Déformation des solides

Lorsqu'une force agit sur un solide selon sa longueur, l'objet change de forme (déformation 形变). Deux cas (traités ici comme unidimensionnels) :

• une force tensile 拉伸 étire l'objet — elle provoque une extension 伸长量 $x$,
• une force compressive comprime l'objet — il subit une compression 压缩, traitée comme un allongement négatif.

La force appliquée est la charge 负载. Le changement par rapport à la longueur naturelle est l'allongement (ou la compression).

Les deux sont mesurés depuis la longueur naturelle non étirée, jamais depuis la longueur chargée : sur un diagramme d'un ressort sous une boîte, la distance dont le ressort s'est raccourci est sa compression. La masse propre d'un ressort est généralement dite négligeable 可忽略, donc les seules forces sur lui sont la charge et la tension qu'il fournit.

Pour de nombreux matériaux aux petites extensions, l'extension est proportionnelle à la charge — c'est la loi de Hooke 胡克定律. La constante qui les relie est la constante de raideur 劲度系数 $k$ :

Unité de $k$ : $\text{N m}^{-1}$.

Exemple résolu. Un ressort s'allonge de $4.0\ \text{cm}$ lorsqu'une charge de $2.0\ \text{N}$ y est suspendue. Trouvez sa constante de raideur.

Conversion de l'extension en mètres ($4.0\ \text{cm} = 0.040\ \text{m}$) :

Pour la question à une marque « énoncer la loi de Hooke », écrivez-la en mots : l'allongement est directement proportionnel à la force appliquée (charge), tant que la limite de proportionnalité n'est pas dépassée. La constante de raideur est la force par unité d'allongement ; les distracteurs du QCM sont « allongement par unité de force » (c'est-à-dire $1/k$) et $\tfrac{1}{2}Fx$ (l'énergie emmagasinée).

Lecture d'un graphique :

• Un graphique force–allongement ($F$ contre $x$) a une pente $k$ dans la région de la loi de Hooke.
• Un graphique allongement–force ($x$ contre $F$) a une pente $1/k$ dans la région de la loi de Hooke.

Un piège courant : si un graphique représente la longueur $L$ contre la force, vous pouvez encore trouver la constante de raideur à partir de la pente (puisque $L = L_{0} + F/k$, la pente est $1/k$ — lisez attentivement).

Exemple résolu. Un ressort a une longueur $90\ \text{mm}$ sous une force de $0.80\ \text{N}$ et $115\ \text{mm}$ sous $1.30\ \text{N}$. Trouvez la constante de raideur et la longueur non étirée.

La force supplémentaire $0.50\ \text{N}$ produit l'allongement supplémentaire $25\ \text{mm} = 0.025\ \text{m}$, donc $k = 0.50 / 0.025 = 20\ \text{N m}^{-1}$. À $0.80\ \text{N}$, l'allongement est $x = F/k = 0.80 / 20 = 0.040\ \text{m}$, donc la longueur non étirée est $90 - 40 = 50\ \text{mm}$. Sur un graphique de longueur contre force, l'ordonnée à l'origine sur l'axe des longueurs est $L_{0}$, la pente est $1/k$, et le travail effectué pour étirer le ressort est le triangle entre la ligne et le niveau $L = L_{0}$, pas toute la surface jusqu'à l'axe des forces : le rectangle en dessous de $L_{0}$ correspond à la longueur non étirée multipliée par la force, ce qui ne signifie rien.

Limite de proportionnalité

La loi de Hooke ne s'applique que jusqu'à la limite de proportionnalité 比例极限. Au-delà de ce point, la ligne $F$ contre $x$ s'infléchit et n'est plus droite. Le matériau peut rester élastique 弹性 (il revient à sa longueur initiale lorsque vous retirez la charge) un peu plus loin, puis il devient plastique 塑性.

Ressorts en série et en parallèle

Vous devrez peut-être combiner les constantes de raideur :

• Série 串联 (un ressort suspendu à un autre) : la même charge passe à travers les deux, l'allongement total est la somme, donc $\dfrac{1}{k_{\text{total}}} = \dfrac{1}{k_{1}} + \dfrac{1}{k_{2}}$.
• Parallèle 并联 (deux ressorts côte à côte supportant la même charge) : chacun supporte la moitié de la charge (s'ils sont identiques), les allongements sont égaux, donc $k_{\text{total}} = k_{1} + k_{2}$.

Exemple résolu. Des ressorts de constantes de raideur $6.0\ \text{N cm}^{-1}$ et $4.0\ \text{N cm}^{-1}$ sont joints bout à bout et une charge de $80\ \text{N}$ y est suspendue. Trouvez l'allongement total.

Chaque ressort porte la pleine charge $80\ \text{N}$, donc les allongements sont $80/6.0 = 13.3\ \text{cm}$ et $80/4.0 = 20\ \text{cm}$ : un total de $33\ \text{cm}$ (le même que $k = 2.4\ \text{N cm}^{-1}$ obtenu à partir de $1/k = 1/6.0 + 1/4.0$). Trois ressorts identiques donnent la constante combinée la plus grande lorsque les trois sont en parallèle ($3k$) et la plus petite lorsqu'ils sont tous en série ($k/3$). Lorsqu'une charge est partagée par deux ressorts identiques en parallèle, chacun porte la moitié de la force et stocke donc un quart de l'énergie d'un ressort supportant toute la charge ; l'ensemble stocke la moitié de ce qu'a stocké le ressort unique. Une constante de raideur en $\text{N cm}^{-1}$ est $100$ fois plus petite que la même constante en $\text{N m}^{-1}$ ; donnez l'unité demandée par la question.

Pour un fil de section uniforme soumis à une charge de traction :

• Contrainte 应力 $\sigma = \dfrac{F}{A}$, où $F$ est la charge et $A$ est la section transversale 横截面积. Unité : $\text{Pa}$.
• Déformation 应变 $\varepsilon = \dfrac{x}{L_{0}}$, où $x$ est l'allongement et $L_{0}$ est la longueur initiale. La déformation n'a pas d'unité (c'est un rapport de longueurs).

Pour les définitions à une marque : la contrainte est la force par unité de section transversale (la force agissant normalement à la surface) ; la déformation est l'allongement par unité de longueur initiale. L'unité de la contrainte, $\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$, est $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$ en unités fondamentales. La section d'un fil rond provient de son diamètre $d$ : $A = \pi d^{2}/4 = \pi r^{2}$, et utiliser $d$ à la place de $r$ rend la surface quatre fois trop grande. Convertissez $\text{mm}^{2}$ en $\text{m}^{2}$ avec $10^{-6}$.

Exemple résolu. Une force de traction de $18\ \text{N}$ agit sur un fil de section transversale $3.2\ \text{mm}^{2}$. Trouvez la contrainte.

$\sigma = F/A = 18 / (3.2 \times 10^{-6}) = 5.6 \times 10^{6}\ \text{Pa}$. La même force agit le long de tout le fil, donc un boulon dont le diamètre est $2d$ à une extrémité et $d$ à l'autre présente quatre fois la contrainte à l'extrémité étroite ($\sigma \propto 1/d^{2}$), et un fil de trois fois le rayon porte un neuvième de la contrainte.

Le module d'Young 杨氏模量 est le rapport de la contrainte à la déformation dans la région de la loi de Hooke :

Unité : $\text{Pa}$ (environ $10^{11}$ pour les métaux ; par exemple, acier $\approx 2.0 \times 10^{11}$ Pa).

Exemple résolu. Un fil d'acier de longueur $2.0\ \text{m}$ et de section transversale $1.5 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$ s'étire de $1.0\ \text{mm}$ sous une charge de $15\ \text{N}$. Trouvez le module d'Young.

Le module d'Young est une propriété du matériau — il ne dépend ni de la forme ni de la taille du fil. La constante de raideur $k$ dépend à la fois du matériau et de la taille : $k = EA/L_{0}$.

Pour la définition à une marque : le module d'Young est le rapport de la contrainte à la déformation (pour un matériau déformé dans sa limite de proportionnalité). Puisqu'il appartient au matériau, un fil plus épais du même métal a le même module d'Young : il s'étire moins sous la même charge car sa section est plus grande, et non parce que le métal est plus rigide. Une question « montrer que $k = EA/L_{0}$ » demande deux lignes : $k = F/x$ et $E = FL_{0}/(Ax)$, donc $E = kL_{0}/A$. Deux choses s'ensuivent : la constante de raideur d'un fil reste constante tant que la loi de Hooke est respectée, quelle que soit la force, et un fil du même métal avec un double de diamètre a une constante de raideur quatre fois plus grande.

Exemple résolu. Un fil de cuivre de longueur $1.7\ \text{m}$ et de diamètre $0.64\ \text{mm}$ a un module d'Young de $1.2 \times 10^{11}\ \text{Pa}$. Trouvez sa constante de raideur.

$A = \pi (0.32 \times 10^{-3})^{2} = 3.2 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$, donc $k = EA/L_{0} = 1.2 \times 10^{11} \times 3.2 \times 10^{-7} / 1.7 = 2.3 \times 10^{4}\ \text{N m}^{-1}$.

Sur un graphique contrainte–déformation, la pente de la partie droite est $E$, donc parmi deux matériaux tracés sur les mêmes axes, la ligne la plus raide est le matériau le plus rigide, et un fil avec un double du module d'Young est tracé comme une ligne passant par l'origine avec une pente double. Sur un graphique force–allongement, la pente est $EA/L_{0}$ et le module d'Young est la pente multipliée par $L_{0}/A$ ; seul un graphique contrainte–déformation a une pente égale à $E$ lui-même.

Expérience pour trouver le module d'Young d'un fil métallique

Configuration standard :

1. Fixez une extrémité d'un fil long et fin à un support fixe. Faites passer le fil sur une poulie 滑轮 au bord du bureau afin qu'il pende verticalement.
2. Mesurez la longueur initiale $L_{0}$ entre le serre-joint et un repère près de la poulie, à l'aide d'une règle métrique.
3. Mesurez le diamètre 直径 $d$ du fil à plusieurs endroits avec un micromètre 螺旋测微器 et prenez la moyenne. Calculez $A = \pi d^{2}/4$.
4. Accrochez les masses une par une. Enregistrez la charge $F$ et l'allongement $x$ (la distance parcourue par le repère par rapport à une échelle fixe).
5. Tracez $F$ contre $x$. Dans la zone droite, la pente est $EA/L_{0}$, donc $E = \text{gradient} \times L_{0}/A$.

Pourquoi un fil long et fin ? Pour rendre l'allongement assez grand pour être mesuré précisément. Pourquoi répéter les lectures et mesurer $d$ à plusieurs endroits ? Pour réduire les erreurs aléatoires 随机误差 et vérifier que le fil est uniforme.

Une réponse « décrire une expérience » obtient ses points pour les quantités mesurées et comment ($L_{0}$ avec une règle métrique ; $d$ avec un micromètre à plusieurs points ; la charge provenant des masses ou d'un newtonmètre ; l'allongement depuis un rep lu par rapport à une échelle fixe, ou une échelle vernier), le graphique ($F$ contre $x$, pente $EA/L_{0}$, ou contrainte contre déformation, pente $E$) et les précautions : lunettes de protection au cas où le fil se briserait, une petite charge initiale pour tendre les plis, et des lectures prises lors du déchargement ainsi que du chargement pour vérifier que le fil est resté élastique.

Alors que la charge augmente :

1. Élastique et droit (loi de Hooke respectée) — jusqu'à la limite de proportionnalité. Retirer la charge ramène l'objet à sa première longueur.
2. Élastique mais courbé — entre la limite de proportionnalité et la limite élastique 弹性极限. L'allongement n'est plus linéaire par rapport à la charge, mais lors du déchargement, l'objet retourne à sa première longueur.
3. Plastique — au-delà de la limite élastique. Lors du déchargement, l'objet ne revient pas à sa première longueur ; un allongement permanent subsiste.

La loi de Hooke ne s'applique que dans la région droite et élastique.

En termes : une déformation élastique signifie que l'objet retourne à sa longueur (ou forme) initiale lorsque la charge est retirée ; une déformation plastique signifie qu'il ne le fait pas, et un allongement permanent subsiste ; la limite d'élasticité est la charge maximale (ou l'allongement maximal) pour laquelle la déformation reste encore élastique ; la limite de proportionnalité est le point au-delà duquel l'allongement n'est plus proportionnel à la charge. Sur un graphique, la limite de proportionnalité correspond au point où la ligne cesse d'être droite. La limite d'élasticité se situe un peu après et ne peut être lue uniquement à partir de la courbe de chargement. Ainsi, dans une question « quelle affirmation doit être correcte », l'extrémité de la partie droite est bien la limite de proportionnalité, mais il est impossible de savoir si un point ultérieur est la limite d'élasticité ou le point de rupture simplement à partir de la forme de la courbe de chargement.

Sur un graphique force–allongement pour un matériau tiré dans la zone plastique puis déchargé, la courbe de chargement et la courbe de déchargement sont différentes. La courbe de déchargement est parallèle à la première loi de Hooke mais décalée vers la droite (l'allongement permanent laissé lorsque la charge atteint zéro). L'aire comprise entre la courbe de chargement et celle de déchargement représente l'énergie convertie en énergie thermique 热能 dans le matériau.

Un élastique 橡皮筋 présente également des courbes de chargement et de déchargement différentes, mais il retourne à sa longueur initiale : sa déformation est élastique. L'aire entre les deux courbes est à nouveau de l'énergie dissipée sous forme d'énergie thermique (hystérésis élastique 弹性滞后), et l'énergie récupérée lors du déchargement correspond à l'aire sous la courbe inférieure. La réponse à deux points demandant « expliquer pourquoi le travail effectué en étirant le fil n'est pas égal à l'énergie récupérée lorsque la force est retirée » indique que le fil a été tiré au-delà de sa limite d'élasticité, donc une partie de la déformation est plastique et un allongement permanent subsiste, et qu'une partie du travail effectué est devenue énergie thermique dans le fil.

Le travail fourni 做功 en étirant un matériau de $0$ à un allongement $x$, alors que la charge croît de $0$ à $F$, correspond à l'aire sous le graphique force–allongement.

Pourquoi l'aire : le travail fourni est la force multipliée par la distance parcourue, mais ici la force augmente à mesure que le matériau s'étire, donc le travail est la somme de $F\,\Delta x$ sur de nombreux petits allongements, ce qui correspond à l'aire sous la ligne. Dans la limite de proportionnalité, la force croît uniformément de $0$ à $F$, donc la force moyenne est $\tfrac{1}{2}F$ et le travail est $\tfrac{1}{2}Fx$. Sur un graphique force–allongement, la pente correspond à la constante de raideur.

Matériau régissant la loi de Hooke

Lorsque la loi de Hooke est vérifiée, le graphique de la $F$ contre la $x$ est une ligne droite passant par l'origine. L'aire sous celle-ci de $0$ à $x$ forme un triangle :

C'est l'énergie potentielle élastique 弹性势能 stockée dans un ressort ou un fil étiré dans sa limite de proportionnalité. Une forme équivalente :

Exemple résolu. Un ressort de constante de raideur $50\ \text{N m}^{-1}$ est étiré de $0.20\ \text{m}$, dans sa limite de proportionnalité. Trouvez l'énergie potentielle élastique stockée.

Exemple résolu. Un fil de constante de raideur $2.0 \times 10^{4}\ \text{N m}^{-1}$ est déjà étiré de $2.0\ \text{mm}$. Trouvez le travail fourni pour augmenter son allongement jusqu'à $3.0\ \text{mm}$.

L'énergie stockée passe de $\tfrac{1}{2} k x_{1}^{2}$ à $\tfrac{1}{2} k x_{2}^{2}$ : $W = \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 10^{4} \times \left[(3.0 \times 10^{-3})^{2} - (2.0 \times 10^{-3})^{2}\right] = 0.050\ \text{J}$. Il s'agit du trapèze sous la ligne entre les deux allongements, et non de $\tfrac{1}{2} k (x_{2} - x_{1})^{2}$. Puisque $E_{\text{P}} \propto x^{2}$ à $k$ fixe, doubler l'allongement d'un fil stocke quatre fois l'énergie ($0.65\ \text{J}$ devient $2.6\ \text{J}$), et l'énergie stockée donne l'allongement selon $x = \sqrt{2E_{\text{P}}/k}$ : un ressort de $k = 400\ \text{N m}^{-1}$ stockant $0.32\ \text{J}$ est comprimé de $\sqrt{2 \times 0.32 / 400} = 0.040\ \text{m}$. Pour deux fils reliés bout à bout, la tension est identique dans les deux, donc l'énergie totale stockée est $\tfrac{1}{2}F x_{1} + \tfrac{1}{2}F x_{2}$ avec l'allongement propre de chaque fil.

Matériau hors loi de Hooke

Pour un graphique qui n'est pas une ligne droite (un élastique étiré, ou un ressort dépassant sa limite de proportionnalité), trouvez l'aire en comptant les carreaux de la grille ou en utilisant des trapèzes 梯形. Le principe reste le même : l'aire sous le graphique force–allongement correspond au travail fourni au matériau. Pour estimer le travail fourni jusqu'au point de rupture, comptez les carreaux sous toute la courbe (les carreaux partiels comptés comme des moitiés) et multipliez par l'énergie qu'un carreau représente, soit le pas de force multiplié par le pas d'allongement ; affirmer que l'aire a été trouvée en comptant les carreaux constitue la marque « expliquez votre raisonnement ».

Comparaison de l'énergie stockée

Un cas fréquent de QCM : deux matériaux sont étirés par la même force, ou par le même allongement. En utilisant $E_{\text{P}} = \tfrac{1}{2} F x$ :

• même $F$, plus petit $k$ (moins raide) → plus grand $x$ → plus d'énergie stockée.
• même $x$, plus grand $k$ (plus rigide) → plus grand $F$ → plus d'énergie stockée.

Un croquis de la $E_{\text{P}}$ contre l'allongement ou la compression est une courbe passant par l'origine qui s'infléchit ($E_{\text{P}} \propto x^{2}$), et non une ligne droite. De deux fils de même longueur et de même section soumis à la même charge, celui ayant le module de Young plus faible s'étire davantage et stocke donc plus d'énergie.

Lorsqu'un ressort étiré est relâché sur une masse, l'énergie potentielle élastique devient énergie cinétique 动能 (et énergie potentielle gravitationnelle si la masse monte). Posez $\tfrac{1}{2} k x^{2}$ égal à $\tfrac{1}{2} m v^{2}$ (plus tout autre $mgh$) pour trouver la vitesse ou la hauteur.

Une question de définition est notée selon un libellé fixe. Apprenez-les exactement et ne donnez qu'une seule réponse.

• Loi de Hooke ($F = kx$) n'est valide que jusqu'à la limite de proportionnalité.
• Contrainte $= F/A$, déformation $= x/L$, module de Young $=$ contrainte$/$déformation (pente de la partie droite du graphique contrainte-déformation) — attention aux unités (Pa).
• Énergie stockée $=$ aire sous le graphique force–allongement $= \frac{1}{2}Fx$ dans la région élastique.
• Distingez la déformation élastique (retour à la forme) de la déformation plastique (permanente).

Erreurs courantes

• Utiliser le diamètre comme rayon dans $A = \pi r^{2}$, ou laisser une erreur d'aire dans $\text{mm}^{2}$. Divisez le diamètre par deux en premier lieu ; $1\ \text{mm}^{2} = 10^{-6}\ \text{m}^{2}$.
• Lire le travail fourni sur un graphique longueur–force comme l'aire totale jusqu'à l'axe. Seul le triangle au-dessus de $L_{0}$ correspond au travail.
• Traiter l'énergie stockée comme proportionnelle à l'allongement. Elle varie selon $x^{2}$ : doublez l'allongement, quadruplez l'énergie ; et le travail fourni entre deux allongements est la différence de deux valeurs de $\tfrac{1}{2}kx^{2}$.
• Énoncer la loi de Hooke sans sa condition. « À condition que la limite de proportionnalité ne soit pas dépassée » fait partie intégrante de la loi.
• Échanger la limite de proportionnalité (l'extrémité de la ligne droite) et la limite d'élasticité (l'extrémité du comportement élastique, un peu après celle-ci).
• Dire qu'un fil plus épais a un module de Young plus élevé. Le module est une propriété du matériau ; le fil plus épais a une constante de raideur plus grande.