עמוד זה עוסק בנושא 3: מכניקה נוספת. הוא הרחיב את המכניקה לירי רב-כיווני, גוף קשיח, תנועה מעגלית, חוטים אלסטיים, כוחות משתנים והתנגשויות. לקחת $g = 10\ \text{m s}^{-2}$.
מכניקה נוספת
מתמטיקה מתקדמת A-Level · נושא 3
8:04
מכניקה נוספת
זרק כדור, שחרר זרם מים, או שיגר כל חפץ לאוויר — וכל אחד מהם יעבור על אותו עקום אלגנטי: פרבולה. הסוד הוא לפרק את התנועה לשני רכיבים…
קריאת קול באנגלית · תרגום אנגלי + סינית שרוף בתוך הסרטון
3.1
תנועת ירי רב-כיווני
סיילבוס
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| • לדגם את תנועת גוף טס כחלקיק הנע באיץ קבוע ולהבין כל הגבלות הדגם | שיטות וקטוריות אינן נדרשות |
| • להשתמש במשוואות התנועה האופקיות והאנכיות לפתרון בעיות הקשורות בתנועת גופי טוס, כולל מציאת הגודל והכיוון של המהירות בזמן או מיקום נתונים, הטווח במישור אופקי וגובהו המקסימלי של הגוף | |
| • להסיק ולהשתמש במשוואה הקרטזית של מסלול הגוף הטס, כולל בעיות שבהן המהירות ההתחלתית ו/או זווית השיגור עשויות להיות לא ידועות. | ידע ב'פרבולת החסם' עבור נקודות נגישות אינו כלול. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
ירי רב-כיווני מתרחש בחופשיות תחת הכבידה, ולכן יש לו תאוצה קבועה $g$ כלפי מטה ואין לו תאוצה אופקית. יש לבדוק את התנועה האופקית והאנכית בנפרד. אם הירי מתבצע במהירות $u$ ובזווית $\alpha$:
$$\text{horizontal: } x = u\cos\alpha\,\cdot t, \qquad \text{vertical: } y = u\sin\alpha\,\cdot t - \tfrac12 g t^2.$$
הוצאת $t$ נותנת את המשוואה הקרטוזית של המסלול (הדרך), שהוא פרבולה. עבור מהירות ירי קבועה, כל המסלולים נמצאים מתחת לפרבולה מגבלתית (המעטפת של הנקודות הניתנות להשגה). הטווח על קרקע שטוחה הוא $\dfrac{u^2\sin 2\alpha}{g}$ והגובה המקסימלי הוא $\dfrac{u^2\sin^2\alpha}{2g}$.
דוגמה מפורטת. כדור זרקו ב$u = 20\ \text{m s}^{-1}$ בזווית $30^\circ$ לאופק. מצאו את הטווח ואת הגובה המקסימלי.
$$\text{range} = \frac{20^2\sin 60^\circ}{10} = 40\times 0.866 = 34.6\ \text{m}, \qquad \text{height} = \frac{20^2\sin^2 30^\circ}{2\times 10} = \frac{400\times 0.25}{20} = 5\ \text{m}.$$
חקור
שחרור פרוגטייל
שחרר הכדור, ולאחר מכן שינוי הזווית והמהירות. התנועה האופקית היא אחידה בעוד שהכבידה מושכת אותו למטה — יחד הם מתאר们 פרבולה. מצאו את הזווית לקליטת טווח מקסימלית, ונסו את הירח.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| Further Mechanics/ˈfɜːðə mɪˈkænɪks/ | מכניקה נוספת |
| projectile/prəˈdʒektaɪl/ | גוף זורק |
| constant acceleration/ˈkɒnstənt əkˌseləˈreɪʃn/ | תאוצה קבועה |
| Cartesian equation/kɑːˈtiːzɪən ɪˈkweɪʒn/ | משוואה קרטזית |
| trajectory/trəˈdʒektəri/ | מסלול |
3.2
איזון גוף קשיח
סיילבוס
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| • לחשב את מומנט של כוח סביב נקודה | בשאלות הכוללות רק כוחות מצומט-מישורי; הבנת האופי הוקטורי של מומנטים אינה נדרשת. |
| • להשתמש בתוצאה כי השפעת הכובד על גוף קשיח שקולה לכוח יחיד הפועל במרכז המסה של הגוף, ולזהות את מיקום מרכז המסה של גוף אחיד באמצעות considerations של סימטריה | |
| • להשתמש במידע נתון על מיקום מרכז המסה של צלחת משולשת וצורות פשוטות אחרות | הוכחות לתוצאות המפורטות ברשימת הנוסחאות MF19 אינן נדרשות. |
| • לקבוע את מיקום מרכז המסה של גוף מורכב על ידי בחינת מערכת שקולה של חלקיקים | מקרים פשוטים בלבד, לדוגמה: צלחת L-צורה אחידה, או חרוט אחיד מחובר בבסיסו לגולגולת אחידה באותו רדיוס. |
| • להשת基本原则 in העקרון כי אם גוף קשיח נמצא באיזון תחת השפעת כוחות מצומט-מישורים אז הסכום הוקטורי של הכוחות הוא אפס והסכום המומנטים של הכוחות סביב כל נקודה הוא אפס, וההפך מאותו עיקרון | |
| • לפתור בעיות הקשורות לאיזון גוף קשיח יחיד תחת השפעת כוחות מצומט-מישורים, כוללthose הכוללים התהפכות או החלקה. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
המומנט של כוח סביב נקודה הוא כוח $\times$ מרחק אנכי; הוא מדד להשפעת סיבוב. משקל הגוף פועל במרכז המסה שלו, שניתן למצוא באמצעות סימטריה עבור צורה שטוחה אחידה (למינה), או על ידי התייחסות לגוף מורכב כסדרה של חלקיקים.
גוף קשיח תחת כוחות בשטח נמצא באיזון כאשר שתי התנאים מתקיימים גם יחד: הסכום הווקטורי של הכוחות הוא אפס, והסכום המומנטים סביב כל נקודה הוא אפס. גוף עשוי גם להיות בקצה התהפכות (התהפכות) או החלקה (החלקה).
דוגמא פותרת. קורה אחיד $AB$ באורך $4\ \text{m}$ ובמשקל $100\ \text{N}$ מונח על ציר סיבוב בנקודה $A$. כוח אנכי $F$ בנקודה $B$ משמרת אותו אופקי. מצאו את $F$.
לקחת מומנטים ביחס לנקודה $A$ (המשקל פועל במרכז, במרחק $2\ \text{m}$ מהנקודה $A$):
$$F\times 4 = 100\times 2 \;\Rightarrow\; F = 50\ \text{N}.$$
חקור
איזון כוחות
כוח רוטט = 0
גוף נמצא באיזון כאשר הכוחות מתחברים קצה-לקצה חוזרים לאפס.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| moment/ˈməʊmənt/ | מומנט |
| centre of mass/ˈsentə ɒv mæs/ | מרכז מסה |
| symmetry/ˈsɪmətri/ | סימטריה |
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | איזון |
| toppling/ˈtɒplɪŋ/ | התהפכות |
| sliding/ˈslaɪdɪŋ/ | החלקה |
| angular speed/ˈæŋɡjʊlə spiːd/ | מהירות זוויתית |
| centripetal acceleration/senˈtrɪpɪtl əkˌseləˈreɪʃn/ | תאוצה צנטריפטלית |
| horizontal circle/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈsɜːkl/ | מעגל אופקי |
| vertical circle/ˈvɜːtɪkl ˈsɜːkl/ | מעגל אנכי |
| Hooke's law/hʊks lɔː/ | חוק הוק |
| modulus of elasticity/ˈmɒdjʊləs ɒv ɪlæˈstɪsɪti/ | מודול אלסטיות |
| elastic potential energy/ɪˈlæstɪk pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | אנרגיה פוטנציאלית אלסטית |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | משוואה דיפרנציאלית |
3.3
תנועה מעגלית
סיילבוס
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| הבנת מושג מהירות זוויתית של חלקיק הנע במעגל, ושימוש בקשר $v = r\omega$ | |
| להבין כי האיץ של חלקיק הנע במעגל במהירות קבועה מכוון אל מרכז המעגל, ולהשתמש בנוסחאות $r\omega^2$ ו$\frac{v^2}{r}$. | הוכחה לנוסחאות האיץ אינה נדרשת. |
| לפתור בעיות שתוכלו לדגם על ידי תנועת חלקיק הנע במעגל אופקי במהירות קבועה | |
| לפתור בעיות שיכולות להיות מודללות על ידי תנועת חלקיק במעגל אנכי ללא איבוד אנרגיה. | כולל מציאת כוח נורמלי או מתח במיתר, מיקום נקודות שבהם כוחות אלו מתאפסים, ותנאים לתנועה מעגלית מלאה. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
לחלקיק הנע במסלול מעגלי ברדיוס $r$, המהירות הזוויתית $\omega$ מקושרת למהירות הקונית לפי $v = r\omega$. ההאצה מכוונת כלפי המרכז — ההאצה המרכזית — בגודל
$$a = r\omega^2 = \frac{v^2}{r}.$$
בעיגון אופקי המהירות קבועה — כמו במנדולי קוני (מסה המונפת על חוט). בעיגון אנכי יש להשתמש בשמירת אנרגיה, מכיוון שהמהירות משתנה בהתאם לגובה; כוח המגע או מתח החוט מספקים את הכוח המרכזי.
דוגמא פותרת. חלקיק נע במעגל אופקי ברדיוס $2\ \text{m}$ עם מהירות זוויתית $3\ \text{rad s}^{-1}$. מצאו את מהירותו והאצתו.
$$v = r\omega = 2\times 3 = 6\ \text{m s}^{-1}, \qquad a = r\omega^2 = 2\times 3^2 = 18\ \text{m s}^{-2}.$$
חקור
זווית ברדיאנים
תנועה מעגלית נמדדת ברדיאנים: גרור את הזווית θ ואת הרדיוס r כדי לראות את הקשת הנעברת — מהירות זוויתית ω הופכת זאת ל-v = rω.
3.4
חוק הוק
סיילבוס
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| להשתמש ב-חוק הוק כמודל המקשר בין הכוח במיתר אלסטי או בקפיץ לבין הארכה או הדחיסה, ולהבין את המונח מודול גמישות | |
| להשתמש בנוסחה ל-אנרגיה פוטנציאלית אלסטית מאוגרת במיתר או בקפיץ | הוכחת הנוסחה אינה נדרשת. |
| לפתור בעיות הקשורות לכוחות של מיתרים אלסטיים או קפיצים, כולל מקרים בהם נדרשים עיכובי עבודה ואנרגיה. | לדוגמה: חלקיק הנע באופן אופקי, אנכי או על מישור משופע ומחובר למיתר או לקפיץ אחד או יותר, או חלקיק המחובר למיתר אלסטי הפועל כ-'דודון-צונית'. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
חוק הוק קובע שהמתיחה במיתר אלסטי או בקפיץ פרופורציונלית להארכה שלו $x$:
$$T = \frac{\lambda x}{L},$$
כאן $L$ הוא האורך הטבעי ו$\lambda$ הוא מודול האלסטיות. מתיחה מאחסנת אנרגיה פוטנציאלית אלסטית:
$$E = \frac{\lambda x^2}{2L}.$$
דוגמא פותרת. מיתר אלסטי באורך טבעי $2\ \text{m}$ ומודול $50\ \text{N}$ מתיחה ב$0.5\ \text{m}$. מצאו את המתיחה והאנרגיה המאוחסנת.
$$T = \frac{50\times 0.5}{2} = 12.5\ \text{N}, \qquad E = \frac{50\times 0.5^2}{2\times 2} = 3.125\ \text{J}.$$
חקור
חוק הוק
F = k·x
כוח פרופורציונלי לארכיפה — השיפוע הוא הקשיחות k.
3.5
תנועה קווית תחת כוח משתנה
סיילבוס
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| לפתור בעיות שיכולות להיות מודללות כתנועה ליניארית של חלקיק תחת השפעת כוח משתנה, על ידי הצבת ופתרון משוואה דיפרנציאלית מתאימה. | כולל שימוש ב$v \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ לתאוצה, כאשר יש צורך בכך. החשבונות הנדרשים מוגבלים לחומר מן המתמטיקה הטהורה 3 במסגרת Cambridge International A Level Mathematics (9709). כלולות רק משוואות דיפרנציאליות שהמשתנים בהן ניתנים להפרדה. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
כאשר הכוח תלוי במיקום $x$, השתמשו בהאצה בצורה $a = v\dfrac{dv}{dx}$, מה שהופך את חוק ניוטון למשוואה דיפרנציאלית המקשרת בין $v$ ל$x$.
דוגמא פתורה. חלקיק המסה $8\ \text{kg}$ נע לאורך קו תחת כוח משתנה בגודל $(x^3 + 4x)\ \text{N}$ הפועל בכיוון התנועה. כאשר $x = 0$, $v = 1$. מצאו את $v$ באמצעות $x$.
חוק ניוטן נותן $8v\dfrac{dv}{dx} = x^3 + 4x$. בידוד משתנים ואינטגרציה:
$$\int 8v\,dv = \int (x^3 + 4x)\,dx \;\Rightarrow\; 4v^2 = \tfrac14 x^4 + 2x^2 + C.$$
בזמן $x = 0$, $v = 1$ נותן $C = 4$, ולכן $4v^2 = \tfrac14 x^4 + 2x^2 + 4 = 4\left(\tfrac{x^2}{4} + 1\right)^2$. מכאן $v = \tfrac14 x^2 + 1$.
חקור
עבודה מכוח משתנה
W = ∫ F dx
כאשר הכוח משתנה, העבודה המבוצעת היא השטח תחת גרף הכוח–מרחק.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| variable force/ˈveərɪəbl fɔːs/ | כוח משתנה |
| conservation of momentum/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv məʊˈmentəm/ | שימור תנע |
| Newton's experimental law/ˈnjuːtnz ekˌsperɪˈmentl lɔː/ | חוק ניוטון הניסויי |
| coefficient of restitution/ˌkəʊɪˈfɪʃənt ɒv rɪstɪˈtjuːʃn/ | מקדם החזרה |
| bounding parabola/ˈbaʊndɪŋ pəˈræbələ/ | פרבולה חוסמת |
| lamina/ˈlæmɪnə/ | למינה (מלבד דו-ממדי) |
| coplanar forces/ˌkəʊˈpleɪnə ˈfɔːsɪz/ | כוחות מצטבים |
| conical pendulum/ˈkɒnɪkl ˈpendjʊləm/ | פנדול קוני |
| normal contact force/ˈnɔːml ˈkɒntækt fɔːs/ | כוח מגע אנכי |
| oblique impact/əˈbliːk ˈɪmpækt/ | התנגשות אלכסונית |
3.6
תנע
סיילבוס
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| לזכור את חוק ניוסטון הניסויי והגדרת מקדם ההתאוששות, התכונה $0 \leqslant e \leqslant 1$, והמשמעות של המונחים 'אלסטי מושלם' ($e = 1$) ו'לא-אלסטי' ($e = 0$) | |
| להשתמש בשימור תנע ליניארי וב/או בחוק ניוסטון הניסויי כדי לפתור בעיות שיכולות להיות מודללות כהתנגשות ישירה או אלכסונית של שני כדורים חלקים, או התנגשות ישירה או אלכסונית של כדור חלק עם משטח קבוע. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
בתהליך התנגשות, תנע ליני כולו שמר — שימור התנע הליני. גמישות התהליך נמדדת לפי חוק ניסויי של ניוטון, המגדיר את מקדם ההתאוששות $e$:
$$e = \frac{\text{speed of separation}}{\text{speed of approach}}, \qquad 0 \leqslant e \leqslant 1.$$
כאן $e = 1$ היא אלסטית לחלוטין (אין אובדן אנרגיה) ו-$e = 0$ היא אי-אלסטית (גוף נשאר מחובר). בהתנגשות אלכסונית, פירקים את המהירויות לאורך ו perpendicular לקו ההתנגשות, ומיישמים את מקדם החזרה לאורך זה.
דוגמא פתורה. כדור $A$ בעל מסה $2\ \text{kg}$ הנע במהירות $5\ \text{m s}^{-1}$ פוגע בכדור עומד $B$ בעל מסה $3\ \text{kg}$, כאשר $e = 0.5$. מצאו את המהירויות לאחר מכן.
תנע: $2(5) = 2v_A + 3v_B$, ולכן $2v_A + 3v_B = 10$. חזרה: $v_B - v_A = 0.5(5) = 2.5$. פתרון יחד נותן $v_A = 0.5\ \text{m s}^{-1}$ ו-$v_B = 3.0\ \text{m s}^{-1}$.
חקור
פגישה
קבעו כל מסה ומהירות, ואז התנגשו ביניהן. תנע כולל נשמר — ראו כיצד מהירויות הפליטה מתקבלות.
3.6
טיפים לבחינות
- עבור גופי זריקה, פירוק לתנועה אופקית (מהירות קבועה) ואנכית ($a = g$), הקשורות על ידי אותו זמן.
- עבור גוף מוצק בשיווי משקל, לוקחים מומנטים סביב נקודה שמבטלת כוח לא ידוע.
- עבור תנועה מעגלית, משתמשים ב-$F = mv^2/r = m\omega^2 r$ לכיוון המרכז; במעגל אנכי בודקים את המהירות המינימלית בראש.
- עם כוח משתנה, משתמשים ב-$a = v\,\frac{dv}{dx}$ ואינטגרלים; אנרגיה פוטנציאלית אלסטית $= \frac{\lambda x^2}{2L}$.
שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.