Экспоненциальный рост и спад
| English | Русский |
|---|---|
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | экспоненциального роста |
| compound/ˈkɒmpaʊnd/ | соединения |
| decay/dɪˈkeɪ/ | распадом |
| depreciation/dɪˌpriːʃɪˈeɪʃn/ | деpreciация |
| half-life/hɑːf laɪf/ | период полураспада |
Одна бактерия становится миллиардом
- Бактерия делится каждые 20 минут. Через 10 часов (30 делений) одна клетка становится $2^{30} \approx 1\,073\,741\,824$ — более миллиарда.
- Это экспоненциальный рост: одно и то же процентное увеличение каждый период, которое складывается.
- Линейный рост добавляет фиксированную сумму; экспоненциальный рост умножает — и в конце он всегда побеждает.
Формула сложного процента
- Когда величина изменяется на один и тот же процент каждый период:
- $P$ = начальное значение, $r$ = процентная ставка за период, $t$ = количество периодов.
- Рост: $r > 0$; убывание: $r < 0$ (или используйте множитель ниже 1).
Экспоненциальный рост (кривая) начинается медленно, но в итоге значительно опережает линейный рост (прямую линию).
Сложный процент
Деньги растут на (1 + r) каждый год, поэтому график сложных процентов идет круче графика простых. Перетащите ставку и количество лет.
Экспоненциальный рост и спад
y = a·bˣ
Изменяйте основание b: b > 1 означает рост, 0 < b < 1 означает спад — полезно для процентов и популяций.
Автомобиль теряет 15% своей стоимости каждый год. Какой yearly multiplier (ежегодный множитель) вы используете?
Потеря 15% оставляет 85%, поэтому множитель равен 0.85.
Ежегодное снижение стоимости автомобиля является примером:
Постоянная потеря процента каждый год — это экспоненциальный спад (множитель < 1, применяемый повторно).
Формула сложного роста: итог = P × (1 + ______)^t, где r — процентная ставка.
Ставку r% нужно перевести в десятичную дробь: r/100. Значит, множитель равен (1 + r/100).
Экспоненциальное убывание и амортизация
- Убывание работает так же, но с множителем ниже 1.
- Машина стоимостью 20 000 теряет 15% каждый год → множитель $0.85$.
- Через 4 года: $20\,000 \times 0.85^4 = 20\,000 \times 0.5220 \approx 10\,440$.
Период полураспада. Радиоактивный изотоп распадается на 10% в год. Его «период полураспада» (время, за которое масса уменьшается вдвое) составляет $\dfrac{\ln 2}{\ln(1/0.9)} \approx 6.6$ лет — это можно найти, решив уравнение $0.9^t = 0.5$.
Автомобиль стоимостью 20000 обесценивается на 15% в год. Его стоимость через 4 лет (с точностью до 10) составляет:
20000 × 0.85⁴ = 20000 × 0.5220 ≈ 10440.
Разобранный пример
- Население 5000 растет на 8% в год. Через 6 лет:
- $5000 \times 1.08^6 = 5000 \times 1.5869 \approx 7934$.
Сложные ≠ простые. 8% в год в течение 6 лет — это не $8 \times 6 = 48\%$ всего (такое дало бы $5000 \times 1.48 = 7400$). Сложные проценты дают $58.7\%$ всего — почти на 11% больше, так как каждый год прирост приносит новый прирост.
Популяция 5000 растет на 8% в год. Какова популяция через 6 лет (ближайшее целое)?
5000 × 1.08⁶ = 5000 × 1.5869 ≈ 7934.
Рост на 8% в течение 6 лет дает общее увеличение ровно на 48%.
Сложные проценты дают 1.08⁶ ≈ 1.587, прирост 58.7% — больше, чем 48%, потому что рост приносит новый рост.
Где проявляется экспоненциальный рост
- Эпидемии: раннее распространение часто бывает экспоненциальным (каждый зараженный заражает других).
- Инвестиции: сложный процент — это экспоненциальный рост ваших денег.
- Технологии: Закон Мура предсказывал удвоение вычислительной мощности каждые ~2 года на протяжении десятилетий.
Вы поняли
- экспоненциальные изменения используют формулу сложного процента $P(1 + r/100)^t$
- рост = множитель $> 1$; убывание/амортизация = множитель $< 1$
- ежегодная потеря 15% → множитель $0.85$; через 4 года: $20\,000 \times 0.85^4 \approx 10\,440$
- экспоненциальный рост в конце всегда побеждает линейный — сложность приносит рост на рост