Gaz parfaits

Quantité de matière 物质的量 est une grandeur fondamentale SI. Son unité est la mole 摩尔 (mol) — l'une des sept unités fondamentales SI, avec le kilogramme, le mètre, la seconde, l'ampère et le kelvin 开尔wen du Topic 1.

Une mole de toute substance possède un nombre de particules égal à la constante d'Avogadro 阿伏伽德罗常量 :

Un « particule » désigne ce que vous comptez — atomes 原子 pour un élément monoatomique 单原子 comme l'hélium, molécules 分子 pour $\text{O}_{2}$ ou $\text{H}_{2}\text{O}$. Dites toujours ce que vous comptez.

Pour $n$ moles, le nombre de particules est $N = n N_{\text{A}}$.

La masse molaire 摩尔质量 $M_{\text{m}}$ est la masse d'une mole ($\text{kg mol}^{-1}$ ou $\text{g mol}^{-1}$). La masse de $n$ moles est $M = n M_{\text{m}}$. La masse d'une particule est $m_{0} = M_{\text{m}} / N_{\text{A}}$.

Le libellé de l'examinateur. La constante d'Avogadro est le nombre d'atomes (ou de molécules) dans une mole d'une substance — une marque ; ajouter « dans $0.012\ \text{kg}$ de carbone-12 » est accepté mais non nécessaire. On demande « la relation entre $N_{\text{A}}$, $R$ et $k$ », écrire $k = R/N_{\text{A}}$ (ou $R = N_{\text{A}}k$).

Exemple résolu. L'oxygène a une masse molaire de $32\ \text{g mol}^{-1}$. Trouver la masse d'une molécule d'oxygène et le nombre de molécules dans $8.0\ \text{g}$ d'oxygène.

$m_{0} = \dfrac{M_{\text{m}}}{N_{\text{A}}} = \dfrac{0.032}{6.02 \times 10^{23}} = 5.3 \times 10^{-26}\ \text{kg}$. $8.0\ \text{g}$ est $n = 8.0/32 = 0.25\ \text{mol}$, donc $N = nN_{\text{A}} = 1.5 \times 10^{23}$ molécules. Garder les masses molaires en $\text{kg mol}^{-1}$ lorsque la réponse est en kilogrammes — le facteur de $1000$ est l'erreur habituelle.

Un gaz parfait 理想气体 obéit exactement à $pV \propto T$, où $T$ est la température thermodynamique 热力学温度.

L'équation d'état 状态方程 peut s'écrire de deux façons égales :

Ici :

• $p$ — pression 压强 (Pa).
• $V$ — volume 体积 (m³).
• $T$ — température thermodynamique en kelvin (jamais °C).
• $n$ — nombre de moles ; $N$ — nombre de molécules.
• $R$ — constante des gaz parfaits molaire 摩尔气体常量, $R = 8.31\ \text{J mol}^{-1}\ \text{K}^{-1}$.
• $k$ — constante de Boltzmann 玻尔兹曼常量, $k = 1.38 \times 10^{-23}\ \text{J K}^{-1}$.

Puisque $N = n N_{\text{A}}$, nous obtenons $k = R/N_{\text{A}}$ : $k$ est la constante des gaz par molécule, tout comme $R$ est par mole.

La définition à deux points. Un gaz parfait est celui qui obéit à $pV = nRT$ (ou $pV \propto T$, avec $T$ la température thermodynamique) à toutes les valeurs de pression, volume et température. Les deux points nécessitent l'équation (ou la proportionnalité avec $T$ nommée thermodynamique) et « à toutes les valeurs » ou « pour toutes les $p$, $V$ et $T$ ». On demande de « donner la signification de chaque symbole dans $pV = NkT$ » : $p$ est la pression, $V$ le volume, $N$ le nombre de molécules, $k$ la constante de Boltzmann et $T$ la température thermodynamique — un gaz réel est presque parfait à basse pression et haute température, où ses molécules sont éloignées les unes des autres.

Utilisation de l'équation d'état

Lister les variables disponibles, trouver l'inconnue, et choisir la forme correspondant à votre « quantité » (moles → $nRT$ ; molécules → $NkT$). Toujours utiliser les unités SI : Pa, m³, K.

Exemple résolu. Une bouteille de volume $0.020\ \text{m}^{3}$ contient du gaz à $27\ ^{\circ}\text{C}$ et une pression de $2.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$. Combien y a-t-il de moles de gaz ? ($R = 8.31\ \text{J mol}^{-1}\ \text{K}^{-1}$.)

Convertir en kelvin : $T = 27 + 273 = 300\ \text{K}$. Puis depuis $pV = nRT$,

Si une quantité fixe de gaz passe de l'état 1 à l'état 2 :

Exemple résolu. Une masse fixe de gaz à $300\ \text{K}$ occupe $0.50\ \text{m}^{3}$. Elle est chauffée jusqu'à $450\ \text{K}$ à pression constante. Trouver le nouveau volume.

À pression constante $V/T$ est constant, donc

Exemple résolu. Un récipient scellé de volume $0.0500\ \text{m}^{3}$ contient $0.0424\ \text{kg}$ d'un gaz parfait à $227\ ^{\circ}\text{C}$ et $1.37 \times 10^{5}\ \text{Pa}$. Trouver la quantité de gaz, la masse d'une molécule et la vitesse quadratique moyenne de ses molécules.

$T = 227 + 273 = 500\ \text{K}$. $n = \dfrac{pV}{RT} = \dfrac{1.37 \times 10^{5} \times 0.0500}{8.31 \times 500} = 1.65\ \text{mol}$. La masse molaire est $0.0424/1.65 = 0.0257\ \text{kg mol}^{-1}$, donc une molécule a une masse $0.0257/(6.02 \times 10^{23}) = 4.3 \times 10^{-26}\ \text{kg}$. D'après $\tfrac{1}{2}m\langle c^{2}\rangle = \tfrac{3}{2}kT$, $\langle c^{2}\rangle = \dfrac{3kT}{m} = \dfrac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 500}{4.27 \times 10^{-26}} = 4.8 \times 10^{5}\ \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$ (une vitesse efficace d'environ $700\ \text{m s}^{-1}$).

Exemple résolu. Le cylindre X (volume $0.0260\ \text{m}^{3}$, $0.740\ \text{mol}$) et le cylindre Y (volume $0.0180\ \text{m}^{3}$, $0.320\ \text{mol}$) contiennent un gaz parfait et sont en équilibre thermique entre eux à $290\ \text{K}$. Trouver la pression dans chacun, et expliquer ce qui arrive au nombre de molécules dans chaque cylindre si on ouvre un robinet les reliant.

$p_{\text{X}} = \dfrac{nRT}{V} = \dfrac{0.740 \times 8.31 \times 290}{0.0260} = 6.86 \times 10^{4}\ \text{Pa}$ et $p_{\text{Y}} = \dfrac{0.320 \times 8.31 \times 290}{0.0180} = 4.28 \times 10^{4}\ \text{Pa}$. Le gaz s'écoule de la pression plus élevée (X) vers la plus basse (Y) jusqu'à égalisation des pressions ; la température restant inchangée, la pression finale est $p = \dfrac{(n_{\text{X}} + n_{\text{Y}})RT}{V_{\text{X}} + V_{\text{Y}}} = 5.8 \times 10^{4}\ \text{Pa}$, et X finit avec $n_{\text{X}} = pV_{\text{X}}/RT = 0.63\ \text{mol}$ — il perd environ $0.11\ \text{mol}$ vers Y.

Exemple résolu. Une quantité fixe de gaz parfait à température $T$ est dans l'état X, avec pression $2p$ et volume $V$. Il est refroidi à volume constant jusqu'à l'état Y, où sa pression est $p$ ; ensuite chauffé à pression constante jusqu'à l'état Z, où son volume est $2V$ ; puis ramené à X. Trouver les températures aux états Y et Z, et décrire comment l'énergie interne évolue tout autour du cycle.

De X à Y à volume constant, $p/T$ est constant : diviser la pression par deux divise la température par deux, $T_{\text{Y}} = T/2$. De Y à Z à pression constante, $V/T$ est constant : doubler le volume double la température, $T_{\text{Z}} = T$. L'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de la température, elle diminue de X à Y (de $\tfrac{3}{2}nR \cdot T/2$), augmente de la même quantité de Y à Z, et reste inchangée de Z à X. Lire chaque segment sur le diagramme avant d'écrire une équation : vertical signifie $V$ constant, horizontal signifie $p$ constant.

Cas particuliers :

• température constante (loi de Boyle 玻意耳定律) : $p_{1} V_{1} = p_{2} V_{2}$.
• pression constante (loi de Charles 查理定律) : $V / T = \text{constant}$.
• volume constant (loi des gaz 气体压强定律) : $p / T = \text{constant}$.

Une erreur fréquente est d'utiliser °C au lieu de K — $pV \propto T$ n'est valide qu'avec $T$ en kelvin.

La théorie cinétique 分子动理论 explique le comportement macroscopique d'un gaz par le mouvement aléatoire 无规则运动 de ses molécules.

Hypothèses

Pour un gaz idéal :

1. non grand nombre de molécules identiques en mouvement aléatoire continu.
2. le volume propre des molécules est trop faible pour être pris en compte par rapport au contenant.
3. la durée de chaque collision est trop courte pour être prise en compte par rapport au temps entre les collisions.
4. les forces intermoléculaires 分子间 sont négligées sauf lors des collisions (les molécules se déplacent en ligne droite entre celles-ci).
5. les collisions (avec les parois et entre elles) sont élastiques — une collision élastique 弹性碰撞 ne perd aucune énergie cinétique, donc le gaz ne refroidit pas tout seul.
6. les lois de Newton s'appliquent.

Ces hypothèses deviennent faibles à très haute pression (le volume moléculaire devient significatif) ou à très basse température (les forces intermoléculaires deviennent significatives).

Comme demandé aux examens. "Énoncez deux (ou trois) hypothèses fondamentales de la théorie cinétique" : choisissez parmi les molécules sont en mouvement aléatoire continu ; le volume des molécules est négligeable par rapport au volume du gaz ; il n'y a pas de forces entre les molécules sauf lors des collisions ; les collisions sont parfaitement élastiques ; la durée d'une collision est négligeable par rapport au temps entre les collisions. "Expliquez ce qu'on entend par collision élastique" : une collision où l'énergie cinétique totale est conservée (ainsi que la quantité de mouvement). "Utilisez les hypothèses pour suggérer pourquoi le gaz à la surface d'une étoile, à très haute pression, n'est pas idéal" : les molécules sont si proches que leur volume propre n'est plus négligeable par rapport au volume du gaz, et des forces intermoléculaires agissent entre elles — les deux hypothèses qui échouent quand un gaz est comprimé.

Exemple résolu. Un ballon contient $0.40\ \text{mol}$ d'hydrogène ($m = 3.34 \times 10^{-27}\ \text{kg}$ par molécule) dans $9.8 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$. Estimez la séparation moyenne des molécules, la force gravitationnelle entre molécules voisines, et commentez l'hypothèse de la théorie cinétique testée ici.

$N = 0.40 \times 6.02 \times 10^{23} = 2.4 \times 10^{23}$ molécules, donc chacune occupe $V/N = 4.1 \times 10^{-26}\ \text{m}^{3}$ et la séparation moyenne est $d = (V/N)^{1/3} = 3.4 \times 10^{-9}\ \text{m}$. La force gravitationnelle entre deux molécules est $F = \dfrac{Gm^{2}}{d^{2}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times (3.34 \times 10^{-27})^{2}}{(3.4 \times 10^{-9})^{2}} = 6 \times 10^{-47}\ \text{N}$ — environ $10^{20}$ fois plus petite que le poids propre d'une molécule ($mg = 3.3 \times 10^{-26}\ \text{N}$). Les forces entre molécules sont vraiment négligeables sauf lors des collisions, comme le suppose la théorie.

Pression d'un gaz — Esquisse de la dérivation

Prenons une boîte cubique de côté $L$ avec $N$ molécules, chacune de masse $m$. Regardons une molécule se déplaçant selon l'axe $x$ avec la vitesse $u_{1}$.

• une collision avec le mur droit : la vitesse s'inverse à $-u_{1}$, changement de quantité de mouvement 动量 $\Delta p_{x} = -2 m u_{1}$. Par la troisième loi de Newton, le mur reçoit une impulsion 冲量 de $+2 m u_{1}$.
• temps entre les impacts sur ce mur : parcours $2L$ aller et retour, donc $\Delta t = 2L/u_{1}$.
• force moyenne provenant de cette molécule : $F_{1} = \Delta p / \Delta t = m u_{1}^{2} / L$.
• additionner sur toutes les molécules : $F = (Nm/L)\langle u_{x}^{2} \rangle$, où $\langle u_{x}^{2} \rangle$ est le carré moyen 均方 de la vitesse $x$.
• pression : $p = F/L^{2} = N m \langle u_{x}^{2} \rangle / V$.

En 3-D, par symétrie $\langle u_{x}^{2} \rangle = \tfrac{1}{3} \langle c^{2} \rangle$, où $\langle c^{2} \rangle$ est la vitesse carrée moyenne 均方速率. Donc

"Expliquez comment le mouvement moléculaire provoque la pression exercée par un gaz (3 points)." Les molécules se déplacent aléatoirement et entrent en collision avec les parois du récipient ; à chaque collision, la quantité de mouvement d'une molécule change (elle rebondit), donc par la deuxième loi de Newton, le mur exerce une force sur elle, et par la troisième loi, elle exerce une force égale sur le mur ; les très nombreuses collisions par seconde produisent une force totale stable sur le mur, et la pression est cette force par unité de surface. L'expression du programme "un modèle simple considérant des collisions unidimensionnelles" désigne la dérivation ci-dessus : il suffit de suivre une molécule qui rebondit entre deux faces opposées puis de faire la moyenne.

La forme densité. Puisque $Nm$ est la masse totale du gaz et $Nm/V$ est sa densité $\rho$, le même résultat s'écrit $p = \tfrac{1}{3}\rho\langle c^{2}\rangle$ — la version à utiliser quand une question donne une densité au lieu de $N$ et $m$.

Exemple corrigé. Un gaz idéal à une pression de $1.6 \times 10^{5}\ \text{Pa}$ a une densité de $1.9\ \text{kg m}^{-3}$. Montrez que la vitesse quadratique moyenne de ses molécules est d'environ $500\ \text{m s}^{-1}$.

$\langle c^{2}\rangle = \dfrac{3p}{\rho} = \dfrac{3 \times 1.6 \times 10^{5}}{1.9} = 2.53 \times 10^{5}\ \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, donc $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{2.53 \times 10^{5}} = 503\ \text{m s}^{-1} \approx 500\ \text{m s}^{-1}$. Dans un « montrer que », gardez un chiffre supplémentaire ($503$) avant de comparer avec la valeur donnée.

Vitesse quadratique moyenne

La racine carrée de $\langle c^{2} \rangle$ est la vitesse racine carrée moyenne 均方根 (r.m.s.) :

C'est une mesure unique utile de la rapidité des molécules, légèrement supérieure à la vitesse moyenne (le carré pondère davantage les molécules rapides).

Comparez les deux expressions pour $pV$ :

Égalisez-les, annulez $N$, et multipliez par $\tfrac{3}{2}$ :

Le côté droit est l'énergie cinétique de translation moyenne 平动动能 $\langle E_{\text{k}} \rangle$ d'une molécule. Donc

C'est un résultat clé : l'énergie cinétique de translation moyenne d'une molécule de gaz idéal ne dépend que de la température thermodynamique, pas du type de gaz ni de sa pression.

Exemple corrigé. Trouvez la vitesse racine carrée moyenne des molécules d'oxygène à $300\ \text{K}$. (Masse d'une molécule $\text{O}_{2}$ $= 5.3 \times 10^{-26}\ \text{kg}$, $k = 1.38 \times 10^{-23}\ \text{J K}^{-1}$.)

À partir de $\tfrac{1}{2}m\langle c^{2}\rangle = \tfrac{3}{2}kT$, la vitesse carrée moyenne est $\langle c^{2}\rangle = 3kT/m$ :

Exemple corrigé. La surface de la Lune atteint environ $400\ \text{K}$ en pleine lumière solaire. Calculez la vitesse r.m.s. des molécules d'hydrogène ($m = 3.34 \times 10^{-27}\ \text{kg}$) à cette température, et utilisez la vitesse de libération de la Lune de $2.4\ \text{km s}^{-1}$ pour suggérer pourquoi la Lune n'a pas d'atmosphère hydrogène.

$c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\dfrac{3kT}{m}} = \sqrt{\dfrac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 400}{3.34 \times 10^{-27}}} = 2.2 \times 10^{3}\ \text{m s}^{-1}$. Cette vitesse r.m.s. est proche de la vitesse de libération, et les vitesses sont largement réparties autour d'elle, donc une grande fraction des molécules se déplacent plus vite que $2.4\ \text{km s}^{-1}$ à tout moment et s'échappent ; avec le temps, l'hydrogène est perdu.

Exemple corrigé. Le gaz à la surface d'une étoile est principalement composé d'atomes d'hydrogène ($m = 1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$) avec une vitesse r.m.s. de $9300\ \text{m s}^{-1}$. Trouvez la température de la surface.

$T = \dfrac{m\langle c^{2}\rangle}{3k} = \dfrac{1.67 \times 10^{-27} \times 9300^{2}}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}} = 3.5 \times 10^{3}\ \text{K}$.

Exemple corrigé. Pour un échantillon fixe de gaz, un graphique de $pV$ contre $kT$ est une droite passant par l'origine de gradient $7.2 \times 10^{22}$. Lorsque $pV = 270\ \text{J}$ la vitesse r.m.s. des molécules est $1900\ \text{m s}^{-1}$. Trouvez le nombre de molécules et la masse d'une molécule en u.

À partir de $pV = NkT$ le gradient est $N = 7.2 \times 10^{22}$. À partir de $pV = \tfrac{1}{3}Nm\langle c^{2}\rangle$ : $m = \dfrac{3pV}{N\langle c^{2}\rangle} = \dfrac{3 \times 270}{7.2 \times 10^{22} \times 1900^{2}} = 3.1 \times 10^{-27}\ \text{kg} = \dfrac{3.1 \times 10^{-27}}{1.66 \times 10^{-27}} = 1.9\ \text{u}$ — des molécules d'hydrogène, dans les limites de l'arrondi.

Comparaison des gaz et des échantillons. À la même température, chaque gaz possède la même énergie cinétique moyenne par molécule, donc $\langle c^{2}\rangle \propto 1/m$ : l'hydrogène ($M_{\text{m}} = 2$) et l'oxygène ($M_{\text{m}} = 32$) ont $\dfrac{c_{\text{H}}}{c_{\text{O}}} = \sqrt{\dfrac{32}{2}} = 4$. Deux échantillons à la même $T$ — X avec $N$ molécules de masse $m$ dans un volume $V$, Y avec $2N$ molécules de masse $2m$ dans un volume $2V$ — ont la même pression ($p = NkT/V$ et les deux $N$ et $V$ doublent), la même énergie cinétique moyenne par molécule, mais les molécules de Y ont une vitesse quadratique moyenne moitié moindre ($3kT/2m$) et Y a une énergie interne double (autant de molécules en double).

Conséquences

• doubler la température absolue double l'énergie cinétique moyenne de chaque molécule, donc $\langle c^{2} \rangle$ double et $c_{\text{r.m.s.}}$ augmente de $\sqrt{2}$.
• pour deux gaz à la même température, le gaz le plus léger a une $\langle c^{2} \rangle$ plus grande. Les molécules d'hydrogène se déplacent en moyenne plus vite que les molécules d'oxygène dans la même pièce.
• énergie cinétique translationnelle totale de $N$ molécules : $\tfrac{3}{2} N k T = \tfrac{3}{2} n R T$.

Énergie interne d'un gaz idéal

Pour un gaz idéal, les molécules sont des particules ponctuelles sans énergie potentielle intermoléculaire et (dans ce modèle simple) sans rotation ou vibration. Donc l'énergie interne 内能 est simplement l'énergie cinétique 动能 totale :

Ainsi, l'énergie interne d'un gaz parfait est proportionnelle à la température thermodynamique — doubler $T$ double $U$.

Comme demandé à l'examen. "Utilisez une des hypothèses de base pour expliquer ce qu'on peut déduire sur l'énergie potentielle des molécules" : il n'y a aucune force entre les molécules (sauf lors des collisions), donc il n'y a pas d'énergie potentielle associée à leur séparation — l'énergie du mouvement aléatoire est entièrement cinétique. "Expliquez pourquoi l'énergie interne d'un gaz parfait est directement proportionnelle à la température thermodynamique" (2 points) : l'énergie interne est la somme des énergies cinétiques et potentielles des molécules ; l'énergie potentielle est nulle (pas de forces intermoléculaires), et l'énergie cinétique moyenne d'une molécule est $\tfrac{3}{2}kT$, proportionnelle à $T$ ; donc le total, $U = \tfrac{3}{2}NkT$, est proportionnel à $T$. "Dérivez $\tfrac{3}{2}kT$" (2 points) : égalisez $pV = NkT$ avec $pV = \tfrac{1}{3}Nm\langle c^{2}\rangle$, simplifiez $N$, et réarrangez pour obtenir $\tfrac{1}{2}m\langle c^{2}\rangle = \tfrac{3}{2}kT$ — montrez la simplification et le facteur $\tfrac{3}{2}$.

Exemple résolu. Un échantillon de $0.26\ \text{m}^{3}$ d'un gaz parfait se trouve à $2.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$ et $290\ \text{K}$. Trouvez le nombre de molécules, l'énergie cinétique de translation moyenne d'une molécule et l'énergie interne du gaz.

$N = \dfrac{pV}{kT} = \dfrac{2.0 \times 10^{5} \times 0.26}{1.38 \times 10^{-23} \times 290} = 1.3 \times 10^{25}$. $\langle E_{\text{k}}\rangle = \tfrac{3}{2}kT = 1.5 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 290 = 6.0 \times 10^{-21}\ \text{J}$. $U = N\langle E_{\text{k}}\rangle = 1.3 \times 10^{25} \times 6.0 \times 10^{-21} = 7.8 \times 10^{4}\ \text{J}$ — ou directement $U = \tfrac{3}{2}pV = 7.8 \times 10^{4}\ \text{J}$, un bon moyen de vérifier.

Variation de pression à température constante

Doubler $p$ à $T$ constant (en comprimant le gaz à la moitié de son volume) ne modifie pas $\langle E_{\text{k}} \rangle$ — cela dépend uniquement de $T$. Il y a plus de chocs par seconde contre les parois, mais chaque molécule a la même énergie cinétique moyenne.

Une question de définition est notée selon un libellé fixe. Apprenez-les exactement et ne donnez qu'une seule réponse.

• Utilisez $pV = nRT$ ($n$ en mol) ou $pV = NkT$ ($N$ molécules), avec la température en kelvin et le volume en $\text{m}^{3}$ ($1\ \text{cm}^{3} = 10^{-6}\ \text{m}^{3}$).
• Apprenez par cœur les hypothèses de la théorie cinétique (mouvement aléatoire, volume moléculaire négligeable, pas de forces intermoléculaires sauf lors des collisions, collisions élastiques, durée de collision négligeable) et sachez lesquelles deux échouent à haute pression.
• Énergie cinétique de translation moyenne $= \frac{3}{2}kT$ — elle dépend uniquement de la température ; à la même $T$, une molécule plus légère est plus rapide, $\langle c^{2}\rangle \propto 1/m$.
• Pour une question "montrez que" concernant la pression, donnez la chaîne : chocs contre la paroi, variation de quantité de mouvement, force (lois de Newton II et III), force par unité de surface.
• $p = \tfrac{1}{3}\rho\langle c^{2}\rangle$ quand une densité est donnée ; $U = \tfrac{3}{2}NkT = \tfrac{3}{2}pV$ quand l'énergie interne est demandée.

Erreurs courantes

• Utiliser °C dans $pV = nRT$ ou dans $\langle E_{\text{k}}\rangle = \tfrac{3}{2}kT$. Convertissez d'abord ; un rapport de températures ne fonctionne qu'en kelvin.
• Définir un gaz parfait par "obéit à $pV = nRT$" seul. Ajoutez "pour toutes les valeurs de $p$, $V$ et $T$".
• Confondre $n$ (moles) avec $N$ (molécules), ou $R$ avec $k$. $N = nN_{\text{A}}$ et $k = R/N_{\text{A}}$.
• Donner "les molécules bougent aléatoirement" comme raison de la pression. La note est accordée pour la variation de quantité de mouvement au niveau de la paroi et la force résultante par unité de surface.
• Tracer $c_{\text{r.m.s.}}$ en fonction de $T$ comme une ligne droite. $\langle c^{2}\rangle$ est linéaire en $T$ ; $c_{\text{r.m.s.}}$ augmente lorsque $\sqrt{T}$.
• Dire que l'énergie cinétique d'une molécule change lorsque la pression double à température constante. Seul le nombre de chocs par seconde change.