Superposition

Lorsque deux ou plusieurs ondes 波 se superposent en un point, le déplacement 位移 à cet endroit est la somme vectorielle 矢量和 des déplacements que chaque onde produirait individuellement. C'est le principe de superposition 叠加.

Les ondes passent à travers les unes les autres et ressortent inchangées. La superposition est la base de tout dans ce sujet.

Pour l'énoncé de deux marques : lorsque deux ou plusieurs ondes se rencontrent en un point, le déplacement résultant est la somme des déplacements des ondes individuelles. Ce sont les déplacements qui s'additionnent, pas les amplitudes ou les intensités, et le principe s'applique chaque fois que des ondes du même type se superposent ; les ondes n'ont pas besoin d'être cohérentes ou d'avoir la même amplitude.

Si deux ondes d'amplitude 振幅 $A_{1}$ et $A_{2}$ se rencontrent :

• en phase 同相 (crête 波峰 rencontre crête) : l'amplitude est $A_{1} + A_{2}$ (interférence constructive 相长干涉).
• exactement en opposition de phase (crête rencontre creux 波谷, différence de phase 相位差 $\pi$) : l'amplitude est $|A_{1} - A_{2}|$ (interférence destructive 相消干涉).
• toute autre différence de phase $\phi$ : l'amplitude se situe quelque part entre ces deux valeurs.

Pour l'intensité 强度, $I \propto A^{2}$. Deux ondes égales rencontrées en phase donnent une intensité $(2A)^{2} = 4A^{2}$ — quatre fois l'intensité d'une seule onde.

Puisque $I \propto A^{2}$, commencez par travailler avec les amplitudes. Deux ondes d'intensités $I$ et $4I$ ont des amplitudes $A$ et $2A$ : la superposition en phase donne une amplitude $3A$ et une intensité $9I$, en opposition de phase une amplitude $A$ et une intensité $I$. Ainsi, deux ondes cohérentes de différentes intensités ne s'annulent jamais complètement : les minima ont une intensité $(A_{2} - A_{1})^{2}$, pas zéro. Une onde d'amplitude $2A$ rencontrant une onde d'amplitude $A/2$ voyageant dans le sens opposé donne une résultante variant entre $2.5A$ et $1.5A$, un motif stationnaire sans nœuds réels. Doubler l'amplitude d'une des deux ondes égales rencontrées en phase fait passer la résultante de $2A$ à $3A$, donc l'intensité passe de $4A^{2}$ à $9A^{2}$ : $2.25$ fois plus.

Lorsque deux ondes progressives 行波 identiques se déplacent dans des directions opposées et se chevauchent, elles forment une onde stationnaire 驻波. Exemples : une onde sur une corde réfléchie 反射 par une extrémité fixe se superposant à l'onde incidente ; le son dans une colonne d'air réfléchi par une extrémité fermée ; les micro-ondes entre un émetteur et une plaque métallique.

Expliquez comment l'onde stationnaire est formée (trois ou quatre points, demandé pour une corde, une colonne d'air et des micro-ondes identiques) : l'onde de la source se déplace vers l'extrémité éloignée (le mur, l'extrémité fermée, la plaque métallique) et est réfléchie ; les ondes incidente et réfléchie ont la même fréquence, la même longueur d'onde et la même vitesse et se déplacent dans des directions opposées ; elles superposent là où elles se chevauchent ; aux points où elles se rencontrent toujours en phase, les déplacements s'additionnent pour donner l'amplitude maximale, un antinode, et aux points où elles se rencontrent toujours en opposition de phase, elles s'annulent, formant un nœud. Pour « énoncez les conditions » : deux ondes du même type, avec la même fréquence (et longueur d'onde) et vitesse, se déplaçant dans des directions opposées le long de la même ligne ; des amplitudes égales sont nécessaires uniquement pour que les nœuds aient une amplitude nulle. La plaque métallique dans l'expérience aux micro-ondes sert à réfléchir les ondes vers leur propre chemin.

Nœuds et antinodes

Dans une onde stationnaire :

• nœud 波节 — un point qui est toujours à un déplacement nul (les deux ondes s'annulent toujours). La distance entre des nœuds adjacents est $\lambda/2$.
• ventre 波腹 — un point de plus grande amplitude (les deux ondes s'additionnent toujours). La distance entre des antinodes adjacents est $\lambda/2$.
• un nœud et l'antinode suivant sont séparés de $\lambda/4$.

Les particules situées entre deux nœuds oscillent en phase les unes avec les autres, mais avec des amplitudes différentes (maximale à l'antinode, nulle aux nœuds). Les particules situées de part et d'autre d'un nœud oscillent en opposition de phase 反相 (différence de phase $\pi$).

Ainsi, la différence de phase entre deux points sur la même boucle (entre des nœuds adjacents) est $0°$ ; entre des points sur des boucles voisines, elle est $180°$ ; et entre des points sur des boucles séparées par une boucle entière, elle redevient $0°$. Chaque point atteint son déplacement maximal au même instant et passe par zéro au même instant. Un croquis de la corde un quart de cycle après l'instant du déplacement maximal est une ligne droite le long de la position de repos ; demi-cycle plus tard, c'est l'image miroir du premier croquis. En une période, une particule à un antinode parcourt quatre amplitudes, donc une particule qui se déplace de $72\ \text{mm}$ en une période et demie a une amplitude de $12\ \text{mm}$.

Exemple résolu. Une corde de longueur $0.80\ \text{m}$ est fixée aux deux extrémités et vibre dans son mode fondamental, où la vitesse de l'onde est $240\ \text{m s}^{-1}$. Trouvez la fréquence fondamentale.

Une boucle s'adapte à la corde, donc $\lambda = 2L = 1.60\ \text{m}$. Ensuite,

Comment une onde stationnaire diffère d'une onde progressive : elle ne transporte pas d'énergie 能量 le long de sa longueur, le motif ne se déplace pas, et les nœuds restent fixes ; une onde progressive a la même amplitude partout et transporte de l'énergie. Les trois différences listées dans le barème : une onde progressive transfère de l'énergie et une onde stationnaire ne le fait pas ; dans une onde progressive, chaque point a la même amplitude, dans une onde stationnaire, l'amplitude varie de zéro à un nœud jusqu'à un maximum à un antinode ; dans une onde progressive, les points voisins diffèrent en phase, dans une onde stationnaire, tous les points entre deux nœuds sont en phase.

Mesurer la longueur d'onde à partir de l'espacement des nœuds

Actionnez une corde avec un vibreur à la fréquence $f$ jusqu'à ce qu'un motif stationnaire apparaisse. Mesurez la distance entre deux nœuds bien espacés et divisez par le nombre de demi-longueurs d'onde 波长 entre eux. Ensuite, $\lambda$ est connu, et $v = f\lambda$ donne la vitesse de l'onde.

Pour un tube fermé à une extrémité et ouvert à l'autre (un tube de résonance 共鸣管), l'extrémité fermée est un nœud de déplacement et l'extrémité ouverte est un antinode de déplacement. Le fondamental 基频 a $L = \lambda/4$ ; la prochaine résonance est à $L = 3\lambda/4$ ; et ainsi de suite. Pour un tube ouvert aux deux extrémités, les deux extrémités sont des antinodes ; le fondamental est à $L = \lambda/2$.

La règle générale : une extrémité fermée est un nœud et une extrémité ouverte est un antinode, et une corde fixée aux deux extrémités a un nœud à chaque extrémité. Donc un tuyau fermé correspond à un nombre impair de quarts de longueur d'onde ($L = \lambda/4, 3\lambda/4, 5\lambda/4, \ldots$), tandis qu'un tuyau ouvert et une corde fixée correspondent à des demi-longueurs d'onde entières ($L = \lambda/2, \lambda, 3\lambda/2, \ldots$) ; un tuyau ouvert aux deux extrémités avec $n$ nœuds a $n + 1$ antinodes. Les fréquences découlent de $f = v/\lambda$ : un tuyau fermé dont la note la plus basse est $820\ \text{Hz}$ a $\lambda = 4L$, et un couloir de $13.2\ \text{m}$ de long avec une porte réfléchissante à chaque extrémité résonne le plus bas à $f = v/2L = 330/26.4 = 12.5\ \text{Hz}$.

Exemple résolu. Un haut-parleur à l'extrémité ouverte d'un tube de $0.51\ \text{m}$ de long, fermé à l'autre extrémité, met en place une onde stationnaire avec deux nœuds et deux antinodes. Trouvez la longueur d'onde et, avec $v = 340\ \text{m s}^{-1}$, la fréquence.

Deux nœuds et deux antinodes constituent le deuxième mode d'un tuyau fermé, $L = 3\lambda/4$, donc $\lambda = 4 \times 0.51 / 3 = 0.68\ \text{m}$ et $f = 340 / 0.68 = 500\ \text{Hz}$. La plus longue longueur d'onde pouvant résonner dans ce tube est $4L = 2.0\ \text{m}$.

Les expériences nommées par le programme mesurent toutes $\lambda$ à partir de l'espacement des nœuds ou des antinodes. Dans le tube de résonance, un tube est soulevé hors de l'eau pendant qu'un haut-parleur ou un diapason sonne à son extrémité ouverte ; le son devient soudainement fort à la première résonance, lorsque la colonne d'air a une longueur de $\lambda/4$, et encore à $3\lambda/4$, donc le tube se déplace de $\lambda/2$ entre les deux (un étudiant n'a pas besoin d'équipement pour détecter la résonance : la note devient forte). Dans un tube à poussière, une poudre fine se dépose en tas aux nœuds de déplacement, $\lambda/2$ d'écart. Avec les micro-ondes, un récepteur déplacé le long de la ligne entre l'émetteur et une plaque réfléchissante en métal lit un minimum tous les $\lambda/2$ : un récepteur qui commence à un minimum et traverse six autres minima en $1.05\ \text{m}$ a traversé $3\lambda$, donc $\lambda = 0.35\ \text{m}$ et, avec $v = 340\ \text{m s}^{-1}$ pour l'expérience sonore équivalente, $f = 970\ \text{Hz}$. Une onde stationnaire dans un four à micro-ondes fait fondre le chocolat aux antinodes, $\lambda/2$ d'écart, donc l'espacement des taches et la fréquence du four ($2.45\ \text{GHz}$) donnent la vitesse de la lumière à partir de $c = f\lambda$.

Diffraction 衍射 est l'étalement d'une onde après qu'elle ait passé à travers une fente ou autour d'un obstacle 障碍物. Toutes les ondes subissent la diffraction — eau, son, lumière, micro-ondes.

Pour la question à deux points "énoncez ce que signifie la diffraction" : l'étalement d'une onde alors qu'elle passe à travers une fente (une ouverture) ou autour du bord d'un obstacle, dans la région derrière lui. La diffraction change la direction dans laquelle l'onde se déplace, mais pas sa vitesse, sa fréquence ou sa longueur d'onde.

Le degré d'étalement dépend du rapport de la longueur d'onde à la largeur de la fente :

• fente beaucoup plus large que $\lambda$ : très peu d'étalement ; l'onde passe presque tout droit.
• fente environ de la taille de $\lambda$ : beaucoup d'étalement ; l'onde s'étale en éventail.
• fente plus petite que $\lambda$ : étalement très intense ; la fente agit presque comme une source ponctuelle.

Montrez-le avec des ondes d'eau dans un bac à ondes 水波槽 : des ondes droites rencontrent un obstacle avec une fente, et les ondes s'incurvent davantage lorsque la fente est rendue plus étroite. La même idée explique pourquoi vous pouvez entendre quelqu'un autour d'un coin (la parole a $\lambda$ près de 1 m, proche de la taille de la fente) mais ne pas le voir (la lumière visible a $\lambda \sim 500\ \text{nm}$, bien plus petit que la fente).

Pour l'étalement maximal, la fente devrait avoir environ une longueur d'onde de large. Donc, pour augmenter la diffraction d'une onde donnée, réduisez la largeur de la fente ; pour une fente donnée, utilisez une longueur d'onde plus longue, ce qui signifie une fréquence plus basse. Les ondes radio de longueur d'onde $1.5\ \text{km}$ contournent une montagne et atteignent une antenne derrière elle ; les micro-ondes de $1.5\ \text{cm}$ ne le font pas. Le son de $0.44\ \text{kHz}$ dans l'air a $\lambda = 330 / 440 = 0.75\ \text{m}$, donc des caractéristiques d'environ $0.75\ \text{m}$ le diffractent le plus, et parmi les sons passant à travers une porte de $0.80\ \text{m}$ de large, les basses fréquences s'étalent le plus. Rendre la fente plusieurs longueurs d'onde de large, ou augmenter la fréquence, réduit l'étalement.

Interférence 干涉 est la superposition de deux ondes cohérentes 相干 pour donner un motif stable de régions d'amplitude élevée (constructif) et de régions d'amplitude faible (destructif).

Cohérence

Deux sources sont cohérentes lorsqu'elles émettent des ondes avec une différence de phase constante (ce qui nécessite également la même fréquence). Deux lampes séparées ne sont pas cohérentes — leur phase change aléatoirement, tout motif clignote donc trop vite pour être vu et vous n'obtenez qu'une moyenne.

La définition d'une marque : des ondes cohérentes ont une différence de phase constante, ce qui exige la même fréquence. Elles ne doivent pas nécessairement être en phase l'une par rapport à l'autre : deux sources cohérentes émettant $180°$ l'une de l'autre donnent un motif dont la ligne centrale est un minimum. Deux lasers séparés, ou une lampe et un laser, ne sont pas cohérents même lorsque leurs fréquences coïncident, aucun motif stable ne se forme donc.

Pour obtenir de la lumière cohérente à partir d'une source, faites-la passer à travers deux fentes 狭缝 dans un dispositif à double fente 双缝. Les deux fentes sont éclairées par le même front d'onde, de sorte que les deux faisceaux conservent une relation de phase fixe.

Conditions pour un motif clair

Pour observer des franges à deux sources, il faut :

1. deux sources cohérentes (différence de phase constante).
2. des amplitudes à peu près égales (sinon les zones sombres ne sont pas très sombres).
3. les ondes se chevauchent là où vous regardez.
4. pour la lumière (une onde transversale), le même plan de polarisation 偏振.

En pratique, pour la lumière : une simple fente (ou un laser) rend les deux fentes cohérentes ; les fentes sont étroites, donc chaque fente diffracte la lumière vers la région où les deux faisceaux se chevauchent ; et les fentes sont proches l'une de l'autre avec l'écran loin, de sorte que les franges sont suffisamment larges pour être visibles.

Différence de marche

Pour deux sources cohérentes, ce qui se produit à un point dépend de la différence de marche 路程差 $\Delta x$ entre les deux ondes arrivant à cet endroit :

• constructif : $\Delta x = n\lambda$ (pour les nombres entiers $n = 0, 1, 2, \ldots$).
• destructif : $\Delta x = (n + \tfrac{1}{2})\lambda$.

La différence de marche fixe la différence de phase : une longueur d'onde de trajet correspond à $360°$. Des ondes qui ont parcouru $100\ \text{cm}$ et $80\ \text{cm}$ à partir de deux sources en phase de longueur d'onde $8.0\ \text{cm}$ arrivent avec une différence de marche de $2.5\lambda$, une différence de phase de $180°$, et s'annulent ; des micro-ondes de longueur d'onde $4\ \text{cm}$ dont les trajets diffèrent de $6\ \text{cm}$ ($1.5\lambda$) donnent un minimum, d'intensité nulle seulement si les deux amplitudes sont égales. Abaisser les fréquences des deux sources également allonge la longueur d'onde, de sorte que la même différence de marche représente un plus petit nombre de longueurs d'onde et le point n'est plus un minimum.

Expérience de Young (double fente)

Pour deux fentes espacées d'une distance $a$, avec un écran situé à une distance $D$ (supposons $D \gg a$), la lumière de longueur d'onde $\lambda$ forme des franges sur l'écran.

L'espacement des franges 条纹间距 $x$ (d'une frange 条纹 à la suivante) est

Les franges brillantes (maximum 极大) sont là où la différence de marche est un nombre entier de $\lambda$ ; les franges sombres (minimum 极小) là où elle est $(n + \tfrac{1}{2})\lambda$. Les franges sont régulièrement espacées.

Pour réduire l'espacement des franges : augmentez $a$ (fentes plus éloignées), réduisez $D$ (écran plus proche), ou utilisez une shorter $\lambda$ (lumière plus bleue).

Expliquez comment le motif de franges brillantes et sombres se forme (trois marks) : la lumière diffracte à chaque fente ; les deux faisceaux diffractés se chevauchent et se superposent ; là où la différence de marche provenant des deux fentes est un nombre entier de longueurs d'onde, les ondes arrivent en phase et interfèrent de manière constructive, donnant une frange brillante, et là où c'est un nombre impair de demi-longueurs d'onde, elles arrivent en opposition de phase et interfèrent de manière destructive, donnant une frange sombre. Une source plus lumineuse rend les franges brillantes plus intenses mais ne change pas leur espacement ; passer à une lumière bleue réduit l'espacement, donc pour maintenir le même espacement, les fentes doivent être rapprochées ; rendre chaque fente plus étroite augmente la diffraction, donc les franges apparaissent sur une région plus large, avec l'espacement inchangé.

Exemple résolu. Dans une expérience à double fente, les fentes sont $0.50\ \text{mm}$ séparées et éclairées par une lumière de longueur d'onde $600\ \text{nm}$. L'écran est $2.0\ \text{m}$ loin. Trouvez l'espacement des franges.

Exemple résolu. La lumière rouge de longueur d'onde $680\ \text{nm}$ tombe sur des fentes $0.16\ \text{mm}$ séparées. La distance entre les centres de la première et neuvième frange sombre est $3.2\ \text{cm}$. Trouvez la distance $D$ vers l'écran.

Huit espacements de frange font $3.2\ \text{cm}$, donc $x = 4.0\ \text{mm}$ et $D = ax / \lambda = (0.16 \times 10^{-3})(4.0 \times 10^{-3}) / (680 \times 10^{-9}) = 0.94\ \text{m}$. Sur un écran $5.0\ \text{cm}$ de large centré sur le motif, avec $x = 2.4\ \text{mm}$, dix franges brillantes tiennent de chaque côté de celle du centre : $21$ au total. Un graphique de $x$ contre $a$ est une courbe décroissante comme $1/a$ ; un graphique de $x$ contre $\lambda$ (ou contre $D$) est une droite passant par l'origine avec une pente de $D/a$ (ou $\lambda/a$), à partir de laquelle $a$ peut être trouvé.

Un réseau de diffraction 衍射光栅 a beaucoup de fentes équidistantes — souvent des centaines ou milliers par millimètre. Chaque fente est une source cohérente. Un maximum est vu à un angle $\theta$ depuis la normale 法线 au réseau lorsque

où $d$ est l'espacement des fentes 缝间距 (centre à centre), $n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ est l'ordre 级次, et $\lambda$ est la longueur d'onde.

Exemple résolu. Un réseau de diffraction a $500$ lignes par mm. De la lumière de longueur d'onde $600\ \text{nm}$ est projetée normalement dessus. Trouvez l'angle du maximum d'ordre premier ($n = 1$).

L'espacement des fentes est $d = \dfrac{1}{500}\ \text{mm} = 2.0 \times 10^{-6}\ \text{m}$, donc

Par rapport à la double fente, un réseau donne des maxima beaucoup plus aigus, car plus de fentes s'additionnent — chaque autre direction est annulée par de nombreuses fentes.

Pour décrire la diffraction au réseau : la lumière s'étend (diffracte) à chaque fente, et les ondes provenant de toutes les fentes se superposent ; dans les directions où la différence de marche entre les fentes voisines est un nombre entier de longueurs d'onde, elles sont toutes en phase, donc des maxima aigus se forment là et presque rien entre les deux. Un graphique de l'intensité contre l'angle est un ensemble de pics étroits à $\theta = 0$ et à $\pm\theta_{1}, \pm\theta_{2}, \ldots$, où $\sin\theta_{n} = n\lambda/d$ : régulièrement espacés en $\sin\theta$, donc légèrement plus éloignés en $\theta$ aux ordres supérieurs.

Exemple résolu. De la lumière de longueur d'onde $680\ \text{nm}$ est incidente normalement sur un réseau avec $450$ lignes par mm. Trouvez l'angle entre les deux maxima d'ordre deux.

$d = 1/450\ \text{mm} = 2.22 \times 10^{-6}\ \text{m}$, donc $\sin\theta_{2} = 2 \times 680 \times 10^{-9} / (2.22 \times 10^{-6}) = 0.612$ et $\theta_{2} = 37.7°$ ; les deux faisceaux d'ordre deux sont $2\theta_{2} = 75°$ séparés.

Espacement des fentes à partir de "lignes par mm"

Si un réseau a $N$ lignes par millimètre, alors $d = 1/N$ millimètres $= 10^{-3}/N$ mètres. Pour $450$ lignes par mm, $d = 1/450\ \text{mm} \approx 2.22\ \mu\text{m}$.

Ordre le plus élevé

Pour un réseau et une longueur d'onde donnés, $\sin\theta = n\lambda/d$ ne peut pas dépasser $1$, donc l'ordre le plus élevé observé est

Oui $d/\lambda = 3.27$, des ordres jusqu'à $n = 3$ existent ; $n = 4$ nécessiterait $\sin\theta > 1$ et n'est pas vu.

Donc le nombre total de maxima sur un grand écran est $2n_{\text{max}} + 1$ : pour $700\ \text{nm}$ lumière et $400$ lignes par mm, $d/\lambda = 3.57$, donc $n_{\text{max}} = 3$ et sept faisceaux sont vus. Une longueur d'onde plus courte donne plus d'ordres à des angles plus petits. Avec la lumière blanche, tous les ordres sauf l'ordre zéro sont un spectre, violet près du centre et rouge le plus loin, car $\theta$ augmente avec $\lambda$ ; l'ordre zéro reste blanc. Deux longueurs d'onde donnent un maximum au même angle lorsque $n_{1}\lambda_{1} = n_{2}\lambda_{2}$ : l'ordre trois de $400\ \text{nm}$ coïncide avec l'ordre deux de $600\ \text{nm}$.

Trouver $\lambda$ avec un réseau

Faire passer une lumière parallèle de longueur d'onde inconnue directement sur le réseau. Mesurez l'angle $\theta_{1}$ du maximum d'ordre premier depuis le centre. Alors $\lambda = d \sin\theta_{1}$. Répéter pour des ordres supérieurs et moyennerie réduit l'erreur.

Mesurez l'angle entre les maxima d'ordre premier des deux côtés et divisez-le par deux, ce qui annule toute erreur dans le réglage du zéro ; les ordres supérieurs donnent des angles plus grands et donc une incertitude relative plus petite ; et tracer $\sin\theta$ contre $n$ pour plusieurs ordres donne une droite passant par l'origine de pente $\lambda/d$, donc $\lambda = Gd$ (ou, pour une longueur d'onde connue, $d = \lambda/G$). Deux choses doivent être justes : $\theta$ est mesuré depuis la normale au réseau, pas depuis sa surface, et $d$ est la distance entre les lignes adjacentes, donc $400$ lignes par mm signifie $d = 2.5\ \mu\text{m}$, jamais $400$.

Une question de définition est notée selon un libellé fixe. Apprenez-les exactement et ne donnez qu'une seule réponse.

• Interférence à deux sources : constructif lorsque la différence de marche est $= n\lambda$, destructif lorsque $= (n + \tfrac{1}{2})\lambda$ ; les sources doivent être cohérentes.
• Double fente : $\lambda = ax/D$ ; réseau de diffraction : $d\sin\theta = n\lambda$ — connaître chaque symbole.
• Sur une onde stationnaire, marquez les nœuds et ventres ; les nœuds adjacents sont séparés de $\lambda/2$ ; elle stocke l'énergie mais ne la transfère pas.
• Une onde stationnaire nécessite deux ondes de même fréquence se déplaçant en sens opposé.

Erreurs courantes

• Addition des amplitudes ou intensités selon le principe de superposition. Les déplacements s'additionnent ; l'intensité découle ensuite du carré de l'amplitude résultante.
• "Les nœuds adjacents sont séparés d'une longueur d'onde." Demi-longueur d'onde ; d'un nœud au ventre suivant, c'est un quart de longueur d'onde.
• Utiliser $d =$ lignes par millimètre dans $d\sin\theta = n\lambda$. Inverser : $d = 10^{-3}/N$ mètres.
• Mesurer $\theta$ depuis la surface du réseau, ou oublier que l'angle entre les deux faisceaux du premier ordre est $2\theta_{1}$.
• Écrire "en phase" pour cohérent. Cohérent signifie une différence de phase constante ; les sources peuvent être définitivement déphasées.
• Dire que l'espacement des franges change lorsque la source devient plus brillante, ou que des fentes plus étroites modifient cet espacement. La luminosité et la largeur des fentes changent le contraste et le nombre de franges visibles, mais pas $x = \lambda D/a$.