Этот раздаточный материал охватывает Раздел 3: Дополнительная механика. Он расширяет раздел механики, включая движение снарядов, твердых тел, круговое движение, упругие нити, переменные силы и столкновения. Изучите $g = 10\ \text{m s}^{-2}$.
Дополнительная механика
A-Level Дополнительная математика · Тема 3
8:04
Дополнительная механика
Бросьте мяч, выпустите струю воды, запустите что угодно в воздух — и оно проследует один и тот же элегантный путь: параболу. Секрет заключается в том, чтобы разделить движение на две части.…
Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
3.1
Движение снаряда
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| моделировать движение снаряда как частицы, движущейся с постоянным ускорением, и понимать любые ограничения этой модели | Векторные методы не требуются |
| использовать горизонтальные и вертикальные уравнения движения для решения задач о движении снарядов, включая нахождение модуля и направления скорости в заданный момент времени или в заданной точке, дальности полета по горизонтальной плоскости и максимальной достигнутой высоты | |
| • выводить и использовать картезианское уравнение траектории тела, брошенного под углом к горизонту, включая задачи, в которых начальная скорость и/или угол броска могут быть неизвестны. | Знание «ограничивающей параболы» для доступных точек не требуется. |
Источник: Программа Cambridge International
Проектильное тело движется свободно под действием гравитации, поэтому оно имеет постоянное ускорение $g$ вниз и нулевое горизонтальное ускорение. Рассматривайте горизонтальное и вертикальное движения отдельно. Если тело выпущено со скоростью $u$ под углом $\alpha$:
$$\text{horizontal: } x = u\cos\alpha\,\cdot t, \qquad \text{vertical: } y = u\sin\alpha\,\cdot t - \tfrac12 g t^2.$$
Исключив $t$, получаем декартово уравнение траектории (траектории полета), которая представляет собой параболу. При фиксированной начальной скорости все траектории лежат внутри ограничивающей параболы (огибаемой достижимых точек). Дальность на горизонтальной поверхности равна $\dfrac{u^2\sin 2\alpha}{g}$, а максимальная высота — $\dfrac{u^2\sin^2\alpha}{2g}$.
Разобранный пример. Шар брошен со скоростью $u = 20\ \text{m s}^{-1}$ под углом $30^\circ$ к горизонту. Найдите дальность полета и максимальную высоту.
$$\text{range} = \frac{20^2\sin 60^\circ}{10} = 40\times 0.866 = 34.6\ \text{m}, \qquad \text{height} = \frac{20^2\sin^2 30^\circ}{2\times 10} = \frac{400\times 0.25}{20} = 5\ \text{m}.$$
Исследовать
Запуск снаряда
Выпустите мяч, затем измените угол и скорость. Горизонтальное движение равномерное, а гравитация тянет его вниз — вместе они образуют параболу. Найдите угол для максимальной дальности полёта и попробуйте на Луне.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| Further Mechanics/ˈfɜːðə mɪˈkænɪks/ | Дополнительная механика |
| projectile/prəˈdʒektaɪl/ | снаряд |
| constant acceleration/ˈkɒnstənt əkˌseləˈreɪʃn/ | постоянное ускорение |
| Cartesian equation/kɑːˈtiːzɪən ɪˈkweɪʒn/ | декартово уравнение |
| trajectory/trəˈdʒektəri/ | траектория |
3.2
Равновесие твердого тела
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| • вычислять момент силы относительно точки | Только для вопросов, касающихся сопоставимых сил; понимание векторной природы моментов не требуется. |
| • использовать факт, что действие гравитации на твердое тело эквивалентно одной силе, приложенной к центру масс этого тела, а также определять положение центра масс однородного тела с использованием соображений симметрии | |
| • использовать заданную информацию о положении центра масс треугольной пластины и других простых фигур | Доказательство результатов, приведенных в списке формул MF19, не требуется. |
| • определять положение центра масс составного тела, рассматривая его как эквивалентную систему частиц | Только простые случаи, например, однородная Г-образная пластина или однородный конус, соединенный основанием с однородной полусферой того же радиуса. |
| • использовать принцип, согласно которому, если твердое тело находится в равновесии под действием сопоставимых сил, то векторная сумма этих сил равна нулю, а сумма моментов сил относительно любой точки также равна нулю, и обратное утверждение | |
| • решать задачи о равновесии одного твердого тела под действием сопоставимых сил, включая задачи, связанные с опрокидыванием или скольжением. |
Источник: Программа Cambridge International
Момент силы относительно точки равен силе $\times$ перпендикулярное расстояние; он характеризует вращающее действие. Вес тела действует в его центре масс, который можно найти, используя симметрию для однородной плоской фигуры (пластины), или рассматривая составное тело как совокупность частиц.
Твердое тело под действием соплосных сил находится в равновесии, когда одновременно выполняются два условия: векторная сумма сил равна нулю, и сумма моментов относительно любой точки равна нулю. Тело также может находиться на грани опрокидывания (переворачивания) или скольжения.
Разобранный пример. Однородный брус $AB$ длиной $4\ \text{m}$ и весом $100\ \text{N}$ опирается на шарнир в точке $A$. Вертикальная сила $F$, действующая в точке $B$, удерживает его в горизонтальном положении. Найдите $F$.
Возьмите моменты относительно $A$ (вес действует в центре, на расстоянии $2\ \text{m}$ от $A$):
$$F\times 4 = 100\times 2 \;\Rightarrow\; F = 50\ \text{N}.$$
Исследовать
Равновесие сил
результирующая = 0
Тело находится в равновесии, когда силы, сложенные по цепочке (от конца к началу), дают в сумме ноль.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| moment/ˈməʊmənt/ | момент |
| centre of mass/ˈsentə ɒv mæs/ | центра масс |
| symmetry/ˈsɪmətri/ | симметрию |
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | равновесные |
| toppling/ˈtɒplɪŋ/ | опрокидывание |
| sliding/ˈslaɪdɪŋ/ | скольжение |
| angular speed/ˈæŋɡjʊlə spiːd/ | угловую скорость |
| centripetal acceleration/senˈtrɪpɪtl əkˌseləˈreɪʃn/ | центростремительное ускорение |
| horizontal circle/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈsɜːkl/ | горизонтальная окружность |
| vertical circle/ˈvɜːtɪkl ˈsɜːkl/ | вертикальная окружность |
| Hooke's law/hʊks lɔː/ | Закон Гука |
| modulus of elasticity/ˈmɒdjʊləs ɒv ɪlæˈstɪsɪti/ | модуль упругости |
| elastic potential energy/ɪˈlæstɪk pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | упругая потенциальная энергия |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | дифференциальное уравнение |
3.3
Круговое движение
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| понимать понятие угловой скорости для частицы, движущейся по окружности, и использовать соотношение $v = r\omega$ | |
| понимать, что ускорение частицы, движущейся по окружности с постоянной скоростью, направлено к центру окружности, и использовать формулы $r\omega^2$ и $\frac{v^2}{r}$. | Доказательство формул ускорения не требуется. |
| решать задачи, которые можно смоделировать движением частицы по горизонтальной окружности с постоянной скоростью | |
| решать задачи, которые можно смоделировать движением частицы по вертикальной окружности без потерь энергии. | Включая определение нормальной реакции опоры или натяжения нити, нахождение точек, где они равны нулю, и условий полного кругового движения. |
Источник: Программа Cambridge International
Для частицы, движущейся по окружности радиуса $r$, угловая скорость $\omega$ связана со скоростью соотношением $v = r\omega$. Ускорение направлено к центру — это центростремительное ускорение — величиной
$$a = r\omega^2 = \frac{v^2}{r}.$$
В горизонтальной окружности скорость постоянна — как в коническом маятнике (груз, качающийся на нити). В вертикальной окружности используйте закон сохранения энергии, так как скорость меняется с высотой; сила нормальной реакции или натяжение нити обеспечивают центростремительную силу.
Разобранный пример. Частица движется по горизонтальной окружности радиуса $2\ \text{m}$ с угловой скоростью $3\ \text{rad s}^{-1}$. Найдите ее скорость и ускорение.
$$v = r\omega = 2\times 3 = 6\ \text{m s}^{-1}, \qquad a = r\omega^2 = 2\times 3^2 = 18\ \text{m s}^{-2}.$$
Исследовать
Угол в радианах
Круговое движение измеряется в радианах: перетащите угол θ и радиус r, чтобы увидеть пройденную дугу — угловая скорость ω преобразует это в линейную v = rω.
3.4
Закон Гука
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| использовать закон Гука как модель, связывающую силу в упругой нити или пружине с ее удлинением или сжатием, и понимать термин модуль упругости | |
| использовать формулу для упругой потенциальной энергии, запасенной в нити или пружине | Доказательство формулы не требуется. |
| решать задачи, связанные с силами, действующими со стороны упругих нитей или пружин, в том числе там, где необходимо учитывать работу и энергию. | Например, частица движется горизонтально, вертикально или по наклонной плоскости, будучи прикрепленной к одной или нескольким нитям или пружинам, или частица, прикрепленная к упругой нити, которая служит «коническим маятником». |
Источник: Программа Cambridge International
Закон Гука гласит, что натяжение упругой нити или пружины пропорционально ее удлинению $x$:
$$T = \frac{\lambda x}{L},$$
где $L$ — натуральная длина, а $\lambda$ — жесткость (модуль упругости). Растяжение запасает потенциальную энергию упругости:
$$E = \frac{\lambda x^2}{2L}.$$
Разобранный пример. Упругая нить натуральной длины $2\ \text{m}$ и жесткости $50\ \text{N}$ растянута на $0.5\ \text{m}$. Найдите натяжение и запасенную энергию.
$$T = \frac{50\times 0.5}{2} = 12.5\ \text{N}, \qquad E = \frac{50\times 0.5^2}{2\times 2} = 3.125\ \text{J}.$$
Исследовать
Закон Гука
F = k·x
Сила пропорциональна удлинению — градиент является жесткостью k.
3.5
Линейное движение под переменной силой
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| решать задачи, которые можно смоделировать линейным движением частицы под действием переменной силы, составляя и решая соответствующее дифференциальное уравнение. | Включая использование $v \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ для ускорения, где это уместно. Требуемая математика ограничена содержанием Pure Mathematics 3 из Cambridge International A Level Mathematics (9709). Рассматриваются только дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. |
Источник: Программа Cambridge International
Когда сила зависит от положения $x$, используйте ускорение в виде $a = v\dfrac{dv}{dx}$, что превращает закон Ньютона в дифференциальное уравнение, связывающее $v$ и $x$.
Используйте dv/dt, когда сила зависит от времени, и vdv/dx, когда она зависит от положения*
Разобранный пример. Частица массой $8\ \text{kg}$ движется вдоль прямой под действием переменной силы величиной $(x^3 + 4x)\ \text{N}$, действующей в направлении движения. При $x = 0$, $v = 1$. Найдите $v$ через $x$.
Закон Ньютона дает $8v\dfrac{dv}{dx} = x^3 + 4x$. Разделяя переменные и интегрируя:
$$\int 8v\,dv = \int (x^3 + 4x)\,dx \;\Rightarrow\; 4v^2 = \tfrac14 x^4 + 2x^2 + C.$$
При $x = 0$, из выражения $v = 1$ следует $C = 4$, следовательно $4v^2 = \tfrac14 x^4 + 2x^2 + 4 = 4\left(\tfrac{x^2}{4} + 1\right)^2$. Отсюда $v = \tfrac14 x^2 + 1$.
Исследовать
Работа переменной силы
W = ∫ F dx
Когда сила изменяется, совершенная работа равна площади под графиком зависимости силы от расстояния.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| variable force/ˈveərɪəbl fɔːs/ | переменная сила |
| conservation of momentum/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv məʊˈmentəm/ | сохранения импульса |
| Newton's experimental law/ˈnjuːtnz ekˌsperɪˈmentl lɔː/ | экспериментальный закон Ньютона |
| coefficient of restitution/ˌkəʊɪˈfɪʃənt ɒv rɪstɪˈtjuːʃn/ | коэффициент восстановления |
| bounding parabola/ˈbaʊndɪŋ pəˈræbələ/ | ограничивающая парабола |
| lamina/ˈlæmɪnə/ | пластина (ламине) |
| coplanar forces/ˌkəʊˈpleɪnə ˈfɔːsɪz/ | соплосковые силы |
| conical pendulum/ˈkɒnɪkl ˈpendjʊləm/ | конический маятник |
| normal contact force/ˈnɔːml ˈkɒntækt fɔːs/ | нормальная контактная сила |
| oblique impact/əˈbliːk ˈɪmpækt/ | косой удар |
3.6
Импульс
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| вспомнить экспериментальный закон Ньютона и определение коэффициента восстановления, свойство $0 \leqslant e \leqslant 1$, а также значение терминов «абсолютно упругий» ($e = 1$) и «неупругий» ($e = 0$) | |
| использовать закон сохранения импульса и/или экспериментальный закон Ньютона для решения задач, которые могут быть смоделированы как прямое или косое столкновение двух гладких шаров, или прямое или косое столкновение гладкого шара с неподвижной поверхностью. |
Источник: Программа Cambridge International
При столкновении полный линейный импульс сохраняется — это закон сохранения линейного импульса. Упругость измеряется по экспериментальному закону Ньютона, который определяет коэффициент восстановления $e$:
$$e = \frac{\text{speed of separation}}{\text{speed of approach}}, \qquad 0 \leqslant e \leqslant 1.$$
Здесь $e = 1$ — абсолютно упругое столкновение (нет потери энергии), а $e = 0$ — неупругое (тела слипаются). При нецентральном ударе разложите скорости вдоль и перпендикулярно линии удара, применяя коэффициент восстановления вдоль линии удара.
Разобранный пример. Сфера $A$ массой $2\ \text{kg}$, движущаяся со скоростью $5\ \text{m s}^{-1}$, ударяет о неподвижную сферу $B$ массой $3\ \text{kg}$, при $e = 0.5$. Найдите скорости после удара.
Импульс: $2(5) = 2v_A + 3v_B$, значит $2v_A + 3v_B = 10$. Коэффициент восстановления: $v_B - v_A = 0.5(5) = 2.5$. Решение системы дает $v_A = 0.5\ \text{m s}^{-1}$ и $v_B = 3.0\ \text{m s}^{-1}$.
Исследовать
Столкновение
Установите массу и скорость каждого объекта, затем столкните их. Общий импульс сохраняется — посмотрите, какие получаются скорости.
3.6
Советы для экзамена
- Для проектильных тел разложите движение на горизонтальное (равномерное) и вертикальное ($a = g$), связанные общим временем.
- Для твердого тела в равновесии составьте уравнение моментов относительно точки, исключающей неизвестную силу.
- Для кругового движения используйте $F = mv^2/r = m\omega^2 r$ к центру; в вертикальной окружности проверьте минимальную скорость в верхней точке.
- При переменной силе используйте $a = v\,\frac{dv}{dx}$ и интегрируйте; упругая потенциальная энергия $= \frac{\lambda x^2}{2L}$.
Интерактивные уроки по этой теме
Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.