Champs gravitationnels

Définition

Un champ gravitationnel 重力场 est une région où une masse 质量 ressent une travail 力 provenant d'autres masses. L'intensité du champ gravitationnel 重力场强度 $g$ en un point est la force gravitationnelle par unité de masse sur une petite masse d'épreuve 检验质量 placée là :

Unité : $\text{N kg}^{-1}$ (la même que $\text{m s}^{-2}$ — l'accélération de chute libre dans le champ). $g$ est un vecteur 矢量, pointant dans le sens de la force — vers la masse source.

La formulation de l'examinateur. Un champ gravitationnel est une région de l'espace où une masse subit une force. Intensité du champ gravitationnel en un point est la force gravitationnelle par unité de masse agissant sur une petite masse d'épreuve placée en ce point. La direction d'une ligne de champ en un point est la direction de la force sur une (petite masse d'épreuve) placée là. Les trois sont des définitions valant une marque ; « force par unité de masse » est l'expression attendue, « la force sur 1 kg » ne suffit pas.

Lignes de champ

Un champ gravitationnel est représenté par des lignes de champ 场线 pointant dans le sens de la force sur une masse d'épreuve :

• autour d'une masse ponctuelle 质点 ou d'une sphère uniforme (traitée comme une masse ponctuelle depuis l'extérieur), les lignes de champ sont radiales 径向, pointant vers l'intérieur.
• près de la surface de la Terre sur une petite zone, les lignes de champ sont presque parallèles et régulièrement espacées, pointant tout droit vers le bas — un champ uniforme 匀强场.

Des lignes plus rapprochées indiquent un champ plus intense.

Pourquoi $g$ est constant près de la surface, en termes de lignes de champ (explication de deux marques) : sur une région dont la taille est petite comparée au rayon de la Terre, les lignes de champ radiales sont presque parallèles et leur espacement varie peu avec l'altitude, donc l'intensité du champ — que représente cet espacement — est presque identique en haut et en bas de la région. Sur toute la planète, les lignes s'écartent avec la distance et le champ diminue.

Exemple résolu. Un point P représente une masse ponctuelle. Dessiner des lignes représentant le champ gravitationnel autour de P, et indiquer ce que la direction d'une ligne montre.

Lignes droites radiales, régulièrement espacées autour de P, avec des flèches pointant vers l'intérieur vers P. La direction d'une ligne est la direction de la force sur une petite masse d'épreuve placée là — toujours vers la masse produisant le champ, car la gravité n'attire que.

Pour deux masses ponctuelles $m_{1}, m_{2}$ séparées par une distance $r$, la force sur chacune est

les tirant l'une vers l'autre le long de la droite les joignant. C'est la loi de gravitation universelle de Newton 万有引力定律. La constante $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\ \text{kg}^{-2}$ est la constante gravitationnelle universelle 万有引力常量.

En mots, comme le barème l'exige : la force gravitationnelle entre deux masses ponctuelles est proportionnelle au produit de leurs masses et inversement proportionnelle au carré de leur séparation — les deux proportions, et « masses ponctuelles ». On demande de « donner l'équation et la signification des autres symboles », donner $F = Gm_{1}m_{2}/r^{2}$ avec $G$ la constante gravitationnelle et $r$ la distance entre les centres.

Exemple résolu. Deux sphères isolées uniformes, chacune de masse $1.0 \times 10^{3}\ \text{kg}$, ont leurs centres séparés de $2.0\ \text{m}$. Trouver la force gravitationnelle entre elles et commenter son ampleur.

$F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 1.0 \times 10^{3} \times 1.0 \times 10^{3}}{2.0^{2}} = 1.7 \times 10^{-5}\ \text{N}$. C'est environ $10^{-9}$ du poids de chaque sphère ($9.8 \times 10^{3}\ \text{N}$) : la gravité entre objets quotidiens est négligeable, et seule une masse de taille planétaire produit un champ notable. « Isolées » dans une question signifie qu'aucune autre masse n'a besoin d'être considérée.

Sphères traitées comme des masses ponctuelles

Pour une sphère uniforme (telle qu'une planète ou une étoile), le champ en tout point extérieur est identique à celui d'une masse ponctuelle égale à la masse totale placée au centre. Donc depuis au-dessus de la surface, on peut traiter la Terre comme une masse ponctuelle à son centre. (Les points intérieurs à une sphère sont différents et ne font pas partie du programme.)

Entre deux masses, les champs se soustraitent et les potentiels s'additionnent. L'intensité du champ est un vecteur : sur la droite joignant deux sphères, les deux champs pointent dans des directions opposées, donc il existe un point où ils s'annulent et le champ résultant est nul. Le potentiel est un scalaire : les deux potentiels s'additionnent simplement, et tous deux sont négatifs, donc le potentiel est le moins négatif (un maximum) au point où le champ est nul.

Exemple résolu. Deux sphères isolées identiques et uniformes X et Y, chacune de masse $M$ et de rayon $R$, ont leurs centres espacés d'une distance $L$. Le point P se trouve sur la ligne joignant les centres. Indiquez où sur cette ligne l'intensité du champ résultant est nulle, et calculez le potentiel gravitationnel à cet endroit.

Par symétrie, les champs de X et Y sont égaux et opposés au point milieu, à $L/2$ de chaque centre ; le champ résultant y est donc nul. Le potentiel en P est la somme $\phi = -\dfrac{GM}{L/2} - \dfrac{GM}{L/2} = -\dfrac{4GM}{L}$. Une masse relâchée en P y resterait ; une masse relâchée ailleurs sur la ligne tombera vers la sphère la plus proche.

Intensité du champ provenant d'une masse ponctuelle

Exprimez la force gravitationnelle agissant sur une masse test $m$ située à une distance $r$ d'une masse ponctuelle $M$ dans $g = F/m$ :

Ainsi $g$ décroît comme $1/r^{2}$ lorsque vous vous éloignez de la source.

Démonstration valant deux points. La force agissant sur une masse test $m$ à une distance $r$ d'une masse ponctuelle $M$ est $F = GMm/r^{2}$ (loi de Newton). L'intensité du champ est la force par unité de masse, $g = F/m$, donc $g = GM/r^{2}$. Écrivez les deux lignes : la loi et la définition constituent les deux points. Puisque $g \propto 1/r^{2}$, diviser la distance par deux rend le champ quatre fois plus intense : à une distance $x/2$, le champ est $4g$, dans la même direction, vers $M$.

Exemple résolu. Calculez l'intensité du champ gravitationnel à la surface de la Terre. (Masse de la Terre $M = 6.0 \times 10^{24}\ \text{kg}$, rayon $R = 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$, $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\ \text{kg}^{-2}$.)

Pourquoi $g$ est quasi constant près de la surface de la Terre

Le rayon de la Terre est $R \approx 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$. Monter à une hauteur $h$ change la distance au centre de $R$ à $R + h$. Pour $h \ll R$ (n'importe quel bâtiment ou montagne), $(R + h)/R \approx 1$, donc $g$ change très peu — passer de $5\ \text{m}$ à $10\ \text{m}$ de hauteur modifie $r$ d'environ une partie sur un million. En laboratoire, $g$ est pratiquement constant.

Pour un satellite 卫星 de masse $m$ en orbite 轨道 circulaire de rayon $r$ autour d'un corps de masse $M$, la gravité fournit la force centripète 向心力 :

Simplifiez $m$ (la vitesse orbitale ne dépend pas de la masse du satellite) :

Exemple corrigé. Un satellite orbite autour de la Terre sur une orbite circulaire de rayon $r = 7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$. Trouvez sa vitesse orbitale. (Pour la Terre, $GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$.)

La période 周期 découle de $T = 2\pi r / v$ :

Ceci est la loi de Kepler III 开普勒第三定律 pour les orbites circulaires : $T^{2} \propto r^{3}$. Un graphique de $T^{2}$ en fonction de $r^{3}$ est une droite passant par l'origine avec une pente $4\pi^{2}/(GM)$, ainsi les données orbitales permettent de déterminer la masse centrale.

La démonstration en deux points, telle que l'examen la pose. Pour un satellite de masse $m$ sur une orbite circulaire de rayon $R$ et de période $T$ autour d'une planète de masse $M$ : la force gravitationnelle fournit la force centripète, $\dfrac{GMm}{R^{2}} = mR\omega^{2}$, et $\omega = 2\pi/T$ ; donc $\dfrac{GM}{R^{2}} = \dfrac{4\pi^{2}R}{T^{2}}$, donnant $T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}R^{3}}{GM}$. Pour une orbite à une hauteur $h$ au-dessus d'une planète de rayon $R_{\text{p}}$, le rayon orbital est $R_{\text{p}} + h$, donc $T^{2} = 4\pi^{2}(R_{\text{p}} + h)^{3}/GM$ : un graphique de $T^{2}$ contre $(R_{\text{p}} + h)^{3}$ est une droite passant par l'origine dont le gradient donne $M$.

Exemple résolu. Le satellite X, de masse $M_{\text{s}}$, orbite autour d'une planète à une distance $4R$ de son centre ; le satellite Y, de masse $2M_{\text{s}}$, orbite à $3R$. Comparez leurs vitesses, périodes et énergies cinétiques.

De $v = \sqrt{GM/r}$, on tire $\dfrac{v_{\text{Y}}}{v_{\text{X}}} = \sqrt{\dfrac{4R}{3R}} = 1.15$ : Y se déplace plus vite, et les masses des satellites n'interviennent pas. De $T \propto r^{3/2}$, on tire $\dfrac{T_{\text{Y}}}{T_{\text{X}}} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{3/2} = 0.65$. L'énergie cinétique $= \tfrac{1}{2}mv^{2} = \dfrac{GMm}{2r}$, donc $\dfrac{E_{\text{Y}}}{E_{\text{X}}} = \dfrac{2M_{\text{s}}/3R}{M_{\text{s}}/4R} = \dfrac{8}{3}$. Dans les questions de ratio, simplifiez d'abord $G$, $M$ et la masse du satellite ; seuls les rayons et les masses différents subsistent.

Étoiles binaires. Deux étoiles de masses $M_{\text{A}}$ et $M_{\text{B}}$ espacées d'une distance $d$ orbitent autour de leur centre de masse 质com commun, toujours de part et d'autre de celui-ci, avec la même période. Le centre de masse divise $d$ dans le rapport inverse des masses, $M_{\text{A}}r_{\text{A}} = M_{\text{B}}r_{\text{B}}$ avec $r_{\text{A}} + r_{\text{B}} = d$, et la même force gravitationnelle $GM_{\text{A}}M_{\text{B}}/d^{2}$ est la force centripète pour chaque étoile.

Exemple résolu. Une étoile binaire se compose de l'étoile A, masse $4.0 \times 10^{30}\ \text{kg}$, et de l'étoile B, masse $2.0 \times 10^{30}\ \text{kg}$, dont les centres sont espacés de $3.3 \times 10^{11}\ \text{m}$. Calculez la distance de A au centre de masse et la période de l'orbite.

$M_{\text{A}}r_{\text{A}} = M_{\text{B}}r_{\text{B}}$ avec $r_{\text{A}} + r_{\text{B}} = 3.3 \times 10^{11}$ donne $r_{\text{A}} = \dfrac{2.0}{6.0} \times 3.3 \times 10^{11} = 1.1 \times 10^{11}\ \text{m}$ (et $r_{\text{B}} = 2.2 \times 10^{11}\ \text{m}$). Pour l'étoile A : $\dfrac{GM_{\text{A}}M_{\text{B}}}{d^{2}} = M_{\text{A}}r_{\text{A}}\omega^{2}$, donc $\omega^{2} = \dfrac{GM_{\text{B}}}{d^{2}r_{\text{A}}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30}}{(3.3 \times 10^{11})^{2} \times 1.1 \times 10^{11}} = 1.1 \times 10^{-14}\ \text{s}^{-2}$, $\omega = 1.06 \times 10^{-7}\ \text{rad s}^{-1}$ et $T = 2\pi/\omega = 6.0 \times 10^{7}\ \text{s}$, soit environ $1.9$ ans. Utiliser $d$ dans la force mais $r_{\text{A}}$ dans le terme centripète est tout l'intérêt de la question.

Orbite géostationnaire

Un satellite géostationnaire 地球同步 :

• reste directement au-dessus du même point de la Terre (ainsi une antenne fixe pointe toujours vers lui),
• a une période de 24 heures (la même que la rotation de la Terre),
• orbite d'ouest en est (dans le même sens que la rotation de la Terre),
• doit être directement au-dessus de l'équateur 赤道.

Il doit avoir la même vitesse angulaire 角速度 que la Terre, dans le même sens, dans le plan équatorial (sinon il dériverait nord-sud pendant la journée). De $T = 24\ \text{h}$ et $T^{2} = 4\pi^{2} r^{3}/(GM)$, le rayon est $r \approx 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$ (environ $3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$ au-dessus de la surface).

Exemple résolu. Calculez le rayon d'une orbite géostationnaire autour de la Terre ($M = 5.98 \times 10^{24}\ \text{kg}$), et expliquez pourquoi un satellite ayant le même rayon orbital et la même période peut néanmoins ne pas être géostationnaire.

$T = 24 \times 3600 = 8.64 \times 10^{4}\ \text{s}$ ; $r^{3} = \dfrac{GMT^{2}}{4\pi^{2}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.98 \times 10^{24} \times (8.64 \times 10^{4})^{2}}{4\pi^{2}} = 7.5 \times 10^{22}\ \text{m}^{3}$, donc $r = 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$ — une hauteur d'environ $3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$ au-dessus de la surface. Un satellite avec cette période est géostationnaire uniquement si son orbite est dans le plan de l'équateur et s'il se déplace d'ouest en est ; avec la même période sur une orbite inclinée (au-dessus des pôles, par exemple), il revient au même point chaque jour mais n'est pas toujours au-dessus. La Mars tourne une fois en environ $25$ heures, donc un satellite qui reste au-dessus d'un point sur Mars a une période de $25$ heures et les deux autres caractéristiques identiques.

Potentiel gravitationnel 引力势 $\phi$ en un point est le travail effectué par unité de masse pour amener une petite masse test de l'infini 无穷远 à ce point :

Unité : $\text{J kg}^{-1}$.

Le potentiel est pris comme nul à l'infini. Quand la masse test tombe vers la source, la gravité effectue le travail pour vous, donc $\phi$ est négatif partout sauf à l'infini. Pour une masse ponctuelle $M$ à une distance $r$ :

$\phi$ est un scalaire 标量. Pour plusieurs masses, additionnez les potentiels.

Définition valant deux points, et pourquoi elle est négative. Le potentiel gravitationnel en un point est le travail effectué par unité de masse pour amener une petite masse test de l'infini à ce point. Le potentiel est défini comme nul à l'infini ; la gravité étant attractive, lorsque la masse test arrive de l'infini, le champ effectue un travail sur elle et la masse cède de l'énergie — le travail qu'un agent externe doit fournir est négatif. Par conséquent, le potentiel à toute distance finie est inférieur à zéro. (Le potentiel électrique près d'une charge positive est positif pour la raison opposée : ce champ repousse, donc un travail doit être fourni pour amener une charge test positive.)

Similitudes et différences avec le potentiel électrique. Tous deux sont définis comme le travail effectué par unité de masse ou par unité de charge positive venant de l'infini, tous deux sont scalaires, tous deux varient comme $1/r$ depuis une source ponctuelle et tous deux sont nuls à l'infini. La différence : le potentiel gravitationnel est toujours négatif, car la gravité n'attire que, tandis que le potentiel électrique peut être positif ou négatif selon le signe de la charge.

Lecture d'un graphique de potentiel. Deux graphiques apparaissent dans les questions. Sur $\phi$ en fonction de $r$, la courbe est $-GM/r$ : la valeur de surface $\phi_{\text{s}} = -GM/R$ donne la masse de la planète, et la pente en tout point donne l'intensité du champ là-bas, puisque $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$ — l'intensité du champ est l'opposé du gradient de potentiel (c'est la « relation entre potentiel et intensité du champ » qu'une question peut demander). Sur $\phi$ en fonction de $1/r$, le graphique est une droite passant par l'origine avec une pente $-GM$, ce qui est la méthode plus propre pour extraire $M$.

Exemple résolu. La Lune est une sphère isolée uniforme de masse $7.3 \times 10^{22}\ \text{kg}$ et de rayon $1.7 \times 10^{6}\ \text{m}$. Calculez le potentiel gravitationnel à sa surface, et la vitesse minimale avec laquelle une particule doit quitter la surface pour s'échapper.

$\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.3 \times 10^{22}}{1.7 \times 10^{6}} = -2.9 \times 10^{6}\ \text{J kg}^{-1}$. Pour s'échapper, l'énergie cinétique par unité de masse de la particule doit égaler la profondeur du puits de potentiel : $\tfrac{1}{2}v^{2} = 2.9 \times 10^{6}$, donc $v = \sqrt{2 \times 2.9 \times 10^{6}} = 2.4 \times 10^{3}\ \text{m s}^{-1}$. Le signe moins porte le sens : une énergie de $2.9\ \text{MJ}$ par kilogramme doit être fournie pour soulever la particule hors du puits.

Énergie potentielle gravitationnelle de deux masses ponctuelles

Si une masse test $m$ se trouve là où le potentiel est $\phi$, l'énergie potentielle gravitationnelle 重力势能 du couple est

Comme le potentiel, $E_{\text{P}}$ est négatif et n'atteint zéro qu'à une séparation infinie. Les masses proches ont une énergie potentielle plus négative (plus fortement liées).

Lien avec $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$

Pour de petites variations de hauteur près de la surface, $r$ change peu, donc $\Delta E_{\text{P}} \approx mg\Delta h$. Pour de grandes variations (un satellite passant à une orbite plus élevée), utilisez $-GMm/r$ à chaque rayon et prenez la différence :

ce qui est positif (de l'énergie doit être fournie pour élever le satellite).

Exemple résolu. Un satellite de masse $1200\ \text{kg}$ est déplacé d'une orbite circulaire de rayon $7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ vers une orbite de rayon $8.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ autour de la Terre ($GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$). Trouvez les changements dans son énergie potentielle gravitationnelle, son énergie cinétique et son énergie totale.

$\Delta E_{\text{P}} = GMm\left(\dfrac{1}{r_{1}} - \dfrac{1}{r_{2}}\right) = 4.0 \times 10^{14} \times 1200 \times \left(\dfrac{1}{7.0 \times 10^{6}} - \dfrac{1}{8.0 \times 10^{6}}\right) = +8.6 \times 10^{9}\ \text{J}$. Dans une orbite circulaire $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2}mv^{2} = \dfrac{GMm}{2r}$, donc $\Delta E_{\text{K}} = \dfrac{GMm}{2}\left(\dfrac{1}{r_{2}} - \dfrac{1}{r_{1}}\right) = -4.3 \times 10^{9}\ \text{J}$ : le satellite plus élevé se déplace plus lentement. L'énergie totale $E_{\text{K}} + E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{2r}$ augmente de $+4.3 \times 10^{9}\ \text{J}$, qui est l'énergie que le moteur-fusée doit fournir. L'énergie totale d'un satellite est négative — il est lié — et elle devient moins négative lorsque l'orbite s'élargit.

Vitesse d'échappement (par conservation de l'énergie)

Pour s'échapper du rayon $r$ jusqu'à l'infini, l'énergie cinétique 动能 d'un objet doit être égale à la valeur absolue de son énergie potentielle gravitationnelle :

À la surface de la Terre, la vitesse d'échappement 逃逸速度 est $\approx 11\ \text{km s}^{-1}$. Elle ne dépend pas de la masse de l'objet.

Exemple résolu. Calculez la vitesse d'échappement depuis la surface de la Terre. (Pour la Terre, $GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$, $R = 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$.)

Exemple résolu. Une particule est projetée verticalement vers le haut depuis la surface d'une planète isolée de rayon $R$, où le potentiel gravitationnel est $\phi_{\text{s}}$. Montrez qu'elle atteint juste une distance $r$ du centre si sa vitesse de lancement $v$ satisfait $\tfrac{1}{2}v^{2} = -\phi_{\text{s}}\left(1 - \dfrac{R}{r}\right)$, et en déduisez la vitesse d'échappement.

Le potentiel varie comme $1/r$, donc à une distance $r$ il est $\phi_{\text{s}}R/r$. Lorsque la particule s'arrête, son énergie cinétique par unité de masse est toute convertie en énergie potentielle par unité de masse : $\tfrac{1}{2}v^{2} = \phi(r) - \phi_{\text{s}} = \phi_{\text{s}}\dfrac{R}{r} - \phi_{\text{s}} = -\phi_{\text{s}}\left(1 - \dfrac{R}{r}\right)$, ce qui est positif car $\phi_{\text{s}}$ est négatif. En posant $r \to \infty$, on obtient $\tfrac{1}{2}v_{\text{esc}}^{2} = -\phi_{\text{s}} = GM/R$ — le résultat de la vitesse d'échappement encore une fois, lu directement sur le potentiel.

Une question de définition est notée selon un libellé fixe. Apprenez-les exactement et ne donnez qu'une seule réponse.

• Loi de la gravitation de Newton $F = GMm/r^2$ (inverse-carré) ; intensité du champ $g = GM/r^2$ — et citer la dérivation en deux lignes, la loi et la définition de $g$.
• Disteguer le potentiel gravitationnel ($\phi = -GM/r$, toujours négatif, nul à l'infini) de l'intensité du champ ; $g$ est le gradient négatif du graphique $\phi$–$r$.
• Pour une orbite, poser la gravité $=$ force centripète pour obtenir $T^2 \propto r^3$ ; une orbite géostationnaire a $T = 24\ \text{h}$ plus deux autres caractéristiques : au-dessus de l'équateur, d'ouest en Est.
• Utiliser le rayon orbital (centre à centre, $R_{\text{p}} + h$), jamais la hauteur, et pour une étoile binaire, la séparation $d$ dans la force mais le rayon orbital $r_{\text{A}}$ dans le terme centripète.
• Les changements d'énergie proviennent de $-GMm/r$ à chaque rayon ; pour une orbite circulaire $E_{\text{K}} = GMm/2r$ et l'énergie totale est $-GMm/2r$.

Erreurs courantes

• Définir le potentiel comme « force par unité de masse » ou l'intensité du champ comme « travail effectué par unité de masse ». Les inverser et les deux points sont perdus.
• Dire que le potentiel est négatif « parce que la gravité attire » et s'arrêter là. Le point nécessite l'argument du travail : zéro à l'infini, et le champ effectue le travail lorsque la masse arrive.
• Utiliser la hauteur au-dessus de la surface comme $r$ dans $GM/r^{2}$ ou $T^{2} \propto r^{3}$. Ajouter d'abord le rayon de la planète.
• Écrire la loi de Kepler comme $T \propto r$ ou $T^{2} \propto r^{2}$. C'est $T^{2} \propto r^{3}$ : une droite uniquement sur $T^{2}$ contre $r^{3}$.
• Faire signifier « géostationnaire » uniquement « période de 24 heures ». Sans le plan équatorial et la direction ouest-est, ce n'est pas géostationnaire.
• Oublier que l'énergie cinétique d'un satellite diminue lorsqu'il est élevé vers une orbite plus élevée, bien que de l'énergie ait dû être fournie.