Mouvement circulaire

Le radian 弧度 est l'angle formé au centre d'un cercle par un arc 弧 dont la longueur est égale au rayon. Pour un arc de longueur $s$ sur un cercle de rayon $r$, l'angle en radians est

Les radians n'ont pas d'unité (un rapport de longueurs). Un cercle complet a $s = 2\pi r$, donc $\theta = 2\pi\ \text{rad}$. Une demi-cercle est $\pi\ \text{rad}$ ; un quart est $\pi/2\ \text{rad}$.

Pour convertir : $1\ \text{rad} = 180°/\pi \approx 57.3°$. Réglez votre calculatrice sur radians pour ce sujet ; le mode "degrés" donnera des réponses fausses.

La définition d'une marque. Le radian est l'angle au centre d'un cercle sous-tendu par un arc égal en longueur au rayon du cercle. Donnez-le en mots — $\theta = s/r$ seul n'est pas une définition — et gardez $s = r\theta$ prêt pour convertir une distance le long de l'arc en un angle, ou l'inverse.

Un objet se déplace dans un cercle de rayon $r$ à vitesse constante $v$. Définissez :

• angular displacement 角位移 $\theta$ — l'angle (en radians) balayé par le rayon à partir d'une ligne de départ choisie.
• vitesse angulaire 角速度 $\omega$ — le taux de changement du déplacement angulaire.

Pour un mouvement uniforme, $\omega$ est constant et

Unité : $\text{rad s}^{-1}$.

Ce qui reste constant et ce qui varie. Dans un mouvement circulaire uniforme, la vitesse, la vitesse angulaire, la période et la magnitude de l'accélération sont constantes ; la vitesse vectorielle, le déplacement depuis le centre et l'accélération changent constamment, car leur direction change. On vous demande d'« énoncer deux grandeurs qui varient » : donnez deux éléments parmi la vitesse vectorielle, l'accélération, le déplacement et la quantité de mouvement — et précisez que c'est la direction qui varie.

Période et fréquence

Si l'objet fait un tour complet ($2\pi\ \text{rad}$, une révolution 圈) en temps $T$ (la période 周期), alors

où $f = 1/T$ est la fréquence 频率 de rotation (Hz).

Vitesse linéaire et vitesse angulaire

En une période $T$, l'objet parcourt une distance $2\pi r$ (la circonférence 周长) à vitesse constante, donc

Cela relie la vitesse linéaire (tangentielle 切向) $v$ à la vitesse angulaire $\omega$. À plus grand rayon (pour la même vitesse angulaire), la vitesse linéaire est plus grande — un enfant au bord d'une toupie se déplace plus vite qu'un enfant près du centre, bien que les deux fassent un tour complet en même temps.

Exemple résolu. Une attraction de manège de rayon $4.0\ \text{m}$ effectue un tour toutes les $8.0\ \text{s}$. Trouvez sa vitesse angulaire et la vitesse linéaire d'un passager sur le bord.

Exemple résolu. L'aiguille des minutes d'une horloge fait un tour chaque heure. Un morceau d'argile sur cette aiguille parcourt une distance totale de $0.44\ \text{m}$ en $1400\ \text{s}$. Trouvez la vitesse angulaire de l'aiguille, l'angle balayé par l'argile durant ce temps, et sa distance par rapport au centre de l'horloge.

$\omega = 2\pi/T = 2\pi/3600 = 1.75 \times 10^{-3}\ \text{rad s}^{-1}$. Déplacement angulaire $\theta = \omega t = 1.75 \times 10^{-3} \times 1400 = 2.44\ \text{rad}$. Distance le long de l'arc $s = r\theta$, donc $r = s/\theta = 0.44/2.44 = 0.18\ \text{m}$. Vérification : $v = s/t = 3.1 \times 10^{-4}\ \text{m s}^{-1}$ et $r\omega = 0.18 \times 1.75 \times 10^{-3} = 3.1 \times 10^{-4}\ \text{m s}^{-1}$ — identiques. Piège fréquent dans ces exercices : un rayon mesuré à partir du bord : une masse $1.2\ \text{cm}$ à l'intérieur du bord d'un disque de $9.3\ \text{cm}$ décrit un cercle de rayon $8.1\ \text{cm}$.

Exemple résolu. Une chaîne de vélo passe autour d'un pignon de pédalier de rayon $0.095\ \text{m}$ et d'un pignon de roue arrière de rayon $0.038\ \text{m}$. Les pédales tournent à $1.2$ tours par seconde. Trouvez la vitesse de la chaîne et la vitesse angulaire du pignon arrière. La chaîne est ensuite déplacée vers un pignon arrière plus petit tandis que la vitesse du vélo reste inchangée ; expliquez, sans calcul, ce qui arrive à la vitesse angulaire des pédales.

Vitesse angulaire des pédales $\omega_{1} = 2\pi \times 1.2 = 7.5\ \text{rad s}^{-1}$. Chaque maillon de la chaîne se déplace à la vitesse du bord du pignon de pédalier : $v = r_{1}\omega_{1} = 0.095 \times 7.5 = 0.72\ \text{m s}^{-1}$. Le bord du pignon arrière se déplace à la même vitesse, donc $\omega_{2} = v/r_{2} = 0.72/0.038 = 19\ \text{rad s}^{-1}$. Avec la vitesse du vélo inchangée, la roue arrière conserve la même vitesse angulaire ; le bord du pignon plus petit se déplace donc plus lentement ($v = r\omega$ avec un $r$ plus petit), donc la chaîne se déplace plus lentement, et le pignon de pédalier, entraîné par la même chaîne, tourne à une vitesse angulaire plus faible.

Un objet se déplaçant en cercle à vitesse constante possède tout de même une vitesse vectorielle 速度 changeante — sa direction continue de changer, même si sa magnitude reste la même. Une vitesse changeante nécessite une accélération 加速度. Cette accélération pointe vers le centre et est l'accélération centripète 向心加速度.

La description aux deux points. Dans un mouvement circulaire uniforme, la vitesse est constante mais la vitesse vectorielle change continuellement, car sa direction change ; l'accélération est constante en magnitude et toujours dirigée vers le centre du cercle, perpendiculairement à la vitesse. « Énoncez ce qu'est l'accélération centripète » : l'accélération d'un objet se déplaçant sur une trajectoire circulaire, dirigée vers le centre du cercle.

Grandeur

Les deux formes sont égales car $v = r\omega$. Choisissez celle avec les quantités dont vous disposez.

L'accélération centripète est perpendiculaire 垂直 à la vitesse à tout instant — jamais le long de la direction du mouvement. (Si une partie était le long du mouvement, la vitesse changerait.) Unité : $\text{m s}^{-2}$.

Pourquoi la vitesse ne change pas. La force centripète est perpendiculaire au déplacement à tout instant, donc elle ne fournit aucun travail sur l'objet ; son énergie cinétique, et donc sa vitesse, restent constantes. Seule la direction de la vitesse change — ce qui est exactement ce qu'une accélération perpendiculaire à la vitesse produit.

Exemple résolu. La Terre est une sphère de rayon $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$ effectuant une rotation complète en $24$ heures. Cambridge est située à une latitude 纬度 $52.2°$ nord. Trouvez le rayon du cercle dans lequel Cambridge se déplace, sa vitesse, et son accélération centripète. Un étudiant de masse $58.6\ \text{kg}$ se tient sur une balance de salle de bain là-bas ; énoncez et expliquez l'effet de la rotation sur la lecture.

Le cercle est autour de l'axe, donc $r = R\cos\lambda = 6.37 \times 10^{6} \times \cos 52.2° = 3.90 \times 10^{6}\ \text{m}$. $\omega = 2\pi/(24 \times 3600) = 7.27 \times 10^{-5}\ \text{rad s}^{-1}$, donc $v = r\omega = 284\ \text{m s}^{-1}$ et $a = r\omega^{2} = 3.90 \times 10^{6} \times (7.27 \times 10^{-5})^{2} = 2.1 \times 10^{-2}\ \text{m s}^{-2}$. L'étudiant a besoin d'une force résultante $ma = 1.2\ \text{N}$ vers l'axe, qui ne peut provenir que du poids dépassant la force de contact ascendante ; donc la balance affiche moins que le poids $mg = 575\ \text{N}$ — d'environ un newton (l'accélération a une composante $a\cos\lambda = 0.013\ \text{m s}^{-2}$ le long de la verticale, c'est-à-dire $0.7\ \text{N}$ du $1.2\ \text{N}$). Faible, mais le signe et la raison valent les points.

D'après la deuxième loi de Newton, la travail 力 résultante agissant sur un corps en mouvement circulaire à vitesse constante est

C'est la force centripète 向心力. Elle pointe toujours vers le centre — perpendiculairement à la vitesse.

La force centripète n'est pas un nouveau type de force — c'est la résultante de forces réelles agissant (tension, gravité, frottement, attraction électrique, force normale de contact, …). Dans un problème, déterminez quelle(s) force(s) réelle(s) la fournissent.

Exemple résolu. Une bille de $0.20\ \text{kg}$ attachée à une ficelle est lancée en cercle horizontal de rayon $0.50\ \text{m}$ à $3.0\ \text{m s}^{-1}$. Trouvez la force centripète (la tension dans la ficelle).

D'où vient la force centripète

• Bille attachée à une ficelle en cercle horizontal : la tension 张力 dans la ficelle.
• Voiture virant sur route plate : la frottement 摩擦力 entre les pneus et la route ($F = m v^{2}/r$). Si la voiture va trop vite, la friction n'est pas suffisante et elle dérape vers l'extérieur.
• Virage incliné 倾斜 (sans frottement) : la composante horizontale de la force normale de contact 支持力 ; $\tan\theta = v^{2}/(rg)$ pour l'angle nécessitant aucune friction.
• Planète ou satellite 卫星 en orbite 轨道 : l'attraction gravitationnelle 引力, $G M m / r^{2} = m v^{2}/r$.
• Électron 电子 en orbite circulaire (modèle de Bohr) : l'attraction électrostatique 静电 entre l'électron et le noyau positif noyau 原子核 :

où $k = 1/(4\pi\varepsilon_{0})$ et $Z$ est la charge nucléaire. Résolvez pour $v$ afin d'obtenir la vitesse orbitale ; ensuite $T = 2\pi r/v$.

La force inclinée : pendule conique, cône et manège suspendu

Une bille attachée à une ficelle lancée en cercle horizontal (un pendule conique 圆锥摆), une bille roulant à l'intérieur d'un cône lisse, un fauteuil sur un manège suspendu et une voiture sur une piste inclinée sont tous le même problème : une seule force (la tension ou la force normale de contact) est inclinée d'un angle $\theta$ par rapport à la verticale. Décomposez-la. Sa composante verticale équilibre le poids ; sa composante horizontale est la force centripète entière :

N'ajoutez jamais une « force centripète » séparée au diagramme : les deux forces réelles sont le poids et la force inclinée, et leur résultante est horizontale, vers le centre.

Exemple résolu. Une bille d'acier se déplace dans un cercle horizontal de rayon $0.12\ \text{m}$ sur la surface intérieure lisse d'un cône dont la surface fait un angle $52°$ avec l'horizontal. Nommez les deux forces agissant sur la bille, énoncez la direction de leur résultante, et trouvez la vitesse de la bille et la période de son mouvement.

Les forces sont le poids (verticalement vers le bas) et la force normale de contact de la surface du cône (perpendiculaire à la surface, donc à un angle $52°$ par rapport à la verticale) ; leur résultante est horizontale, vers le centre du cercle. Verticalement $N\cos 52° = mg$ ; horizontalement $N\sin 52° = mv^{2}/r$. En divisant : $v^{2} = rg\tan 52° = 0.12 \times 9.81 \times 1.28 = 1.51$, donc $v = 1.2\ \text{m s}^{-1}$, et $T = 2\pi r/v = 2\pi \times 0.12/1.23 = 0.61\ \text{s}$. La masse s'annule — la vitesse ne dépend pas de celle-ci.

Exemple résolu. Une sphère de masse $0.29\ \text{kg}$ est suspendue à un ressort de raideur $40\ \text{N m}^{-1}$ et de longueur non étirée $6.0\ \text{cm}$. Elle est mise en mouvement dans un cercle horizontal de sorte que le ressort forme un angle $30°$ avec la verticale. Trouvez la tension, le rayon du cercle et la vitesse.

Verticalement $T\cos 30° = mg$, donc $T = 0.29 \times 9.81/0.866 = 3.3\ \text{N}$. L'allongement est $x = T/k = 3.28/40 = 0.082\ \text{m}$, donc la longueur du ressort est $0.060 + 0.082 = 0.142\ \text{m}$ et $r = 0.142\sin 30° = 0.071\ \text{m}$. Horizontalement $T\sin 30° = mv^{2}/r$ : $v^{2} = 3.28 \times 0.5 \times 0.071/0.29 = 0.40$, $v = 0.63\ \text{m s}^{-1}$. La loi de Hooke fournit la longueur ; le cercle fournit le reste.

Cercles verticaux

Lorsque le cercle est vertical, la vitesse n'est pas constante (la gravité effectue un travail) — mais à chaque instant la force nette vers le centre est toujours égale à $m v^{2}/r$ :

• au bas d'une boucle : la tension vers le haut, le poids 重力 vers le bas, donc $T - mg = m v^{2}/r$ — la tension est maximale ici.
• au sommet d'une boucle : la tension et le poids pointent tous deux vers le bas (vers le centre), donc $T + mg = m v^{2}/r$ — la tension est minimale. Pour la vitesse la plus faible au sommet avec la corde juste tendue, posons $T = 0$ : $mg = m v_{\text{min}}^{2}/r$, ce qui donne $v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$.

Exemple résolu. Une voiture parcourt une boucle verticale de rayon $2.0\ \text{m}$. Trouver la vitesse minimale au sommet pour que la voiture reste en contact avec la piste (prendre $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

À la vitesse minimale, la force de la piste est nulle, donc seule la gravité fournit la force centripète : $mg = m v_{\text{min}}^{2}/r$, ce qui donne $v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$ :

Le résultat à vitesse constante ($v = r\omega$, $\omega$ constant) s'applique aux cercles horizontaux, ou lorsque la force courbe uniquement la trajectoire (orbites sous l'effet de la gravité, charges dans un champ magnétique 磁场).

Cercles dans les champs

Exemple résolu. Un atome d'hélium est modélisé par un noyau de charge $+2e$ avec deux électrons en orbite circulaire de même rayon $170\ \text{pm}$, toujours de part et d'autre du noyau. Trouver la force électrique résultante sur un électron et sa vitesse.

Chaque électron est attiré par le noyau, à une distance $r$, et repoussé par l'autre électron, à une distance $2r$, le long de la même ligne : $F = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\dfrac{2e^{2}}{r^{2}} - \dfrac{e^{2}}{(2r)^{2}}\right) = \dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} \times 1.75 = \dfrac{2.31 \times 10^{-28}}{(1.7 \times 10^{-10})^{2}} \times 1.75 = 1.4 \times 10^{-8}\ \text{N}$. C'est la force centripète : $v = \sqrt{Fr/m} = \sqrt{1.40 \times 10^{-8} \times 1.7 \times 10^{-10}/(9.11 \times 10^{-31})} = 1.6 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$.

Exemple résolu. Un proton (masse $1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$) se déplaçant à $2.0 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$ pénètre perpendiculairement à un champ magnétique uniforme de densité de flux $0.50\ \text{T}$. Trouver le rayon de sa trajectoire et le temps pour un tour complet.

La force magnétique $Bqv$ est toujours perpendiculaire à la vitesse, c'est donc une force centripète et la vitesse est constante : $Bqv = mv^{2}/r$ donne $r = \dfrac{mv}{Bq} = \dfrac{1.67 \times 10^{-27} \times 2.0 \times 10^{6}}{0.50 \times 1.60 \times 10^{-19}} = 4.2 \times 10^{-2}\ \text{m}$, et $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi m}{Bq} = 1.3 \times 10^{-7}\ \text{s}$ — indépendant de la vitesse, ce qui explique pourquoi un proton plus rapide décrit un cercle plus grand dans le même temps. Pour un satellite, la force gravitationnelle joue le même rôle : $\dfrac{GMm}{r^{2}} = mr\omega^{2}$, et la vitesse orbitale et la période découlent directement de $r$ seul.

1. Trouver le rayon $r$ et choisir $v$ ou $\omega$. Utiliser $v = r\omega$ pour passer de l'un à l'autre.
2. Trouver l'accélération centripète avec $a = v^{2}/r$ ou $r\omega^{2}$.
3. Répertorier les forces réelles et écrire la deuxième loi de Newton dans la direction radiale 径向 (vers le centre est positif). Poser la force nette entrante égale à $m v^{2}/r$.
4. Pour la période ou la fréquence : utiliser $\omega = 2\pi/T$, ou $T = 2\pi r / v$.
5. Vérifier les directions : la force centripète et l'accélération pointent vers le centre ; la vitesse est tangente.

Une question de définition est notée selon un libellé fixe. Apprenez-les exactement et ne donnez qu'une seule réponse.

• Travailler en radians ; vitesse angulaire $\omega = 2\pi/T = v/r$, et longueur d'arc $s = r\theta$ convertit une distance le long du cercle en angle.
• Accélération centripète $a = v^2/r = \omega^2 r$ ; la force nette agit vers le centre — elle est fournie par la tension/la gravité/frottement/une force de contact, pas une force supplémentaire.
• Toujours indiquer ce qui fournit la force centripète dans la situation donnée, et pour une force inclinée la décomposer : composante verticale $= mg$, composante horizontale $= mv^{2}/r$.
• Lire attentivement le rayon : un point mesuré depuis le bord décrit un cercle plus petit ; un point sur la Terre en rotation décrit un cercle autour de l'axe, rayon $R\cos\lambda$.
• Deux pignons sur une même chaîne partagent la vitesse de la chaîne ; deux points sur une roue rigide partagent sa vitesse angulaire.

Erreurs courantes

• Définir le radian comme « $180/\pi$ degrés » ou comme $\theta = s/r$. Le point nécessite que l'arc soit égal en longueur au rayon.
• Dire que la vitesse est constante dans le mouvement circulaire uniforme. La vitesse scalaire est constante ; la vitesse change de direction, d'où l'existence d'une accélération.
• Dessiner une flèche « force centripète » comme une force supplémentaire à côté de la tension ou de la force de contact. C'est leur résultante, pas une troisième force.
• Utiliser des degrés dans $\omega t$ ou $v = r\omega$. Toutes les formules de ce sujet supposent des radians.
• Oublier que la force ne fait pas de travail : une force perpendiculaire au mouvement change la direction, pas la vitesse, donc l'énergie cinétique est constante.
• Prendre $r$ comme rayon de la Terre pour un point à la latitude $\lambda$. Le cercle est autour de l'axe, donc $r = R\cos\lambda$.