Степени, корни и показатели
| English | Русский |
|---|---|
| power/ˈpaʊə/ | мощность |
| index/ˈɪndeks/ | индекс |
| base/beɪs/ | основанием |
| square root/skweə ruːt/ | квадратный корень |
| cube root/kjuːb ruːt/ | кубический корень |
| laws of indices/lɔːz ɒv ˈɪndɪsiːz/ | законы показателей степени |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | обратной величиной |
Задача о зернышках на шахматной доске
- Король предложил награду за изобретение шахмат. Изобретатель попросил 1 зерно риса на первой клетке, 2 — на второй, 4 — на третьей, удваивая количество каждый раз.
- К 64-й клетке: $2^{63}$ зёрен — больше риса, чем когда-либо существовало на Земле.
- Вот сила степеней — повторяющееся умножение растёт невероятно быстро.
Лабораторная работа по степеням и корням
квадрат = x^2
Измените основание и наблюдайте, как растут степени, пока корни отменяют степени.
Степени
- Степень (или показатель) показывает повторяющееся умножение: $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.
- Основание — число, которое умножается ($2$); показатель (или экспонента) говорит, сколько раз ($5$).
- Знать квадраты до $15^2 = 225$ и кубы до $5^3 = 125$.
Корни
- Квадратный корень обратен возведению в квадрат: $\sqrt{169} = 13$ (потому что $13^2 = 169$).
- Кубический корень обратен возведению в куб: $\sqrt[3]{8} = 2$ (потому что $2^3 = 8$).
- Корни и степени — взаимообратные операции.
Диагональ квадрата равна квадратному корню из удвоенного квадрата стороны — геометрия даёт нам корни.
$5^2 \times \sqrt[3]{8} = 25 \times 2 = 50$. Сначала вычислите степень и корень, затем умножьте.
Вычислите 5² × ∛8.
5² = 25 и ∛8 = 2, значит 25 × 2 = 50.
Законы показателей
- Эти три правила позволяют упростить любое выражение со степенями:
Только одинаковое основание. Складывать/вычитать показатели можно только при совпадении оснований. $2^3 \times 3^2$ не упрощается до $6^5$ — основания разные.
Используя свойства показателей, чему равно 2³ × 2⁴ в виде одного числа?
2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128.
Нулевые, отрицательные и дробные степени
- $a^0 = 1$ для любого ненулевого $a$ (даже $7^0 = 1$).
- $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ — отрицательный показатель означает обратную дробь ($3^{-2} = \dfrac{1}{9}$).
- Расширенный курс: $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ — дробные степени равны корням ($8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2$).
Вычислите 81^(1/2).
81^(1/2) = √81 = 9.
Чему равно 3⁻²?
3⁻² = 1/3² = 1/9. Отрицательный показатель означает обратное число, а не отрицательное значение.
Для любого ненулевого числа a, a⁰ = 1.
Правило нулевого показателя дает a⁰ = 1 для всех a ≠ 0.
Заполните: 4⁻¹ = ______.
4¹ = 1/4 = 0.25. Степень −1 дает обратное число.
Вы поняли
- умножать степени с одинаковым основанием → складывать показатели; делить → вычитать; степень степени → перемножать
- $a^0 = 1$, $\;a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, $\;a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$
- $5^2 \times \sqrt[3]{8} = 25 \times 2 = 50$; $\;2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128$