Эта раздаточная карта охватывает тему 1, Числа. Cambridge Maths имеет два уровня: Core (Основной) и Extended (Расширенный). Части, отмеченные как (Extended), тестируются только на расширенных листах; всё остальное — для обоих уровней.
Число
IGCSE Математика · Тема 1
30:48
Число
Два автобуса выезжают из одной остановки в девять часов. Один ходит каждые двенадцать минут, другой — каждые восемнадцать. Когда они снова выедут вместе? Не в тридцать…
Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
1.1
Типы чисел
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| Идентифицировать и использовать: • натуральные числа • целые числа (положительные, ноль и отрицательные) • простые числа • квадратные числа • кубические числа • общие делители • общие кратные • рациональные и иррациональные числа • обратные величины. | Примеры заданий включают: • преобразование между числами и словами, например, six billion is 6000000000 10007 is ten thousand and seven • представление числа 72 в виде произведения простых множителей • нахождение наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел • нахождение наименьшего общего кратного (НОК) двух чисел. |
Источник: Программа Cambridge International
Вы должны знать названия различных видов чисел. Экзаменаторы ставят баллы за их правильное использование.
Натуральные числа и целые числа
- натуральные числа — счетные числа $1, 2, 3, 4, \dots$
- целые числа — целые числа, положительные, отрицательные или нуль: $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$
Делители и кратные
- Делитель числа делит его нацело, не оставляя остатка. Делителями числа $18$ являются $1, 2, 3, 6, 9, 18$.
- Кратное числа — это число, умноженное на целое число. Кратные $6$ — это $6, 12, 18, 24, \dots$
- Общий делитель двух чисел — это делитель, который является таковым для обоих.
- Общее кратное двух чисел — это кратное, которое является таковым для обоих.
Простые, квадратные и кубические числа
- Простое число имеет ровно два делителя: $1$ и само себя. Первые простые числа — $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$. Обратите внимание, что $1$ не является простым.
- Квадратное число — это целое число, умноженное само на себя: $1, 4, 9, 16, 25, \dots$
- Кубическое число использует целое число трижды: $1, 8, 27, 64, \dots$
Рациональные, иррациональные и обратные числа
- Рациональное число можно записать как дробь $\frac{a}{b}$ двух целых чисел. Примеры: $\frac{3}{4}$, $5$, $0.7$.
- Иррациональное число нельзя записать таким образом. Примеры: $\pi$ и $\sqrt{2}$.
- Обратное число равно $1$, деленному на это число. Обратное для числа $4$ — это $\frac{1}{4}$; обратное для числа $0.25$ — это $4$; обратное для числа $\frac{2}{3}$ — это $\frac{3}{2}$.
Простые множители, НОД и НОК
Каждое целое число больше $1$ является простым или может быть записано как произведение простых чисел. Чтобы записать число как произведение своих простых множителей, продолжайте делить на наименьшее подходящее простое число.
Разобранный пример. Запишите $72$ как произведение своих простых множителей.
$$72 = 2 \times 36 = 2 \times 2 \times 18 = 2 \times 2 \times 2 \times 9 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^{3} \times 3^{2}.$$
Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел — это наибольший делитель, который они имеют общим. Наименьшее общее кратное (НОК) — это наименьшее кратное, которое они имеют общим. Простые множители дают быстрый метод.
Разобранный пример. Найдите НОД и НОК для $72$ и $120$.
Сначала запишите каждое как произведение простых:
$$72 = 2^{3} \times 3^{2}, \qquad 120 = 2^{3} \times 3 \times 5.$$
- НОД: возьмите наименьшую степень каждого простого числа, которое встречается в обоих: $2^{3} \times 3 = 24$.
- НОК: возьмите наибольшую степень каждого простого числа, которое встречается: $2^{3} \times 3^{2} \times 5 = 360$.
Исследовать
Множества чисел
Каждое натуральное число является целым, каждое целое — рациональным — посмотрите, как множества чисел вкладываются друг в друга, а объединение и пересечение их связывают.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| natural number/ˈnætʃərəl ˈnʌmbə/ | натуральное число |
| integer/ˈɪntɪdʒə/ | integer |
| factor/ˈfæktə/ | фактор |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | остаток |
| set/set/ | множество |
| element/ˈelɪmənt/ | элемента |
| universal set/ˌjuːnɪˈvɜːsl set/ | универсальное множество |
| complement/ˈkɒmplɪmənt/ | дополнением |
| empty set/ˈempti set/ | пустое множество |
1.2
Множества и диаграммы Эйлера-Венна
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| Понимать и использовать язык множеств, нотацию и диаграммы Венна для описания множеств. | Диаграммы Венна ограничены двумя множествами. Будут использоваться следующие обозначения множеств: • $n(A)$ Количество элементов в множестве $A$ • $A'$ Дополнение множества $A$ • $\mathscr{E}$ Универсальное множество • $A \cup B$ Объединение $A$ и $B$ • $A \cap B$ Пересечение $A$ и $B$. Пример определения множеств: $A = \{x : x \text{ is a natural number}\}$ $B = \{a, b, c, \dots\}$ $C = \{x : a \leqslant x \leqslant b\}$. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| Понимать и использовать язык множеств, нотацию и диаграммы Эйлера-Венна для описания множеств и представления отношений между ними. | Диаграммы Эйлера-Венна ограничиваются двумя или тремя множествами. Будет использоваться следующая нотация множеств: • $n(A)$ Количество элементов в множестве $A$ • $\in$ «... является элементом ...» • $\notin$ «... не является элементом ...» • $A'$ Дополнение множества $A$ • $\varnothing$ Пустое множество • $\mathscr{E}$ Универсальное множество • $A \subseteq B$ $A$ является подмножеством $B$ • $A \nsubseteq B$ $A$ не является подмножеством $B$ • $A \cup B$ Объединение $A$ и $B$ • $A \cap B$ Пересечение $A$ и $B$. Пример определения множеств: $A = \{x : x \text{ is a natural number}\}$ $B = \{(x, y) : y = mx + c\}$ $C = \{x : a \leqslant x \leqslant b\}$ $D = \{a, b, c, \dots\}$. |
Источник: Программа Cambridge International
Множество — это совокупность объектов. Каждый объект в множестве является элементом множества. Вы должны знать эту нотацию:
| Символ | Значение |
|---|---|
| $n(A)$ | количество элементов в множестве $A$ |
| $x \in A$ | $x$ является элементом множества $A$ |
| $x \notin A$ | $x$ не является элементом множества $A$ |
| $\mathscr{E}$ | универсальное множество — всё, о чем идет речь |
| $A'$ | дополнение множества $A$ — всё, что не входит в множество $A$ |
| $\varnothing$ | пустое множество — множество без элементов |
| $A \subseteq B$ | $A$ является подмножеством $B$ — каждый элемент $A$ также содержится в $B$ |
| $A \cup B$ | объединение — элементы, принадлежащие множеству $A$ или $B$ или обоим сразу |
| $A \cap B$ | пересечение — элементы, принадлежащие одновременно и множеству $A$, и множеству $B$ |
Диаграмма Эйлера-Венна изображает каждое множество как круг внутри прямоугольника (универсального множества). Core использует два множества; Extended может использовать три.
Разобранное решение. $\mathscr{E} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, $A = \{\text{even numbers}\}$, $B = \{\text{multiples of } 3\}$.
- $A = \{2,4,6,8,10\}$ и $B = \{3,6,9\}$.
- $A \cap B = \{6\}$ — единственное число в обоих множествах.
- $A \cup B = \{2,3,4,6,8,9,10\}$ — числа из обоих множеств.
- $n(A \cup B) = 7$.
Множество также можно записать с помощью правила, например, $C = \{x : 1 \leqslant x \leqslant 5\}$ означает «все значения $x$, такие что $1 \leqslant x \leqslant 5$».
Исследовать
Диаграммы Эйлера-Венна
Нажмите на области, чтобы увидеть объединение, пересечение и дополнение — язык теории множеств.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| multiple/ˈmʌltɪpl/ | кратное |
| common factor/ˈkɒmən ˈfæktə/ | общий делитель |
| common multiple/ˈkɒmən ˈmʌltɪpl/ | общее кратное |
| prime number/praɪm ˈnʌmbə/ | простое число |
| square number/skweə ˈnʌmbə/ | квадрат числа |
| cube number/kjuːb ˈnʌmbə/ | куб числа |
| rational number/ˈræʃənl ˈnʌmbə/ | рациональное число |
| fraction/ˈfrækʃn/ | дроби ( фракции при перегонке ) |
| irrational number/ɪˈræʃənl ˈnʌmbə/ | иррациональное число |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | обратной величиной |
| product/ˈprɒdʌkt/ | продукт |
| prime factor/praɪm ˈfæktə/ | простой множитель |
| highest common factor/ˈhaɪɪst ˈkɒmən ˈfæktə/ | наибольший общий делитель |
| lowest common multiple/ˈləʊɪst ˈkɒmən ˈmʌltɪpl/ | наименьшее общее кратное |
| subset/ˈsʌbset/ | подмножество |
| union/ˈjuːnɪən/ | профсоюзом |
| intersection/ˌɪntəˈsekʃn/ | пересечения |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | диаграмма Венна |
| power/ˈpaʊə/ | мощность |
| index/ˈɪndeks/ | индекс |
| square root/skweə ruːt/ | квадратный корень |
| cube root/kjuːb ruːt/ | кубический корень |
| base/beɪs/ | основанием |
1.3
Степени и корни
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| Вычислять со следующими значениями: • квадраты • квадратные корни • кубы • кубические корни • другие степени и корни чисел. | Включает воспроизведение квадратов и соответствующих им корней от 1 до 15, а также воспроизведение кубов и соответствующих им корней для 1, 2, 3, 4, 5 и 10, например: • Запишите значение $\sqrt{169}$. • Вычислите $5^2 \times \sqrt[3]{8}$. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| Производить вычисления со следующими понятиями: • квадраты • квадратные корни • кубы • кубические корни • другие степени и корни чисел. | Включает запоминание квадратов и соответствующих им корней от 1 до 15, а также запоминание кубов и соответствующих им корней для 1, 2, 3, 4, 5 и 10, например: • Записать значение $\sqrt{169}$. • Вычислить $5^2 \times \sqrt[3]{8}$. |
Источник: Программа Cambridge International
- Степень (также называемая показателем, мн. ч. показатели) показывает, сколько раз нужно умножить число само на себя: $2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.
- Квадратный корень из числа дает это число при возведении в квадрат: $\sqrt{169} = 13$, потому что $13^{2} = 169$.
- Кубический корень работает так же, как и для кубов: $\sqrt[3]{8} = 2$, потому что $2^{3} = 8$.
Вы должны уметь вспоминать квадраты от $1^2$ до $15^2$ (и их корни), а также кубы $1, 2, 3, 4, 5$ и $10$.
Разобранное решение. Вычислите $5^{2} \times \sqrt[3]{8}$.
$$5^{2} \times \sqrt[3]{8} = 25 \times 2 = 50.$$
Исследовать
Лабораторная работа по степеням и корням
квадрат = x^2
Измените основание и наблюдайте, как растут степени, пока корни отменяют степени.
1.7
Законы показателей степени
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Понимать и использовать показатели (положительные, нулевые и отрицательные целые числа). | Например, найти значение $7^{-2}$. |
| 2 Понимать и использовать правила работы с показателями. | Например, найти значение $2^{-3} \times 2^4$, $(2^3)^2$, $2^3 \div 2^4$. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Понимание и использование степеней (положительных, нулевых, отрицательных и дробных). | Примеры включают: • $6^{\frac{1}{2}} = \sqrt{6}$ • $16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16}$ • нахождение значения выражений $7^{-2}$, $81^{\frac{1}{2}}$, $8^{-\frac{2}{3}}$. |
| 2 Понимать и использовать правила работы с показателями. | Например, найти значение $2^{-3} \times 2^4$, $(2^3)^2$, $2^3 \div 2^4$. |
Источник: Программа Cambridge International
При умножении или делении степеней с одинаковым основанием используйте эти правила:
$$a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}, \qquad a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}, \qquad (a^{m})^{n} = a^{mn}.$$
Некоторые особые степени:
$$a^{0} = 1, \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}, \qquad a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}, \qquad a^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}.$$
(Дробные степени, такие как $a^{\frac{m}{n}}$, относятся к разделу Расширенные темы.)
Разобранные решения.
- $2^{-3} \times 2^{4} = 2^{-3+4} = 2^{1} = 2.$
- $(2^{3})^{2} = 2^{6} = 64.$
- $2^{3} \div 2^{4} = 2^{3-4} = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}.$
- $7^{-2} = \dfrac{1}{7^{2}} = \dfrac{1}{49}.$
- $81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9.$
- $8^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{8}\right)^{2}} = \dfrac{1}{2^{2}} = \dfrac{1}{4}.$
1.8
Стандартный вид
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Использовать стандартный вид $A \times 10^n$, где $n$ — положительное или отрицательное целое число, а $1 \leqslant A < 10$. | |
| 2 Преобразовывать числа в стандартный вид и из него. | |
| 3 Выполнять вычисления со значениями в стандартном виде. | Кандидаты основного уровня должны выполнять вычисления со значениями в стандартном виде только на Билете 3. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Использовать стандартный вид $A \times 10^n$, где $n$ — положительное или отрицательное целое число, а $1 \leqslant A < 10$. | |
| 2 Преобразовывать числа в стандартный вид и из него. | |
| 3 Производить вычисления со значениями в стандартном виде. |
Источник: Программа Cambridge International
Стандартный вид записывает число как $A \times 10^{n}$, где $1 \leqslant A < 10$ и $n$ — целое число. Используется для очень больших или очень малых чисел.
Для перевода подсчитайте, на сколько позиций смещается запятая:
- $4\,500\,000 = 4.5 \times 10^{6}$ — запятая смещается $6$ позиций влево, поэтому показатель положительный.
- $0.00072 = 7.2 \times 10^{-4}$ — запятая смещается $4$ позиций вправо, поэтому показатель отрицательный.
Разобранное решение. Вычислите $(3 \times 10^{5}) \times (2 \times 10^{-2})$.
Перемножьте первые числа и сложите показатели:
$$3 \times 2 = 6, \qquad 10^{5} \times 10^{-2} = 10^{3}, \qquad \text{so the answer is } 6 \times 10^{3}.$$
Исследовать
Путь к стандартному виду
Превратите большое или маленькое число в форму a × 10^n.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| standard form/ˈstændəd fɔːm/ | стандартный вид |
1.18
Иррациональные корни (Расширенные темы)
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Понимать и использовать иррациональные числа, включая упрощение выражений. | Примеры включают: • $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ • $\sqrt{200} - \sqrt{32} = 6\sqrt{2}$. |
| 2 Избавление от иррациональности в знаменателе. | Примеры включают: • $\frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$ • $\frac{1}{-1 + \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$. |
Источник: Программа Cambridge International
Иррациональный корень (сюрд) — это корень, являющийся иррациональным числом, например, $\sqrt{5}$. Оставляйте его в точной форме вместо округления. Два полезных правила:
$$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}, \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.$$
Упростите сюрд, вынеся наибольший квадратный множитель.
Разобранное решение. Упростите $\sqrt{20}$ и $\sqrt{200} - \sqrt{32}$.
$$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4}\,\sqrt{5} = 2\sqrt{5}.$$
$$\sqrt{200} - \sqrt{32} = \sqrt{100 \times 2} - \sqrt{16 \times 2} = 10\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 6\sqrt{2}.$$
Рационализировать знаменатель означает убрать сюрд из нижней части дроби (знаменателя). Умножьте числитель и знаменатель на значение, которое устраняет сюрд.
Разобранный пример. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе выражений $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$ и $\dfrac{1}{-1+\sqrt{3}}$.
$$\frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}.$$
$$\frac{1}{-1+\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} = \frac{\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}.$$
Исследовать
Путь упрощения иррациональных чисел
Разложить корень на квадратные множители и упростить его.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| surd/sɜːd/ | иррациональное число (корень) |
| rationalise the denominator/ˈræʃənəlaɪz ðə dɪˈnɒmɪneɪtə/ | избавиться от иррациональности в знаменателе |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | знаменателе |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | числителе |
| proper fraction/ˈprɒpə ˈfrækʃn/ | правильная дробь |
| improper fraction/ɪmˈprɒpə ˈfrækʃn/ | неправильная дробь |
| mixed number/mɪkst ˈnʌmbə/ | смешанное число |
1.4
Дроби, десятичные числа и проценты
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Использовать язык и обозначения следующих видов в подходящих контекстах: • правильные дроби • неправильные дроби • смешанные числа • десятичные дроби • проценты. | От кандидатов ожидается умение записывать дроби в несократимом виде. От кандидатов не требуется использование записи периодических десятичных дробей. |
| 2 Распознавать эквивалентность и преобразовывать между этими формами. | От кандидатов не требуется демонстрировать преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь и обратно. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Использовать язык и нотацию следующих понятий в соответствующем контексте: • правильные дроби • неправильные дроби • смешанные числа • десятичные дроби • проценты. | От кандидатов ожидается умение записывать дроби в наименьшем виде. Требуется нотация бесконечных периодических дробей, например: • $0.1\dot{7} = 0.1777...$ • $0.1\dot{2}\dot{3} = 0.1232323...$ • $0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123...$ |
| 2 Распознавать эквивалентность и переводить между этими формами. | Включает перевод между бесконечными периодическими дробями и обыкновенными дробями и обратно, например: запишите $0.1\dot{7}$ в виде дроби. |
Источник: Программа Cambridge International
Дробь имеет числитель (верхнюю часть) и знаменатель (нижнюю часть).
- правильная дробь: числитель меньше знаменателя, напр. $\frac{3}{4}$.
- неправильная дробь: числитель равен или больше знаменателя, напр. $\frac{7}{4}$.
- смешанное число: целое число плюс дробь, напр. $1\frac{3}{4}$.
Перевод между неправильными и смешанными дробями: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$, так как $7 \div 4 = 1$ с остатком $3$.
Десятичная дробь использует разрядные значения после точки. Процент означает «из $100$», поэтому $37\% = \frac{37}{100} = 0.37$.
Перевод между формами
| Для изменения | Метод | Пример |
|---|---|---|
| дробь → десятичное | разделить верх на низ | $\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0.375$ |
| десятичное → процент | умножить на $100$ | $0.07 = 7\%$ |
| процент → дробь | записать над $100$, затем упростить | $7\% = \frac{7}{100}$ |
| процент → десятичное | разделить на $100$ | $34\% = 0.34$ |
Запишите дробь в несократимой форме, разделив числитель и знаменатель на их НОД: $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ (оба разделены на $6$).
Периодические десятичные дроби (Расширенные темы)
Периодическая десятичная дробь повторяет одни и те же цифры бесконечно. Точки обозначают повторяющуюся часть: $0.1\dot{7} = 0.1777\ldots$ и $0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123\ldots$
Чтобы превратить периодическую десятичную дробь в обыкновенную, умножайте так, чтобы повторяющиеся части совпали, а затем вычтите.
Разобранное решение. Запишите $0.1\dot{7}$ в виде дроби.
Пусть $x = 0.1777\ldots$. Повторяется только $7$, поэтому используем $10x$ и $100x$:
$$100x = 17.777\ldots, \qquad 10x = 1.777\ldots$$
$$100x - 10x = 16, \qquad 90x = 16, \qquad x = \frac{16}{90} = \frac{8}{45}.$$
Исследовать
Лаборатория форм чисел
Классифицируйте эквивалентные формы чисел и операции.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| decimal/ˈdesɪml/ | десятичный |
| recurring decimal/rɪˈkɜːrɪŋ ˈdesɪml/ | периодическая десятичная дробь |
1.6
Четыре действия
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| Применять четыре арифметических действия при вычислениях с целыми числами, дробями и десятичными числами, включая правильный порядок выполнения действий и использование скобок. | Включает: • отрицательные числа • неправильные дроби • смешанные числа • практические ситуации, например, изменения температуры. |
Источник: Программа Cambridge International
Порядок действий
Выполняйте действия в этом порядке — порядок действий: сначала скобки, затем показатели (степени и корни), затем умножение и деление (слева направо), затем сложение и вычитание (слева направо).
Разобранное решение. Вычислите $-6 \times -3 + 7 \times 2$.
Сначала выполните умножения: $-6 \times -3 = 18$ и $7 \times 2 = 14$. Затем сложите: $18 + 14 = 32$.
Отрицательные числа
- Сложение отрицательного: $5 + (-3) = 5 - 3 = 2$.
- Вычитание отрицательного: $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$.
- Умножение или деление: одинаковые знаки дают положительный результат; разные знаки дают отрицательный. Так что $-6 \times -3 = 18$, но $-12 \div 4 = -3$.
Изменение температуры от $-5\,{}^{\circ}\text{C}$ до $3\,{}^{\circ}\text{C}$ составляет повышение на $8\,{}^{\circ}\text{C}$.
Вычисления с дробями
- Умножение: умножите числители, умножьте знаменатели: $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$.
- Деление: умножьте на обратную величину второй дроби: $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.
- Сложить или вычесть: используйте общий знаменатель (НОК знаменателей).
Разобранный пример. Вычислите $1\frac{7}{15} - \frac{4}{5}$, представив ответ в наименьшей форме.
Переведите смешанное число в неправильную дробь, затем используйте знаменатель $15$:
$$1\frac{7}{15} = \frac{22}{15}, \qquad \frac{4}{5} = \frac{12}{15}, \qquad \frac{22}{15} - \frac{12}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}.$$
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| order of operations/ˈɔːdə ɒv ˌɒpəˈreɪʃnz/ | порядок выполнения операций |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | величина |
| multiplier/ˌmʌltɪˈplaɪə/ | мультипликатор |
| ratio/ˈreɪʃɪəʊ/ | разность |
| proportion/prəˈpɔːʃn/ | доли |
| scale/skeɪl/ | масштаб |
| rate/reɪt/ | скоростью |
1.5
Упорядочивание
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| Упорядочивать величины по величине и демонстрировать знание символов $=, \ne, >, <, \geqslant$ и $\leqslant$. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| Упорядочивать величины по величине и демонстрировать знание символов $=, \neq, >, <, \geqslant$ и $\leqslant$. |
Источник: Программа Cambridge International
Используйте эти знаки для сравнения чисел по величине (размеру):
| Символ | Значение |
|---|---|
| $=$ | равно |
| $\neq$ | не равно |
| $>$ | больше |
| $<$ | меньше |
| $\geqslant$ | больше или равно |
| $\leqslant$ | меньше или равно |
Чтобы упорядочить смешанный список значений, сначала переведите каждое значение в десятичную дробь.
Разобранный пример. Расположите числа $34\%$, $\frac{1}{3}$ и $\frac{3}{10}$ в порядке возрастания, начиная с наименьшего.
В виде десятичных дробей: $34\% = 0.34$, $\frac{1}{3} = 0.333\ldots$, $\frac{3}{10} = 0.3$. Следовательно, порядок такой
$$\frac{3}{10} < \frac{1}{3} < 34\%.$$
1.13
Проценты
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Вычислять заданный процент от количества. | |
| 2 Выражать одно количество как процент другого. | |
| 3 Вычислять процентное увеличение или уменьшение. | |
| 4 Вычислять с простым и сложным процентом. | Формулы не даны. Процентные расчеты могут включать: • депозит • скидка • прибыль и убытки (в сумме или в процентах) • заработок • проценты более 100%. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Вычислять заданный процент от количества. | |
| 2 Выражать одно количество как процент другого. | |
| 3 Вычислять процентное увеличение или уменьшение. | |
| 4 Производить вычисления с простым и сложным процентом. | Задачи могут включать многократное изменение процента. Формулы не приводятся. |
| 5 Производить вычисления с обратными процентами. | Например: найти цену покупки, зная цену продажи и процент прибыли. Вычисления с процентами могут включать: • депозит • скидку • прибыль и убытки (в денежном выражении или в процентах) • заработок • проценты свыше 100%. |
Источник: Программа Cambridge International
Найти процент от суммы. $15\%$ от $\$80 = 0,15 \times 80 = \$12$.
Записать одно количество как процент другого. Оценка $18$ из $25$ составляет $\frac{18}{25} \times 100\% = 72\%$.
Процентный рост или уменьшение использует
$$\text{percentage change} = \frac{\text{change}}{\text{original amount}} \times 100\%.$$
Разобранный пример. Цена выросла с $\$40$ to $\$50$. Найдите процентное увеличение.
Изменение составляет $\$10$, so $\frac{10}{40} \times 100% = 25%$ роста.
Быстрый способ — это множитель. Чтобы увеличить на $15\%$, умножьте на $1.15$; чтобы уменьшить на $15\%$, умножьте на $0.85$.
Простые и сложные проценты
Процент — это деньги, уплаченные за заем или хранение. Основная сумма — начальная величина.
- Простой процент выплачивается одинаковую сумму каждый год, рассчитывается только на основе основной суммы:
$$I = \frac{P \times r \times t}{100},$$где $P$ — основная сумма, $r$ — ставка в год (в процентах), а $t$ — количество лет.
- Сложный процент прибавляет начисленные проценты к сумме, поэтому в следующем году проценты начисляются на большую общую сумму:
$$\text{final value} = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^{t}.$$
Разобранный пример. Найдите значение суммы $\$500$ saved at $4\%$ compound interest for $3$ через годы.
$$500 \times 1.04^{3} = 500 \times 1.124864 = \$562.43 \ (\text{to the nearest cent}).$$
Обратные проценты (Расширенная программа)
Задача на обратный процент дает значение после изменения и требует найти исходное. Для решения разделите на множитель — не просто отнимайте процент.
Разобранная задача. Пальто подорожало на $\$60$ after a $20\%$. Найдите исходную цену.
$\$60$ is $120%$ of the original, so the original price is $60 \div 1,2 = \$50$.
Исследовать
Лаборатория процентных изменений
новое значение = старое значение × множитель
Измените множитель и посмотрите, как изменится конечное значение.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| percentage/pəˈsentɪdʒ/ | процент |
| simplest form/ˈsɪmpəlɪst fɔːm/ | самый простой вид |
| interest/ˈɪntrest/ | процент |
| principal/ˈprɪnsɪpl/ | главный |
| simple interest/ˈsɪmpl ˈɪntrest/ | простых процентов |
| compound interest/ˈkɒmpaʊnd ˈɪntrest/ | сложный процент |
| reverse percentage/rɪˈvɜːs pəˈsentɪdʒ/ | обратный процент |
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | экспоненциального роста |
1.17
Экспоненциальный рост и спад (Расширенная программа)
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| Использовать экспоненциальный рост и убывание. | Например: амортизация, изменение численности населения. Знание числа e не требуется. |
Источник: Программа Cambridge International
Когда величина изменяется на один и тот же процент в каждом временном периоде, это демонстрирует экспоненциальный рост (она увеличивается) или экспоненциальный спад (она уменьшается). Используйте формулу сложных процентов. Амортизация, когда что-то, например автомобиль, теряет в цене каждый год, является спадом.
Разобранный пример. Автомобиль стоимостью $\$20 000$ loses $15%$ of its value each year. Find its value after $4$ лет.
Множитель равен $0.85$, поэтому
$$20\,000 \times 0.85^{4} = 20\,000 \times 0.522\ldots = \$10\,440 \ (\text{to the nearest dollar}).$$
Исследовать
Сложный процент
Деньги растут на (1 + r) каждый год, поэтому график сложных процентов идет круче графика простых. Перетащите ставку и количество лет.
Исследовать
Экспоненциальный рост и спад
y = a·bˣ
Изменяйте основание b: b > 1 означает рост, 0 < b < 1 означает спад — полезно для процентов и популяций.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | экспоненциального спада |
| depreciation/dɪˌpriːʃɪˈeɪʃn/ | деpreciация |
1.11
Отношения и пропорции
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| Понимать и использовать пропорции и коэффициенты для: | |
| • приведения отношений к простейшему виду | например, 20:30:40 в простейшем виде равно 2:3:4. |
| • деления количества в заданном отношении | |
| • использования пропорционального мышления и отношений в контексте. | например, адаптировать рецепты; использовать масштаб карт; определять выгодность покупки. |
Источник: Программа Cambridge International
Отношение сравнивает величины, записывается как $a:b$. Сократите его как дробь, разделив на НОД: $20:30:40 = 2:3:4$.
Деление в отношении. Разделите $\$48$ in the ratio $3:5$.
Общее количество частей равно $3 + 5 = 8$. Одна часть равна $48 \div 8 = \$6$. So the shares are $3 \times 6 = \$18$ и $5 \times 6 = \$30$.
Пропорция означает, что два отношения равны. Используйте её для рецептов, масштабов карт и поиска выгодной цены.
Разобранный пример. $3$ ручек стоят $\$1,80$. Find the cost of $7$ ручек.
Стоимость одной ручки: $1.80 \div 3 = \$0.60$. So $7$ pens cost $7 \times 0.60 = \$4.20$.
Исследовать
Прямая пропорциональность
y = ax
Прямая пропорциональность — это прямая линия, проходящая через начало координат: удвойте x, и вы удвоите y.
1.12
Скорость и средняя скорость
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Использовать распространенные меры скорости. | например, вычислять: • почасовые ставки оплаты труда • валютные курсы обмена • скорости потока • расход топлива. |
| 2 Применять другие меры скорости. | например, вычислять: • давление • плотность • плотность населения. Необходимые формулы будут даны в задании. |
| 3 Решать задачи, связанные со средней скоростью. | Требуется знание формулы скорости/расстояния/времени. Например, велосипедист проехал 45 км за 3 часа 45 минут. Какова его средняя скорость? Используемая нотация, например, m/s (метры в секунду), $\text{g/cm}^3$ (граммы на кубический сантиметр). |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Использовать распространенные меры скорости. | например, вычислять: • почасовые ставки оплаты труда • валютные курсы обмена • скорости потока • расход топлива. |
| 2 Применять другие меры скорости. | например, вычислять: • давление • плотность • плотность населения. Необходимые формулы будут даны в задании. |
| 3 Решать задачи на среднюю скорость. | Требуется знание формулы скорости/расстояния/времени. Например: Велосипедист проехал 45 км за 3 часа 45 минут. Какова его средняя скорость? Используются следующие обозначения, например: м/с (метры в секунду), г/см$^{3}$ (граммы на кубический сантиметр). |
Источник: Программа Cambridge International
Скорость сравнивает две величины, измеренные в разных единицах, например цену за килограмм или расстояние за час.
Средняя скорость использует
$$\text{average speed} = \frac{\text{total distance}}{\text{total time}}.$$
Разобранный пример. Велосипедист проехал $45\text{ km}$ за $3$ часов $45$ минут. Найдите среднюю скорость.
Сначала переведите время в часы: $3$ ч $45$ мин $= 3.75$ ч. Затем
$$\text{average speed} = \frac{45}{3.75} = 12\text{ km/h}.$$
Другие скорости работают аналогичным образом. Плотность находится из массы и объема:
$$\text{density} = \frac{\text{mass}}{\text{volume}}.$$
Другие примеры — скорость потока, расход топлива и плотность населения. Если для скорости требуется специальная формула (например, давление), вопрос предоставит её вам.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| average speed/ˈævrɪdʒ spiːd/ | средняя скорость |
| density/ˈdensɪti/ | плотность |
| mass/mæs/ | масса |
| volume/ˈvɒljuːm/ | объем |
| population density/ˌpɒpjʊˈleɪʃn ˈdensɪti/ | плотность населения |
| pressure/ˈpreʃə/ | давление |
| decimal place/ˈdesɪml pleɪs/ | позиция десятичной дроби |
| significant figure/sɪɡˈnɪfɪkənt ˈfɪɡə/ | значащая цифра |
| estimate/ˈestɪmət/ | оценкой |
| lower bound/ˈləʊə baʊnd/ | нижняя граница |
| upper bound/ˈʌpə baʊnd/ | верхняя граница |
| area/ˈeərɪə/ | площадь |
| time zone/taɪm zəʊn/ | часовой пояс |
| exchange rate/eksˈtʃeɪndʒ reɪt/ | валютный курс |
1.9
Округление и оценка
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Округлять значения до заданной точности. | Включает десятичные знаки и значащие цифры. |
| 2 Делать оценки для вычислений, включающих числа, величины и измерения. | Например, округлить 5764 до ближайшей тысячи. Например, записав каждое число с точностью до 1 значащей цифры, оцените значение $$\frac{41.3}{9.79 \times 0.765}$$ . |
| 3 Округлять ответы до разумной точности в контексте данной задачи. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Округлять значения до указанного уровня точности. | Включает десятичные знаки и значащие цифры. Например: запишите 5764, округлив до ближайшей тысячи. |
| 2 Делать оценки для вычислений с числами, величинами и измерениями. | Например, записывая каждое число правильно до 1 значащей цифры, оцените значение $$\frac{41.3}{9.79 \times 0.765}$$ . |
| 3 Округлять ответы до разумной точности в контексте данной задачи. |
Источник: Программа Cambridge International
Округление
- знаков после запятой (z.p.): цифры, считаемые после точки. $3.14159$ до $2$ z.p. — это $3.14$.
- значащих цифр (з.ц.): цифры, считаемые от первой ненулевой цифры. $5764$ до $1$ з.ц. — это $6000$; $0.004067$ до $2$ з.ц. — это $0.0041$.
Правило: посмотрите на следующую цифру. Если она $5$ или больше, округлите в большую сторону; если меньше — округлите в меньшую сторону.
Оценка
Чтобы оценить ответ, округлите каждое число до $1$ з.ц., затем вычислите.
Разобранный пример. Оцените $\dfrac{41.3}{9.79 \times 0.765}$.
$$\frac{41.3}{9.79 \times 0.765} \approx \frac{40}{10 \times 0.8} = \frac{40}{8} = 5.$$
Исследовать
Лаборатория округления и границ
Классифицируйте числа по необходимому решению для обеспечения точности.
1.10
Точность округления
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| Давать верхние и нижние границы для данных, округленных до указанной точности. | например, запишите верхнюю границу длины, измеренной с точностью до ближайшего метра. От кандидатов не требуется находить границы результатов вычислений, в которых использовались данные, округленные до указанной точности. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Определять верхнюю и нижнюю границы для данных, округлённых до указанной точности. | напр. записать верхнюю границу длины, измеренной с точностью до ближайшего метра. |
| 2 Находить верхнюю и нижнюю границы результатов вычислений, в которых использовались данные, округлённые до указанной точности. | Примеры вычислений включают: • вычисление верхней границы периметра или площади прямоугольника при известной длине сторон, измеренных с точностью до ближайшего сантиметра; • нахождение нижней границы скорости при округлённых значениях расстояния и времени. |
Источник: Программа Cambridge International
Округлённое значение на самом деле может быть любым числом, которое при округлении даёт это значение. Наименьшее возможное значение — это нижняя граница; наибольшее — верхняя граница. Для значения, округлённого до ближайшего целого числа, границы находятся на пол-единицы с каждой стороны.
Разобранный пример. Высота $h$ равна $635\text{ m}$, округлённая до ближайшего метра. Укажите границы.
$$634.5 \leqslant h < 635.5.$$
Таким образом, нижняя граница равна $634.5\text{ m}$, а верхняя — $635.5\text{ m}$.
Границы в вычислениях (Расширенная программа)
Объедините границы, чтобы получить нужную вам границу.
Разобранный пример. Прямоугольник имеет размеры $8\text{ cm}$ на $5\text{ cm}$, каждая сторона измерена с точностью до ближайшего сантиметра. Найдите максимально возможную площадь.
Используйте верхние границы обеих сторон: $8.5 \times 5.5 = 46.75\text{ cm}^{2}$. (Минимальная площадь рассчитывается с использованием нижних границ: $7.5 \times 4.5 = 33.75\text{ cm}^{2}$.)
Для делёмого количества, такого как $\text{speed} = \dfrac{\text{distance}}{\text{time}}$, максимальная скорость получается при делении наибольшего расстояния на наименьшее время.
1.15
Время
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Выполнять вычисления со временем: секунды (s), минуты (min), часы (h), дни, недели, месяцы, годы, включая взаимосвязь между единицами. | 1 год = 365 дней. |
| 2 Выполнять вычисления времени в формате 24-часового и 12-часового циферблата. | В 24-часовом формате, например, 3.15 a.m. обозначается как 03 15, а 3.15 p.m. — как 15 15. |
| 3 Читать часы и расписания. | Включает задачи, связанные с часовыми поясами, местным временем и разницей во времени. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Выполнять вычисления со временем: секунды (s), минуты (min), часы (h), дни, недели, месяцы, годы, включая взаимосвязь между единицами. | 1 год = 365 дней. |
| 2 Вычисление времени в формате 24-часового и 12-часового форматирования. | В 24-часовом формате, например, время 3.15 утра обозначается как 0315, а время 3.15 вечера — как 1515. |
| 3 Читать часы и расписания. | Включает задачи, связанные с часовыми поясами, местным временем и разницей во времени. |
Источник: Программа Cambridge International
- $60$ секунд $= 1$ минута, $60$ минут $= 1$ час, $24$ часов $= 1$ сутки, и $1$ год $= 365$ дней.
- Формат 24-часового времени записывает время четырьмя цифрами: $3.15$ после полудня (p.m.) — это $15\,15$.
Разобранный пример. Фильм начинается в $19\,35$ и длится $70$ минут. Найдите время окончания фильма.
$70$ мин $= 1$ ч $10$ мин. Прибавление $1$ часа даёт $20\,35$; прибавление $10$ минут даёт $20\,45$.
Для расписаний и задач о часовых поясах прибавьте или вычтите разницу во времени между местами.
Исследовать
Лабораторная работа по времени, деньгам и калькулятору
Выберите операцию, соответствующую реальной измерительной задаче.
1.16
Деньги
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Выполнять вычисления с деньгами. | |
| 2 Конвертировать из одной валюты в другую. |
Источник: Программа Cambridge International
Работайте с деньгами как с обычными десятичными дробями, но округляйте ответы до $2$ знаков после запятой (например, $\$4.8$ is written $\$4.80$).
Конвертация валюты. Используйте курс обмена как множитель.
Пример решения. Курс обмена составляет $\$1 = €0.92$. Convert $\$150$, переведите $€138$ обратно в доллары.
$$150 \times 0.92 = €138, \qquad 138 \div 0.92 = \$150.$$
1.14
Использование калькулятора
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Эффективно использовать калькулятор. | например, знать, что не следует округлять значения внутри вычисления и округлять только окончательный ответ. |
| 2 Правильно вводить значения в калькулятор. | например, вводить 2 часа 30 минут как 2.5 часов или 2° 30’ 0’’. |
| 3 Правильно интерпретировать дисплей калькулятора. | например, в деньгах 4.8 означает $4.80; во времени 3.25 означает 3 часа 15 минут. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Эффективно использовать калькулятор. | например, знать, что не следует округлять значения внутри вычисления и округлять только окончательный ответ. |
| 2 Правильный ввод значений на калькуляторе. | Например: ввод 2 часов 30 минут как 2.5 часа или 2° 30' 0''. |
| 3 Правильно интерпретировать дисплей калькулятора. | например, в деньгах 4.8 означает $4.80; во времени 3.25 означает 3 часа 15 минут. |
Источник: Программа Cambridge International
- Не округляйте промежуточные результаты вычислений. Сохраняйте полное значение и округляйте только окончательный ответ.
- Вводите время как десятичную долю часа: $2$ часов $30$ минут — это $2.5$ часа, а не $2.30$.
- Чтение дисплея в контексте: в денежном выражении $4.8$ означает $\$4.80$; in time, $3.25$ hours means $3$ hours $15$ минут.
1.14
Советы для экзамена
- Следуйте порядку действий BIDMAS (скобки, степени, деление/умножение, сложение/вычитание) и помните, что минус на минус дает плюс.
- В стандартном виде число перед степенью находится между 1 и 10; маленькое число (например, $0.0004$) имеет отрицательную степень 10.
- Процентное изменение рассчитывается по исходному значению. Для обратного процента разделите на множитель (например, $\div 1.2$ отменяет рост на $20\%$%).
- Не округляйте промежуточные результаты — сохраняйте полное значение и округляйте только в конце, до требуемой точности (количество знаков после запятой или значащих цифр).
- Для пределов точности значение, округлённое до ближайшего целого числа, может отличаться максимум на $0.5$ в любую сторону (так что значение $8$ соответствует диапазону $7.5 \le x < 8.5$).
Интерактивные уроки по этой теме
Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.