Округление, оценка и пределы точности

Словарь

English	Русский
decimal places/ˈdesɪml ˈpleɪsɪz/	знаков после запятой
significant figures/sɪɡˈnɪfɪkənt ˈfɪɡəz/	значащие цифры
estimation/ˌestɪˈmeɪʃn/	оценка
limits of accuracy/ˈlɪmɪts ɒv ˈækjʊrəsi/	пределы точности

Достаточно близко?

Строителю нужно 3,47 м доски, но в магазине отсчёт ведётся до ближайших 0,1 м. Он купит 3,5 м.
Инженеру требуется измерение 3,470 м с точностью до миллиметра. Точность имеет значение — и знание того, какая именно точность необходима, является математическим навыком.

Исследовать

Лаборатория округления и границ

Классифицируйте числа по необходимому решению для обеспечения точности.

Округление до десятичных знаков

Считайте цифры после запятой.
$3.14159$ округлённое до 2 д.з. $= 3.14$ (смотрите на третий знак: $1 < 5$, округляем вниз).
$3.146$ округлённое до 2 д.з. $= 3.15$ (смотрите на третий знак: $6 \geq 5$, округляем вверх).

Практика

Округлите 3,146 до 2 знаков после запятой. Запишите ответ в виде десятичной дроби.

Округление до значащих цифр

Считайте от первой ненулевой цифры (слева направо).
$5764$ до 1 значащей цифры $= 6000$ (первая значащая цифра — $5$; следующая цифра $7 \geq 5$, округляем вверх).
$0.003\,47$ округлённое до 2 з.ч. $= 0.0035$ (первые две з.ч. — это $3$ и $4$; следующая цифра $7 \geq 5$, округляем вверх).

Числовая прямая от 3,0 до 3,8 с точкой в 3,47, стрелки указывают на 3,5 (1 д.з.) и 3,5 (2 з.ч.)

Округление — это поиск ближайшей отметки — к какому значению ближе всего $3.47$?

Watch out

Ведущие нули не считаются. В $0.00347$ первой значащей цифрой является $3$ (а не $0$). Нули перед $3$ — лишь заполнители.

Практика

Как округлить 5764 до 1 значащей цифры?

6000
5000
5800
5760

Практика

В числе 0,00347 первая значащая цифра — 0.

Оценки

Округлите каждое число в вычислении до 1 значащей цифры, затем посчитайте.
$\dfrac{41.3}{9.79 \times 0.765} \approx \dfrac{40}{10 \times 0.8} = \dfrac{40}{8} = 5$.
Оценка — это быстрая проверка адекватности результата: если калькулятор выдаёт $500$, значит где-то ошибка.

Example

Быстрая проверка. $49 \times 21 \approx 50 \times 20 = 1000$. Реальный ответ составляет $1029$ — достаточно близко, чтобы подтвердить, что результат находится в правильном диапазоне.

Практика

Оцените 41.3 / (9.79 × 0.765), округлив каждое значение до 1 значащей цифры.

Пределы точности (Core и Extended)

Округлённое измерение имеет диапазон возможных истинных значений.
$635$ м, округлённое до ближайшего метра: $634.5 \leq h < 635.5$.
Расширенный курс: для комбинированных измерений делайте результат максимально большим (или малым). Для произведения (площадь = длина × ширина): максимум = ВГ × ВГ, минимум = НГ × НГ. Для частного (скорость = расстояние ÷ время): максимум = ВГ расстояния ÷ НГ времени, минимум = НГ расстояния ÷ ВГ времени — наибольшее числитель делить на наименьший знаменатель.

Практика

Высота составляет 635 м с округлением до метров. Каков нижний предел (м)?

Практика

Длина равна 8.4 см, округлённая до 1 знака после запятой. Какова верхняя граница?

Границы измерения относятся также к основному курсу

Показание 8.6 см с округлением до ближайшего 0.1 см имеет полшаг 0.05 см: $8.55\le l<8.65$. Включите нижнюю границу; верхняя граница округляется до 8.7.
Расширенные вычисленные границы: для положительных $d\in[99.5,100.5)$ км и $t\in[1.95,2.05)$ ч скорость имеет нижнюю границу $99.5/2.05\approx48.5366$ и верхнюю границу $100.5/1.95\approx51.5385\text{ km/h}$. Основные остановки находятся на границах измеренных входных данных.