Иррациональные числа (корни)

Число, сломавшее греков

• Диагональ единичного квадрата равна $\sqrt{2} \approx 1.41421356\dots$ — цифры никогда не повторяются и не заканчиваются.
• Никакая дробь не равна ему точно. Поэтому мы называем его иррациональным корнем (surd): иррациональный корень, который оставляют в точной форме.

Что такое иррациональный корень?

• Иррациональный корень (surd) — это корень, который нельзя упростить до рационального числа.
• $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt[3]{10}$ — иррациональные корни (surd), они иррациональны.
• $\sqrt{4} = 2$ и $\sqrt[3]{27} = 3$ не являются иррациональными корнями (surd), так как они упрощаются до целых чисел.

Иррациональные корни происходят от диагоналей: у квадрата $1 \times 1$ диагональ равна $\sqrt{2}$; у квадрата $2 \times 2$ диагональ равна $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Правила работы с иррациональными корнями

• $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ — объединяются под один корень.
• $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ — разделяются под один корень.
• Упростите, вынеся наибольший полный квадратный множитель:

Избавление от иррациональности в знаменателе

• Дробь с иррациональным корнем в знаменателе не является простейшей формой.
• Умножьте числитель и знаменатель на иррациональный корень, чтобы убрать его из знаменателя:

Почему нужно сохранять точность иррациональных корней?

• $\sqrt{2} \approx 1.414$ — это приближение; $\sqrt{2}$ — точно.
• В инженерии и физике преждевременное округление приводит к накоплению ошибок — сохранение иррациональных корней сохраняет точность на протяжении длинных вычислений.

Одинаковые иррациональности и знаменатели с двумя слагаемыми

• Сначала упростите каждый корень: $\sqrt{200}-\sqrt{32}=10\sqrt2-4\sqrt2=6\sqrt2$. Складывайте только одинаковые части иррациональностей.
• Для $1/(\sqrt3-1)$ умножьте на сопряжённое $\sqrt3+1$: знаменатель равен $(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)=3-1=2$. Таким образом, результат составляет $(\sqrt3+1)/2$; умножаемая дробь равна 1.

Вы поняли