Стандартный вид
| English | Русский |
|---|---|
| standard form/ˈstændəd fɔːm/ | стандартный вид |
| integer/ˈɪntɪdʒə/ | integer |
От атомов до галактик
- Ширина атома водорода составляет примерно $0.000\,000\,000\,106$ метров.
- Расстояние до ближайшей звезды составляет примерно $40\,000\,000\,000\,000$ метров.
- Писать такие числа неудобно — и легко ошибиться. Стандартный вид решает обе проблемы.
Путь к стандартному виду
Превратите большое или маленькое число в форму a × 10^n.
Формат $A \times 10^n$
- Стандартный вид записывает любое число как $A \times 10^n$, где:
- $1 \leq A < 10$ («передняя часть» имеет ровно одну цифру перед десятичной точкой),
- $n$ — целое число (положительное для больших чисел, отрицательное для малых).
Каждая отметка в 10 раз больше предыдущей. Стандартный вид показывает, рядом с какой отметкой находится число.
В стандартном виде переднее число A должно удовлетворять условию 1 ≤ A < 10.
По определению, A находится между 1 (включительно) и 10 (исключительно) — ровно одна цифра перед десятичной точкой.
Преобразование больших и малых чисел
- Большие числа: посчитайте, на сколько позиций запятая смещается влево → положительная степень.
- $4\,500\,000 = 4.5 \times 10^6$ (точка перемещается на 6 позиций влево).
- Малые числа (менее 1): подсчитайте, на сколько позиций запятая сместилась вправо → отрицательная степень.
- $0.000\,72 = 7.2 \times 10^{-4}$ (точка перемещается на 4 позиции вправо).
Быстрый метод. Запишите первую ненулевую цифру, затем десятичную точку, а затем остальные значащие цифры. Подсчитайте количество перемещений: это и есть $n$.
Галактика: огромные расстояния записываются компактно в стандартном виде
Запишите 4 500 000 в виде A × 10ⁿ. Какова степень n?
4 500 000 = 4.5 × 10⁶, значит n = 6.
Запишите 0.00072 в стандартном виде A × 10. Каково n?
0.00072 = 7.2 × 10⁻⁴, значит n = −4.
Вычисления в стандартном виде
- Умножение: умножьте мантиссы, прибавьте степени.
- $(3 \times 10^5) \times (2 \times 10^{-2}) = 6 \times 10^3$.
- Деление: разделите мантиссы, вычтите степени.
- $(8 \times 10^7) \div (4 \times 10^3) = 2 \times 10^4$.
Отрегулируйте при необходимости. После умножения мантисса может быть равна $\geq 10$. Корректировка: $15 \times 10^3 = 1.5 \times 10^4$.
(3 × 10) × (2 × 10⁻²) = A × 10³. Каково A?
3 × 2 = 6 и 10⁵ × 10⁻² = 10³, значит ответ 6 × 10³.
(8 × 10⁷) ÷ (4 × 10³) = A × 10ⁿ. Каково n?
8 ÷ 4 = 2 и 10⁷ ÷ 10³ = 10⁴, значит n = 4.
Что из перечисленного является правильным записью 5 × 10³ × 3 × 10² в стандартном виде?
5 × 3 = 15 и 10³ × 10² = 10⁵, получаем 15 × 10⁵. Коррекция: 1.5 × 10⁶.
Почему учёные любят стандартный вид
- Скорость света: $3.0 \times 10^8$ м/с — триста миллионов метров в секунду.
- Ширина спирали ДНК: $2.0 \times 10^{-9}$ м — две миллиардные доли метра.
- Сравнивайте одноимённые величины с одинаковыми единицами. Длина $2.0\times10^{-6}$ м составляет $1000$ от длины $2.0\times10^{-9}$ м; скорость нельзя сравнивать с шириной.
Для сложения необходима общая степень
- При сложении сначала запишите оба числа с одинаковой степенью десятки: $3.2\times10^5+7\times10^4=(3.2+0.7)10^5=3.9\times10^5$.
- Нормализуйте результат после вычислений: $(8\times10^3)(4\times10^2)=32\times10^5=3.2\times10^6$. Основные вычисления в стандартном виде выполняются на калькуляторе Paper 3.
Вычислите (3.2 × 10⁵ + 7 × 10⁴) / 10⁵.
Используйте ту же степень: 3.2 + 0.7 = 3.9.
Вы поняли
- стандартный вид $= A \times 10^n$ с $1 \leq A < 10$
- большие числа → положительная $n$; малые числа $(< 1)$ → отрицательная $n$
- умножение: мантиссы $\times$, степени $+$; деление: мантиссы $\div$, степени $-$
- $4\,500\,000 = 4.5 \times 10^6$; $\;0.000\,72 = 7.2 \times 10^{-4}$