Oscillations

Une particule se déplace avec un mouvement harmonique simple 简谐运动 (MHS) lorsque son accélération 加速度 est :

• proportionnelle à son déplacement par rapport à un point d'équilibre 平衡 fixe, et
• dirigée vers ce point — opposée en signe au déplacement.

L'équation définissante est

où $x$ est le déplacement 位移 par rapport à l'équilibre et $\omega$ est une constante positive, la fréquence angulaire 角频率. Le signe moins signifie « dirigé vers l'équilibre ».

La définition de deux points. Le mouvement harmonique simple est un mouvement dans lequel l'accélération est proportionnelle au déplacement par rapport à un point fixe et est toujours dirigée vers ce point (dans la direction opposée au déplacement). Les deux parties sont nécessaires. « La signification du signe moins » : l'accélération est dans la direction opposée au déplacement — toujours vers la position d'équilibre. « Dites ce que signifie la fréquence des oscillations » : le nombre d'oscillations complètes par unité de temps.

De nombreux systèmes font cela près d'un équilibre stable : une masse sur un ressort 弹簧, un pendule 单摆 (petite oscillation), un bloc flottant poussé vers le bas, la charge sur un condensateur 电容器 dans un circuit LC, les atomes dans un solide.

Termes clés

• déplacement $x$ — distance par rapport à l'équilibre à un instant donné (un vecteur le long de la ligne de mouvement).
• amplitude 振幅 $x_{0}$ — le plus grand déplacement par rapport à l'équilibre. Toujours positif.
• période 周期 $T$ — le temps pour une oscillation complète.
• fréquence 频率 $f$ — le nombre d'oscillations par seconde ; $f = 1/T$. Unité : Hz.
• fréquence angulaire $\omega$ — $\omega = 2\pi/T = 2\pi f$. Unité : $\text{rad s}^{-1}$.
• différence de phase 相位差 — la fraction d'un cycle (en radians) par laquelle une oscillation précède ou retarde une autre. Un quart de cycle d'écart correspond à une différence de phase de $\pi/2$.

Donc $T = 2\pi/\omega$ et $f = \omega/(2\pi)$ — étant donné l'un quelconque de $\omega$, $f$, $T$ vous pouvez trouver les autres.

Exemple résolu. Une masse sur un ressort oscille avec un MHS d'amplitude $0.050\ \text{m}$ et de fréquence $2.5\ \text{Hz}$. Trouver son accélération maximale.

La fréquence angulaire est $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 2.5 = 15.7\ \text{rad s}^{-1}$. L'accélération est maximale aux extrémités, où $|a| = \omega^{2}x_{0}$ :

Montrer qu'un mouvement est harmonique simple

La dérivation préférée des examens, et la recette est toujours la même : (1) déplacer l'objet d'une distance $x$ par rapport à l'équilibre ; (2) trouver la force résultante restauratrice, qui s'avère être $F = -(\text{constant}) \times x$ ; (3) appliquer la deuxième loi de Newton, $a = F/m = -(\text{constant}/m)\,x$ ; (4) cela a la forme $a = -\omega^{2}x$, donc le mouvement est harmonique simple avec $\omega^{2} = \text{constant}/m$, et $T = 2\pi/\omega$. Expliquez en mots pourquoi la force pointe vers l'équilibre et pourquoi elle est proportionnelle à $x$ — ce sont les points, pas l'algèbre.

Exemple résolu. Une masse $m$ est suspendue à un ressort de constante de raideur $k$. Montrez que, lorsqu'elle est déplacée et relâchée, elle se déplace avec un mouvement harmonique simple, et trouvez la période.

À l'équilibre, la tension du ressort équilibre le poids. Déplacer la masse d'une distance $x$ vers le bas : la tension augmente de $kx$ (loi de Hooke), donc il y a une force résultante $kx$ vers le haut, vers l'équilibre. Deuxième loi de Newton : $a = -\dfrac{k}{m}x$. Cela est $a = -\omega^{2}x$ avec $\omega^{2} = k/m$, donc le mouvement est harmonique simple et $T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{m/k}$. (Un chariot maintenu entre deux ressorts identiques a les deux qui le tirent vers l'intérieur, $F = -2kx$, donc $\omega^{2} = 2k/m$.)

Exemple résolu. Un bloc cuboïde de section transversale $A$ et de masse $m$ flotte dans un liquide de densité $\rho$ avec sa base à une profondeur $h$ sous la surface. Il est poussé vers le bas d'une petite distance $x$ et relâché. Montrez qu'il oscille avec un mouvement harmonique simple et trouvez la période en termes de $h$ et $g$.

Lorsque le bloc est poussé vers le bas par $x$, un volume supplémentaire $Ax$ est immergé, donc la poussée d'Archimède 浮力 augmente du poids de ce liquide supplémentaire, $\rho g A x$ ; cette force supplémentaire agit vers le haut, vers la position d'équilibre. Donc $a = -\dfrac{\rho g A}{m}x$ : proportionnelle à $x$ et de direction opposée, donc le mouvement est harmonique simple avec $\omega^{2} = \rho g A/m$. À l'équilibre, la poussée d'Archimède sur le volume immergé $Ah$ égale le poids, $\rho g A h = mg$, donc $m = \rho A h$ et $\omega^{2} = g/h$ : $T = 2\pi\sqrt{h/g}$ — la même forme qu'un pendule de longueur $h$.

Exemple résolu. Un tube en U de section transversale $A$ contient un liquide de densité $\rho$ ; la colonne dans chaque bras a une longueur $L$. Le liquide est déplacé de sorte qu'une surface est $x$ au-dessus de son niveau d'équilibre et l'autre $x$ en dessous. Montrez que le liquide oscille avec un mouvement harmonique simple.

Les deux surfaces diffèrent maintenant en hauteur de $2x$, donc une colonne de liquide de hauteur $2x$ est déséquilibrée : la force restauratrice sur le liquide est le poids de cette colonne, $2x\rho g A$, dirigée pour égaliser les surfaces. La masse en mouvement est l'ensemble du liquide, $2L\rho A$. Donc $a = -\dfrac{2x\rho g A}{2L\rho A} = -\dfrac{g}{L}x$ : harmonique simple, avec $\omega^{2} = g/L$ et $T = 2\pi\sqrt{L/g}$. Notez que $\rho$ et $A$ s'annulent — la période ne dépend ni du liquide ni du tube.

Si la particule part de $x = 0$ se déplaçant dans la direction positive à $t = 0$, alors

La dérivée une fois donne la vitesse 速度 :

où $v_{0} = x_{0} \omega$ est la vitesse maximale (lorsque la particule passe par l'équilibre).

La dérivée encore une fois donne l'accélération :

qui est à nouveau l'équation définissante du MHS. (Si la particule commence plutôt à la position extrême $x = x_{0}$ à $t = 0$, utilisez $x = x_{0} \cos(\omega t)$. Choisissez celle qui correspond aux conditions initiales.)

Vitesse en fonction du déplacement

Une relation utile qui n'utilise pas le temps :

• à l'équilibre ($x = 0$) : $v = \pm \omega x_{0}$ (vitesse maximale). Les deux signes, car la particule passe par l'équilibre deux fois par cycle.
• aux extrémités ($x = \pm x_{0}$) : $v = 0$ (au repos pendant un instant).

Exemple résolu. La même oscillation a une amplitude $x_{0} = 0.050\ \text{m}$ et une fréquence angulaire $\omega = 15.7\ \text{rad s}^{-1}$. Trouver la vitesse lorsque le déplacement est $x = 0.030\ \text{m}$.

Lire le graphique $v$–$x$. Sa largeur donne l'amplitude ($x = \pm x_{0}$ où $v = 0$) et sa hauteur la vitesse maximale ($v = \pm\omega x_{0}$ à $x = 0$), donc $\omega = v_{0}/x_{0}$ et la période s'en déduit. Demande de dessiner $a$ en fonction de $x$ sur les mêmes axes, tracer la droite passant par l'origine avec une pente négative $-\omega^{2}$, atteignant $\mp\omega^{2}x_{0}$ à $x = \pm x_{0}$.

Exemple résolu. La vitesse d'un bloc oscillant varie avec le temps selon $v = 0.56\sin(5.1t)$, avec $v$ en $\text{m s}^{-1}$ et $t$ en secondes. Trouvez l'amplitude, la période et l'accélération maximale.

Comparez avec $v = v_{0}\sin\omega t$ : $v_{0} = 0.56\ \text{m s}^{-1}$ et $\omega = 5.1\ \text{rad s}^{-1}$. Puisque $v_{0} = \omega x_{0}$, l'amplitude est $x_{0} = 0.56/5.1 = 0.11\ \text{m}$ ; $T = 2\pi/\omega = 1.2\ \text{s}$ ; $a_{\text{max}} = \omega^{2}x_{0} = \omega v_{0} = 5.1 \times 0.56 = 2.9\ \text{m s}^{-2}$. (Comme cette $v$ est un sinus, le bloc se trouvait à une extrémité à $t = 0$ : son déplacement est un cosinus.)

MHS comme ombre du mouvement circulaire. Une boule se déplaçant sur un cercle de rayon $R$ à la vitesse angulaire $\omega$, éclairée latéralement, projette une ombre qui oscille de va-et-vient selon un mouvement harmonique simple d'amplitude $R$ et de même $\omega$ : le déplacement de l'ombre est $x = R\cos\omega t$ (si elle part d'une extrémité), sa vitesse maximale est $R\omega$ et son accélération maximale $R\omega^{2}$. Pour un cercle de diamètre $0.46\ \text{m}$ et $\omega = 1.9\ \text{rad s}^{-1}$, l'ombre a une amplitude $0.23\ \text{m}$, $v_{0} = 0.44\ \text{m s}^{-1}$ et $a_{\text{max}} = 0.83\ \text{m s}^{-2}$ — la plus grande aux deux extrémités de son trajet et toujours dirigée vers le centre.

Graphiques en fonction du temps

Pour $x = x_{0}\sin\omega t$ :

• $x$ vs $t$ — une courbe sinusoïdale, amplitude $x_{0}$, période $T = 2\pi/\omega$.
• $v$ vs $t$ — une courbe cosinusoïdale, en avance de phase sur $x$ de $\pi/2$, amplitude $\omega x_{0}$.
• $a$ vs $t$ — une courbe sinusoidale négative, déphasée par rapport à $x$ de $\pi$ (180°), amplitude $\omega^{2} x_{0}$.

Graphique de $a$ en fonction de $x$

Une droite passant par l'origine avec une pente négative $-\omega^{2}$. Vous pouvez donc lire $\omega$ depuis le graphique : pente $= -\omega^{2}$, donc $\omega = \sqrt{|\text{gradient}|}$, puis $T = 2\pi / \omega$. C'est un type de question fréquent aux examens.

Exemple résolu. Un graphique de la hauteur $h$ d'un objet de masse $36\ \text{kg}$ subissant un mouvement harmonique vertical montre $h$ variant entre $2\ \text{m}$ et $10\ \text{m}$, avec une oscillation complète toutes les $4.0\ \text{s}$. Trouvez l'amplitude, la pulsation, la vitesse maximale, l'accélération maximale et l'énergie cinétique maximale.

Amplitude $x_{0} = (10 - 2)/2 = 4.0\ \text{m}$ (la moitié de la plage crête à crête ; la hauteur d'équilibre est $6\ \text{m}$). $\omega = 2\pi/T = 2\pi/4.0 = 1.57\ \text{rad s}^{-1}$. $v_{\text{max}} = \omega x_{0} = 6.3\ \text{m s}^{-1}$ ; $a_{\text{max}} = \omega^{2}x_{0} = 9.9\ \text{m s}^{-2}$ ; $E_{\text{K,max}} = \tfrac{1}{2}mv_{\text{max}}^{2} = \tfrac{1}{2} \times 36 \times 6.28^{2} = 7.1 \times 10^{2}\ \text{J}$. Confondre l'amplitude avec la hauteur totale au lieu de la moitié est l'erreur la plus fréquente ici.

Exemple résolu. Un petit objet repose sur une plateforme horizontale qui oscille verticalement selon un mouvement harmonique simple d'amplitude $6.0\ \text{mm}$. Trouvez la fréquence maximale à laquelle l'objet reste en contact avec la plateforme tout au long du mouvement, et indiquez à quel moment du mouvement le contact est perdu en premier.

L'objet quitte la plateforme lorsque l'accélération descendante de la plateforme dépasse $g$ — au haut de l'oscillation, où l'accélération est maximale et dirigée vers le bas : la plateforme tombe alors plus vite que l'objet ne peut suivre. La limite est $\omega^{2}x_{0} = g$ : $\omega = \sqrt{9.81/0.0060} = 40\ \text{rad s}^{-1}$, donc $f = \omega/2\pi = 6.4\ \text{Hz}$. En dessous, la force normale de contact en haut est petite mais positive ; au-dessus, elle est nulle.

Un oscillateur harmonique simple alterne continuellement l'énergie entre deux formes :

• énergie cinétique 动能 $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$.
• énergie potentielle $E_{\text{P}}$ (élastique pour un ressort, gravitationnelle pour un pendule).

En l'absence de amortissement 阻尼, l'énergie totale est constante (c'est la conservation de l'énergie 能量守恒).

Maximum et minimum

• à l'équilibre ($x = 0$) : $v$ est maximal, donc $E_{\text{K}}$ est maximal et $E_{\text{P}}$ est minimal (nul, par choix).
• aux extrémités ($x = \pm x_{0}$) : $v = 0$, donc $E_{\text{K}} = 0$ et $E_{\text{P}}$ sont maximaux.

Énergie totale

En utilisant $v_{\text{max}} = \omega x_{0}$ :

Deux faits clés : l'énergie totale est proportionnelle au carré de l'amplitude (doubler $x_{0}$ multiplie l'énergie par quatre), et à $\omega^{2}$.

Énergie en fonction du déplacement

En utilisant $v^{2} = \omega^{2}(x_{0}^{2} - x^{2})$ :

Ainsi $E_{\text{K}}$ est une parabole inversée (sommet à $x = 0$, zéro à $x = \pm x_{0}$) et $E_{\text{P}}$ est une parabole ouverte vers le haut (zéro à $x = 0$, maximal à $x = \pm x_{0}$). Leur somme est constante.

Exemple résolu. Une masse $0.20\ \text{kg}$ oscille avec une amplitude $x_{0} = 0.050\ \text{m}$ et une pulsation $\omega = 15.7\ \text{rad s}^{-1}$. Trouvez l'énergie totale de l'oscillation.

L'énergie totale est égale à l'énergie cinétique maximale, lorsque la masse passe par $x = 0$ à $v_{\text{max}} = \omega x_{0}$ :

Ceci reste constant, alternant entre forme cinétique et potentielle deux fois par cycle.

Décrire l'échange sans calcul. À une extrémité du mouvement, l'oscillateur est momentanément au repos : son énergie cinétique est nulle et son énergie potentielle est maximale. En se dirigeant vers l'équilibre, la force de rappel effectue un travail sur lui, transformant ainsi l'énergie potentielle en énergie cinétique ; à la position d'équilibre, l'énergie cinétique est maximale et l'énergie potentielle minimale. Au-delà, l'énergie cinétique redevient potentielle jusqu'à l'autre extrémité. L'énergie totale reste constante, et l'échange a lieu deux fois par oscillation, donc les graphiques d'énergie en fonction du temps ont une fréquence double de celle du graphique de déplacement.

Exemple résolu. Une bille de pendule de masse $0.81\ \text{kg}$ oscille avec de petites oscillations d'amplitude $32\ \text{mm}$ et de période $1.9\ \text{s}$. Trouvez l'énergie totale de l'oscillation, et indiquez ce qu'il advient si l'amplitude chute à $16\ \text{mm}$.

$\omega = 2\pi/1.9 = 3.31\ \text{rad s}^{-1}$ ; $E = \tfrac{1}{2}m\omega^{2}x_{0}^{2} = \tfrac{1}{2} \times 0.81 \times 3.31^{2} \times 0.032^{2} = 4.5 \times 10^{-3}\ \text{J}$. Réduire l'amplitude de moitié réduit l'énergie d'un facteur quatre ($E \propto x_{0}^{2}$), soit $1.1 \times 10^{-3}\ \text{J}$ ; la différence a été dissipée sous forme d'énergie thermique par la résistance de l'air.

Une force résistive (frottement 摩擦力, traînée 阻力, résistance de l'air 空气阻力) provoque un amortissement — l'amplitude diminue avec le temps alors que l'énergie est perdue sous forme de chaleur. Trois cas nommés :

Amortissement faible

L'amplitude diminue lentement sur de nombreux cycles (un cas d'amortissement faible 轻阻尼). Le système oscille encore près de sa fréquence propre, mais chaque cycle est plus petit que le précédent. La suspension d'une voiture est faiblement à moyennement amortie, afin que les bosses disparaissent tout en gardant une conduite douce.

Amortissement critique

Le moindre amortissement permettant au système de revenir à l'équilibre sans dépassement ni oscillation — un cas d'amortissement critique 临界阻尼. Il revient dans le temps le plus court possible. Un galvanomètre 检流计 ou un voltmètre analogique 电压表 est critiquement amorti afin que l'aiguille se stabilise rapidement.

Amortissement fort

Tant de résistance que le système revient lentement, sans oscillation, mais plus lentement que le cas critique — un cas d'amortissement fort 过阻尼. Une porte munie d'un ferme-porte puissant est fortement amortie.

Sur un graphique déplacement-temps : l'amortissement faible est une onde dont l'amplitude s'estompe régulièrement ; l'amortissement critique revient rapidement sans dépassement ; l'amortissement fort revient lentement.

Ce qu'on attend aux examens. L'amortissement est la diminution de l'amplitude d'une oscillation causée par une force résistive qui dissipe l'énergie de l'oscillateur. Dans un amortissement faible, le système oscille avec une amplitude qui diminue progressivement (exponentiellement) avec le temps ; la période reste presque inchangée. Dans un amortissement critique, le système revient à l'équilibre dans le temps le plus court possible sans osciller. Dans un amortissement fort, il revient à l'équilibre lentement, sans osciller. Pour les dessiner : la courbe à amortissement faible est une onde sinusoïdale contenue dans une enveloppe décroissante ; les courbes critiques et fortes tendent vers zéro sans traverser l'axe, celle à amortissement fort étant plus lente.

Exemple résolu. Un barreau aimanté est suspendu à un ressort, l'une de ses pôles étant à l'intérieur d'une bobine connectée via un interrupteur à une résistance. L'aimant est mis en oscillation. Expliquez pourquoi les oscillations s'amortissent plus rapidement lorsque l'interrupteur est fermé.

L'aimant en mouvement modifie le flux magnétique reliant la bobine, induisant ainsi une f.e.m. (loi de Faraday) ; avec l'interrupteur fermé, un courant traverse la résistance et dissipe de l'énergie sous forme de chaleur. D'après la loi de Lenz, le courant induit s'oppose au mouvement de l'aimant — c'est une force résistive supplémentaire. Cette énergie provient de l'oscillation, donc l'amplitude diminue plus vite : le circuit ajoute de l'amortissement. Avec l'interrupteur ouvert, il y a une f.e.m. mais pas de courant, donc aucune perte d'énergie supplémentaire.

Une oscillation forcée 受迫振动 est entraînée par une force périodique extérieure à une fréquence $f_{\text{d}}$ choisie par l'expérimentateur. Le système oscille alors à cette fréquence d'entraînement 驱动频率 $f_{\text{d}}$, et non à sa propre fréquence naturelle. Un graphique de l'amplitude en fonction de $f_{\text{d}}$ est une courbe de résonance 共振曲线 présentant un pic.

Résonance

Résonance 共振 se produit lorsque la fréquence d'entraînement est égale à la fréquence propre 固有频率 $f_{0}$. À la résonance, l'amplitude est maximale et le transfert d'énergie depuis le moteur est le plus efficace.

La résonance peut détruire. En 1940, le vent a poussé le pont de Tacoma Narrows vers sa fréquence propre ; avec peu d'amortissement, les torsions ont augmenté jusqu'à ce que le tablier se déchire. Les ingénieurs conçoivent désormais les ponts et les bâtiments de sorte que leurs fréquences propres évitent ces forces d'entraînement.

Exemples :

• une balançoire poussée au bon rythme accumule une grande amplitude.
• un verre à vin brisé par un son à sa fréquence de résonance.
• un bâtiment secoué par un séisme dont la fréquence correspond à une fréquence propre — les ingénieurs conçoivent les bâtiments de sorte que leurs fréquences propres évitent la plage principale des séismes.

La forme du pic dépend de l'amortissement : amortissement plus léger → un pic plus étroit et plus élevé ; amortissement plus fort → un pic plus large et plus bas, légèrement décalé vers une fréquence inférieure.

Définition sur deux points. La résonance est la condition dans laquelle un système est forcé d'osciller à sa fréquence propre, et l'amplitude de l'oscillation est maximale (le transfert d'énergie depuis le moteur est le plus grand). Les deux parties — fréquence d'entraînement égale à la fréquence propre, et amplitude maximale — sont nécessaires.

Exemple résolu. Une balle sur une corde tendue a une fréquence propre de $4.0\ \text{Hz}$. La corde est entraînée par un générateur de vibrations dont la fréquence augmente lentement de $0$ à $10\ \text{Hz}$. Esquissez la variation de l'amplitude de la balle en fonction de la fréquence d'entraînement, et indiquez l'effet de l'ajout d'un amortissement.

La courbe commence à une petite amplitude non nulle à basse fréquence, monte vers un pic étroit à $4.0\ \text{Hz}$, puis s'aplatit vers zéro à haute fréquence ; le pic est à la fréquence propre, et c'est seulement là que l'amplitude est maximale. Un amortissement plus important rend le pic plus bas et plus large et le décale légèrement vers une fréquence inférieure ; l'amplitude loin de la résonance ne change guère.

Une question de définition est notée selon un libellé fixe. Apprenez-les exactement et ne donnez qu'une seule réponse.

• La condition MHS est $a = -\omega^2 x$ (accélération proportionnelle au déplacement, dirigée vers l'équilibre) ; pour montrer qu'un mouvement est MHS, trouvez la force de rappel, montrez qu'elle est proportionnelle à $x$ et dirigée vers l'intérieur, et lisez $\omega^{2}$.
• Apprenez $x = x_0\sin\omega t$ (ou cos), $v_{max} = \omega x_0$, $a_{max} = \omega^2 x_0$ et $v = \pm\omega\sqrt{x_0^2 - x^2}$ ; l'énergie cinétique et l'énergie potentielle s'échangent avec l'énergie totale constante, $E = \tfrac{1}{2}m\omega^{2}x_{0}^{2} \propto x_{0}^{2}$.
• La vitesse est nulle aux extrémités et maximale au centre ; l'accélération est la plus grande aux extrémités et nulle au centre.
• L'amplitude est la moitié de la portée crête à crête d'un graphique de déplacement ; $\omega$ provient de la période, ou de la pente de $a$–$x$, ou de $v_{0}/x_{0}$.
• La résonance se produit lorsque la fréquence d'entraînement est égale à la fréquence propre ; l'amortissement abaisse et élargit le pic.

Erreurs courantes

• Définir le MHS comme une « oscillation autour d'une position d'équilibre ». Le barème exige que l'accélération soit proportionnelle au déplacement et dirigée vers le point fixe.
• Dire que le signe moins signifie que l'accélération est négative. Cela signifie que l'accélération est opposée en direction au déplacement.
• Tracer $v$ en fonction de $x$ comme une ligne droite. C'est une ellipse ; $a$ en fonction de $x$ est la ligne droite.
• Prendre l'amplitude comme toute la portée du déplacement. C'est la moitié de la portée.
• Définir la résonance comme « une grande amplitude ». C'est une oscillation forcée à la fréquence propre, donnant l'amplitude maximale.
• Appeler l'amortissement critique « aucun amortissement », ou l'amortissement fort « le retour le plus rapide ». L'amortissement critique est le retour le plus rapide sans oscillation ; l'amortissement fort est plus lent.