Lembar kerja ini mencakup Topik 3: Mekanika Lanjutan. Materi ini memperluas mekanika ke proyektil, benda kaku, gerak melingkar, tali elastis, gaya variabel, dan tumbukan. Ambil $g = 10\ \text{m s}^{-2}$.
Mekanika Lanjutan
Matematika Lanjutan A-Level · Topik 3
8:04
Mekanika Lanjutan
Lempar bola, tembakkan jet air, luncurkan apa pun ke udara — dan benda tersebut akan mengikuti kurva yang sama yang elegan: parabola. Rahasianya adalah memecah gerakan menjadi dua.…
Narasi bahasa Inggris · Subtitle bahasa Inggris + 中文 disematkan langsung
3.1
Gerak proyektil
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| • modelkan gerak peluru sebagai partikel yang bergerak dengan percepatan konstan dan pahami keterbatasan model tersebut | Metode vektor tidak diperlukan |
| • gunakan persamaan gerak horizontal dan vertikal untuk menyelesaikan masalah gerak peluru, termasuk menemukan besaran dan arah kecepatan pada waktu atau posisi tertentu, jangkauan pada bidang horizontal dan ketinggian maksimum yang dicapai | |
| • turunkan dan gunakan persamaan Kartesius lintasan peluru, termasuk masalah di mana kecepatan awal dan/atau sudut tembak mungkin tidak diketahui. | Pengetahuan tentang 'parabola batas' untuk titik-titik yang dapat dicapai tidak termasuk. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Sebuah proyektil bergerak bebas di bawah gravitasi, sehingga mengalami percepatan konstan $g$ ke bawah dan tidak ada percepatan horizontal. Perlakukan gerak horizontal dan vertikal secara terpisah. Jika diluncurkan dengan kecepatan $u$ dan sudut $\alpha$:
$$\text{horizontal: } x = u\cos\alpha\,\cdot t, \qquad \text{vertical: } y = u\sin\alpha\,\cdot t - \tfrac12 g t^2.$$
Mengeliminasi $t$ menghasilkan persamaan Kartesius dari lintasan (jalur), yaitu sebuah parabola. Untuk kecepatan peluncuran tetap, semua lintasan berada di bawah parabola pembatas (selubung titik-titik yang dapat dicapai). Jarak jangkauan di tanah datar adalah $\dfrac{u^2\sin 2\alpha}{g}$ dan ketinggian maksimum adalah $\dfrac{u^2\sin^2\alpha}{2g}$.
Contoh terpecahkan. Sebuah bola dilempar dengan kecepatan $u = 20\ \text{m s}^{-1}$ pada sudut $30^\circ$ terhadap horizontal. Tentukan jarak jangkauan dan ketinggian maksimum.
$$\text{range} = \frac{20^2\sin 60^\circ}{10} = 40\times 0.866 = 34.6\ \text{m}, \qquad \text{height} = \frac{20^2\sin^2 30^\circ}{2\times 10} = \frac{400\times 0.25}{20} = 5\ \text{m}.$$
Jelajahi
Luncurkan peluru
Tembak bola, lalu ubah sudut dan kecepatan. Gerak horizontal tetap konstan sementara gravitasi menariknya ke bawah — bersama-sama mereka melacak parabola. Temukan sudut untuk jangkauan terjauh, dan coba di Bulan.
Kosa kata
Latih
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| Further Mechanics/ˈfɜːðə mɪˈkænɪks/ | Mekanika Lanjutan |
| projectile/prəˈdʒektaɪl/ | proyektil |
| constant acceleration/ˈkɒnstənt əkˌseləˈreɪʃn/ | percepatan konstan |
| Cartesian equation/kɑːˈtiːzɪən ɪˈkweɪʒn/ | persamaan Kartesius |
| trajectory/trəˈdʒektəri/ | lintasan |
3.2
Kesetimbangan benda kaku
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| • hitung momen gaya terhadap suatu titik | Untuk soal yang melibatkan gaya koplanar saja; pemahaman mengenai sifat vektor dari momen tidak diperlukan. |
| • gunakan hasil bahwa efek gravitasi pada benda kaku setara dengan satu gaya yang bekerja pada pusat massa benda tersebut, dan tentukan posisi pusat massa dari benda seragam menggunakan pertimbangan simetri | |
| • gunakan informasi yang diberikan tentang posisi pusat massa dari pelat segitiga dan bentuk sederhana lainnya | Pembuktian hasil yang diberikan dalam Daftar Rumus MF19 tidak diperlukan. |
| • tentukan posisi pusat massa dari benda komposit dengan mempertimbangkan sistem partikel ekuivalen | Kasus-kasus sederhana saja, mis. pelat L-shaped seragam, atau kerucut seragam yang disambungkan pada dasarnya ke hemisfer seragam dengan jari-jari yang sama. |
| • gunakan prinsip bahwa jika sebuah benda kaku berada dalam keseimbangan di bawah aksi gaya-gaya koplanar maka jumlah vektor gayanya adalah nol dan jumlah momen gaya-gaya tersebut terhadap sembarang titik adalah nol, serta konversinya | |
| • selesaikan masalah yang melibatkan keseimbangan satu benda kaku di bawah aksi gaya-gaya koplanar, termasuk yang melibatkan terbalik atau meluncur. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Momen gaya terhadap suatu titik adalah gaya $\times$ dikali jarak tegak lurus; momen mengukur efek memutar. Berat tubuh bekerja pada pusat massa, yang dapat Anda temukan menggunakan simetri untuk bidang datar seragam (lamina), atau dengan menganggap benda majemuk sebagai kumpulan partikel.
Benda kaku di bawah gaya koplanar berada dalam kesetimbangan ketika dua kondisi terpenuhi: jumlah vektor gayanya nol, dan jumlah momen terhadap titik apa pun juga nol. Benda juga mungkin berada di ambang terbalik (mengguling) atau meluncur (slip).
Contoh terpecahkan. Sebuah balok seragam $AB$ dengan panjang $4\ \text{m}$ dan berat $100\ \text{N}$ bertumpu pada sebuah tumpuan di $A$. Gaya vertikal $F$ di $B$ menahannya tetap horizontal. Tentukan $F$.
Ambil momen terhadap $A$ (berat bekerja di tengah, $2\ \text{m}$ dari $A$):
$$F\times 4 = 100\times 2 \;\Rightarrow\; F = 50\ \text{N}.$$
Jelajahi
Kesetimbangan gaya
resultan = 0
Benda berada dalam kesetimbangan ketika gaya-gaya yang bekerja ujung-ke-ujung kembali ke nol.
Kosa kata
Latih
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| moment/ˈməʊmənt/ | momen |
| centre of mass/ˈsentə ɒv mæs/ | pusat massa |
| symmetry/ˈsɪmətri/ | simetri |
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | kesetimbangan |
| toppling/ˈtɒplɪŋ/ | terjun |
| sliding/ˈslaɪdɪŋ/ | meluncur |
| angular speed/ˈæŋɡjʊlə spiːd/ | kelajuan sudut |
| centripetal acceleration/senˈtrɪpɪtl əkˌseləˈreɪʃn/ | percepatan sentripetal |
| horizontal circle/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈsɜːkl/ | lingkaran horizontal |
| vertical circle/ˈvɜːtɪkl ˈsɜːkl/ | lingkaran vertikal |
| Hooke's law/hʊks lɔː/ | Hukum Hooke |
| modulus of elasticity/ˈmɒdjʊləs ɒv ɪlæˈstɪsɪti/ | modulus elastisitas |
| elastic potential energy/ɪˈlæstɪk pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | energi potensial elastis |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | persamaan diferensial |
| lamina/ˈlæmɪnə/ | lamina |
| coplanar forces/ˌkəʊˈpleɪnə ˈfɔːsɪz/ | gaya koplanar |
| conical pendulum/ˈkɒnɪkl ˈpendjʊləm/ | pendulum kerucut |
| normal contact force/ˈnɔːml ˈkɒntækt fɔːs/ | gaya kontak normal |
| oblique impact/əˈbliːk ˈɪmpækt/ | dampak miring |
3.3
Gerak melingkar
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| pahami konsep kecepatan sudut untuk partikel yang bergerak dalam lingkaran, dan gunakan hubungan $v = r\omega$ | |
| pahami bahwa percepatan partikel yang bergerak dalam lingkaran dengan kecepatan konstan diarahkan menuju pusat lingkaran, dan gunakan rumus $r\omega^2$ dan $\frac{v^2}{r}$. | Pembuktian rumus percepatan tidak diperlukan. |
| selesaikan masalah yang dapat dimodelkan oleh gerak partikel yang bergerak dalam lingkaran horizontal dengan kecepatan konstan | |
| selesaikan masalah yang dapat dimodelkan oleh gerak partikel dalam lingkaran vertikal tanpa kehilangan energi. | Termasuk menemukan gaya kontak normal atau tegangan pada tali, menentukan titik di mana keduanya bernilai nol, dan kondisi untuk gerak melingkar penuh. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Untuk partikel yang bergerak dalam lingkaran berjari-jari $r$, kecepatan sudut $\omega$ terhubung dengan kecepatan melalui $v = r\omega$. Percepatan mengarah ke pusat — percepatan sentripetal — dengan besaran
$$a = r\omega^2 = \frac{v^2}{r}.$$
Dalam lingkaran horizontal kecepatannya konstan — seperti pada bandul kerucut (massa yang diayunkan pada tali). Dalam lingkaran vertikal gunakan kekekalan energi, karena kecepatan berubah seiring ketinggian; gaya kontak normal atau tegangan tali menyediakan gaya sentripetal.
Contoh terpecahkan. Partikel bergerak dalam lingkaran horizontal berjari-jari $2\ \text{m}$ dengan kecepatan sudut $3\ \text{rad s}^{-1}$. Temukan kecepatannya dan percepatannya.
$$v = r\omega = 2\times 3 = 6\ \text{m s}^{-1}, \qquad a = r\omega^2 = 2\times 3^2 = 18\ \text{m s}^{-2}.$$
Jelajahi
Sudut dalam radian
Gerak melingkar diukur dalam radian: seret sudut θ dan jari-jari r untuk melihat busur yang disapu — kecepatan sudut ω mengubah ini menjadi v = rω.
3.4
Hukum Hooke
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| gunakan Hukum Hooke sebagai model yang mengaitkan gaya dalam tali elastis atau pegas dengan pertambahan panjang atau pemampatan, dan pahami istilah modulus kekakuan | |
| gunakan rumus untuk energi potensial elastis yang tersimpan dalam tali atau pegas | Pembuktian rumus tidak diperlukan. |
| selesaikan masalah yang melibatkan gaya akibat tali elastis atau pegas, termasuk di mana pertimbangan kerja dan energi diperlukan. | mis. partikel yang bergerak secara horizontal, vertikal, atau pada bidang miring sambil terikat pada satu atau lebih tali/pegas, atau partikel yang terikat pada tali elastis yang bertindak sebagai 'pendulum kerucut'. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Hukum Hooke menyatakan bahwa tegangan dalam tali elastis atau pegas sebanding dengan perpanjangannya $x$:
$$T = \frac{\lambda x}{L},$$
di mana $L$ adalah panjang alami dan $\lambda$ adalah modulus elastisitas. Meregangkan menyimpan energi potensial elastis:
$$E = \frac{\lambda x^2}{2L}.$$
Contoh terpecahkan. Tali elastis dengan panjang alami $2\ \text{m}$ dan modulus $50\ \text{N}$ diregangkan sejauh $0.5\ \text{m}$. Temukan tegangan dan energi yang tersimpan.
$$T = \frac{50\times 0.5}{2} = 12.5\ \text{N}, \qquad E = \frac{50\times 0.5^2}{2\times 2} = 3.125\ \text{J}.$$
Jelajahi
Hukum Hooke
F = k·x
Gaya berbanding lurus dengan regangan — gradiennya adalah kekakuan k.
3.5
Gerak linear di bawah gaya variabel
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| selesaikan masalah yang dapat dimodelkan sebagai gerak linear partikel di bawah aksi gaya variabel, dengan menyusun dan menyelesaikan persamaan diferensial yang sesuai. | Termasuk penggunaan $v \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ untuk percepatan, di mana sesuai. Kalkulus yang dibutuhkan dibatasi pada materi dari Pure Mathematics 3 dalam Cambridge International A Level Mathematics (9709). Hanya persamaan diferensial di mana variabelnya dapat dipisahkan yang termasuk. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Ketika gaya bergantung pada posisi $x$, gunakan percepatan dalam bentuk $a = v\dfrac{dv}{dx}$, yang mengubah hukum Newton menjadi persamaan diferensial yang menghubungkan $v$ dan $x$.
Contoh terpecahkan. Sebuah partikel bermassa $8\ \text{kg}$ bergerak sepanjang garis di bawah gaya yang berubah-ubah sebesar $(x^3 + 4x)\ \text{N}$ yang bekerja searah gerak. Ketika $x = 0$, $v = 1$. Temukan $v$ dalam bentuk $x$.
Hukum Newton menghasilkan $8v\dfrac{dv}{dx} = x^3 + 4x$. Pisahkan dan integralkan:
$$\int 8v\,dv = \int (x^3 + 4x)\,dx \;\Rightarrow\; 4v^2 = \tfrac14 x^4 + 2x^2 + C.$$
Pada $x = 0$, $v = 1$ menghasilkan $C = 4$, sehingga $4v^2 = \tfrac14 x^4 + 2x^2 + 4 = 4\left(\tfrac{x^2}{4} + 1\right)^2$. Oleh karena itu $v = \tfrac14 x^2 + 1$.
Jelajahi
Usaha dari gaya variabel
W = ∫ F dx
Ketika gaya berubah, usaha yang dilakukan adalah luas di bawah grafik gaya–jarak.
Kosa kata
Latih
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| variable force/ˈveərɪəbl fɔːs/ | gaya variabel |
| conservation of momentum/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv məʊˈmentəm/ | kekekalan momentum |
| Newton's experimental law/ˈnjuːtnz ekˌsperɪˈmentl lɔː/ | hukum eksperimen Newton |
| coefficient of restitution/ˌkəʊɪˈfɪʃənt ɒv rɪstɪˈtjuːʃn/ | koefisien restitusi |
| bounding parabola/ˈbaʊndɪŋ pəˈræbələ/ | parabola pembatas |
3.6
Momentum
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| ingat hukum eksperimental Newton dan definisi koefisien restitusi, properti $0 \leqslant e \leqslant 1$, dan arti istilah 'elastis sempurna' ($e = 1$) dan 'inelastis' ($e = 0$) | |
| gunakan kekekalan momentum linear dan/atau hukum eksperimental Newton untuk menyelesaikan masalah yang dapat dimodelkan sebagai tumbukan langsung atau tumbukan miring dua bola licin, atau tumbukan langsung atau tumbukan miring bola licin dengan permukaan tetap. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Dalam tumbukan, momentum linear total kekal — kekekalan momentum linear. Kelenturan diukur oleh hukum eksperimental Newton, yang mendefinisikan koefisien restitusi $e$:
$$e = \frac{\text{speed of separation}}{\text{speed of approach}}, \qquad 0 \leqslant e \leqslant 1.$$
Di sini $e = 1$ adalah elastis sempurna (tidak ada energi hilang) dan $e = 0$ tidak elastis (benda-benda tetap menyatu). Dalam tumbukan miring, uraikan kecepatan sejajar dan tegak lurus terhadap garis tumbukan, terapkan restitusi sepanjang garis tersebut.
Contoh terpecahkan. Sebuah bola $A$ bermassa $2\ \text{kg}$ bergerak pada $5\ \text{m s}^{-1}$ menabrak bola diam $B$ bermassa $3\ \text{kg}$, dengan $e = 0.5$. Temukan kecepatannya afterwards.
Momentum: $2(5) = 2v_A + 3v_B$, sehingga $2v_A + 3v_B = 10$. Restitusi: $v_B - v_A = 0.5(5) = 2.5$. Menyelesaikan bersama-sama menghasilkan $v_A = 0.5\ \text{m s}^{-1}$ dan $v_B = 3.0\ \text{m s}^{-1}$.
Jelajahi
Sebuah tabrakan
Setel massa dan kecepatan masing-masing, lalu tabrakan mereka. Total momentum kekal — lihat bagaimana kecepatannya keluar.
3.6
Tips ujian
- Untuk proyektil, uraikan menjadi gerak horizontal (kecepatan konstan) dan vertikal ($a = g$), terhubung oleh waktu yang sama.
- Untuk benda kaku dalam kesetimbangan, ambil momen tentang titik yang menghilangkan gaya tak diketahui.
- Untuk gerak melingkar, gunakan $F = mv^2/r = m\omega^2 r$ menuju pusat; dalam lingkaran vertikal periksa kecepatan minimum di bagian atas.
- Dengan gaya yang berubah-ubah, gunakan $a = v\,\frac{dv}{dx}$ dan integralkan; energi potensial elastis $= \frac{\lambda x^2}{2L}$.
Pelajaran interaktif untuk topik ini
Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.