Physique A-Level

Une quantité physique 物理量 a deux parties : un nombre (sa grandeur 大小) et une unité 单位. Le nombre seul ne vous dit rien. Vous devez aussi dire ce qui est mesuré et dans quelle unité.

Exemple : « la longueur est 1.5 » n'est pas complet. « La longueur est 1.5 m » est une grandeur physique.

Faire des estimations

Vous devriez pouvoir estimer 估算 la taille des quantités physiques de ce programme. Paper 1 commence souvent par une question de ce type. Apprenez ces valeurs approximatives :

• masse 质量 d'un humain adulte : $\sim 70\ \text{kg}$ ; d'une voiture : $\sim 1000\ \text{kg}$ ; d'une pomme : $\sim 0.1\ \text{kg}$
• poids 重力 d'un humain adulte : $\sim 700\ \text{N}$ ; d'une pomme : $\sim 1\ \text{N}$
• taille d'un humain adulte : $\sim 1.7\ \text{m}$ ; hauteur d'une pièce : $\sim 3\ \text{m}$
• vitesse de marche : $\sim 1.5\ \text{m s}^{-1}$ ; une voiture sur route rapide : $\sim 30\ \text{m s}^{-1}$
• vitesse du son dans l'air : $\sim 340\ \text{m s}^{-1}$ ; vitesse de la lumière dans un vide 真空 : $3.0 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}$
• accélération 加速度 de la chute libre 自由落体 : $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$
• densité 密度 de l'eau : $1000\ \text{kg m}^{-3}$ ; de l'air : $\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$ ; de l'acier : $\sim 8000\ \text{kg m}^{-3}$
• pression atmosphérique 大气压强 : $\sim 1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$
• température d'une pièce : $\sim 20\ ^{\circ}\text{C} \approx 293\ \text{K}$
• puissance d'une bouilloire : $\sim 2\ \text{kW}$ ; d'une personne montant des escaliers : $\sim 300\ \text{W}$
• longueur d'onde de la lumière visible : $\sim 5 \times 10^{-7}\ \text{m}$ ; diamètre d'un atome : $\sim 10^{-10}\ \text{m}$ ; d'un noyau : $\sim 10^{-15}\ \text{m}$

Une bonne estimation a le bon ordre de grandeur 数量级 (le bon ordre de puissance de dix). Pour un être humain, 70 kg est une bonne estimation ; 7 kg ne l'est pas.

Pour estimer une quantité qui n'est pas dans la liste, construisez-la à partir de celles qui y sont. L'énergie cinétique d'une voiture en mouvement est $\tfrac{1}{2}mv^{2} \approx \tfrac{1}{2} \times 1000 \times 30^{2} \approx 5 \times 10^{5}\ \text{J}$. La pression sous une personne debout est $700\ \text{N} / 0.02\ \text{m}^{2} \approx 4 \times 10^{4}\ \text{Pa}$. Vérifiez toujours que l'ordre de puissance semble raisonnable avant de passer à la suite.

Unités de base

Le système SI compte sept grandeurs fondamentales 基本量 ; cinq d'entre elles sont utilisées dans ce sujet. Vous devez connaître ces cinq et leurs unités :

• masse — kilogramme, $\text{kg}$
• longueur 长度 — mètre, $\text{m}$
• temps — seconde, $\text{s}$
• courant électrique 电流 — ampère 安培, $\text{A}$
• température 温度 — kelvin 开尔文, $\text{K}$

Toute autre unité de ce programme est construite à partir de ces cinq.

Unités dérivées

Une unité dérivée 导出单位 est obtenue en multipliant ou en divisant des unités de base. Vous devez pouvoir exprimer toute grandeur de ce programme en unités de base.

Construisez une unité dérivée à partir de l'équation qui la définit :

• vitesse 速率 = distance / temps, donc son unité est $\text{m s}^{-1}$
• accélération = variation de vitesse vectorielle 速度 / temps, donc son unité est $\text{m s}^{-2}$
• travail 力 = masse × accélération, donc son unité est $\text{kg m s}^{-2}$. Le newton 牛顿 est $1\ \text{N} = 1\ \text{kg m s}^{-2}$.
• travail mécanique 功 et énergie 能量 = force × distance, donc l'unité est $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$. Le joule 焦耳 est $1\ \text{J} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$.
• puissance 功率 = énergie / temps, donc l'unité est $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$. Le watt 瓦特 est $1\ \text{W} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$.
• pression 压强 et contrainte 应力 = force / surface, donc l'unité est $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$. Le pascal 帕斯卡 est $1\ \text{Pa} = 1\ \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$.

Lorsqu'une question demande les unités de base SI d'une grandeur, remplacez chaque unité nommée par ses unités de base, puis simplifiez. Exemple : les unités de base SI du watt sont $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$.

Vérifier que les unités correspondent

Une équation est homogène 量 dimensional when both sides have the same base units. En termes simples : les unités des deux côtés correspondent.

Exprimez chaque côté en unités de base et comparez. Prenez l'équation $v^{2} = u^{2} + 2as$ :

• côté gauche : $(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• côté droit, premier terme : $(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• côté droit, second terme : $\text{m s}^{-2} \cdot \text{m} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$

Les deux côtés donnent $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, donc les unités correspondent.

Faites attention : le fait que les unités correspondent ne prouve pas que l'équation est entièrement correcte. Elle pourrait avoir un mauvais coefficient numérique ou manquer un facteur 2. Mais si les unités ne correspondent pas, l'équation est certainement fausse.

Exemple résolu. La force de traînée sur une balle tombante est donnée par $F = kv^{2}$, où $v$ est la vitesse. Trouvez les unités de base SI de la constante $k$.

Réarrangez : $k = F / v^{2}$. En unités de base, $F$ est $\text{kg m s}^{-2}$ et $v^{2}$ est $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, donc

Une question à choix multiples demande souvent « quelle équation pourrait être correcte ? ». Vérifiez les unités de base de chaque option ; seule une équation homogène peut être correcte. Un nombre pur (comme 2, $\pi$ ou $\tfrac{1}{2}$) n'a pas d'unité, il ne change donc jamais le résultat de la vérification.

Préfixes

Un préfixe 词头 est une lettre placée devant une unité pour la rendre plus grande ou plus petite par des puissances de dix. Vous devez les connaître :

Pour convertir une unité avec préfixe en unités de base, remplacez le préfixe par son facteur, puis simplifiez. Exemple : convertissez $0.25\ \text{kN mm}^{-2}$ en $\text{N m}^{-2}$ :

Prenez garde aux unités carrées comme $\text{mm}^{2}$ : vous devez aussi élever le facteur au carré.

Chaque mesure 测量 a une certaine incertitude 不确定度 — nous ne sommes jamais totalement sûrs de la valeur. Un bon expérimentateur sait d'où vient l'incertitude, en fait une estimation honnête, et la transmet au résultat final.

Erreurs systématiques et aléatoires

Une erreur systématique 系统误差 modifie toutes les lectures du même montant et dans la même direction. On ne peut pas la détecter en répétant la mesure. Causes courantes :

• une erreur de zéro 零点误差 (l'échelle ne indique pas zéro quand la valeur vraie est zéro)
• une erreur de calibrage 校准 (l'échelle elle-même est fausse)
• parallaxe 视差 (votre œil est toujours sur un côté de l'échelle)

Une erreur systématique dégrade l'exactitude 准确度, mais ne modifie pas la précision 精密度.

Une erreur aléatoire 随机误差 fait sauter les lectures au-dessus et en dessous de la valeur vraie, sans motif. Les causes incluent la manière dont vous lisez l'échelle, les conditions changeantes et le plus petit incrément que l'instrument 仪器 peut afficher. Si vous répétez la mesure plusieurs fois et prenez la moyenne 平均值 (la moyenne), les erreurs aléatoires s'annulent partiellement.

Une erreur aléatoire dégrade la précision. Mais avec suffisamment de répétitions, la moyenne reste encore exacte.

Sur un graphique, les deux erreurs se présentent différemment. Une erreur systématique décale tous les points du même montant, donc la droite de tendance conserve sa pente mais ne passe plus par l'origine : l'ordonnée à l'origine 截距 change. Les erreurs aléatoires dispersent les points au-dessus et en dessous de la droite ; une droite de tendance tracée au milieu de la dispersion donne encore une pente fiable.

Précision et exactitude

La précision est à quel point des lectures répétées sont proches les unes des autres. Des lectures précises sont regroupées très étroitement.

L'exactitude est à quel point une lecture (ou la moyenne de plusieurs lectures) est proche de la valeur vraie.

Un ensemble de lectures peut être :

• précis et exact — groupés étroitement et proches de la valeur vraie
• précis mais pas exact — groupés étroitement, mais éloignés de la valeur vraie (une erreur systématique)
• exact mais pas précis — dispersés, mais la moyenne est proche de la valeur vraie
• ni l'un ni l'autre — dispersés et éloignés de la valeur vraie

Lorsqu'une question fournit un tableau de lectures répétées, examinez l'étendue (précision) et la moyenne (exactitude) séparément.

Estimer l'incertitude d'une lecture

Avant de combiner les incertitudes, vous devez attribuer une incertitude raisonnable à chaque lecture brute :

• Une seule lecture sur une échelle analogique : la moitié de la plus petite division 分度 (une règle métrique se lit à $1\ \text{mm}$, donc une lecture est $\pm 0.5\ \text{mm}$). Une longueur nécessite deux lectures, une à chaque extrémité, donc son incertitude est $\pm 1\ \text{mm}$.
• Un compteur numérique : $\pm 1$ dans le dernier chiffre affiché (un chronomètre affichant $2.47\ \text{s}$ est $\pm 0.01\ \text{s}$).
• Une mesure temporelle manuelle : votre temps de réaction 反应时间 compte plus que l'affichage. Prévoyez environ $\pm 0.1$ à $0.2\ \text{s}$, et chronométrez plusieurs oscillations au lieu d'une seule, afin que la même incertitude soit partagée entre toutes.
• Lectures répétées : l'incertitude est la moitié de l'étendue 极差的一半. Trois chronométrages de $2.42$, $2.48$ et $2.45\ \text{s}$ ont une moyenne de $2.45\ \text{s}$ et une étendue de $0.06\ \text{s}$, donc $t = (2.45 \pm 0.03)\ \text{s}$.

Soyez honnête. Si le bord d'une ombre est difficile à voir, l'incertitude sur sa position est de plusieurs millimètres, quelle que soit la finesse de l'échelle. Les examinateurs n'acceptent pas « la plus petite division » comme incertitude pour une lecture difficile.

Incertitude sur une grandeur dérivée

Une mesure s'écrit souvent $x \pm \Delta x$. Ici $\Delta x$ est l'incertitude absolue 绝对不确定度. L'incertitude relative 百分比不确定度 est

Une grandeur dérivée 导出量 est une grandeur calculée à partir de valeurs mesurées. Son incertitude se trouve selon des règles simples :

• Addition ou soustraction — additionnez les incertitudes absolues. Si $y = a + b$ ou $y = a - b$, alors $\Delta y = \Delta a + \Delta b$.
• Multiplication ou division — additionnez les incertitudes relatives. Si $y = \dfrac{a \cdot b}{c}$, alors
  $$\frac{\Delta y}{|y|} = \frac{\Delta a}{|a|} + \frac{\Delta b}{|b|} + \frac{\Delta c}{|c|}.$$
• Puissances — multipliez l'incertitude relative par la puissance. Si $y = a^{n}$, alors $\dfrac{\Delta y}{|y|} = |n| \cdot \dfrac{\Delta a}{|a|}$.

Exemple résolu. Le diamètre 直径 d'une balle est mesuré à $d = (5.26 \pm 0.02)\ \text{cm}$. Le volume 体积 d'une sphère est $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (d/2)^{3}$, donc $V \propto d^{3}$ ($V$ dépend de $d$ au cube).

L'incertitude relative en $d$ est

Puisque $V \propto d^{3}$, l'incertitude relative en $V$ est trois fois celle-ci, soit environ $1.14\%$. Le volume est $\tfrac{4}{3}\pi(2.63)^{3} \approx 76.2\ \text{cm}^{3}$. Donc l'incertitude absolue est $0.0114 \times 76.2 \approx 0.87\ \text{cm}^{3}$. La réponse finale est $V = (76.2 \pm 0.9)\ \text{cm}^{3}$.

Deux valeurs concordent-elles ? Les questions pratiques demandent souvent si deux valeurs calculées d'une constante soutiennent une relation suggérée. Ne dites pas simplement « elles sont proches ». Calculez la différence relative 百分比差异 entre elles,

et comparez-la avec l'incertitude relative en $k$ (ou avec le critère donné par la question, souvent 10 %). Si la différence est plus faible, les deux valeurs concordent dans l'incertitude et la relation est soutenue. Sinon, elles ne concordent pas.

Chiffres significatifs

Lorsque vous écrivez une grandeur calculée, donnez-lui le même nombre de chiffres significatifs 有效数字 que la mesure la moins précise utilisée — généralement deux ou trois dans ce programme. Trop de chiffres significatifs rend la réponse trop exacte qu'elle ne l'est vraiment. Trop peu fait perdre des informations utiles.

Les épreuves pratiques vous demandent de justifier le nombre choisi. Nommez les lectures brutes : « $a$ est donné à 2 chiffres significatifs car $L$ et $t$ ont chacun été mesurés à 2 chiffres significatifs. » La phrase « à cause des données brutes » toute seule ne rapporte pas le point. Dans un tableau de résultats, jugez chaque ligne à partir de la lecture brute la moins précise de cette ligne ; ne forcez pas toutes les lignes à avoir le même nombre de chiffres.

Incertitudes sur un graphique

Le Paper 5 demande de propager les incertitudes via un graphique :

• Tracez chaque point avec une barre d'erreur 误差棒 dont la longueur représente l'incertitude absolue de cette valeur.
• Tracez la droite de meilleure ajustement 最佳拟合直线 passant par les points, puis la droite acceptable la plus défavorable 最差可接受直线 : la droite la plus raide (ou la plus plate) qui passe toujours par chaque barre d'erreur.
• L'incertitude sur la pente est la différence entre les deux pentes, $\Delta m = |m_{\text{best}} - m_{\text{worst}}|$. L'incertitude sur l'ordonnée à l'origine se trouve de la même manière.
• Lorsque vous tracez un logarithme, l'incertitude absolue en $\ln x$ est $\Delta x / x$ (et en $\lg x$ elle est $0.434\,\Delta x / x$). Calculez-le pour les valeurs maximales et minimales de $x$ séparément.

*La ligne acceptable la plus défavorable passe toujours par chaque barre d'erreur ; l'incertitude sur la pente est la différence entre les deux pentes

Une incertitude relative sur la pente se propage ensuite vers toute grandeur calculée à partir d'elle, en utilisant les règles ci-dessus.

*Résoudre une force en composantes

Un scalaire 标量 a uniquement une grandeur. Un vecteur 矢量 a une grandeur et une direction.

Exemples tirés du programme :

• scalaires : masse, temps, température, énergie, travail, puissance, distance, vitesse scalaire, pression, densité, charge électrique 电荷
• vecteurs : déplacement 位移, vitesse, accélération, force (y compris poids), quantité de mouvement 动量

Test rapide : si il a du sens de demander « dans quelle direction ? », la grandeur est un vecteur. On ne peut pas demander « dans quelle direction est la température ? », donc la température est un scalaire. On peut demander « dans quelle direction est la vitesse ? », donc la vitesse est un vecteur.

Addition et soustraction de vecteurs

Un vecteur est dessiné comme une flèche : la direction de la flèche donne la direction de la grandeur, et la longueur de la flèche (dessinée à l'échelle) donne la magnitude.

*Vecteurs représentés comme des flèches dessinées à l'échelle

Pour ajouter deux vecteurs coplanaires 共面 (vecteurs dans le même plan plat), dessinez-les bout à bout. Le résultant 合矢量 va de la queue de la première flèche à la pointe de la deuxième.

Pour trouver $\vec{X} - \vec{Y}$, ajoutez l'inverse de $\vec{Y}$ : $\vec{X} + (-\vec{Y})$. L'inverse de $\vec{Y}$ a la même grandeur que $\vec{Y}$ mais pointe dans la direction opposée.

*Addition et soustraction de vecteurs parallèles

Si les deux vecteurs sont perpendiculaires (90°), la grandeur du résultant est

et sa direction vient de $\tan\theta = Y / X$.

Exemple résolu. Un nageur va vers le nord à $1.2\ \text{m s}^{-1}$ en traversant une rivière qui coule vers l'est à $0.5\ \text{m s}^{-1}$. Trouvez la grandeur et la direction de la vitesse résultante.

Les deux vitesses sont perpendiculaires, donc

à un angle $\tan\theta = 0.5/1.2$, donnant $\theta \approx 23°$ à l'est du nord.

*Deux vecteurs perpendiculaires s'additionnent pour donner un résultant de grandeur $\sqrt{X^2+Y^2}$ à un angle $\theta$

Si deux vecteurs ont la même grandeur $F$ avec un angle $2\alpha$ entre eux, le résultant a une grandeur $2F\cos\alpha$ et se situe le long de la ligne qui coupe l'angle en deux.

Exemple résolu. Deux forces de $6.0\ \text{N}$ agissent sur un objet avec $60°$ entre elles. Trouvez le résultant.

Ici $2\alpha = 60°$, donc $\alpha = 30°$ et $R = 2 \times 6.0 \times \cos 30° = 10.4\ \text{N}$, le long de la ligne médiane entre les deux forces. La résolution donne la même réponse : chaque force a une composante $6.0\cos 30°$ le long de cette ligne, et leurs composantes perpendiculaires s'annulent.

Pour deux vecteurs à tout autre angle, soit faites un dessin à l'échelle 按比例作图 du triangle vectoriel et mesurez le résultant, soit résolvez les deux vecteurs en composantes perpendiculaires, additionnez les composantes, et recombiner avec $\sqrt{X^{2} + Y^{2}}$.

Exemple résolu. Une balle se déplaçant vers l'est à $5.0\ \text{m s}^{-1}$ est frappée pour aller vers le nord à $5.0\ \text{m s}^{-1}$. Trouvez son changement de vitesse.

Un changement de vitesse est une soustraction vectorielle : $\Delta\vec{v} = \vec{v}_{\text{final}} - \vec{v}_{\text{initial}}$. Dessinez $5.0\ \text{m s}^{-1}$ vers le nord, puis ajoutez l'inverse de la vitesse initiale, $5.0\ \text{m s}^{-1}$ vers l'ouest. Les deux sont perpendiculaires, donc $|\Delta\vec{v}| = \sqrt{5.0^{2} + 5.0^{2}} = 7.1\ \text{m s}^{-1}$, pointant vers le nord-ouest. La vitesse n'a pas changé, mais la vitesse vectorielle sí. C'est pourquoi une force doit avoir agi sur la balle (sujet 3).

Découper un vecteur en parties perpendiculaires

Tout vecteur peut être découpé en deux composantes perpendiculaires 垂直 (à angle droit) 分量. Habituellement ce sont les composantes horizontales 水平 et verticales 竖直, ou le long et à travers une surface. Pour un vecteur $\vec{v}$ à un angle $\theta$ par rapport à l'horizontal :

*Résoudre un vecteur en composantes horizontales et verticales

Choisissez les directions qui rendent le problème le plus facile. Sur une pente (un plan incliné 斜面), divisez le poids en une partie le long de la pente et une partie perpendiculaire à celle-ci :

où $\theta$ est l'angle de la pente par rapport à l'horizontal.

On décompose un vecteur en composantes chaque fois qu'on a besoin de savoir quelle partie de celui-ci agit dans une direction donnée. Par exemple : la partie d'une force agissant le long d'une pente, ou les parties horizontale et verticale de la vitesse d'un ballon après son lancer.

Une question de définition est notée selon un libellé fixe. Apprenez-les exactement et ne donnez qu'une seule réponse.

• Donner une unité à chaque réponse, et vérifier l'homogénéité — les deux côtés d'une équation doivent avoir les mêmes unités fondamentales.
• Distinguer l'erreur aléatoire (réduite par répétition et moyenne) de l'erreur systématique (une erreur zéro ou d'étalonnage que la répétition ne supprime pas).
• Combiner les incertitudes : additionner les incertitudes absolues lors d'additions/soutractions, additionner les incertitudes relatives lors de multiplications/divisions (et multiplier le % par toute puissance).
• Distinguer la précision (petit écart) de la justesse (proche de la valeur vraie).
• Décomposer un vecteur en composantes perpendiculaires ($F\cos\theta$, $F\sin\theta$) ; additionner les vecteurs bout à bout ou par composantes.

Erreurs courantes

• En substituant 5 cm par 5, ou 20 g par 20. Convertissez d'abord le préfixe : 0.05 m, 0.020 kg.
• Indiquer l'incertitude relative en $T^{2}$ comme étant la même qu'en $T$. Le carré la double ; une racine carrée la divise par deux.
• Traiter l'incertitude relative et l'incertitude absolue comme le même nombre.
• Citer « la plus petite division » comme incertitude pour une lecture difficile à prendre.
• Proposer deux réponses à une définition. S'engager sur une seule.

Ces cinq grandeurs reviennent dans presque toutes les questions de cinématique 运动学. Apprenez les mots exacts — l'examinateur attribue des points pour une formulation précise.

• distance 距离 — la longueur totale du parcours parcouru. Un scalaire 标量.
• déplacement 位移 — la distance en ligne droite du départ à l'arrivée, avec une direction. Un vecteur 矢量.
• vitesse 速率 — le taux de variation de la distance par rapport au temps. Une grandeur scalaire.
• vélocité 速度 — le taux de variation du déplacement par rapport au temps. Un vecteur.
• accélération 加速度 — le taux de variation de la vélocité par rapport au temps. Un vecteur.

L'unité de la vitesse et de la vélocité est $\text{m s}^{-1}$ ; l'unité de l'accélération est $\text{m s}^{-2}$.

Deux autres expressions utilisées par l'examinateur : accélération uniforme 匀加速 signifie accélération constante (droite sur un graphique vélocité-temps), et l'accélération de la chute libre 自由落体加速度 $g$ est l'accélération d'un objet tombant librement dans un champ gravitationnel uniforme 匀强重力场 lorsque la résistance de l'air est négligeable 可忽略的 (assez faible pour être ignorée).

Une erreur fréquente : la décélération 减速度 signifie simplement une accélération dans la direction opposée à la vélocité. Ce n'est pas une grandeur distincte.

Les vitesses sont parfois données en $\text{km h}^{-1}$. Convertissez avant de calculer : $85\ \text{km h}^{-1} = 85 \times 1000 / 3600 = 23.6\ \text{m s}^{-1}$.

Beaucoup de points proviennent de la lecture ou du tracé de graphiques de mouvement, les méthodes graphiques 图像法 nommés par le programme. Deux graphiques sont importants.

Graphique déplacement–temps

La pente 斜率 (raideur) d'un graphique déplacement–temps à un point donne la vélocité à cet instant.

• ligne plate → l'objet est immobile.
• ligne droite inclinée → vélocité constante (pente = vélocité).
• courbe → vélocité variable. Tracer une tangente 切线 au point et trouver sa pente.

Graphique vélocité–temps

La pente d'un graphique vélocité–temps donne l'accélération à cet instant.

La surface entre la ligne et l'axe du temps donne le déplacement durant ce temps.

• ligne plate → vélocité constante (accélération nulle).
• ligne droite inclinée → accélération uniforme (accélération constante).
• courbe → accélération variable.
• surface au-dessus de l'axe du temps est un déplacement positif ; surface en dessous est négative (l'objet a reculé).

Pour trouver le déplacement, diviser la surface en triangles et rectangles, ou compter les carreaux. Aire d'un triangle = $\tfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$ ; aire d'un rectangle = $\text{base} \times \text{height}$.

Exemple résolu. Le graphique montre la vélocité d'un ascenseur. Trouver l'accélération à chaque étape et la distance totale parcourue.

• Étape A : pente $= \dfrac{3.0 - 0}{4.0} = 0.75\ \text{m s}^{-2}$.
• Étape B : la ligne est plate, donc l'accélération est nulle.
• Étape C : pente $= \dfrac{0 - 3.0}{2.0} = -1.5\ \text{m s}^{-2}$ (une décélération de $1.5\ \text{m s}^{-2}$).
• Distance : triangle A $= \tfrac{1}{2} \times 4.0 \times 3.0 = 6.0\ \text{m}$, rectangle B $= 6.0 \times 3.0 = 18\ \text{m}$, triangle C $= \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 3.0 = 3.0\ \text{m}$ ; total $27\ \text{m}$.

Quand le graphique est une courbe, la surface est toujours le déplacement : compter les carreaux sous la courbe (un demi-carré ou plus compte pour un) et multiplier par la valeur d'un carreau.

Pour un mouvement en ligne droite avec accélération uniforme, nous utilisons cinq symboles : vélocité initiale $u$, vélocité finale $v$, accélération $a$, déplacement $s$, et temps $t$. Quatre équations les relient :

Chaque équation utilise quatre des cinq symboles. Pour choisir la bonne : écrire ce que vous savez et ce que vous cherchez, puis choisir l'équation avec exactement ces quatre.

Exemple résolu. Une voiture accélère uniformément de $8\ \text{m s}^{-1}$ à $20\ \text{m s}^{-1}$ sur une distance de $56\ \text{m}$. Trouver son accélération.

Nous connaissons $u$, $v$ et $s$ et voulons trouver $a$, donc utilisons $v^{2} = u^{2} + 2as$ :

Origine des équations SUVAT

Vous devriez pouvoir obtenir celles-ci à partir des définitions de vélocité et d'accélération. Pensez au graphique vélocité–temps du mouvement : une ligne droite de $u$ à $t = 0$ et $v$ à temps $t$.

• $v = u + at$ : l'accélération est la pente, $a = (v - u)/t$, donc $v = u + at$.
• $s = \tfrac{1}{2}(u + v) t$ : le déplacement est la surface sous la ligne, un trapèze 梯形 avec côtés parallèles $u$ et $v$ et largeur $t$, donc $s = \tfrac{1}{2}(u + v)t$.
• $s = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$ : insérez $v = u + at$ dans la formule de l'aire : $s = \tfrac{1}{2}(u + u + at)t = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$.
• $v^{2} = u^{2} + 2as$ : de la première équation $t = (v - u)/a$ ; mettre ceci dans $s = \tfrac{1}{2}(u + v)t$ pour obtenir $2as = (v + u)(v - u) = v^{2} - u^{2}$.

Une question « dériver » demande exactement ces étapes, chacune partant d'une définition ou d'une équation déjà établie, sans nombres.

Si une question demande « quelle équation peut être trouvée en utilisant uniquement la pente d'un graphique vélocité–temps ? », la réponse est $v = u + at$ (la pente est l'accélération).

Questions de type « Montrer que ». Lorsque la question donne la réponse (« montrer que la hauteur est 3.2 km »), les points sont attribués pour la méthode. Écrivez l'équation, substituez chaque valeur avec son unité, et donnez le résultat avec un chiffre significatif de plus que la valeur indiquée ($3.24\ \text{km}$, qui s'arrondit à $3.2\ \text{km}$). Atteindre la valeur indiquée ne prouve rien en soi.

Choisir une direction positive

Choisir une direction positive au début et la garder. Tout ce qui pointe dans l'autre sens reçoit un signe moins. Pour une balle lancée verticalement vers le haut, si « haut » est positif : $u$ est positif, $a = -g$ (gravité 重力 tire vers le bas), et au point le plus haut le déplacement est positif mais la vélocité est nulle.

Lorsque la résistance de l'air 空气阻力 peut être ignorée, un objet en chute libre 自由落ite une accélération constante $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$ vers le bas. C'est la même pour chaque masse.

Pour une balle lâchée sans vitesse initiale et tombant d'une distance $h$ :

Pour une balle lancée verticalement vers le haut avec une vitesse $u$ :

• hauteur maximale : mettre $v = 0$ dans $v^{2} = u^{2} - 2gh$, donnant $h = u^{2}/(2g)$.
• temps pour atteindre le sommet : mettre $v = 0$ dans $v = u - gt$, donnant $t = u/g$.
• temps total pour retomber à la hauteur de départ : $2u/g$ (le mouvement est symétrique 对称).

Exemple résolu. Une balle est lancée verticalement vers le haut à $20\ \text{m s}^{-1}$. Trouver la hauteur maximale atteinte (prendre $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

Au point le plus haut $v = 0$, donc à partir de $h = u^{2}/(2g)$ :

Quand la résistance de l'air n'est pas négligeable

Les équations ci-dessus supposent que seule la pesanteur s'applique. Avec la résistance de l'air, la force résultante sur un objet en chute est inférieure à son poids, donc l'accélération est inférieure à $g$ ; et comme la résistance de l'air augmente avec la vitesse, l'accélération continue de diminuer alors que l'objet accélère. Sur un graphique vitesse–temps, la courbe s'infléchit, sa pente tendant vers zéro lorsque l'objet approche de la vitesse terminale 收尾速度 (sujet 3). Pour un projectile, la résistance de l'air réduit la portée et abaisse la hauteur maximale, et la trajectoire n'est plus une parabole 抛物线 symétrique : l'objet redescend plus raide qu'il ne montait. Une question « état et expliquer » demande d'abord la force, puis son effet sur l'accélération, ensuite son effet sur le mouvement.

Expérience pour déterminer $g$

Méthode courante : laisser tomber un objet au repos, puis mesurer la distance $h$ parcourue en chute libre et le temps $t$ mis pour y parvenir. Puis

Répéter pour plusieurs hauteurs et tracer $h$ en fonction de $t^{2}$. La pente de la droite de meilleure ajustement est $g/2$, donc $g$ est le double de cette pente. Répéter permet de réduire l'erreur aléatoire 随机误差. Un chronomètre électronique — utilisant des portes optiques 光电门, ou un interrupteur heurté par la balle — élimine l'erreur de temps de réaction 反应时间.

Lorsqu'un objet se déplace à vitesse constante dans une direction (disons horizontale 水平) et accélère dans une direction perpendiculaire (disons verticale 竖直, sous l'effet de la gravité), les deux mouvements sont indépendants. Traitez chaque direction séparément, avec sa propre équation SUVAT.

Lancer horizontal

Un objet lancé horizontalement à la vitesse $u_{\text{H}}$ depuis une hauteur $h$, en négligeant la résistance de l'air :

• horizontal : vitesse constante $u_{\text{H}}$. Après un temps $t$, la distance horizontale est $x = u_{\text{H}} t$.
• vertical : part du repos et accélère vers le bas à $g$. Après un temps $t$, il a chuté de $y = \tfrac{1}{2} g t^{2}$ et possède une vitesse verticale $v_{\text{V}} = g t$.

Le temps pour atteindre le sol dépend uniquement de la hauteur $h$, pas de $u_{\text{H}}$. Résolvez $h = \tfrac{1}{2} g t^{2}$ pour obtenir $t$ ; ensuite la portée 射程 horizontale est $u_{\text{H}} t$.

Exemple résolu. Une balle est lancée horizontalement à $15\ \text{m s}^{-1}$ depuis le sommet d'une falaise haute de $20\ \text{m}$. Trouver le temps mis pour toucher le sol et la distance depuis la base où elle atterrit (prendre $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

Le mouvement vertical donne le temps : à partir de $h = \tfrac{1}{2}g t^{2}$,

Le mouvement horizontal donne ensuite la portée : $x = u_{\text{H}} t = 15 \times 2.0 \approx 30\ \text{m}.$

Le graphique de la vitesse horizontale est une ligne horizontale à $u_{\text{H}}$. Le graphique de la vitesse verticale est une droite passant par l'origine avec une pente de $g$.

Comparaison de deux objets. Si l'objet A est lâché sans vitesse initiale et que l'objet B est lancé horizontalement depuis la même hauteur au même instant, ils atteignent le sol en même temps : leurs mouvements verticaux sont identiques. Si au contraire B est lancé avec une composante ascendante, il met plus de temps, car il doit d'abord monter et revenir à la hauteur de départ avant de chuter la même distance. Sa vitesse à l'atterrissage se calcule toujours par conservation de l'énergie : l'énergie cinétique gagnée égale l'énergie potentielle perdue, quelle que soit la direction du lancer, donc une balle lancée sous n'importe quel angle avec la même vitesse depuis la même hauteur atterrit avec la même vitesse (sujet 5).

Projectile lancé sous un angle

Un projectile 抛体 lancé à la vitesse $u$ sous un angle $\theta$ au-dessus de l'horizontale :

• composante horizontale 分量 de la vitesse initiale : $u_{\text{H}} = u \cos\theta$ (reste constante pendant toute la trajectoire).
• composante verticale de la vitesse initiale : $u_{\text{V}} = u \sin\theta$ (diminue, devient nulle au sommet, puis croît vers le bas).

Au point le plus haut, $v_{\text{V}} = 0$, mais $v_{\text{H}}$ vaut encore $u\cos\theta$. Le temps pour atteindre le sommet est $t_{\text{up}} = u\sin\theta / g$ ; le temps total de vol (retour à la hauteur de départ) est $2t_{\text{up}}$.

Esquisser les graphiques de vitesse. Les examinateurs demandent souvent de dessiner $v_{\text{H}}$ et $v_{\text{V}}$ en fonction du temps sur les mêmes axes, en prenant le haut comme positif. La composante horizontale est une ligne plate à $u\cos\theta$ pour tout le vol. La composante verticale est une droite de pente $-g$ : elle commence à $+u\sin\theta$, traverse zéro au sommet du vol, et atteint $-u\sin\theta$ à l'atterrissage à la hauteur de départ. Étiquetez chaque ligne, marquez les instants de début et de fin, et faites en sorte que le croisement soit exactement à $t_{\text{up}}$.

Exemple résolu. Une balle quitte le sol à $18\ \text{m s}^{-1}$ sous un angle $60°$ par rapport à l'horizontale. Montrez qu'elle atteint sa hauteur maximale à $t = 1.6\ \text{s}$.

$u_{\text{V}} = 18 \sin 60° = 15.6\ \text{m s}^{-1}$. Au sommet $v_{\text{V}} = 0$, donc à partir de $v = u + at$ avec $a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$ : $t = 15.6 / 9.81 = 1.59\ \text{s} \approx 1.6\ \text{s}$.

Balle rebondissante

Lorsqu'une balle rebondit, son graphique vitesse–temps est une série de droites inclinées (accélération constante $g$) avec un saut brusque à chaque rebond (la vitesse change de sens et diminue si une partie de l'énergie 能量 est perdue). Additionnez les durées et les distances entre les rebonds.

Lisez attentivement un tel graphique : la pente de chaque droite inclinée est la même $g$ ; la balle est au point le plus haut partout où la droite traverse l'axe des temps ; et la hauteur de chaque rebond correspond à l'aire du triangle au-dessus (ou en dessous) de l'axe pour cette phase de vol.

Lorsque deux objets se déplacent le long de la même ligne de manière différente, écrivez une équation de déplacement pour chacun. Utilisez la même heure de départ et la même direction positive. Ensuite, égalisez les deux déplacements (ou fixez leur différence à une distance donnée).

Pour un train de marchandises à vitesse constante $u_{\text{G}}$ et un train express partant du repos avec une accélération $a$, tous deux passant par le même point à $t = 0$ :

Ils sont de nouveau alignés lorsque $s_{\text{G}} = s_{\text{E}}$, ce qui donne $t = 2 u_{\text{G}} / a$.

1. Dessinez un schéma et marquez la direction positive.
2. Listez les symboles SUVAT avec leurs valeurs connues et inconnues, y compris les signes.
3. Choisissez l'équation SUVAT comportant exactement les quatre symboles dont vous disposez, plus celui que vous cherchez.
4. Pour le mouvement de projectile, séparez en problèmes SUVAT horizontaux et verticaux, liés uniquement par le temps $t$.
5. Vérifiez toujours les unités de votre réponse et assurez-vous qu'elle est raisonnable.

Une question de définition est notée selon un libellé fixe. Apprenez-les exactement et ne donnez qu'une seule réponse.

• N'utilisez les équations SUVAT que pour une accélération constante ; listez $s, u, v, a, t$ et sélectionnez l'équation qui ne contient pas votre inconnue.
• Choisissez une direction comme positif et gardez la cohérence des signes (généralement $g = -9.81\ \text{m s}^{-2}$).
• Sur un graphique vitesse–temps, la pente $=$ représente l'accélération et l'aire $=$ représente le déplacement.
• Pour les projectiles, traitez le mouvement horizontal (vitesse constante) et vertical ($a = g$) séparément, liés par le même temps.

Erreurs courantes

• Dire que la boule la plus lourde touche le sol la première ou plus vite, quand la résistance de l'air est négligée. Elles tombent toutes deux avec la même accélération et atterrissent à la même vitesse.
• Prendre la pente d'un graphique $v$–$t$ quand la question demande l'aire, ou l'aire quand on demande la pente. La pente est l'accélération ; l'aire est le déplacement.
• Tracer une courbe sur un graphique $v$–$t$ pour un corps soumis à une accélération constante. Une accélération constante correspond à une ligne droite ; seul le signe de $v$ change lors d'un rebond.
• Utiliser $g = +9.81$ pour une balle lancée vers le haut avec « haut » comme positif. Une fois le haut défini comme positif, $a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$ est négatif pour tout le vol, y compris la descente.
• Utiliser une équation SUVAT lorsque l'accélération varie (résistance de l'air, graphique courbe). Seules les méthodes graphiques fonctionnent alors.

Masse

Masse 质量 indique la difficulté à modifier le mouvement d'un objet. Plus la masse est grande, plus la travail 力 nécessaire pour lui donner une certaine accélération 加速度 est importante. La masse se mesure en kilogrammes ($\text{kg}$) et est un scalaire 标量.

Impulsion linéaire

L'impulsion linéaire 动量 est le produit de la masse par la vitesse :

L'impulsion est un vectoriel 矢量 — elle pointe dans la même direction que la vitesse 速度. Son unité est $\text{kg m s}^{-1}$, qui est la même que $\text{N s}$.

Force comme taux de variation de l'impulsion

La deuxième loi de Newton, sous sa forme générale : la force résultante 合力 sur un objet est égale au taux de variation de son impulsion.

Lorsque la masse est constante, cela devient $F = ma$, car $\Delta p = m\,\Delta v$ et $\Delta v / \Delta t = a$. Les examens Cambridge demandent souvent d'utiliser directement $F = \Delta p / \Delta t$ pour une collision 碰撞 ou une impulsion 冲量 : la force moyenne est égale à la variation de l'impulsion divisée par la durée de contact.

Une balle heurte un mur avec une impulsion $p_{1}$ et rebondit avec une impulsion $p_{2}$ dans la direction opposée. La variation de l'impulsion est $\Delta p = p_{2} - p_{1}$ (attribuez le bon signe à chaque direction). La force moyenne est $\Delta p / \Delta t$, où $\Delta t$ est la durée de contact.

Exemple résolu. Une balle de $0.20\ \text{kg}$ heurte un mur à $8.0\ \text{m s}^{-1}$ et rebondit droit vers l'arrière à $6.0\ \text{m s}^{-1}$. Le contact dure $0.050\ \text{s}$. Trouvez la force moyenne exercée sur la balle.

Prenons la direction du rebond comme positive, donc $u = -8.0\ \text{m s}^{-1}$ et $v = +6.0\ \text{m s}^{-1}$ :

Lorsque vous connaissez l'impulsion mais pas la vitesse, la variation d'énergie cinétique 动能 est

Cela provient de $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} m v^{2} = p^{2} / (2m)$.

Courbes d'impulsion-temps

Parce que $F = \Delta p / \Delta t$, la pente d'une courbe d'impulsion-temps est la force résultante, tout comme la pente d'une courbe vitesse-temps est l'accélération. Une ligne droite signifie une force résultante constante ; une ligne horizontale signifie une force résultante nulle ; une ligne descendante signifie une force agissant contre le mouvement.

Exemple résolu. Le graphique montre l'impulsion d'une moto. Trouvez la force résultante exercée dessus durant les premiers $10\ \text{s}$.

Pente $= \Delta p / \Delta t = 5000 / 10 = 500\ \text{N}$. Entre $10\ \text{s}$ et $16\ \text{s}$, l'impulsion est constante, donc la force résultante est nulle : la force motrice compense exactement les forces de résistance. De $16\ \text{s}$ à $20\ \text{s}$, l'impulsion diminue de $2000\ \text{kg m s}^{-1}$, donc la force résultante est $-500\ \text{N}$, dirigée vers l'arrière.

Si un énoncé précise que la vitesse change alors que la force résultante reste constante, cette force ne peut pas être la traînée aérodynamique : la traînée dépend de la vitesse, elle changerait donc si la vitesse variait, et la traînée agit toujours contre le mouvement.

Première loi

Un objet reste au repos ou continue de se déplacer à vitesse constante en ligne droite, sauf s'il subit une force extérieure résultante 外力. En résumé : une force résultante nulle implique une accélération nulle.

Deuxième loi

La force résultante sur un objet est égale à son taux de variation de l'impulsion, et agit dans la même direction que cette variation. En unités SI,

L'accélération et la force résultante pointent toujours dans la même direction.

Troisième loi

Lorsqu'un corps A pousse sur un corps B, le corps B pousse en retour sur le corps A avec une force égale et opposée. Les deux forces :

• agissent sur des objets différents,
• sont du même type (toutes gravitationnelles, toutes de contact, toutes électrostatiques 静电, etc.),
• ont la même grandeur et des directions opposées.

Un piège courant : le poids 重力 d'un bloc sur une table et la force normale de contact 支持力 de la table ne forment pas une paire de la troisième loi (elles agissent sur le même objet et sont de types différents). L'équipollente de la troisième loi du poids du bloc est la traction que le bloc exerce sur la Terre. L'équipollente de la troisième loi de la force de contact de la table est la poussée que le bloc exerce sur la table.

Pour nommer une équipollente de la troisième loi, inversez les deux corps dans la phrase. « La roue arrière d'un vélo pousse vers l'arrière sur la route » s'oppose à « la route pousse vers l'avant sur la roue arrière », et cette poussée vers l'avant fait avancer le vélo. « La Terre attire la Lune » s'oppose à « la Lune attire la Terre », avec la même magnitude de force.

Pour une fusée : la poussée 推力 sur la fusée et la force sur les gaz forment une paire de la troisième loi (le moteur pousse les gaz vers le bas, les gaz poussent le moteur vers le haut). Le poids et la traînée aérodynamique ne font pas partie de cette paire.

Le poids est la force exercée sur un objet par un champ gravitationnel 重力场. Près de la surface de la Terre,

où $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$ est l'accélération de la chute libre. Le poids est un vecteur pointant vers le centre de la Terre. Ne pas le confondre avec la masse : la masse est identique partout, mais le poids varie selon l'endroit.

Sur la Lune, $g$ vaut environ $1.6\ \text{m s}^{-2}$, donc la masse d'un astronaute reste inchangée mais son poids est environ un sixième de sa valeur sur Terre. Lorsqu'une question à choix multiples demande quelle affirmation décrit le poids, la réponse est celle qui dit « la force sur l'objet due à un champ gravitationnel », et non « masse multipliée par l'accélération » ni « la force résultante ».

Forces de frottement et de traînée

Une force de frottement 摩擦力 entre deux surfaces solides agit le long de la surface et s'oppose au glissement. Une force visqueuse 黏性 ou de traînée 阻力 est la force de résistance exercée par un fluide 流体 (liquide ou gaz) sur un objet qui s'y déplace ; la résistance de l'air en est un cas particulier. Vous n'avez pas besoin d'utiliser de coefficient coefficient de frottement ou de viscosité.

Un modèle simple : la traînée augmente lorsque la vitesse augmente. À vitesse nulle, la traînée est nulle. La traînée croît également avec la surface transversale 横截面积 de l'objet et avec la densité du fluide ; un parachute fonctionne en augmentant considérablement la surface, et donc la traînée. Ces forces de frottement et ces forces de traînée sont toutes des forces résistantes : elles s'opposent à la direction du mouvement et transfèrent l'énergie cinétique en énergie thermique.

Un objet tombant dans l'air

Pour un objet lâché sans vitesse initiale et tombant dans l'air :

1. Au début, seul le poids agit, donc l'objet accélère vers le bas à $g$.
2. Lorsque la vitesse augmente, la traînée ascendante augmente. La force résultante diminue, donc l'accélération diminue.
3. Finalement, la traînée égale le poids. La force résultante est nulle, l'accélération est nulle, et la vitesse reste constante — c'est la vitesse terminale 收尾速度.

Sur une courbe vitesse-temps, la courbe commence par une ligne droite avec une pente $g$, puis s'infléchit et s'aplatit à la vitesse terminale. Cette allure (départ rapide, puis accélération décroissante, puis vitesse constante) est ce qui distingue la « chute avec résistance de l'air » de la « chute libre dans le vide » dans un champ gravitationnel uniforme 匀强重力场. Sur une courbe accélération-temps, l'accélération commence à $g$ et diminue, s'infléchissant vers zéro.

Deux sphères de même taille mais de densités différentes ont des vitesses terminales différentes : la sphère dense a un poids plus grand, elle nécessite donc une traînée plus grande pour l'équilibrer, et la traînée n'atteint cette valeur qu'à une vitesse plus élevée. C'est aussi pourquoi un parachute tout change : lorsqu'il s'ouvre, la traînée dépasse soudainement le poids, la force résultante est dirigée vers le haut, et le parachutiste décélère (l'accélération est vers le haut tandis que la vitesse est encore vers le bas) jusqu'à ce que la traînée redescende pour égaler le poids à une nouvelle vitesse terminale beaucoup plus faible.

Chute dans un liquide : trois forces

Une balle qui tombe dans un liquide est soumise à trois forces : son poids vers le bas, la poussée d'Archimède 浮力 vers le haut, et la traînée visqueuse vers le haut. La poussée d'Archimède provient de la pression hydrostatique 流体静压强 : la pression dans un liquide augmente avec la profondeur, donc le liquide pousse plus fort sur le fond de la balle que sur le dessus, et la résultante de ces pressions est dirigée vers le haut. Son intensité correspond au poids du liquide déplacé par la balle, $U = \rho_{\text{liquid}} V g$ (thème 4). La traînée augmente avec la vitesse. Lorsque le poids $=$ la poussée d'Archimède $+$ la traînée, la force résultante est nulle et la balle tombe à sa vitesse limite. Une question « dessinez des flèches légendées » demande exactement ces trois forces, avec la poussée d'Archimède et la traînée toutes deux orientées vers le haut et le poids vers le bas.

Exemple résolu. Une bille d'acier de rayon $2.0\ \text{mm}$ et de poids $2.56 \times 10^{-3}\ \text{N}$ tombe dans l'huile de densité $850\ \text{kg m}^{-3}$. La traînée visqueuse exercée sur elle est $F = 6\pi \eta r v$, où $\eta$ est la viscosité 黏度 de l'huile et $v$ la vitesse. (a) Trouvez les unités fondamentales du SI de $\eta$. (b) Montrez que la poussée d'Archimède sur la bille est $2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$. (c) En prenant $\eta = 0.20$ en unités SI, trouvez la vitesse limite.

(a) $\eta = F / (6\pi r v)$, donc ses unités sont $\text{N} / (\text{m} \cdot \text{m s}^{-1}) = \text{kg m s}^{-2} / (\text{m}^{2}\ \text{s}^{-1}) = \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-1}$.

(b) $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (2.0 \times 10^{-3})^{3} = 3.35 \times 10^{-8}\ \text{m}^{3}$, donc $U = 850 \times 3.35 \times 10^{-8} \times 9.81 = 2.79 \times 10^{-4}\ \text{N} \approx 2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$.

(c) À la vitesse limite, la traînée $= W - U = 2.56 \times 10^{-3} - 2.8 \times 10^{-4} = 2.28 \times 10^{-3}\ \text{N}$. Donc $v = F / (6\pi \eta r) = 2.28 \times 10^{-3} / (6\pi \times 0.20 \times 2.0 \times 10^{-3}) = 0.30\ \text{m s}^{-1}$.

Énergie lors d'une chute à vitesse terminale

À la vitesse terminale, un parachutiste 跳伞者 a une énergie cinétique constante. Mais l'énergie potentielle gravitationnelle 重力势能 continue de diminuer lorsqu'il descend. Où va-t-elle ? Presque toute se transforme en énergie thermique 热能 de l'air environnant. Elle ne devient pas l'énergie cinétique du parachutiste — celle-ci reste constante.

Cycliste ou voiture à vitesse constante

Un véhicule roulant à vitesse constante sur une route plate subit une force résultante nulle. La force motrice 驱动力 vers l'avant est égale et opposée à la force de résistance totale (frottements, résistance de l'air et résistance au roulement). À vitesse plus élevée, la traînée est plus grande, donc la force motrice doit être plus grande aussi — et donc la puissance 功率 doit être plus grande.

Sur une pente, le poids possède une composante le long de la route. En montant à vitesse constante, la force motrice doit équilibrer la force de résistance et la partie du poids qui tire vers le bas de la pente, $W\sin\theta$ ; en descendant, cette même composante aide le mouvement.

Exemple résolu. Une voiture de masse $1500\ \text{kg}$ monte une route inclinée à $12°$ par rapport à l'horizontale à une vitesse constante de $30\ \text{m s}^{-1}$. La force de résistance totale est $1600\ \text{N}$. Trouvez la force motrice et la puissance utile de sortie du moteur.

Vitesse constante signifie une force résultante nulle le long de la pente : $D = 1600 + 1500 \times 9.81 \times \sin 12° = 1600 + 3060 = 4660\ \text{N} \approx 4700\ \text{N}$. La puissance est force multipliée par la vitesse (thème 5) : $P = Dv = 4660 \times 30 = 1.4 \times 10^{5}\ \text{W}$.

Le principe

Pour un système soumis à aucune force extérieure résultante, la quantité de mouvement totale reste constante. C'est la conservation de la quantité de mouvement 动量守恒. Formulé pour les deux points accordés par l'examinateur : la quantité de mouvement totale d'un système d'objets reste constante tant qu'aucune force extérieure résultante n'agit sur le système. Les deux parties sont nécessaires : dire seulement « la quantité de mouvement totale est constante » ne rapporte qu'un point.

Elle s'applique toujours lorsqu'il n'y a pas de force extérieure résultante — lors de collisions, explosions 爆炸, et recul 反冲. En deux dimensions, la quantité de mouvement est conservée séparément selon chaque direction.

Exemple résolu. Un chariot de $2.0\ \text{kg}$ et un chariot de $3.0\ \text{kg}$ sont maintenus contre un ressort comprimé, puis relâchés depuis le repos. Le chariot de $2.0\ \text{kg}$ part à $6.0\ \text{m s}^{-1}$. Trouvez la vitesse de l'autre chariot.

La quantité de mouvement totale reste nulle (elle était nulle au départ), donc

dans la direction opposée.

Collisions élastiques et inélastiques

Dans chaque collision, la quantité de mouvement est conservée (s'il n'y a pas de force extérieure résultante).

Une collision élastique 弹性碰撞 est une collision où l'énergie cinétique totale est également conservée. Un test rapide : dans une collision élastique, la vitesse relative 相对速率 d'approche est égale à la vitesse relative de séparation.

Dans une collision inélastique 非弹性碰撞, la quantité de mouvement est conservée mais l'énergie cinétique diminue — une partie devient énergie thermique, sonore ou de déformation 形变. Si les deux objets restent collés ensemble, la collision est parfaitement inélastique.

Résoudre des problèmes de collision (une dimension)

Pour deux objets de masses $m_{1}, m_{2}$ et de vitesses initiales $u_{1}, u_{2}$ qui entrent en collision frontalement 正面, écrivez

Utilisez des vitesses signées (positives dans une direction choisie). Si la collision est élastique, ajoutez l'équation des vitesses relatives

ou, ce qui revient au même, $\tfrac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} = \tfrac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}$. Cela donne deux équations pour deux inconnues.

Exemple résolu. Une voiture de $1500\ \text{kg}$ roulant à $12\ \text{m s}^{-1}$ percute une voiture stationnaire de $1000\ \text{kg}$ et elles restent accrochées. Trouvez leur vitesse commune juste après la collision.

La quantité de mouvement est conservée (les voitures restent collées, donc $v_{1} = v_{2} = v$) :

Les questions demandent souvent quelle fraction de l'énergie cinétique est transférée vers d'autres formes. Avant : $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} \times 1500 \times 12^{2} = 1.08 \times 10^{5}\ \text{J}$. Après : $\tfrac{1}{2} \times 2500 \times 7.2^{2} = 6.48 \times 10^{4}\ \text{J}$. Donc $4.3 \times 10^{4}\ \text{J}$, ce qui représente $40\%$ de l'énergie cinétique originale, devient énergie thermique, sonore et déformation des voitures. La quantité de mouvement est conservée ; l'énergie cinétique ne l'est pas.

Exemple résolu. Un noyau stationnaire de masse $222\,u$ se désintègre en émettant une particule alpha α粒子 de masse $4\,u$ à $1.6 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$. Trouvez la vitesse du noyau restant.

Avant la désintégration, la quantité de mouvement totale est nulle, donc après, les deux quantités de mouvement sont égales et opposées : $218\,u \times v = 4\,u \times 1.6 \times 10^{7}$, donnant $v = 2.9 \times 10^{5}\ \text{m s}^{-1}$ dans la direction opposée à la particule alpha. L'unité $u$ s'annule, donc sa valeur n'est jamais nécessaire. Lors d'une désintégration, la quantité de mouvement, la charge (nombre de protons), le nombre nucléonique et l'énergie-masse totale sont tous conservés (thème 11).

Un résultat utile pour une collision élastique frontale entre une masse $m$ et une masse stationnaire 静止 $M$ :

Collisions en deux dimensions

Si les objets se déplacent en deux dimensions, décomposez les vitesses en composantes 分量 perpendiculaires 垂直 et appliquez la conservation de la quantité de mouvement le long de chaque direction séparément. Pour une collision où les objets entrent en collision à un angle, choisissez un axe le long du mouvement du premier objet et un autre perpendiculairement. La quantité de mouvement totale est conservée le long de chaque axe.

Exemple résolu. Sur une surface sans frottement, la balle A a une quantité de mouvement de $4.0\ \text{N s}$ vers l'est et la balle B a une quantité de mouvement de $3.0\ \text{N s}$ vers le nord. Elles entrent en collision et restent collées. Trouvez la quantité de mouvement de l'objet combiné.

La quantité de mouvement est conservée le long de chaque axe : $4.0\ \text{N s}$ vers l'est et $3.0\ \text{N s}$ vers le nord après la collision, exactement comme avant. La quantité de mouvement totale est la somme vectorielle, $\sqrt{4.0^{2} + 3.0^{2}} = 5.0\ \text{N s}$ à $\tan^{-1}(3.0 / 4.0) = 37°$ au nord de l'est ; l'objet combiné se déplace dans cette direction à $5.0\ \text{N s}$ divisé par la masse totale. Un schéma à choix multiples avec deux flèches de quantité de mouvement demande exactement cela : additionnez les flèches bout à bout.

Fusée / expulsion de masse

Une fusée expulse des gaz à la vitesse $u$ (relative à elle-même) à un taux de débit massique 质量流率 $\dot m$ (kg par seconde). Elle subit une poussée

qui provient de $F = \Delta p / \Delta t$. La quantité de mouvement donnée aux gaz chaque seconde est égale à la poussée sur la fusée (troisième loi de Newton : la fusée pousse les gaz dans un sens, les gaz poussent la fusée dans l'autre sens). Un moteur expulsant $90\ \text{kg}$ de gaz par seconde à $190\ \text{m s}^{-1}$ produit une poussée de $90 \times 190 = 1.7 \times 10^{4}\ \text{N}$.

Exemple résolu. Une fusée de poids $W$ quitte le sol avec une accélération initiale de $a$. Quelle poussée produit son moteur ?

Prenez le haut comme positif. La force résultante est la poussée moins le poids, donc $T - W = ma$. Avec $m = W / g$, $T = W + Wa / g = W(1 + a / g)$. Une fusée de poids $2.0 \times 10^{6}\ \text{N}$ accélérant à $4.0\ \text{m s}^{-2}$ a besoin d'une poussée de $2.0 \times 10^{6} \times (1 + 4.0 / 9.81) = 2.8 \times 10^{6}\ \text{N}$. La poussée doit dépasser le poids avant que la fusée ne bouge du tout.

Une question de définition est notée selon un libellé fixe. Apprenez-les exactement et ne donnez qu'une seule réponse.

• La deuxième loi de Newton est $F = \Delta p / \Delta t$ (taux de variation de la quantité de mouvement) ; $F = ma$ est le cas particulier pour une masse constante.
• Identifier correctement les paires de la troisième loi : même type de force, agissant sur deux corps différents — et non pas des forces équilibrées sur un seul corps.
• La quantité de mouvement est conservée dans chaque collision ; l'énergie cinétique n'est conservée que dans une collision élastique.
• Pour la vitesse limite, expliquer que la traînée augmente avec la vitesse jusqu'à ce que la traînée $=$ le poids, donc l'accélération devient nulle.

Erreurs courantes

• Écrire « les forces sont équilibrées » ou « les forces s'annulent ». Dire plutôt « la force résultante sur l'objet est nulle ».
• Ajouter les deux vitesses lors d'une collision frontale parce que la quantité de mouvement est « totale ». Choisir un sens positif, donner à la vitesse opposée un signe moins, puis additionner.
• Calculer l'énergie cinétique à partir d'une composante de la vitesse. L'énergie cinétique utilise la vitesse complète de chaque corps.
• Appeler le poids et la force normale de contact sur un seul objet une paire de la troisième loi. Une paire agit sur deux objets différents et correspond à un seul type de force.
• Affirmer la conservation de la quantité de mouvement sans condition. Elle ne vaut que si aucune force extérieure résultante n'agit sur le système.

Centre de gravité

Le poids 重力 d'un grand objet peut être considéré comme agissant en un seul point, appelé centre de gravité 重心 (identique au centre de masse 质心 dans un champ gravitationnel uniforme). Pour une forme régulière et homogène — rectangle, sphère, tige uniforme — le centre de gravité se situe au milieu.

Lorsque vous dessinez un schéma libre 受力图, placez toujours la flèche du poids au centre de gravité.

Pour une forme irrégulière, trouvez le centre de gravité par expérience. Accrochez l'objet librement à une épingle : à l'équilibre, il s'oriente avec son centre de gravité verticalement sous l'épingle, car seulement alors le poids n'exerce aucun moment par rapport à celle-ci. Un fil à plomb 铅垂线 suspendu à la même épingle marque cette verticale. Accrochez l'objet à un second point et tracez la seconde ligne ; le centre de gravité est à l'intersection des deux lignes. Ce même fait répond à la question d'examen « expliquez pourquoi la feuille pend ainsi » : son centre de gravité est directement sous le support, donc la ligne d'action du poids passe par la pivot et il n'y a pas de couple résultant.

Pour une tige non uniforme 非均匀, le centre de gravité n'est pas au milieu. Trouvez-le en équilibrant la tige sur un pivot, ou en calculant les moments : si le poids de la tige $W$ équilibre un poids connu, la distance de son centre de gravité au pivot est celle qui rend les deux côtés égaux.

Moment d'une force

Le moment 力矩 d'une force par rapport à un point est

où $F$ est l'intensité de la travail 力 et $d$ est la distance perpendiculaire 垂直距离 du point à la ligne d'action 作用线 de la force. Unité : $\text{N m}$.

Si la force agit à un angle $\theta$ par rapport à un bras de levier 力臂 de longueur $r$ depuis le pivot 支点, alors $d = r\sin\theta$, donc $M = F r\sin\theta$. Seule la composante de la force perpendiculaire 垂直 au bras de levier produit la rotation.

Exemple résolu. Une force de $50\ \text{N}$ est appliquée à l'extrémité d'une clé plate longue de $0.40\ \text{m}$, à un angle $30°$ par rapport à la clé. Calculez le moment de la force par rapport à l'écrou.

Un moment est soit horaire 顺时针, soit anti-horaire 逆时针 par rapport au point choisi.

Couple et couple de forces

Un couple 力偶 est une paire de forces qui sont :

• égales en intensité,
• opposées en direction,
• dont les lignes d'action sont séparées par une distance perpendiculaire.

Un couple fait tourner le corps uniquement — sa force résultante est nulle, donc il ne provoque aucune accélération rectiligne.

Le couple 力偶矩 d'un couple est l'effet de rotation qu'il produit :

où $F$ est l'intensité d'une des forces et $d$ est la distance perpendiculaire entre les deux lignes d'action. Unité : $\text{N m}$. Le couple est le même par rapport à n'importe quel point — propriété spéciale des couples.

Un piège fréquent aux QCM : deux forces égales dans la même direction ne forment pas un couple (elles ont une force résultante et provoquent une translation 平动). Un couple nécessite une intensité égale et une direction opposée.

Vérifiez la distance dans la formule. Pour un couple de deux forces $F$ chacune agissant à une distance $d$ d'un pivot central, de part et d'autre, la distance perpendiculaire entre les deux lignes d'action est $2d$, donc le couple est $F \times 2d = 2Fd$. Prendre les moments par rapport au pivot donne la même réponse, $Fd + Fd$. La définition à deux points demande les deux parties : le produit de l'une des forces et de la distance perpendiculaire entre les lignes d'action des forces.

Conditions d'équilibre

Un corps est en équilibre 平衡 lorsque :

1. la force résultante 合力 est nulle (pas d'accélération rectiligne), ET
2. le moment résultant par rapport à tout point est nul (pas d'accélération angulaire 角加速度).

Les deux conditions doivent être remplies. Un corps sans force résultante peut encore tourner ; un corps sans moment résultant peut encore se déplacer en ligne droite.

Le cas classique aux QCM : quatre forces, deux paires égales pointant dans des directions opposées mais pas sur les mêmes lignes. La force résultante est nulle, donc le centre de masse ne s'accélère pas, mais les paires forment des couples avec un couple résultant, donc l'objet tourne de plus en plus vite tandis que son centre de masse se déplace à vitesse constante. Le corps n'est en équilibre que lorsque les deux conditions sont réunies.

Principe des moments

Pour un corps qui ne tourne pas, la somme totale des moments horaires par rapport à tout point est égale à la somme totale des moments anti-horaires par rapport au même point. C'est le principe des moments 力矩原理.

Pour résoudre un problème d'équilibre :

1. Choisissez un pivot — généralement là où une force inconnue agit, afin que cette force s'annule (sa distance est zéro).
2. Listez chaque force et sa distance perpendiculaire au pivot.
3. Posez $\sum M_{\text{clockwise}} = \sum M_{\text{anticlockwise}}$.
4. Utilisez $\sum F = 0$ si vous avez besoin d'une seconde équation.

Une règle équilibrée sur un pivot avec des masses de chaque côté se résout ainsi. Pour une tige lourde et uniforme, n'oubliez pas d'inclure son poids agissant à son centre de gravité. Formulé pour les points : pour un corps en équilibre, la somme des moments horaires par rapport à tout point est égale à la somme des moments anti-horaires par rapport à ce même point.

Exemple résolu. Une poutre uniforme de longueur $4.0\ \text{m}$ est pivotée à son centre. Un poids de $40\ \text{N}$ est suspendu à $1.5\ \text{m}$ du pivot d'un côté. À quelle distance du pivot, de l'autre côté, doit-on suspendre un poids de $30\ \text{N}$ pour équilibrer la poutre ?

Le poids propre de la poutre agit au centre (le pivot), donc il n'exerce aucun moment. En posant le moment horaire $=$ au moment anti-horaire :

Exemple résolu. Une tige uniforme de longueur $L$ et de poids $W = 28\ \text{N}$ est articulée à un mur à une extrémité et maintenue horizontale par un câble attaché à l'autre extrémité. Le câble fait un angle $40°$ avec la tige. Calculez la tension $T$ dans le câble.

Prenez les moments par rapport à l'articulation, afin que la force inconnue de l'articulation s'annule. Le poids agit au centre, à une distance $L/2$ de l'articulation : son moment est $W \times L/2$, horaire. La tension agit à l'extrémité, mais pas perpendiculairement à la tige, donc son moment est $T\sin 40° \times L$, anti-horaire (seule la composante de $T$ perpendiculaire à la tige produit la rotation). Égalisez-les :

La longueur $L$ s'annule, c'est pourquoi la question n'a pas besoin de la donner. Si une charge est suspendue à la tige également, ajoutez son moment du côté horaire. C'est la structure de presque toutes les questions sur les moments : choisissez le pivot là où la force inconnue agit, utilisez la composante perpendiculaire de toute force inclinée, et laissez les longueurs inconnues s'annuler.

Exemple résolu. Une poutre uniforme de poids $200\ \text{N}$ et de longueur $9.0\ \text{m}$ repose sur deux appuis, X à $1.0\ \text{m}$ de l'extrémité gauche et Y à $6.5\ \text{m}$. Une personne de poids $700\ \text{N}$ se tient à $1.7\ \text{m}$ de Y, au-delà de celui-ci. Calculez la force exercée par chaque appui.

Deux forces inconnues, $R_{\text{X}}$ et $R_{\text{Y}}$, donc prenez les moments par rapport à X pour éliminer $R_{\text{X}}$. Le poids de la poutre agit à son centre, à $3.5\ \text{m}$ de X ; Y est à $5.5\ \text{m}$ de X ; la personne est à $7.2\ \text{m}$ de X :

Ensuite, la force résultante est nulle : $R_{\text{X}} + R_{\text{Y}} = 200 + 700$, donc $R_{\text{X}} = 900 - 1040 = -140\ \text{N}$. Une réponse négative signifie que la poutre se soulèverait de X : avec la personne aussi loin au-delà de Y, X doit maintenir la poutre vers le bas, pas vers le haut. Les questions demandent souvent jusqu'où une personne peut se placer avant que la poutre ne bascule ; c'est la position où $R_{\text{X}}$ devient nul.

Triangle vectoriel

Trois forces dans un même plan en équilibre peuvent être représentées par un triangle vectoriel fermé 矢量三角形 — tracé tête-bêche, les trois flèches reviennent au point de départ. C'est une méthode graphique plutôt qu'une décomposition en composantes 分量.

Utilisez la loi des sinus 正弦定理 ou la loi des cosinus 余弦定理 sur le triangle pour trouver des grandeurs ou des directions inconnues, ou tracez le triangle à l'échelle sur du papier millimétré.

Vous pouvez également décomposer chaque force en composantes horizontales 水平 et verticales 竖直 et poser $\sum F_{x} = 0$ et $\sum F_{y} = 0$.

Pour tracer le triangle pour les points : commencez par le poids (vertical, à l'échelle), puis ajoutez les deux autres forces tête-bêche selon leurs vraies directions, afin que la troisième flèche ferme le triangle ; étiquetez chaque côté avec sa force et marquez les angles. Pour un bloc reposant sur un plan incliné, les trois forces sont le poids (vertical), la force normale de contact (perpendiculaire au plan) et la frottement (le long du plan), donc le triangle est rectangle avec le poids comme hypoténuse. Pour un tableau suspendu à une corde sur un clou, les deux tensions égales forment un triangle isocèle avec le poids. Le test de toute réponse est que le triangle se ferme ; s'il ne le fait pas, l'objet n'est pas en équilibre.

Exemple résolu. Une poulie de poids négligeable est maintenue par un ressort. Un seul câble passe sous la poulie, et chaque côté du câble fait un angle $30°$ avec la verticale. La tension dans le câble est $T = 60\ \text{N}$. Trouvez la force exercée par le ressort et son allongement, sachant que sa constante de raideur est $2000\ \text{N m}^{-1}$.

Comme il s'agit d'un câble continu, la tension est identique des deux côtés. Les deux tensions tirent vers le bas et vers l'extérieur ; leurs composantes horizontales s'annulent et leurs composantes verticales s'additionnent, donc le ressort doit tirer vers le haut avec une force de $F = 2T\cos 30° = 2 \times 60 \times 0.866 = 104\ \text{N}$. D'après la loi de Hooke (sujet 6), $x = F / k = 104 / 2000 = 0.052\ \text{m}$. Si l'angle par rapport à la verticale augmente, $\cos\theta$ diminue, donc la force du ressort et l'allongement diminuent : le câble tire davantage latéralement et moins vers le haut.

La densité 密度 est la masse par unité de volume :

Unité : $\text{kg m}^{-3}$ (ou $\text{g cm}^{-3}$ ; $1\ \text{g cm}^{-3} = 1000\ \text{kg m}^{-3}$). La densité est une grandeur scalaire 标量.

Quelques densités utiles à connaître :

• eau : $1000\ \text{kg m}^{-3}$
• air aux conditions ambiantes : $\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$
• fer / acier : $\sim 7800\ \text{kg m}^{-3}$

Mesurer la densité est une question pratique déguisée. Pour un parallélépipède rectangulaire, mesurez la masse à une balance et les trois longueurs de côté avec une règle ou un pied à coulisse, puis $\rho = m / (xyz)$. Puisque la densité est un produit et un quotient, l'incertitude relative en $\rho$ est la somme des incertitudes relatives en $m$, $x$, $y$ et $z$ (sujet 1). Une erreur zéro sur la balance, ou une règle dont l'extrémité est usée, constitue une erreur systématique ; répéter les relevés ne l'élimine pas, mais soustraire la lecture zéro le permet.

Exemple résolu. Un bloc a une masse de $(120 \pm 1)\ \text{g}$ et des côtés de $(4.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$, $(3.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$ et $(2.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$. Trouvez sa densité et l'incertitude relative.

$\rho = 120 / (4.0 \times 3.0 \times 2.0) = 5.0\ \text{g cm}^{-3} = 5000\ \text{kg m}^{-3}$. Les incertitudes relatives sont $0.8\%$, $2.5\%$, $3.3\%$ et $5.0\%$, donc la densité est incertaine de $12\%$, soit environ $\pm 600\ \text{kg m}^{-3}$. Le côté le plus court contribue le plus, c'est pourquoi une question demande quelle mesure améliorer en premier.

La pression 压强 est la force par unité de surface, où la force agit perpendiculairement à la surface :

Unité : $\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$. La pression est une grandeur scalaire.

La force est celle qui presse perpendiculairement à la surface, et la surface est celle du contact. Un tronc d'arbre de poids $9.0\ \text{kN}$ debout sur un poteau de diamètre $0.28\ \text{m}$ exerce une pression de $p = F / A = 9000 / (\pi \times 0.14^{2}) = 1.5 \times 10^{5}\ \text{Pa}$ ; le même poids sur un poteau plus large donne une pression plus faible. Convertissez les diamètres en rayons et les centimètres en mètres avant de squarer.

Pression hydrostatique

Considérez une colonne de fluide 流体 de densité $\rho$, de section transversale 横截面积 $A$ et de hauteur $\Delta h$. Son poids est

Ce poids appuie sur la surface $A$ au fond, donc la pression supplémentaire au fond par rapport au sommet est

Ceci est l'équation de la pression hydrostatique 流体静压强. Elle dépend uniquement de la densité du fluide et de la profondeur 深度 — la forme du récipient n'a aucune importance.

Exemple résolu. Calculez la surpression due à l'eau au fond d'une piscine $2.5\ \text{m}$ de profondeur. (Masse volumique de l'eau $1000\ \text{kg m}^{-3}$, $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$.)

Pour un sous-marin à une profondeur de $h$ sous la surface, la pression due à l'eau est $\rho_{\text{seawater}}\, g\, h$. Pour la pression totale, ajoutez la pression atmosphérique 大气压强 à la surface (environ $1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$).

Poussée d'Archimède et principe d'Archimède

Lorsqu'un objet est submergé 浸没 dans un fluide, la pression au fond de l'objet est supérieure à la pression au sommet (d'environ $\rho g \Delta h$, où $\Delta h$ est la hauteur de l'objet). Cette différence génère une force nette vers le haut appelée poussée 浮力.

Pour un objet de volume $V$ (le volume de fluide déplacé 排开), la poussée est

Ceci est le principe d'Archimède 阿基米德原理 : la poussée exercée sur un corps dans un fluide est égale au poids du fluide déplacé.

Exemple résolu. Un bloc métallique de volume $2.0 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$ est totalement immergé dans l'eau. Trouvez la poussée exercée dessus. (Densité de l'eau $1000\ \text{kg m}^{-3}$, $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$.)

Pour un objet entièrement immergé, $V$ est son volume total. Pour un objet flottant 漂浮, $V$ est seulement le volume sous la surface — l'objet flotte lorsque la poussée d'Archimède sur la partie immergée égale son poids.

Le fait qu'un objet flotte ou non dépend des densités : pour un objet totalement immergé, le rapport entre la poussée et le poids est $\rho_{\text{fluid}} V g / \rho_{\text{object}} V g = \rho_{\text{fluid}} / \rho_{\text{object}}$, donc il flotte s'il est moins dense que le fluide et coule s'il est plus dense. Doubler la densité de l'objet double ce rapport ; changer son volume ou la profondeur ne change rien.

Exemple résolu. Un cylindre de masse $11\ \text{kg}$ et de diamètre $0.78\ \text{m}$ flotte verticalement dans l'eau de densité $990\ \text{kg m}^{-3}$. Trouvez la profondeur $y$ de sa base sous la surface.

Flotter signifie poussée $=$ poids. Le volume immergé est la surface de base multipliée par la profondeur, $A y$, avec $A = \pi \times 0.39^{2} = 0.478\ \text{m}^{2}$ :

Chaque newton supplémentaire de charge sur le cylindre nécessite une augmentation de profondeur de $1 / (\rho g A)$, donc la profondeur augmente linéairement avec le poids ajouté, peu importe où celui-ci est placé sur le cylindre.

Équilibre des forces avec poussée

Un bloc maintenu sous l'eau par une ficelle attachée au fond du récipient est en équilibre sous trois forces verticales : le poids (vers le bas), la tension 张力 (vers le bas) et la poussée (vers le haut). Posez $F_{\text{upthrust}} = W + T$ pour trouver la tension.

Un bloc immergé suspendu à un dynamomètre 弹簧测力计 affiche une valeur inférieure à son poids dans l'air, en raison de la poussée : lecture $= W - F_{\text{upthrust}}$.

Exemple résolu. Un cylindre de poids $25.0\ \text{N}$ est suspendu à un dynamomètre et totalement immergé dans l'eau, et le dynamomètre affiche $10.0\ \text{N}$. Trouvez le volume du cylindre.

La poussée correspond au $15.0\ \text{N}$ manquant, et la poussée $= \rho g V$, donc $V = 15.0 / (1000 \times 9.81) = 1.53 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$. La même méthode permet de trouver la densité du cylindre : $25.0 / (9.81 \times 1.53 \times 10^{-3}) = 1670\ \text{kg m}^{-3}$.

La poussée d'Archimède dépend de la masse volumique du fluide et du volume déplacé, et non de la matière de l'objet ou de la profondeur (pour un fluide incompressible 不可压缩). Sur une planète avec une gravité $g$ plus faible, la poussée d'Archimède est réduite dans le même rapport que le poids, donc un objet flottant reste flottant avec la même fraction immergée.

Une question de définition est notée selon un libellé fixe. Apprenez-les exactement et ne donnez qu'une seule réponse.

• Prendre les moments par rapport à un pivot choisi ; pour l'équilibre, la somme totale des moments $=$ la somme totale des sens antihoraire et la force résultante est nulle.
• Un corps en équilibre soumis à trois forces forme un triangle fermé des forces.
• La pression d'un fluide $= \rho g h$ ; la poussée d'Archimède $=$ le poids du fluide déplacé (Archimède).
• Distinguer masse, poids et densité, et donner l'unité de base pour chacun.

Erreurs courantes

• Résoudre avec $\cos\theta$ là où la géométrie nécessite $\sin\theta$. Dessiner le triangle et vérifier quel côté est adjacent à l'angle avant de choisir.
• Substituer le poids de l'objet là où la question porte sur la poussée d'Archimède agissant dessus. La poussée d'Archimède est le poids du fluide déplacé, $\rho_{\text{fluid}} V g$.
• Omettre le poids d'une poutre uniforme. Il agit au centre, et il exerce un moment par rapport à tout pivot qui n'est pas situé au centre.
• Utiliser la distance le long de la tige pour une force inclinée. Le moment nécessite la distance perpendiculaire, ou la composante perpendiculaire de la force.
• Calculer le couple d'une paire de forces comme $Fd$ avec $d$ mesuré depuis le pivot. La distance est entre les deux lignes d'action, donc une paire symétrique donne $2Fd$.

Travail effectué par une force

Travail 功 est effectué lorsqu'une force déplace son point d'application le long de sa ligne d'action. Pour la définition d'une marque, écrire : le travail effectué est le produit de la force et de la distance parcourue dans la direction de la force. Le travail effectué par une force constante $F$ qui provoque un déplacement 位移 $s$ est

où $\theta$ est l'angle entre la force et le déplacement. Seule la composante 分量 de la force selon le déplacement effectue un travail.

Exemple résolu. Un enfant tire un traîneau $5.0\ \text{m}$ sur la neige avec une corde, en utilisant une force de $20\ \text{N}$ à $60°$ par rapport au sol. Trouver le travail effectué par la corde.

Unité : $\text{J} = \text{N m}$. Le travail est un scalaire 标量.

Cas particuliers :

• force dans le même sens que le mouvement ($\theta = 0$) : $W = Fs$, travail positif, énergie 能量 donnée à l'objet.
• force perpendiculaire au mouvement ($\theta = 90°$) : $W = 0$. La force normale de contact 支持力 exercée sur une voiture sur une route plate ne fait aucun travail.
• force opposée au mouvement ($\theta = 180°$) : $W = -Fs$, travail négatif, énergie prélevée sur l'objet (par exemple frottement 摩擦力).

Pour un objet se déplaçant vers le haut d'une pente d'angle $\alpha$ par rapport à l'horizontal 水平, le travail contre la gravité pour monter d'une hauteur $h$ est $mgh$, tandis que le travail effectué par une poussée horizontale sur toute la longueur de la pente $L$ utilise $\cos\alpha$.

Deux tests à choix multiples de la définition : aucun travail n'est effectué sur un objet qui glisse à vitesse constante sur une surface sans frottement (aucune force dans le sens du mouvement), ou sur celui qui est simplement maintenu immobile (aucun déplacement) ; du travail est effectué lorsqu'une force le soulève. Et lorsqu'une boîte est poussée à vitesse constante sur un sol rugueux, le travail effectué par la poussée est $F \times d$ sur toute la distance, quelle que soit la manière dont le parcours est découpé en étapes.

Exemple résolu. Un bloc de masse $4.9\ \text{kg}$ est poussé à vitesse constante vers le haut d'une pente rugueuse de longueur $8.0\ \text{m}$ s'élevant de $1.5\ \text{m}$, par une force de $12\ \text{N}$ agissant parallèlement à la pente. Trouver le travail effectué contre la friction.

Vitesse constante signifie aucune variation d'énergie cinétique, donc le travail effectué par la poussée est partagé entre le gain d'énergie potentielle gravitationnelle et le travail effectué contre la friction. Travail de la poussée : $12 \times 8.0 = 96\ \text{J}$. Gain d'EPG, en utilisant la montée verticale : $4.9 \times 9.81 \times 1.5 = 72\ \text{J}$. Donc le travail effectué contre la friction est $96 - 72 = 24\ \text{J}$, et la force de friction est $24 / 8.0 = 3.0\ \text{N}$. Utiliser la longueur de la pente dans $mgh$ est l'erreur la plus courante sur cette question.

Conservation de l'énergie

L'énergie n'est jamais créée ni détruite — elle change seulement de forme ou passe d'un objet à un autre. Dans un système fermé 封闭系统, l'énergie totale reste constante. C'est la conservation de l'énergie 能量守恒, formulée pour les marques ainsi : l'énergie ne peut être ni créée ni détruite ; elle ne peut que passer d'une forme à une autre (donc l'énergie totale d'un système fermé est constante).

Lorsque vous écrivez une équation énergétique, listez chaque forme sous laquelle l'énergie commence et finit. Formes courantes dans ce programme : cinétique, potentielle gravitationnelle, énergie potentielle élastique 弹性势能, électrique 电能, thermique, sonore, énergie chimique 化学能.

Une bille roulant sur une pente sans frottement 无摩擦 ramp 斜坡 convertit l'énergie potentielle gravitationnelle 重力势能 en énergie cinétique 动能 : $mgh = \tfrac{1}{2} m v^{2}$, donc $v = \sqrt{2gh}$. Avec des frottements, une partie de cette énergie devient énergie thermique 热能 de la pente et de l'air.

Exemple résolu. Une bille est lâchée au repos au sommet d'une pente lisse haute de $1.2\ \text{m}$. Trouver sa vitesse en bas (prendre $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

Toute l'énergie potentielle gravitationnelle devient énergie cinétique, donc $v = \sqrt{2gh}$ (la masse s'annule) :

La même idée s'applique à un graphique. Pour une bille tombant depuis une hauteur $H$ avec une résistance de l'air négligeable, l'énergie potentielle gravitationnelle (EPG) diminue linéairement avec la hauteur ($mgh$), l'énergie cinétique (EC) augmente linéairement ($mg(H - h)$), et les deux s'additionnent pour donner la constante $mgH$ à chaque hauteur.

La chaîne énergétique peut passer par un ressort. Un bloc qui heurte un ressort avec une énergie cinétique $110\ \text{J}$ tout en glissant légèrement en descente, de sorte que son EPG chute encore de $20\ \text{J}$ avant que le ressort ne l'arrête, stocke $110 + 20 = 130\ \text{J}$ d'énergie potentielle élastique à la compression maximale, si rien n'est perdu par friction. Le graphique force-compression du ressort donne alors la compression : l'énergie stockée est l'aire sous la courbe, $\tfrac{1}{2} F_{0} x_{0}$ pour un ressort obéissant à la loi de Hooke (thème 6), donc une force maximale de $2600\ \text{N}$ correspond à $x_{0} = 2 \times 130 / 2600 = 0.10\ \text{m}$. À cet instant, la force résultante sur le bloc est la force du ressort moins la composante du poids le long de la pente, et son accélération découle de $F = ma$ (thème 3).

Rendement

Le rendement 效率 d'un système est

La même idée avec la puissance :

Le rendement est toujours inférieur à 100 % dans un système réel, car une partie de l'énergie d'entrée se transforme en formes « inutiles » — généralement de l'énergie thermique. Si une énergie totale $E$ est fournie et qu'une quantité $Q$ est gaspillée, la sortie utile est $E - Q$ et le rendement est $(E - Q) / E$ ; un moteur classé à $1.7\ \text{kW}$ d'entrée avec un rendement $53\%$ délivre $0.53 \times 1.7 = 0.90\ \text{kW}$ de sortie utile.

Pour un moteur électrique soulevant une charge avec un rendement $\eta$ à tension 电压 $V$ et courant 电流 $I$, la puissance de sortie utile est $\eta V I$. De là, on peut trouver une force, une vitesse de levage ou une tension 张力.

Exemple résolu. Un moteur électrique soulève une charge de $50\ \text{kg}$ à une vitesse constante de $0.40\ \text{m s}^{-1}$ tout en consommant $250\ \text{W}$ de puissance électrique. Trouver son rendement (prendre $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

La puissance de sortie utile est $P = mgv = 50 \times 9.81 \times 0.40 = 196\ \text{W}$, donc

Exemple résolu. Un moteur élève un bloc avec une force de $240\ \text{N}$ sur une distance verticale de $12\ \text{m}$ en $60\ \text{s}$. La puissance d'entrée du moteur est $900\ \text{W}$. Trouver la puissance de sortie utile et le rendement.

Travail fourni au bloc : $W = Fd = 240 \times 12 = 2880\ \text{J}$. Puissance utile en sortie : $P = W / t = 2880 / 60 = 48\ \text{W}$. Rendement : $48 / 900 \times 100\% = 5.3\%$. La majeure partie de l'entrée se transforme en énergie thermique dans le moteur et son câble. Inversément, un moteur d'ascenseur ayant une puissance utile en sortie $20\ \text{kW}$ soulevant $1500\ \text{kg}$ sur une distance $20\ \text{m}$ nécessite $t = mgh / P = 1500 \times 9.81 \times 20 / 20\,000 = 15\ \text{s}$.

Puissance 功率 est le taux d'accomplissement du travail, ou le taux de transfert d'énergie :

Unité : $\text{W} = \text{J s}^{-1}$. La puissance est un scalaire.

Puissance, force et vitesse

Pour un objet se déplaçant à une vitesse 速度 $v$ avec une force $F$ dans la direction du mouvement, sur une courte durée $\Delta t$, le déplacement est $v\,\Delta t$ et le travail effectué est $F v\,\Delta t$. En divisant par $\Delta t$ :

C'est l'un des résultats les plus utiles en mécanique. Une réponse de « dérivation $P = Fv$ » nécessite exactement ces trois lignes : $P = W / t$, $W = Fs$ pour une force dans la direction du mouvement, et $s / t = v$ ; puis utilisez-le pour résoudre des problèmes où un véhicule ou une charge se déplace à vitesse constante.

Exemple résolu. Une voiture roule à une vitesse stable de $25\ \text{m s}^{-1}$ contre une force de résistance totale de $600\ \text{N}$. Trouvez la puissance de sortie de son moteur.

À vitesse constante, la force motrice est égale à la force de résistance, donc

• Pour une voiture à vitesse constante $v$ sur route plate, la puissance du moteur doit équilibrer la force de résistance totale : $P = F_{\text{resist}} \cdot v$. Si la traînée 阻力 augmente avec $v^{2}$, doubler la vitesse quadruple approximativement la puissance nécessaire.
• Pour soulever une charge 重力 $mg$ verticalement à vitesse constante $v$, la puissance utile en sortie est $P = mg \cdot v$.
• Pour un avion stationnaire à hauteur fixe, la portance est égale au poids, et une grande puissance est requise car l'air doit être poussé vers le bas tout le temps.
• Une grue soulevant $600\ \text{kg}$ à un rythme constant de $12\ \text{m}$ par minute s'élève à une vitesse de $v = 0.20\ \text{m s}^{-1}$, donc sa puissance utile en sortie est $mgv = 600 \times 9.81 \times 0.20 = 1.2\ \text{kW}$. Convertissez d'abord la vitesse en $\text{m s}^{-1}$.
• Un voilier poussé par une force de vent constante à vitesse constante doit également subir une force de résistance égale de la part de l'eau : une vitesse constante signifie une force résultante nulle, donc la puissance du vent $Fv$ est entièrement utilisée pour vaincre la résistance de l'eau.

Dans un champ gravitationnel uniforme (près de la surface d'une planète), la variation de l'énergie potentielle gravitationnelle d'une masse 质量 $m$ montant ou descendant d'une hauteur $\Delta h$ est

D'où cela vient-il

Le travail effectué contre la gravité pour élever lentement une masse $m$ (sans changement d'énergie cinétique) sur une hauteur $\Delta h$ est égal à l'énergie potentielle gravitationnelle gagnée :

• la force gravitationnelle sur la masse est $mg$ vers le bas,
• la force nécessaire pour la soulever lentement est $mg$ vers le haut,
• le travail effectué par cette force est $W = F \cdot s = mg \cdot \Delta h$,
• ce travail devient $\Delta E_{\text{P}}$.

Donc $\Delta E_{\text{P}} = mg \Delta h$. Pour l'utiliser, vous avez besoin de $m$ et de $\Delta h$ (et de $g$). Vous n'avez pas besoin de la vitesse ni du temps. La dérivation en deux points demande les mêmes quatre lignes, avec la condition indiquée : le bloc est élevé à vitesse constante, donc la force de levage égale le poids $mg$, et le travail effectué par cette force sur la distance verticale $\Delta h$ est $mg\Delta h$, ce qui correspond au gain d'énergie potentielle gravitationnelle. Un objet $100\ \text{g}$ tombant de $10\ \text{m}$ perd $0.100 \times 9.81 \times 10 = 9.8\ \text{J}$, environ $10\ \text{J}$ ; la masse doit être en kilogrammes.

L'énergie cinétique d'un objet de masse $m$ se déplaçant à une vitesse $v$ est

D'où cela vient-il

Appliquez une force résultante $F$ à une masse $m$ qui part du repos. Elle accélère uniformément de $0$ à $v$ sur un déplacement $s$. À partir de $v^{2} = u^{2} + 2as$ avec $u = 0$,

Le travail effectué sur la masse est

Tout ce travail devient de l'énergie cinétique, donc $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$. Dans l'examen, énoncez les hypothèses au fur et à mesure : l'objet part du repos, la force est constante, donc l'accélération est uniforme, et $F = ma$ est la deuxième loi de Newton.

Parce que $E_{\text{K}} \propto v^{2}$, quadrupler la vitesse multiplie l'énergie cinétique par seize : un objet avec $1500\ \text{J}$ à $10\ \text{m s}^{-1}$ a $24\,000\ \text{J}$ à $40\ \text{m s}^{-1}$. Le même carré explique pourquoi une force d'arrêt se trouve via l'énergie : une balle de masse $1.2\ \text{kg}$ se déplaçant à $3.0\ \text{m s}^{-1}$ qui est arrêtée par un coussin sur une distance $0.020\ \text{m}$ perd $\tfrac{1}{2} \times 1.2 \times 3.0^{2} = 5.4\ \text{J}$, donc la force moyenne exercée sur elle est $5.4 / 0.020 = 270\ \text{N}$ : le travail effectué par le coussin est égal à l'énergie cinétique perdue.

Énergie cinétique et quantité de mouvement

En combinant $p = mv$ et $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$ :

C'est pratique lorsque la quantité de mouvement 动量 est donnée mais pas la vitesse. Pour un changement de quantité de mouvement de $p_{1}$ à $p_{2}$ à masse constante, la variation d'énergie cinétique est $(p_{2}^{2} - p_{1}^{2}) / (2m)$.

Un plan utile pour les problèmes mêlant forces et énergie :

1. Trouver les états initial et final. Écrivez les énergies cinétiques et potentielles dans chacun.
2. Répertorier tout travail effectué par des forces extérieures (frottement, poussée). Les frottements retirent généralement de l'énergie ; une poussée peut en ajouter.
3. Conservation de l'énergie : $E_{\text{start}} + W_{\text{in}} = E_{\text{end}} + W_{\text{lost as heat etc.}}$.

Exemples :

• Une boîte poussée à vitesse constante sur une rampe de longueur $L$ s'élevant de $h$ : $E_{\text{K}}$ ne change pas, donc le travail effectué par la poussée sert à augmenter $\Delta E_{\text{P}}$ plus le travail fourni contre les frottements.
• Un bloc glissant dans un ressort 弹簧 avec une énergie cinétique $E_{\text{K}}$ sur une surface sans frottement : à la compression compression maximale $x$, toute l'énergie cinétique est devenue de l'énergie potentielle élastique $\tfrac{1}{2} k x^{2}$ (où $k$ est la constante de raideur 劲度系数).
• Une balle lâchée d'une hauteur $h_{1}$ qui rebondit jusqu'à une hauteur $h_{2}$ : le rapport $h_{2}/h_{1}$ est la fraction d'énergie mécanique conservée, $h_{2}/h_{1} = (v_{\text{up}}/v_{\text{down}})^{2}$.
• Un projectile 抛 lancé à la même hauteur sous différents angles : la vitesse finale est la même (seule la hauteur compte) ; utilisez les composantes pour obtenir sa direction.
• Un sauter en bungee 蹦极者 : de la plate-forme au point où la corde se tend, l'EPG devient EC ; à partir de là, la corde s'étire et stocke l'énergie sous forme d'énergie potentielle élastique, donc l'EC atteint son maximum lorsque la traction de la corde égale d'abord le poids, puis tombe à zéro au point le plus bas, où l'EPG perdue $=$ PE élastique stockée (plus toute énergie thermique).

Une question de définition est notée selon un libellé fixe. Apprenez-les exactement et ne donnez qu'une seule réponse.

• Travail $=$ travail $\times$ distance parcourue dans la direction de la force — utilisez $Fs\cos\theta$ lorsqu'ils sont à un angle.
• Utilisez la conservation de l'énergie : perte d'EPG $=$ gain d'EC ($+$ travail contre la résistance).
• Puissance $=$ travail $/$ temps $= Fv$ ; rendement $=$ sortie utile $\div$ entrée totale.
• L'EPG utilise la hauteur verticale gagnée, pas la distance le long d'une pente.

Erreurs courantes

• Donner la variation de hauteur comme réponse à une question de variation d'énergie. Terminez le calcul : $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$.
• Utiliser la distance le long d'une pente comme hauteur dans $mg\Delta h$, ou utiliser la masse là où le poids est nécessaire. Utilisez la hauteur verticale gagnée, et vérifiez si la quantité demandée est $m$ en kg ou $W$ en N.
• Mettre la force de résistance dans $P = Fv$ pour une voiture qui accélère. $F$ est la force motrice ; elle n'est égale à la force de résistance qu'à vitesse constante.
• Rendement supérieur à 100 %, ou rendement comme sortie divisée par gaspillage. C'est la sortie utile divisée par l'entrée totale, et l'entrée totale est toujours le nombre le plus grand.
• Lire la pente d'un graphique force-elongation quand la question demande l'énergie. L'énergie stockée est l'aire sous la courbe, pas sa pente.

Lorsqu'une force agit sur un solide selon sa longueur, l'objet change de forme (déformation 形变). Deux cas (traités ici comme unidimensionnels) :

• une force tensile 拉伸 étire l'objet — elle provoque une extension 伸长量 $x$,
• une force compressive comprime l'objet — il subit une compression 压缩, traitée comme un allongement négatif.

La force appliquée est la charge 负载. Le changement par rapport à la longueur naturelle est l'allongement (ou la compression).

Les deux sont mesurés depuis la longueur naturelle non étirée, jamais depuis la longueur chargée : sur un diagramme d'un ressort sous une boîte, la distance dont le ressort s'est raccourci est sa compression. La masse propre d'un ressort est généralement dite négligeable 可忽略, donc les seules forces sur lui sont la charge et la tension qu'il fournit.

Pour de nombreux matériaux aux petites extensions, l'extension est proportionnelle à la charge — c'est la loi de Hooke 胡克定律. La constante qui les relie est la constante de raideur 劲度系数 $k$ :

Unité de $k$ : $\text{N m}^{-1}$.

Exemple résolu. Un ressort s'allonge de $4.0\ \text{cm}$ lorsqu'une charge de $2.0\ \text{N}$ y est suspendue. Trouvez sa constante de raideur.

Conversion de l'extension en mètres ($4.0\ \text{cm} = 0.040\ \text{m}$) :

Pour la question à une marque « énoncer la loi de Hooke », écrivez-la en mots : l'allongement est directement proportionnel à la force appliquée (charge), tant que la limite de proportionnalité n'est pas dépassée. La constante de raideur est la force par unité d'allongement ; les distracteurs du QCM sont « allongement par unité de force » (c'est-à-dire $1/k$) et $\tfrac{1}{2}Fx$ (l'énergie emmagasinée).

Lecture d'un graphique :

• Un graphique force–allongement ($F$ contre $x$) a une pente $k$ dans la région de la loi de Hooke.
• Un graphique allongement–force ($x$ contre $F$) a une pente $1/k$ dans la région de la loi de Hooke.

Un piège courant : si un graphique représente la longueur $L$ contre la force, vous pouvez encore trouver la constante de raideur à partir de la pente (puisque $L = L_{0} + F/k$, la pente est $1/k$ — lisez attentivement).

Exemple résolu. Un ressort a une longueur $90\ \text{mm}$ sous une force de $0.80\ \text{N}$ et $115\ \text{mm}$ sous $1.30\ \text{N}$. Trouvez la constante de raideur et la longueur non étirée.

La force supplémentaire $0.50\ \text{N}$ produit l'allongement supplémentaire $25\ \text{mm} = 0.025\ \text{m}$, donc $k = 0.50 / 0.025 = 20\ \text{N m}^{-1}$. À $0.80\ \text{N}$, l'allongement est $x = F/k = 0.80 / 20 = 0.040\ \text{m}$, donc la longueur non étirée est $90 - 40 = 50\ \text{mm}$. Sur un graphique de longueur contre force, l'ordonnée à l'origine sur l'axe des longueurs est $L_{0}$, la pente est $1/k$, et le travail effectué pour étirer le ressort est le triangle entre la ligne et le niveau $L = L_{0}$, pas toute la surface jusqu'à l'axe des forces : le rectangle en dessous de $L_{0}$ correspond à la longueur non étirée multipliée par la force, ce qui ne signifie rien.

Limite de proportionnalité

La loi de Hooke ne s'applique que jusqu'à la limite de proportionnalité 比例极限. Au-delà de ce point, la ligne $F$ contre $x$ s'infléchit et n'est plus droite. Le matériau peut rester élastique 弹性 (il revient à sa longueur initiale lorsque vous retirez la charge) un peu plus loin, puis il devient plastique 塑性.

Ressorts en série et en parallèle

Vous devrez peut-être combiner les constantes de raideur :

• Série 串联 (un ressort suspendu à un autre) : la même charge passe à travers les deux, l'allongement total est la somme, donc $\dfrac{1}{k_{\text{total}}} = \dfrac{1}{k_{1}} + \dfrac{1}{k_{2}}$.
• Parallèle 并联 (deux ressorts côte à côte supportant la même charge) : chacun supporte la moitié de la charge (s'ils sont identiques), les allongements sont égaux, donc $k_{\text{total}} = k_{1} + k_{2}$.

Exemple résolu. Des ressorts de constantes de raideur $6.0\ \text{N cm}^{-1}$ et $4.0\ \text{N cm}^{-1}$ sont joints bout à bout et une charge de $80\ \text{N}$ y est suspendue. Trouvez l'allongement total.

Chaque ressort porte la pleine charge $80\ \text{N}$, donc les allongements sont $80/6.0 = 13.3\ \text{cm}$ et $80/4.0 = 20\ \text{cm}$ : un total de $33\ \text{cm}$ (le même que $k = 2.4\ \text{N cm}^{-1}$ obtenu à partir de $1/k = 1/6.0 + 1/4.0$). Trois ressorts identiques donnent la constante combinée la plus grande lorsque les trois sont en parallèle ($3k$) et la plus petite lorsqu'ils sont tous en série ($k/3$). Lorsqu'une charge est partagée par deux ressorts identiques en parallèle, chacun porte la moitié de la force et stocke donc un quart de l'énergie d'un ressort supportant toute la charge ; l'ensemble stocke la moitié de ce qu'a stocké le ressort unique. Une constante de raideur en $\text{N cm}^{-1}$ est $100$ fois plus petite que la même constante en $\text{N m}^{-1}$ ; donnez l'unité demandée par la question.

Pour un fil de section uniforme soumis à une charge de traction :

• Contrainte 应力 $\sigma = \dfrac{F}{A}$, où $F$ est la charge et $A$ est la section transversale 横截面积. Unité : $\text{Pa}$.
• Déformation 应变 $\varepsilon = \dfrac{x}{L_{0}}$, où $x$ est l'allongement et $L_{0}$ est la longueur initiale. La déformation n'a pas d'unité (c'est un rapport de longueurs).

Pour les définitions à une marque : la contrainte est la force par unité de section transversale (la force agissant normalement à la surface) ; la déformation est l'allongement par unité de longueur initiale. L'unité de la contrainte, $\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$, est $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$ en unités fondamentales. La section d'un fil rond provient de son diamètre $d$ : $A = \pi d^{2}/4 = \pi r^{2}$, et utiliser $d$ à la place de $r$ rend la surface quatre fois trop grande. Convertissez $\text{mm}^{2}$ en $\text{m}^{2}$ avec $10^{-6}$.

Exemple résolu. Une force de traction de $18\ \text{N}$ agit sur un fil de section transversale $3.2\ \text{mm}^{2}$. Trouvez la contrainte.

$\sigma = F/A = 18 / (3.2 \times 10^{-6}) = 5.6 \times 10^{6}\ \text{Pa}$. La même force agit le long de tout le fil, donc un boulon dont le diamètre est $2d$ à une extrémité et $d$ à l'autre présente quatre fois la contrainte à l'extrémité étroite ($\sigma \propto 1/d^{2}$), et un fil de trois fois le rayon porte un neuvième de la contrainte.

Le module d'Young 杨氏模量 est le rapport de la contrainte à la déformation dans la région de la loi de Hooke :

Unité : $\text{Pa}$ (environ $10^{11}$ pour les métaux ; par exemple, acier $\approx 2.0 \times 10^{11}$ Pa).

Exemple résolu. Un fil d'acier de longueur $2.0\ \text{m}$ et de section transversale $1.5 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$ s'étire de $1.0\ \text{mm}$ sous une charge de $15\ \text{N}$. Trouvez le module d'Young.

Le module d'Young est une propriété du matériau — il ne dépend ni de la forme ni de la taille du fil. La constante de raideur $k$ dépend à la fois du matériau et de la taille : $k = EA/L_{0}$.

Pour la définition à une marque : le module d'Young est le rapport de la contrainte à la déformation (pour un matériau déformé dans sa limite de proportionnalité). Puisqu'il appartient au matériau, un fil plus épais du même métal a le même module d'Young : il s'étire moins sous la même charge car sa section est plus grande, et non parce que le métal est plus rigide. Une question « montrer que $k = EA/L_{0}$ » demande deux lignes : $k = F/x$ et $E = FL_{0}/(Ax)$, donc $E = kL_{0}/A$. Deux choses s'ensuivent : la constante de raideur d'un fil reste constante tant que la loi de Hooke est respectée, quelle que soit la force, et un fil du même métal avec un double de diamètre a une constante de raideur quatre fois plus grande.

Exemple résolu. Un fil de cuivre de longueur $1.7\ \text{m}$ et de diamètre $0.64\ \text{mm}$ a un module d'Young de $1.2 \times 10^{11}\ \text{Pa}$. Trouvez sa constante de raideur.

$A = \pi (0.32 \times 10^{-3})^{2} = 3.2 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$, donc $k = EA/L_{0} = 1.2 \times 10^{11} \times 3.2 \times 10^{-7} / 1.7 = 2.3 \times 10^{4}\ \text{N m}^{-1}$.

Sur un graphique contrainte–déformation, la pente de la partie droite est $E$, donc parmi deux matériaux tracés sur les mêmes axes, la ligne la plus raide est le matériau le plus rigide, et un fil avec un double du module d'Young est tracé comme une ligne passant par l'origine avec une pente double. Sur un graphique force–allongement, la pente est $EA/L_{0}$ et le module d'Young est la pente multipliée par $L_{0}/A$ ; seul un graphique contrainte–déformation a une pente égale à $E$ lui-même.

Expérience pour trouver le module d'Young d'un fil métallique

Configuration standard :

1. Fixez une extrémité d'un fil long et fin à un support fixe. Faites passer le fil sur une poulie 滑轮 au bord du bureau afin qu'il pende verticalement.
2. Mesurez la longueur initiale $L_{0}$ entre le serre-joint et un repère près de la poulie, à l'aide d'une règle métrique.
3. Mesurez le diamètre 直径 $d$ du fil à plusieurs endroits avec un micromètre 螺旋测微器 et prenez la moyenne. Calculez $A = \pi d^{2}/4$.
4. Accrochez les masses une par une. Enregistrez la charge $F$ et l'allongement $x$ (la distance parcourue par le repère par rapport à une échelle fixe).
5. Tracez $F$ contre $x$. Dans la zone droite, la pente est $EA/L_{0}$, donc $E = \text{gradient} \times L_{0}/A$.

Pourquoi un fil long et fin ? Pour rendre l'allongement assez grand pour être mesuré précisément. Pourquoi répéter les lectures et mesurer $d$ à plusieurs endroits ? Pour réduire les erreurs aléatoires 随机误差 et vérifier que le fil est uniforme.

Une réponse « décrire une expérience » obtient ses points pour les quantités mesurées et comment ($L_{0}$ avec une règle métrique ; $d$ avec un micromètre à plusieurs points ; la charge provenant des masses ou d'un newtonmètre ; l'allongement depuis un rep lu par rapport à une échelle fixe, ou une échelle vernier), le graphique ($F$ contre $x$, pente $EA/L_{0}$, ou contrainte contre déformation, pente $E$) et les précautions : lunettes de protection au cas où le fil se briserait, une petite charge initiale pour tendre les plis, et des lectures prises lors du déchargement ainsi que du chargement pour vérifier que le fil est resté élastique.

Alors que la charge augmente :

1. Élastique et droit (loi de Hooke respectée) — jusqu'à la limite de proportionnalité. Retirer la charge ramène l'objet à sa première longueur.
2. Élastique mais courbé — entre la limite de proportionnalité et la limite élastique 弹性极限. L'allongement n'est plus linéaire par rapport à la charge, mais lors du déchargement, l'objet retourne à sa première longueur.
3. Plastique — au-delà de la limite élastique. Lors du déchargement, l'objet ne revient pas à sa première longueur ; un allongement permanent subsiste.

La loi de Hooke ne s'applique que dans la région droite et élastique.

En termes : une déformation élastique signifie que l'objet retourne à sa longueur (ou forme) initiale lorsque la charge est retirée ; une déformation plastique signifie qu'il ne le fait pas, et un allongement permanent subsiste ; la limite d'élasticité est la charge maximale (ou l'allongement maximal) pour laquelle la déformation reste encore élastique ; la limite de proportionnalité est le point au-delà duquel l'allongement n'est plus proportionnel à la charge. Sur un graphique, la limite de proportionnalité correspond au point où la ligne cesse d'être droite. La limite d'élasticité se situe un peu après et ne peut être lue uniquement à partir de la courbe de chargement. Ainsi, dans une question « quelle affirmation doit être correcte », l'extrémité de la partie droite est bien la limite de proportionnalité, mais il est impossible de savoir si un point ultérieur est la limite d'élasticité ou le point de rupture simplement à partir de la forme de la courbe de chargement.

Sur un graphique force–allongement pour un matériau tiré dans la zone plastique puis déchargé, la courbe de chargement et la courbe de déchargement sont différentes. La courbe de déchargement est parallèle à la première loi de Hooke mais décalée vers la droite (l'allongement permanent laissé lorsque la charge atteint zéro). L'aire comprise entre la courbe de chargement et celle de déchargement représente l'énergie convertie en énergie thermique 热能 dans le matériau.

Un élastique 橡皮筋 présente également des courbes de chargement et de déchargement différentes, mais il retourne à sa longueur initiale : sa déformation est élastique. L'aire entre les deux courbes est à nouveau de l'énergie dissipée sous forme d'énergie thermique (hystérésis élastique 弹性滞后), et l'énergie récupérée lors du déchargement correspond à l'aire sous la courbe inférieure. La réponse à deux points demandant « expliquer pourquoi le travail effectué en étirant le fil n'est pas égal à l'énergie récupérée lorsque la force est retirée » indique que le fil a été tiré au-delà de sa limite d'élasticité, donc une partie de la déformation est plastique et un allongement permanent subsiste, et qu'une partie du travail effectué est devenue énergie thermique dans le fil.

Le travail fourni 做功 en étirant un matériau de $0$ à un allongement $x$, alors que la charge croît de $0$ à $F$, correspond à l'aire sous le graphique force–allongement.

Pourquoi l'aire : le travail fourni est la force multipliée par la distance parcourue, mais ici la force augmente à mesure que le matériau s'étire, donc le travail est la somme de $F\,\Delta x$ sur de nombreux petits allongements, ce qui correspond à l'aire sous la ligne. Dans la limite de proportionnalité, la force croît uniformément de $0$ à $F$, donc la force moyenne est $\tfrac{1}{2}F$ et le travail est $\tfrac{1}{2}Fx$. Sur un graphique force–allongement, la pente correspond à la constante de raideur.

Matériau régissant la loi de Hooke

Lorsque la loi de Hooke est vérifiée, le graphique de la $F$ contre la $x$ est une ligne droite passant par l'origine. L'aire sous celle-ci de $0$ à $x$ forme un triangle :

C'est l'énergie potentielle élastique 弹性势能 stockée dans un ressort ou un fil étiré dans sa limite de proportionnalité. Une forme équivalente :

Exemple résolu. Un ressort de constante de raideur $50\ \text{N m}^{-1}$ est étiré de $0.20\ \text{m}$, dans sa limite de proportionnalité. Trouvez l'énergie potentielle élastique stockée.

Exemple résolu. Un fil de constante de raideur $2.0 \times 10^{4}\ \text{N m}^{-1}$ est déjà étiré de $2.0\ \text{mm}$. Trouvez le travail fourni pour augmenter son allongement jusqu'à $3.0\ \text{mm}$.

L'énergie stockée passe de $\tfrac{1}{2} k x_{1}^{2}$ à $\tfrac{1}{2} k x_{2}^{2}$ : $W = \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 10^{4} \times \left[(3.0 \times 10^{-3})^{2} - (2.0 \times 10^{-3})^{2}\right] = 0.050\ \text{J}$. Il s'agit du trapèze sous la ligne entre les deux allongements, et non de $\tfrac{1}{2} k (x_{2} - x_{1})^{2}$. Puisque $E_{\text{P}} \propto x^{2}$ à $k$ fixe, doubler l'allongement d'un fil stocke quatre fois l'énergie ($0.65\ \text{J}$ devient $2.6\ \text{J}$), et l'énergie stockée donne l'allongement selon $x = \sqrt{2E_{\text{P}}/k}$ : un ressort de $k = 400\ \text{N m}^{-1}$ stockant $0.32\ \text{J}$ est comprimé de $\sqrt{2 \times 0.32 / 400} = 0.040\ \text{m}$. Pour deux fils reliés bout à bout, la tension est identique dans les deux, donc l'énergie totale stockée est $\tfrac{1}{2}F x_{1} + \tfrac{1}{2}F x_{2}$ avec l'allongement propre de chaque fil.

Matériau hors loi de Hooke

Pour un graphique qui n'est pas une ligne droite (un élastique étiré, ou un ressort dépassant sa limite de proportionnalité), trouvez l'aire en comptant les carreaux de la grille ou en utilisant des trapèzes 梯形. Le principe reste le même : l'aire sous le graphique force–allongement correspond au travail fourni au matériau. Pour estimer le travail fourni jusqu'au point de rupture, comptez les carreaux sous toute la courbe (les carreaux partiels comptés comme des moitiés) et multipliez par l'énergie qu'un carreau représente, soit le pas de force multiplié par le pas d'allongement ; affirmer que l'aire a été trouvée en comptant les carreaux constitue la marque « expliquez votre raisonnement ».

Comparaison de l'énergie stockée

Un cas fréquent de QCM : deux matériaux sont étirés par la même force, ou par le même allongement. En utilisant $E_{\text{P}} = \tfrac{1}{2} F x$ :

• même $F$, plus petit $k$ (moins raide) → plus grand $x$ → plus d'énergie stockée.
• même $x$, plus grand $k$ (plus rigide) → plus grand $F$ → plus d'énergie stockée.

Un croquis de la $E_{\text{P}}$ contre l'allongement ou la compression est une courbe passant par l'origine qui s'infléchit ($E_{\text{P}} \propto x^{2}$), et non une ligne droite. De deux fils de même longueur et de même section soumis à la même charge, celui ayant le module de Young plus faible s'étire davantage et stocke donc plus d'énergie.

Lorsqu'un ressort étiré est relâché sur une masse, l'énergie potentielle élastique devient énergie cinétique 动能 (et énergie potentielle gravitationnelle si la masse monte). Posez $\tfrac{1}{2} k x^{2}$ égal à $\tfrac{1}{2} m v^{2}$ (plus tout autre $mgh$) pour trouver la vitesse ou la hauteur.

Une question de définition est notée selon un libellé fixe. Apprenez-les exactement et ne donnez qu'une seule réponse.

• Loi de Hooke ($F = kx$) n'est valide que jusqu'à la limite de proportionnalité.
• Contrainte $= F/A$, déformation $= x/L$, module de Young $=$ contrainte$/$déformation (pente de la partie droite du graphique contrainte-déformation) — attention aux unités (Pa).
• Énergie stockée $=$ aire sous le graphique force–allongement $= \frac{1}{2}Fx$ dans la région élastique.
• Distingez la déformation élastique (retour à la forme) de la déformation plastique (permanente).

Erreurs courantes

• Utiliser le diamètre comme rayon dans $A = \pi r^{2}$, ou laisser une erreur d'aire dans $\text{mm}^{2}$. Divisez le diamètre par deux en premier lieu ; $1\ \text{mm}^{2} = 10^{-6}\ \text{m}^{2}$.
• Lire le travail fourni sur un graphique longueur–force comme l'aire totale jusqu'à l'axe. Seul le triangle au-dessus de $L_{0}$ correspond au travail.
• Traiter l'énergie stockée comme proportionnelle à l'allongement. Elle varie selon $x^{2}$ : doublez l'allongement, quadruplez l'énergie ; et le travail fourni entre deux allongements est la différence de deux valeurs de $\tfrac{1}{2}kx^{2}$.
• Énoncer la loi de Hooke sans sa condition. « À condition que la limite de proportionnalité ne soit pas dépassée » fait partie intégrante de la loi.
• Échanger la limite de proportionnalité (l'extrémité de la ligne droite) et la limite d'élasticité (l'extrémité du comportement élastique, un peu après celle-ci).
• Dire qu'un fil plus épais a un module de Young plus élevé. Le module est une propriété du matériau ; le fil plus épais a une constante de raideur plus grande.

Une onde 波 transporte de l'énergie 能量 d'un endroit à un autre sans déplacer la matière globalement. Les particules du milieu 介质 oscillent 振动 autour de positions d'équilibre fixes ; seul le perturbation (et son énergie) se propage 传播. Exemples : une onde transverse 横波 sur une corde, une onde longitudinale 纵波 sur un ressort à ressort, des ondulations sur l'eau et le son dans l'air. Une onde qui se déplace et transporte de l'énergie est une onde progressive 行波.

Mouvement ondulatoire 波动 est une série d'oscillations des particules d'un milieu, chacune transmettant la perturbation à la suivante : agitez une extrémité d'une corde, poussez une extrémité d'un ressort, ou touchez la surface de l'eau dans un bac à ondes 水波槽, et l'oscillation s'éloigne de là où elle a commencé. Pour la définition d'une marque, une onde progressive transfère de l'énergie d'un endroit à un autre sans transférer de matière ; les particules oscillent seulement autour de leurs positions d'équilibre.

Termes clés

• déplacement 位移 $y$ — la distance parcourue par une particule par rapport à sa position d'équilibre à un instant donné. C'est un vecteur 矢量.
• amplitude 振幅 $A$ — le déplacement maximal par rapport à la position d'équilibre.
• longueur d'onde 波长 $\lambda$ — la plus courte distance le long de l'onde entre deux points qui oscillent en phase 同相 (par exemple, deux crêtes 波峰 consécutives).
• période 周期 $T$ — le temps nécessaire pour une oscillation complète d'une particule.
• fréquence 频率 $f$ — le nombre d'oscillations complètes par seconde ; $f = 1/T$. Unité : hertz 赫兹, $\text{Hz}$.
• vitesse 速率 $v$ — la vitesse à laquelle une crête se déplace le long du milieu.
• phase difference 相位差 — la fraction de cycle par laquelle une oscillation précède ou retarde une autre. Exprimée en radians 弧度 (un cycle complet correspond à $2\pi$) ou en degrés (un cycle complet correspond à $360°$).

Deux points séparés d'une longueur d'onde sont en phase (différence de phase 0 ou $2\pi$). Deux points séparés de demi-longueur d'onde sont exactement hors phase (différence de phase $\pi$).

Pour trouver la différence de phase entre deux points à partir d'un graphique déplacement–position, divisez leur séparation par la longueur d'onde et multipliez par $360°$ (ou $2\pi$) : deux points $0.50\ \text{m}$ séparés sur une onde de longueur d'onde $2.0\ \text{m}$ ($v = 600\ \text{m s}^{-1}$, $f = 300\ \text{Hz}$) diffèrent en phase de $0.25 \times 360° = 90°$. Seule la fraction de cycle importe, donc $450°$ est identique à $90°$. À partir de deux graphiques déplacement–temps, lisez le décalage temporel entre les sommets sous forme de fraction de la période. Dans quel sens un point se déplace-t-il au moment où un graphique l'indique ? L'ensemble du profil se déplace, donc chaque point adopte le déplacement que son voisin situé du côté d'où vient l'onde possède maintenant ; un point situé au sommet ou au creux est instantanément au repos.

Exemple résolu. Les points R et T sur une corde sont séparés de $0.62\ \text{cm}$ et déphasés d'un quart de cycle. La vitesse de l'onde est de $0.27\ \text{m s}^{-1}$. Trouvez la fréquence.

Un quart de cycle correspond à un quart de longueur d'onde, donc $\lambda = 4 \times 0.62 = 2.5\ \text{cm}$ et $f = v / \lambda = 0.27 / 0.025 = 11\ \text{Hz}$.

L'équation des ondes

En une période $T$, l'onde progresse d'une longueur d'onde $\lambda$. Donc la vitesse $= \text{distance} / \text{time} = \lambda / T = \lambda f$ :

Cela découle directement des définitions de la vitesse, de la fréquence et de la longueur d'onde, et fonctionne pour toutes les ondes progressives. Pour la dérivation en deux points, écrivez les deux étapes : en une période $T$, l'onde parcourt une longueur d'onde $\lambda$, donc $v = \lambda / T$ ; et $f = 1/T$, donc $v = f\lambda$. Comme $v$ est fixé par le milieu, une fréquence plus élevée signifie une longueur d'onde plus courte. Une question sur la période utilise la même équation dans l'autre sens : la lumière de longueur d'onde $460\ \text{nm}$ a $f = c / \lambda = 6.5 \times 10^{14}\ \text{Hz}$ et $T = 1/f = 1.5 \times 10^{-15}\ \text{s}$.

Lecture d'une trace CRO

Un oscilloscope à rayons cathodiques 示波器 (CRO) trace un signal de tension — pour le son, la sortie d'un microphone — en fonction du temps. Deux réglages sont importants :

• time-base 时基 (secondes par division horizontale) : convertit la distance horizontale sur l'écran en temps. Lisez la période $T$ comme la distance entre deux sommets adjacents, puis $f = 1/T$.
• y-gain 垂直增益 (volts par division verticale) : convertit la distance verticale en tension. L'amplitude en volts correspond à la hauteur du pic depuis la ligne centrale.

Si la base de temps est de $5\ \text{ms}/\text{div}$ et qu'un cycle complet occupe $4$ divisions, alors $T = 4 \times 5\ \text{ms} = 20\ \text{ms}$ et $f = 50\ \text{Hz}$.

La base de temps est le temps représenté par une division (ou un centimètre) sur l'écran, en $\text{s}\ \text{div}^{-1}$. Pour la régler pour un signal donné, travaillez à l'envers : un son de $2000\ \text{Hz}$ a une période de $T = 0.50\ \text{ms}$, donc pour qu'un cycle occupe $2.5\ \text{cm}$, la base de temps doit être $0.50 / 2.5 = 0.20\ \text{ms cm}^{-1}$. Pour l'amplitude, multipliez la hauteur crête en divisions par le gain Y : $2.0$ divisions à $3.5\ \text{mV cm}^{-1}$ donnent $7.0\ \text{mV}$. Lorsque l'intensité du son est réduite au quart à la même fréquence, la trace conserve sa période et ses pics divisent leur hauteur par deux, parce que $I \propto A^{2}$.

Intensité d'une onde

Une onde transporte de l'énergie. L'intensité 强度 en un point est la puissance 功率 traversant une unité de surface perpendiculaire à la direction de propagation :

Unité : $\text{W m}^{-2}$.

L'intensité est proportionnelle au carré de l'amplitude :

Pour une source ponctuelle 点源 émettant de l'énergie également dans toutes les directions, les fronts d'onde 波前 sont sphériques ; la surface à une distance $r$ est de $4\pi r^{2}$, donc

Doublrer la distance réduit l'intensité au quart, ce qui signifie que l'amplitude est divisée par deux (car $I \propto A^{2}$).

Exemple résolu. Une lampe émet $60\ \text{W}$ de lumière également dans toutes les directions. Trouvez l'intensité de la lumière à $2.0\ \text{m}$ de distance.

Exemple résolu. De la lumière de puissance $750\ \text{W}$ tombe perpendiculairement sur un panneau solaire carré de côté $1.2\ \text{m}$. Trouvez l'intensité.

$I = P/A = 750 / 1.2^{2} = 520\ \text{W m}^{-2}$. Un panneau plus petit éclairé de la même manière reçoit la même intensité mais moins de puissance, proportionnellement à sa surface. Inversement, une loupe de rayon $r$ collecte une puissance $I \times \pi r^{2}$ et la concentre sur une petite zone.

Deux règles sur lesquelles reposent les questions à choix multiples. Puisque $I \propto A^{2}$, le rapport de deux intensités est le carré du rapport des amplitudes : des ondes d'amplitude $3.0\ \text{cm}$ et $2.0\ \text{cm}$ ont des intensités dans le rapport $2.25$, et lorsque l'amplitude chute à la moitié, l'intensité chute au quart. Pour une source ponctuelle, $I \propto 1/r^{2}$ implique $A \propto 1/r$, donc un schéma de $A/A_{0}$ en fonction de $d/x_{0}$ est une courbe décroissant selon $1/d$, et non une droite. La phrase unique attendue par le barème : l'intensité est proportionnelle au carré de l'amplitude.

Ondes transversales

Les particules oscillent perpendiculairement 垂直 à la direction de propagation de l'énergie. Une onde sur une corde, toutes les ondes électromagnétiques et les ondes S dans la Terre sont transversales.

Ondes longitudinales

Les particules oscillent parallèlement à la direction de propagation de l'énergie. Le son dans tout milieu, les ondes P dans la Terre et les compressions sur un ressort à ressort sont longitudinaux. L'onde est constituée de compressions 压缩 (pression plus élevée, particules rapprochées) et de rarefactions 稀疏 (pression plus faible, particules espacées).

Graphiques d'ondes

Un graphique de déplacement de particule en fonction de la position à un instant donné ressemble à une courbe sinusoïdale 正弦曲线 pour les deux types d'ondes. La différence : pour une onde transversale, l'axe du déplacement correspond au vrai déplacement latéral ; pour une onde longitudinale, il s'agit du petit déplacement aller-retour le long de la direction de propagation (positif dans un sens, négatif dans l'autre).

Pour une onde longitudinale, prenez le déplacement vers la droite comme positif. Là où le graphique traverse zéro en passant de positif à négatif, les particules situées de part et d'autre se sont déplacées vers ce point, c'est donc une compression ; là où il passe de négatif à positif, elles se sont éloignées, c'est une rarefaction. Deux compressions voisines sont séparées par une longueur d'onde, et une compression suivie de la prochaine rarefaction sont séparées par la moitié d'une longueur d'onde. Le sens de mouvement d'une particule suit la même règle que pour une onde transversale : elle se déplace vers le déplacement de son voisin situé du côté d'où vient l'onde.

Un graphique de déplacement de particule en fonction du temps en un point de l'espace est aussi une courbe sinusoïdale pour les deux types. Lisez la période $T$ sur ce graphique.

La comparaison en deux points, en référence à la direction du transfert d'énergie : dans une onde transversale, les oscillations sont perpendiculaires à la direction du transfert d'énergie ; dans une onde longitudinale, elles lui sont parallèles. Les deux types transfèrent de l'énergie sans transférer de matière, peuvent tous deux être réfléchis, réfractés et diffractés, et peuvent former des ondes stationnaires (thème 8). Seules les ondes transversales peuvent être polarisées, et seules les ondes électromagnétiques, qui sont toutes transversales, peuvent se propager dans le vide ; le son a besoin d'un milieu. Lire les deux graphiques ensemble : le graphique déplacement-distance donne $\lambda$, le graphique déplacement-temps donne $T$, et $v = \lambda / T$.

Lorsque la source 波源 d'un son se déplace par rapport à un observateur 观察者 stationnaire 静止, la fréquence entendue diffère de la fréquence de la source. C'est l'effet Doppler 多普勒效应.

• source se rapprochant de l'observateur : les fronts d'onde devant sont comprimés, donc la longueur d'onde est plus courte et la fréquence entendue est plus élevée.
• source s'éloignant de l'observateur : les fronts d'onde derrière sont étirés, donc la longueur d'onde est plus longue et la fréquence entendue est plus basse.

La formule (source se déplaçant à une vitesse $v_{\text{s}}$ le long de la ligne vers l'observateur ; vitesse de l'onde $v$, fréquence de la source $f_{\text{s}}$, fréquence entendue $f_{\text{o}}$) :

Choisissez le signe correspondant à la physique :

• signe moins en bas lorsque la source se déplace vers l'observateur ($f_{\text{o}} > f_{\text{s}}$),
• signe plus lorsque la source s'éloigne ($f_{\text{o}} < f_{\text{s}}$).

Vous n'avez besoin que du cas d'un observateur stationnaire.

Exemple résolu. Un klaxon de voiture à $f_{\text{s}} = 800\ \text{Hz}$ se déplace à $30\ \text{m s}^{-1}$ vers un auditeur immobile. Vitesse du son $v = 340\ \text{m s}^{-1}$ :

En s'éloignant à la même vitesse, l'auditeur entend $340 \times 800 / (340 + 30) = 735\ \text{Hz}$ : la fréquence est constante pendant l'approche, diminue lors du passage et redevient constante, mais plus basse, lors de l'éloignement. Un croquis de la fréquence observée en fonction du temps pour une source passant à vitesse constante montre deux plateaux reliés par une chute. En partant de l'inverse, une source de $1200\ \text{Hz}$ entendue comme $960\ \text{Hz}$ s'éloigne ($f_{\text{o}} < f_{\text{s}}$) : $960 = 1200 \times 340 / (340 + v_{\text{s}})$ donne $v_{\text{s}} = 85\ \text{m s}^{-1}$. Un buzzer tourné dans un cercle horizontal à $25\ \text{m s}^{-1}$ tout en émettant $846\ \text{Hz}$ est entendu entre $846 \times 330 / 355 = 786\ \text{Hz}$ (mouvement directement vers l'arrière) et $846 \times 330 / 305 = 915\ \text{Hz}$ (mouvement directement vers l'avant), une fois par tour. Si la période d'une trace CRO augmente continuellement, la fréquence observée diminue : la source s'éloigne avec une vitesse croissante. L'effet Doppler se produit pour toutes les ondes, y compris la lumière (sujet 25) ; seule la formule sonore est examinée ici.

Toutes les ondes électromagnétiques 电磁波 (ondes EM) sont transversales et se propagent dans le vide 真空 à la même vitesse :

Le spectre électromagnétique 电磁波谱 comprend les ondes radio, les micro-ondes 微波, l'infrarouge 红外线, la lumière visible, l'ultraviolet 紫外线, les rayons X X射线 et les $\gamma$-rayons γ射线.

Plages de longueurs d'onde approximatives dans le vide (apprendre les ordres de grandeur) :

• ondes radio : $> 10^{-1}\ \text{m}$ (jusqu'à plusieurs km).
• micro-ondes : $10^{-3}\ \text{m}$ à $10^{-1}\ \text{m}$.
• infrarouge : $\sim 7 \times 10^{-7}\ \text{m}$ à $10^{-3}\ \text{m}$.
• lumière visible : $400\ \text{nm}$ (violet) à $700\ \text{nm}$ (rouge), soit $4 \times 10^{-7}\ \text{m}$ à $7 \times 10^{-7}\ \text{m}$.
• ultraviolet : $\sim 10^{-8}\ \text{m}$ à $4 \times 10^{-7}\ \text{m}$.
• rayons X : $\sim 10^{-11}\ \text{m}$ à $10^{-8}\ \text{m}$.
• $\gamma$-rayons : $< 10^{-11}\ \text{m}$.

Les limites entre les régions ne sont pas nettes. Utilisez $c = f\lambda$ pour passer de la longueur d'onde à la fréquence. Seule la lumière dont les longueurs d'onde sont $400$–$700\ \text{nm}$ peut être vue.

Pour identifier une région, convertissez en longueur d'onde avec $\lambda = c / f$ et comparez avec les plages : $2.1\ \text{cm}$ est une micro-onde ; $138\ \text{pm} = 1.4 \times 10^{-10}\ \text{m}$ est un rayon X ; $30\ \text{THz}$ donne $\lambda = 1.0 \times 10^{-5}\ \text{m}$, infrarouge ; $3.0 \times 10^{16}\ \text{Hz}$ donne $1.0 \times 10^{-8}\ \text{m}$, ultraviolet. La lumière visible couvre des fréquences d'environ $4.3 \times 10^{14}$ à $7.5 \times 10^{14}\ \text{Hz}$, donc une onde de $5.0 \times 10^{14}\ \text{Hz}$ est visible et une onde de longueur d'onde $5.0 \times 10^{-6}\ \text{m}$ (infrarouge) ne l'est pas. La lumière rouge a une longueur d'onde plus longue et une fréquence plus basse que le vert. Une liste « par ordre de longueur d'onde croissante » va des $\gamma$-rayons, rayons X, ultraviolet, visible, infrarouge, micro-ondes, ondes radio. Une impulsion lumineuse réfléchie par un mur à $150\ \text{m}$ revient après $2 \times 150 / (3.00 \times 10^{8}) = 1.0\ \mu\text{s}$.

Polarisation 偏振 signifie faire osciller une onde transversale dans un seul plan.

• Seules les ondes transversales peuvent être polarisées — l'oscillation est perpendiculaire à la direction de propagation, donc différents plans perpendiculaires sont des choix réels.
• Les ondes longitudinales (son) ne peuvent pas être polarisées — l'oscillation est le long de la direction de propagation, donc il n'y a pas d'autre plan.

Ainsi, la polarisation est un test : si une onde peut être polarisée, elle doit être transversale.

Loi de Malus

La lumière polarisée linéairement 平面偏振 d'intensité $I_{0}$ traverse un filtre polarisant 偏振片 dont l'axe de transmission 透光轴 est à un angle $\theta$ par rapport au plan de polarisation. L'intensité transmise est donnée par la loi de Malus 马吕斯定律 :

• $\theta = 0°$ : filtre aligné avec la polarisation, $I = I_{0}$, tout passe.
• $\theta = 90°$ : filtre à angle droit, $I = 0$, tout est bloqué.
• $\theta = 60°$: $I = I_{0} \cos^{2} 60° = I_{0} \cdot 0.25 = I_{0}/4$.

Exemple résolu. Une lumière polarisée linéairement d'intensité $12\ \text{W m}^{-2}$ rencontre un filtre polarisant dont l'axe est à $30°$ par rapport au plan de polarisation. Trouvez l'intensité transmise.

Pour deux filtres en série, appliquez la loi de Malus deux fois avec l'angle entre chaque paire. Faites attention à l'angle à chaque étape — après le premier filtre, la polarisation est le long de l'axe de ce filtre, et l'angle du deuxième filtre est mesuré à partir de là.

(Vous n'avez pas besoin de calculer l'effet d'un filtre polarisant sur une onde non polarisée.)

Lorsqu'un filtre est tourné de $360°$ devant une lumière polarisée linéairement, l'intensité transmise varie selon $\cos^{2}\theta$ : c'est un maximum lorsque l'axe de transmission est parallèle au plan de polarisation ($0°$ et $180°$), zéro lorsqu'il est perpendiculaire ($90°$ et $270°$), et jamais négatif. Puisque $I \propto A^{2}$, l'amplitude transmise est $A_{0}\cos\theta$ : à $45°$, l'intensité diminue de moitié et l'amplitude tombe à $0.71$ de sa valeur. Pour deux filtres, le premier définit le plan de polarisation le long de son propre axe, donc l'angle du deuxième filtre est mesuré à partir de celui-ci : une lumière polarisée verticalement traversant des filtres à $50°$ puis $80°$ par rapport à la verticale conserve $\cos^{2} 50° \times \cos^{2} 30° = 0.31$ de son intensité. Les définitions d'une marque : la polarisation est l'oscillation d'une onde transversale dans un seul plan, qui contient la direction de propagation ; le son ne peut pas être polarisé car ses oscillations sont le long de la direction de propagation, donc il n'y a pas de plan à sélectionner.

Une question de définition est notée selon un libellé fixe. Apprenez-les exactement et ne donnez qu'une seule réponse.

• Définir les termes précisément (déplacement, amplitude, longueur d'onde, période, fréquence) et utiliser $v = f\lambda$.
• Distinguer transversale (vibration perpendiculaire à la propagation) de longitudinale (parallèle) ; seules les ondes transversales peuvent être polarisées.
• Pour l'effet Doppler, la fréquence observée augmente lorsque la source approche et diminue lorsqu'elle s'éloigne.
• Apprendre l'ordre du spectre électromagnétique ; toutes ses ondes se déplacent à $c$ dans le vide.

Erreurs courantes

• Une différence de phase supérieure à un cycle, ou des degrés où des radians étaient demandés. Seule la fraction d'un cycle importe : $450°$ est $90°$, et $90°$ est $\pi/2$.
• Lire la longueur d'onde sur un graphique déplacement-temps. Ce graphique donne la période ; la longueur d'onde vient du graphique déplacement-distance.
• Doubler l'amplitude et « doubler » l'intensité. L'intensité est proportionnelle au carré de l'amplitude : quatre fois plus.
• Choisir le signe Doppler intuitivement. Vers signifie moins en bas (fréquence augmentée) ; loin signifie plus (fréquence diminuée). Vérifiez que la réponse est du bon côté de $f_{\text{s}}$.
• Utiliser l'angle du premier filtre pour le second. Après un filtre, la lumière est polarisée le long de l'axe de ce filtre, et le prochain angle est mesuré à partir de là.
• Dire que le son peut être polarisé. Seules les ondes transversales le peuvent.

Lorsque deux ou plusieurs ondes 波 se superposent en un point, le déplacement 位移 à cet endroit est la somme vectorielle 矢量和 des déplacements que chaque onde produirait individuellement. C'est le principe de superposition 叠加.

Les ondes passent à travers les unes les autres et ressortent inchangées. La superposition est la base de tout dans ce sujet.

Pour l'énoncé de deux marques : lorsque deux ou plusieurs ondes se rencontrent en un point, le déplacement résultant est la somme des déplacements des ondes individuelles. Ce sont les déplacements qui s'additionnent, pas les amplitudes ou les intensités, et le principe s'applique chaque fois que des ondes du même type se superposent ; les ondes n'ont pas besoin d'être cohérentes ou d'avoir la même amplitude.

Si deux ondes d'amplitude 振幅 $A_{1}$ et $A_{2}$ se rencontrent :

• en phase 同相 (crête 波峰 rencontre crête) : l'amplitude est $A_{1} + A_{2}$ (interférence constructive 相长干涉).
• exactement en opposition de phase (crête rencontre creux 波谷, différence de phase 相位差 $\pi$) : l'amplitude est $|A_{1} - A_{2}|$ (interférence destructive 相消干涉).
• toute autre différence de phase $\phi$ : l'amplitude se situe quelque part entre ces deux valeurs.

Pour l'intensité 强度, $I \propto A^{2}$. Deux ondes égales rencontrées en phase donnent une intensité $(2A)^{2} = 4A^{2}$ — quatre fois l'intensité d'une seule onde.

Puisque $I \propto A^{2}$, commencez par travailler avec les amplitudes. Deux ondes d'intensités $I$ et $4I$ ont des amplitudes $A$ et $2A$ : la superposition en phase donne une amplitude $3A$ et une intensité $9I$, en opposition de phase une amplitude $A$ et une intensité $I$. Ainsi, deux ondes cohérentes de différentes intensités ne s'annulent jamais complètement : les minima ont une intensité $(A_{2} - A_{1})^{2}$, pas zéro. Une onde d'amplitude $2A$ rencontrant une onde d'amplitude $A/2$ voyageant dans le sens opposé donne une résultante variant entre $2.5A$ et $1.5A$, un motif stationnaire sans nœuds réels. Doubler l'amplitude d'une des deux ondes égales rencontrées en phase fait passer la résultante de $2A$ à $3A$, donc l'intensité passe de $4A^{2}$ à $9A^{2}$ : $2.25$ fois plus.