Типы чисел
| English | Русский |
|---|---|
| rational/ˈræʃənl/ | рациональная |
| irrational/ɪˈræʃənl/ | иррациональное |
| natural numbers/ˈnætʃərəl ˈnʌmbəz/ | натуральные числа |
| integers/ˈɪntɪdʒəz/ | целые числа |
| factor/ˈfæktə/ | фактор |
| multiple/ˈmʌltɪpl/ | кратное |
| prime/praɪm/ | производной |
| prime factorisation/praɪm ˌfæktəraɪˈzeɪʃn/ | простой множитель |
| HCF/ˌeɪtʃ siː ˈef/ | НОД (наибольший общий делитель) |
| LCM/ˌel siː ˈem/ | НОК (наименьшее общее кратное) |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | обратной величиной |
Вопрос, который озадачил древних греков
- Является ли каждое число дробью? Греки считали, что да — пока кто-то не доказал, что $\sqrt{2}$ не может быть записан как $\dfrac{a}{b}$.
- Легенда гласит, что открывателя этой неудобной истины бросили за борт корабля.
- Сегодня мы классифицируем числа на группы, и это разделение — рациональные против иррациональных — остается фундаментальным.
Семейства чисел
- Натуральные числа $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ — числа для счета (в некоторых определениях включают $0$).
- Целые числа $\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$ — целые числа, положительные, отрицательные и ноль.
- Рациональные числа $\mathbb{Q}$ — любое число, которое можно записать $\dfrac{a}{b}$, где $a, b$ являются целыми числами, а $b \neq 0$.
- Иррациональные числа — всё остальное ($\pi$, $\sqrt{2}$, $e$): они не могут быть выражены в виде дроби.
Натуральные → Целые → Рациональные, каждое следующее семейство больше. Иррациональные числа живут снаружи.
Множества чисел
Каждое натуральное число является целым, каждое целое — рациональным — посмотрите, как множества чисел вкладываются друг в друга, а объединение и пересечение их связывают.
Сопоставьте каждое число с его наименьшим семейством чисел.
−5 и 0 являются целыми числами (целые числа, включая отрицательные). 3/7 — рациональное (дробь целых чисел). √3 — иррациональное (не может быть записано как a/b).
Множители, кратные и простые числа
- Множитель числа $n$ делит $n$ нацело. Множители числа $12$: $1, 2, 3, 4, 6, 12$.
- Кратное числа $n$ — это $n \times$, умноженное на целое число. Кратные числа $5$: $5, 10, 15, 20, \dots$.
- Простое число имеет ровно два множителя: $1$ и само себя.
- $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$ являются простыми. $1$ не является простым (у него только один множитель).
1 НЕ является простым. Простое число должно иметь ровно два различных множителя. У числа $1$ только один множитель (оно само), поэтому оно не соответствует определению.
Каждое натуральное число — целое, каждое целое — рациональное, каждое рациональное — вещественное; иррациональные числа, такие как $\pi$ и $\sqrt{2}$, являются вещественными, но не рациональными
Какое из этих чисел простое?
У 13 ровно два делителя (1 и 13). 1 не является простым; 9 = 3×3; 15 = 3×5.
Число 1 является простым числом.
У 1 только один делитель (сам себя). Простое число должно иметь ровно два различных делителя.
Наименьшее простое число — ______.
2 является наименьшим (и единственным четным) простым числом.
Разложение на простые множители, НОД и НОК
- Представьте любое число в виде произведения простых: $72 = 2^3 \times 3^2$, $120 = 2^3 \times 3 \times 5$.
- НОД (наибольший общий делитель): берите наименьшую степень каждого общего простого множителя.
- НОД чисел $72$ и $120$ равен $= 2^3 \times 3 = 24$.
- НОК (наименьшее общее кратное): берите наибольшую степень каждого простого множителя, который встречается.
- НОК для $72$ и $120$ $= 2^3 \times 3^2 \times 5 = 360$.
Продолжайте делить, пока каждая ветвь не закончится простым числом (обведено); их произведение даст $72 = 2^3 \times 3^2$
Быстрая проверка. НОК × НОД должен быть равен произведению двух чисел: $24 \times 360 = 8640$ и $72 \times 120 = 8640$. ✓
Найдите НОД 72 и 120. (72 = 2³×3², 120 = 2³×3×5)
Возьмите наименьшие общие степени: 2³ × 3 = 8 × 3 = 24.
Найдите НОК 72 и 120.
Возьмите наибольшие степени: 2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 360.
Интересный факт
- Простых чисел бесконечно много (это доказал Евклид около 300 г. до н.э.).
- Самое большое известное простое число (на 2024 год) имеет более 41 миллиона цифр — это $2^{136{,}279{,}841} - 1$, простое число Мерсена.
Обратные величины и разрядность
- Обратная величина ненулевого числа при умножении дает 1: для $3/7$ это $7/3$, поскольку $(3/7)(7/3)=1$. У нуля нет обратной величины.
- Группируйте большие числа по тысячам: 6000042 — шесть миллионов сорок два. $6\,000\,042=6(1\,000\,000)+42$; нули занимают отсутствующие разряды.
Найдите обратную величину 5/9.
Обратная величина равна 9/5 = 1.8; умножение на 5/9 дает 1.
Вы поняли
- натуральное $\mathbb{N}$ → целое $\mathbb{Z}$ → рациональное $\mathbb{Q}$; иррациональные числа находятся вне этих множеств
- простое = ровно два делителя ($1$ не является простым)
- НОД = наименьшие общие степени простых; НОК = наибольшие степени простых для каждого простого числа
- $72 = 2^3 \times 3^2$, $120 = 2^3 \times 3 \times 5$ → НОД $24$, НОК $360$