Ratio, proportion and rates
| English | Русский |
|---|---|
| ratio/ˈreɪʃɪəʊ/ | разность |
| direct proportion/daɪˈrekt prəˈpɔːʃn/ | прямая пропорциональность |
| rate/reɪt/ | скоростью |
| average speed/ˈævrɪdʒ spiːd/ | средняя скорость |
Честное разделение пиццы
- Вы и друг делите пиццу в соотношении $3:5$. Вам достается $\dfrac{3}{8}$, другу — $\dfrac{5}{8}$.
- Отношения касаются честного разделения — разобщения общего количества на части, сохраняющие фиксированное соотношение.
Что такое отношение?
- Отношение $a:b$ сравнивает две величины — «на каждые $a$ одной вещи приходится $b$ другой».
- Упростить, разделив обе части на их НОД: $20:30 = 2:3$.
- Отношения не имеют единиц измерения — $3\text{ cm}:5\text{ cm}$ это просто $3:5$.
Отношения ≠ дроби. Отношение $3:5$ НЕ означает «$\dfrac{3}{5}$ от общего». Оно означает, что общее разделено на $3+5=8$ частей: одна получает $\dfrac{3}{8}$, другая — $\dfrac{5}{8}$.
Direct proportion
y = ax
Direct proportion is a straight line through the origin — double x and you double y.
What is the ratio 24:36 in its simplest form?
HCF of 24 and 36 is 12. 24÷12 = 2, 36÷12 = 3. Simplest form: 2:3.
The ratio 3:5 means one person gets 3/5 of the total.
3:5 means 3+5 = 8 parts total. One gets 3/8, the other gets 5/8 — not 3/5.
Деление в отношении
- Метод: сложите части, разделите общее количество, умножьте обратно.
- Разделите 48 в отношении $3:5$:
- Общее число частей $= 3 + 5 = 8$. Одна часть $= 48 \div 8 = 6$.
- Доли: $3 \times 6 = 18$ и $5 \times 6 = 30$. Проверка: $18 + 30 = 48$. ✓
Модель столбца: разделите общее количество на равные части, затем сгруппируйте их согласно отношению.
Share 48 in the ratio 3:5. What is the larger share?
8 parts, one part = 48/8 = 6, so the larger share is 5 × 6 = 30.
Share 120 in the ratio 1:3. What is the smaller share?
4 parts, one part = 120/4 = 30. Smaller share = 1 × 30 = 30.
Прямая пропорциональность
- Две величины находятся в прямой пропорциональности, если они увеличиваются с одинаковой скоростью.
- Если 3 ручки стоят 1,80, то 1 ручка стоит $1.80 \div 3 = 0.60$, значит 7 ручек стоят $7 \times 0.60 = 4.20$.
- Ключевая идея: найдите стоимость одной, затем масштабируйте вверх.
Масштабирование рецепта. Торт на 4 человека требует 200 г муки. На 10 человек: муки на человека $= 50$ г, значит $10 \times 50 = 500$ г.
If 3 pens cost 1.80, what do 7 pens cost?
One pen = 1.80/3 = 0.60, so 7 pens = 7 × 0.60 = 4.20.
Ставки и скорость
- Ставка сравнивает две разные величины: цена за кг, км в час, слова в минуту.
- Средняя скорость $= \dfrac{\text{total distance}}{\text{total time}}$.
- 45 км за 3 часа 45 минут $= 45 \div 3.75 = 12$ км/ч.
A cyclist travels 45 km in 3 hours 45 minutes. What is the average speed in km/h?
3 h 45 min = 3.75 hours. Average speed = 45 ÷ 3.75 = 12 km/h.
Отношения величин, кроме скорости
- Сравните одинаковые количества для определения выгодности: 3 кг за 18 юаней стоят $c=18/3=6$ юаней за кг; 5 кг за 28 юаней стоят $c=28/5=5.6$ юаней за кг, поэтому большая упаковка дешевле за кг.
- Кран с потоком 12 литров в минуту наполняет 90 литров за $t=V/r=90/12=7.5$ мин. Если плотность задана как $\rho=m/V$, то масса 90 г в объёме $30\text{ cm}^3$ даёт плотность $\rho=90/30=3\text{ g/cm}^3$. При расчёте средней скорости учитывайте время простоя.
At 12 litres per minute, how many minutes are needed for 90 litres?
Time = volume / rate = 90 / 12 = 7.5 minutes.
Вы поняли
- упростите отношение через НОД; разделите, подсчитывая части (сложите, разделите, умножьте обратно)
- пропорция: найдите стоимость одной, затем масштабируйте вверх
- средняя скорость $= \text{distance} \div \text{time}$ (переведите время в десятичные часы сначала)
- соотношение $3:5$ означает $\dfrac{3}{8}$ и $\dfrac{5}{8}$ от общего количества — не $\dfrac{3}{5}$