Множества
| English | Русский |
|---|---|
| set/set/ | множество |
| elements/ˈelɪmənts/ | элементы |
| universal set/ˌjuːnɪˈvɜːsl set/ | универсальное множество |
| empty set/ˈempti set/ | пустое множество |
| intersection/ˌɪntəˈsekʃn/ | пересечения |
| union/ˈjuːnɪən/ | профсоюзом |
| complement/ˈkɒmplɪmənt/ | дополнением |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | диаграмма Венна |
Класс 2024 года
- В школе 30 учеников. 18 изучают французский, 12 — испанский, а 5 изучают оба языка.
- Сколько изучают ни один? Нельзя просто сложить — нужны множества.
- Множества — язык группировки, и они лежат в основе всего: от баз данных до теории вероятностей.
Что такое множество?
- Множество — это совокупность различных объектов (элементы или члены).
- Записывается фигурными скобками: $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
- $3 \in A$ означает «$3$ является элементом $A$»; $7 \notin A$ означает «$7$ не является».
- Универсальное множество $\xi$ содержит всё рассматриваемое. Пустое множество $\emptyset$ не имеет элементов.
$A\cap B=\{6\}$ — единственное число в обоих кругах; $A\cup B$ — всё внутри любого из кругов
Операции над множествами на диаграмме Эйлера-Венна
Диаграмма Эйлера-Венна показывает два множества. Переходите по операциям, чтобы увидеть, какие области выделяются объединением, пересечением и дополнением.
Пустое множество ∅ является подмножеством любого множества.
Пустое множество не содержит элементов, поэтому оно тривиально включено в любое множество.
Пересечение и объединение
- Пересечение $A \cap B$: элементы, принадлежащие обоим $A$ и $B$.
- Объединение $A \cup B$: элементы, принадлежащие $A$ или $B$ (или обоим сразу).
- Дополнение $A'$: всё, что входит в универсальное множество, но не входит в $A$.
$A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$. Затем $A \cap B = \{3, 4\}$ и $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
A = {2,4,6,8,10} и B = {3,6,9}. Сколько элементов содержится в A ∩ B?
Только 6 есть в обоих множествах, поэтому A ∩ B = {6}, что составляет 1 элемент.
Для тех же A и B, сколько элементов содержится в A ∪ B?
A ∪ B = {2,3,4,6,8,9,10}, что составляет 7 элементов.
Символ ∩ означает:
∩ — это пересечение (элементы в обоих A и B); ∪ — это объединение.
Диаграммы Венна
- Диаграмма Венна изображает множества как перекрывающиеся круги внутри прямоугольника (универсального множества).
- Область пересечения = пересечение; всё, что внутри круга = члены этого множества.
Диаграммы Венна показывают связи между множествами — здесь каждое натуральное число также является целым и рациональным.
Не считайте дважды. При нахождении $n(A \cup B)$ используйте $n(A) + n(B) - n(A \cap B)$. Пересечение учитывается по одному разу в каждом множестве, поэтому вычтите его один раз.
Разобранный пример
- 30 учеников, $F =$ французский (18), $S =$ испанский (12), $F \cap S = 5$.
- $n(F \cup S) = 18 + 12 - 5 = 25$.
- Ни $= 30 - 25 = 5$ ученик не изучает ни одного языка.
n(A) = 5, n(B) = 3, n(A ∩ B) = 1. Найдите n(A ∪ B).
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) = 5 + 3 − 1 = 7.
В классе 30 учеников, 18 изучают французский, 12 — испанский, и 5 изучают оба языка. Сколько изучают ни один?
n(F ∪ S) = 18 + 12 − 5 = 25. Ни один = 30 − 25 = 5.
Три множества (Расширенный вариант)
- На диаграмме Венна с тремя множествами заполняйте сначала тройное пересечение, затем области, принадлежащие ровно двум множествам, а затем области одного множества. Если $n(A\cap B)=7$ включает 2 во всех трех множествах, область только AB равна $7-2=5$.
- Для $n(A)=12,n(B)=10,n(C)=9$, пары пересечений AB=4, AC=3, BC=2 и тройное=1, объединение равно $n(A\cup B\cup C)=12+10+9-4-3-2+1=23$. Тройное пересечение добавляется обратно, так как три вычитания пар удалили его слишком много раз.
Размеры множеств составляют 12,10,9; пересечения пар — 4,3,2; тройное пересечение — 1. Найдите размер объединения.
Сложите одиночные элементы, вычтите все пары, прибавьте тройное: 31−9+1 = 23.
Вы поняли
- $A \cap B$ = пересечение (оба); $A \cup B$ = объединение (любой из них или оба); $A'$ = дополнение
- $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ — вычтите пересечение
- Диаграммы Венна визуально показывают отношения между множествами; прямоугольник — это универсальное множество
- $\emptyset$ = пустое множество; $\xi$ = универсальное множество