = g$) เชื่อมต่อกันด้วยเวลาเดียวกัน
- สำหรับ วัตถุแข็งที่สมดุล ให้หาโมเมนต์รอบจุดที่ลบแรงที่ไม่ทราบค่าออก
- สำหรับการเคลื่อนที่วงกลม ใช้ $F = mv^2/r = m\omega^2 r$ เข้าหาจุดศูนย์กลาง; ในวงกลมแนวตั้งต้องตรวจสอบความเร็วขั้นต่ำที่สุดที่จุดสูงสุด
- กับ แรงแปรผัน ใช้ $a = v\,\frac{dv}{dx}$ และอินทิเกรต; พลังงานศักย์ยืดหยุ่น $= \frac{\lambda x^2}{2L}$.
บทเรียนเชิงโต้ตอบสำหรับหัวข้อนี้
ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที