Ecuaciones paramétricas, coordenadas polares y funciones vectoriales

AP Cálculo BC · Topic 9 · ⁨Tema 9⁩

Train · ⁨Entrenar⁩

Video lesson for this topic · ⁨Lección de video para este tema⁩ Open the video page · ⁨Abrir la página de video⁩

9.1

Defining and Differentiating Parametric Equations · ⁨Definición y diferenciación de ecuaciones paramétricas⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.G: Calculate derivatives of parametric functions. BC ONLY

CHA-3.G.1 Methods for calculating derivatives of real-valued functions can be extended to parametric functions. BC ONLY
CHA-3.G.2 For a curve defined parametrically, the value of $\dfrac{dy}{dx}$ at a point on the curve is the slope of the line tangent to the curve at that point. $\dfrac{dy}{dx}$, the slope of the line tangent to a curve defined using parametric equations, can be determined by dividing $\dfrac{dy}{dt}$ by $\dfrac{dx}{dt}$, provided $\dfrac{dx}{dt}$ does not equal zero. BC ONLY

Español

Comprensión duradera (CHA-3): Las derivadas nos permiten resolver problemas del mundo real que implican tasas de cambio.

Objetivo de aprendizaje CHA-3.G: Calcular derivadas de funciones paramétricas. SOLO BC

CHA-3.G.1 Los métodos para calcular derivadas de funciones de valor real pueden extenderse a funciones paramétricas. SOLO BC
CHA-3.G.2 Para una curva definida paramétricamente, el valor de $\dfrac{dy}{dx}$ en un punto de la curva es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. $\dfrac{dy}{dx}$, la pendiente de la recta tangente a una curva definida mediante ecuaciones paramétricas, se puede determinar dividiendo $\dfrac{dy}{dt}$ entre $\dfrac{dx}{dt}$, siempre que $\dfrac{dx}{dt}$ no sea igual a cero. SOLO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Parametric equations 参数方程 give $x$ and $y$ each as functions of a parameter $t$ (often time): $x=x(t)$, $y=y(t)$. They trace a curve that need not be a function of $x$. The slope of the curve is found with the chain rule:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\qquad(dx/dt\neq0).$$

Worked example. For $x=t^2$, $y=t^3-t$, find the slope at $t=2$. Here $\dfrac{dx}{dt}=2t$ and $\dfrac{dy}{dt}=3t^2-1$, so $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2-1}{2t}$; at $t=2$ this is $\dfrac{11}{4}$.

Español

La Estación Espacial Internacional en órbita: las ecuaciones paramétricas describen la posición como función del tiempo

Las ecuaciones paramétricas 参数方程 expresan $x$ e $y$ cada una como funciones de un parámetro $t$ (frecuentemente el tiempo): $x=x(t)$, $y=y(t)$. Trazan una curva que no necesariamente es una función de $x$. La pendiente de la curva se encuentra mediante la regla de la cadena:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\qquad(dx/dt\neq0).$$

Ejemplo resuelto. Para $x=t^2$, $y=t^3-t$, encuentre la pendiente en $t=2$. Aquí $\dfrac{dx}{dt}=2t$ y $\dfrac{dy}{dt}=3t^2-1$, por lo tanto $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2-1}{2t}$; en $t=2$ esto resulta ser $\dfrac{11}{4}$.

Vocabulary · ⁨Vocabulario⁩ Train · ⁨Entrenar⁩

English · ⁨Inglés⁩	Chinese · ⁨Chino⁩	Pinyin
Parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/	参数方程	cān shù fāng chéng
vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/	向量值函数	xiàng liàng zhí hán shù
Polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/	极坐标	jí zuò biāo

9.2

Second Derivatives of Parametric Equations · ⁨Segundas derivadas de ecuaciones paramétricas⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.G: Calculate derivatives of parametric functions. BC ONLY

CHA-3.G.3 $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ can be calculated by dividing $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)$ by $\dfrac{dx}{dt}$. BC ONLY

Español

Comprensión Duradera (CHA-3): Las derivadas nos permiten resolver problemas del mundo real que involucran tasas de cambio.

Objetivo de Aprendizaje CHA-3.G: Calcular derivadas de funciones paramétricas. SOLO BC

CHA-3.G.3 $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ se puede calcular dividiendo $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)$ entre $\dfrac{dx}{dt}$. SOLO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

The second derivative is not $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. Instead, differentiate the first derivative with respect to $t$, then divide by $dx/dt$ again:

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}.$$

Use it to test concavity of a parametric curve.

Español

La segunda derivada no es $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. En cambio, diferencie la primera derivada con respecto a $t$, y luego divida nuevamente por $dx/dt$:

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}.$$

Utilícela para probar la concavidad de una curva paramétrica.

9.3

Finding Arc Lengths of Curves Given by Parametric Equations · ⁨Cálculo de longitudes de arco de curvas dadas por ecuaciones paramétricas⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (CHA-6): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in length over an interval.

Learning Objective CHA-6.B: Determine the length of a curve in the plane defined by parametric functions, using a definite integral. BC ONLY

CHA-6.B.1 The length of a parametrically defined curve can be calculated using a definite integral. BC ONLY

Español

Comprensión duradera (CHA-6): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación del cambio en longitud sobre un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-6.B: Determinar la longitud de una curva en el plano definida por funciones paramétricas, utilizando una integral definida. SOLO BC

CHA-6.B.1 La longitud de una curva definida paramétricamente se puede calcular mediante una integral definida. SOLO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

The length of a parametric curve for $t$ from $a$ to $b$ is

$$L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt.$$

This is the parametric version of arc length – summing tiny hypotenuses $\sqrt{dx^2+dy^2}$ over the parameter.

Español

La longitud de una curva paramétrica para $t$ desde $a$ hasta $b$ es

$$L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt.$$

Esta es la versión paramétrica de la longitud de arco: sumar pequeños hipotenusas $\sqrt{dx^2+dy^2}$ sobre el parámetro.

9.4

Defining and Differentiating Vector-Valued Functions · ⁨Definición y diferenciación de funciones vectoriales⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.H: Calculate derivatives of vector-valued functions. BC ONLY

CHA-3.H.1 Methods for calculating derivatives of real-valued functions can be extended to vector-valued functions. BC ONLY

Español

Comprensión perdurable (CHA-3): Las derivadas nos permiten resolver problemas del mundo real que implican tasas de cambio.

Objetivo de aprendizaje CHA-3.H: Calcular derivadas de funciones vectoriales. SOLO BC

CHA-3.H.1 Los métodos para calcular derivadas de funciones reales se pueden extender a funciones vectoriales. SOLO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

A vector-valued function 向量值函数 $\vec{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ gives a position vector for each $t$. Differentiate component-wise: the velocity is $\vec{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ and the acceleration is $\vec{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$. The speed is the magnitude $|\vec{v}|=\sqrt{x'^2+y'^2}$.

Español

Una función vectorial 向量值函数 $\vec{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ proporciona un vector de posición para cada $t$. Diferénciela componente a componente: la velocidad es $\vec{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ y la aceleración es $\vec{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$. La rapidez es la magnitud $|\vec{v}|=\sqrt{x'^2+y'^2}$.

Una recta vectorial: inicie en a, luego deslice por t veces la dirección b

Explore · ⁨Explorar⁩

Añadir componentes vectoriales

Una función vectorial empaqueta un $x(t)$ y un $y(t)$ en un solo vector. Derivar cada componente da el vector velocidad, tangente a la trayectoria.

9.5

Integrating Vector-Valued Functions · ⁨Integración de funciones vectoriales⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (FUN-8): Solving an initial value problem allows us to determine an expression for the position of a particle moving in the plane.

Learning Objective FUN-8.A: Determine a particular solution given a rate vector and initial conditions. BC ONLY

FUN-8.A.1 Methods for calculating integrals of real-valued functions can be extended to parametric or vector-valued functions. BC ONLY

Español

Comprensión perdurable (FUN-8): Resolver un problema de valor inicial permite determinar una expresión para la posición de una partícula que se mueve en el plano.

Objetivo de aprendizaje FUN-8.A: Determinar una solución particular dado un vector de razón y condiciones iniciales. SOLO BC

FUN-8.A.1 Los métodos para calcular integrales de funciones de valor real pueden extenderse a funciones paramétricas o vectoriales. SOLO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Integrate a vector function component by component. Given acceleration or velocity plus an initial condition, integrate each component and use the condition to find the constants – recovering velocity from acceleration, or position from velocity.

Español

Integre una función vectorial componente por componente. Dada la aceleración o velocidad más una condición inicial, integre cada componente y use la condición para encontrar las constantes: recuperando la velocidad a partir de la aceleración, o la posición a partir de la velocidad.

9.6

Solving Motion Problems Using Parametric and Vector-Valued Functions · ⁨Resolución de problemas de movimiento usando ecuaciones paramétricas y funciones vectoriales⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (FUN-8): Solving an initial value problem allows us to determine an expression for the position of a particle moving in the plane.

Learning Objective FUN-8.B: Determine values for positions and rates of change in problems involving planar motion. BC ONLY

FUN-8.B.1 Derivatives can be used to determine velocity, speed, and acceleration for a particle moving along a curve in the plane defined using parametric or vector-valued functions. BC ONLY
FUN-8.B.2 For a particle in planar motion over an interval of time, the definite integral of the velocity vector represents the particle's displacement (net change in position) over the interval of time, from which we might determine its position. The definite integral of speed represents the particle's total distance traveled over the interval of time. BC ONLY

Español

Comprensión duradera (FUN-8): Resolver un problema de valor inicial nos permite determinar una expresión para la posición de una partícula que se mueve en el plano.

Objetivo de aprendizaje FUN-8.B: Determinar valores para posiciones y tasas de cambio en problemas que involucran movimiento plano. SOLO BC

FUN-8.B.1 Las derivadas pueden utilizarse para determinar la velocidad, la rapidez y la aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de una curva en el plano definida mediante funciones paramétricas o vectoriales. SOLO BC
FUN-8.B.2 Para una partícula en movimiento plano sobre un intervalo de tiempo, la integral definida del vector velocidad representa el desplazamiento de la partícula (cambio neto en la posición) durante dicho intervalo, a partir del cual podríamos determinar su posición. La integral definida de la rapidez representa la distancia total recorrida por la partícula durante el intervalo de tiempo. SOLO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

For a particle moving in a plane: position is $\langle x(t),y(t)\rangle$, velocity and acceleration are its derivatives, speed is $|\vec v|$, and the distance traveled over $[a,b]$ is

$$\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt.$$

Exam skill: these plane-motion problems appear on the BC free-response nearly every year – be fluent finding speed, the position at a later time (initial point plus the integral of velocity), and total distance.

Worked example. A particle has position $\langle t^2,\ t^3-t\rangle$. Its velocity is $\langle 2t,\ 3t^2-1\rangle$, so at $t=1$ the velocity is $\langle 2,\ 2\rangle$ and the speed is $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$. Its position at $t=2$ is $\langle 4,\ 6\rangle$.

Español

Para una partícula que se mueve en un plano: la posición es $\langle x(t),y(t)\rangle$, la velocidad y la aceleración son sus derivadas, la rapidez es $|\vec v|$, y la distancia recorrida en $[a,b]$ es

$$\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt.$$

Habilidad para el examen: estos problemas de movimiento en el plano aparecen en las preguntas de respuesta libre del BC casi todos los años — sea hábil al calcular la rapidez, la posición en un tiempo posterior (punto inicial más la integral de la velocidad) y la distancia total.

Ejemplo resuelto. Una partícula tiene posición $\langle t^2,\ t^3-t\rangle$. Su velocidad es $\langle 2t,\ 3t^2-1\rangle$, por lo tanto en $t=1$ la velocidad es $\langle 2,\ 2\rangle$ y la rapidez es $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$. Su posición en $t=2$ es $\langle 4,\ 6\rangle$.

9.7

Defining Polar Coordinates and Differentiating in Polar Form · ⁨Definición de coordenadas polares y diferenciación en forma polar⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.G: Calculate derivatives of functions written in polar coordinates. BC ONLY

FUN-3.G.1 Methods for calculating derivatives of real-valued functions can be extended to functions in polar coordinates. BC ONLY
FUN-3.G.2 For a curve given by a polar equation $r = f(\theta)$, derivatives of $r$, $x$, and $y$ with respect to $\theta$, and first and second derivatives of $y$ with respect to $x$ can provide information about the curve. BC ONLY

Español

Comprensión duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar las reglas de derivación puede simplificar la diferenciación.

Objetivo de aprendizaje FUN-3.G: Calcular derivadas de funciones escritas en coordenadas polares. SOLO BC

FUN-3.G.1 Los métodos para calcular derivadas de funciones de valores reales pueden extenderse a funciones en coordenadas polares. SOLO BC
FUN-3.G.2 Para una curva dada por una ecuación polar $r = f(\theta)$, las derivadas de $r$, $x$ e $y$ con respecto a $\theta$, así como la primera y segunda derivadas de $y$ con respecto a $x$, pueden proporcionar información sobre la curva. SOLO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Tracing a polar curve

Polar coordinates 极坐标 locate a point by its distance $r$ from the origin and angle $\theta$: convert with $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. A polar curve $r=f(\theta)$ is a parametric curve in $\theta$, so its slope is

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta},\quad\text{with } x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta.$$

Español

Trazado de una curva polar

Las coordenadas polares 极坐标 localizan un punto por su distancia $r$ al origen y su ángulo $\theta$: convierta usando $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. Una curva polar $r=f(\theta)$ es una curva paramétrica en $\theta$, por lo que su pendiente es

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta},\quad\text{with } x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta.$$

Las coordenadas polars dan un punto por su distancia r y ángulo theta — Las coordenadas polares dan un punto por su distancia r y ángulo theta

Explore · ⁨Explorar⁩

Graficar una curva polar

En coordenadas polares, un punto está a una distancia $r$ en un ángulo $\theta$. Hacer que $r$ dependa de $\theta$ traza curvas como este cardiode.

9.8

Finding the Area of a Polar Region · ⁨Cálculo del área de una región polar⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.D: Calculate areas of regions defined by polar curves using definite integrals. BC ONLY

CHA-5.D.1 The concept of calculating areas in rectangular coordinates can be extended to polar coordinates. BC ONLY

Español

Comprensión perdurable (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación del cambio en el área o el volumen sobre un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-5.D: Calcular áreas de regiones definidas por curvas polares usando integrales definidas. SOLO BC

CHA-5.D.1 El concepto de cálculo de áreas en coordenadas rectangulares puede extenderse a las coordenadas polares. SOLO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

The area swept out by a polar curve $r=f(\theta)$ from $\alpha$ to $\beta$ is

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta \big(f(\theta)\big)^2\,d\theta.$$

The region is a "fan" of thin triangular sectors; choosing the correct $\theta$-limits (where the curve starts and finishes tracing the region) is the main challenge.

Worked example. Find the area of one petal of the rose $r=2\sin(2\theta)$ (traced for $\theta$ from $0$ to $\tfrac{\pi}{2}$). Using $\sin^2 u=\tfrac12(1-\cos 2u)$,

$$A=\frac12\int_0^{\pi/2}(2\sin 2\theta)^2\,d\theta=\int_0^{\pi/2}(1-\cos 4\theta)\,d\theta=\left[\theta-\tfrac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}.$$

Español

El área barrida por una curva polar $r=f(\theta)$ desde $\alpha$ hasta $\beta$ es

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta \big(f(\theta)\big)^2\,d\theta.$$

La región es un "abanicón" de finos sectores triangulares; elegir los límites correctos de $\theta$ (donde la curva comienza y termina de trazar la región) es el principal desafío.

Ejemplo resuelto. Encuentre el área de un pétalo de la rosa $r=2\sin(2\theta)$ (trazada para $\theta$ desde $0$ hasta $\tfrac{\pi}{2}$). Usando $\sin^2 u=\tfrac12(1-\cos 2u)$,

$$A=\frac12\int_0^{\pi/2}(2\sin 2\theta)^2\,d\theta=\int_0^{\pi/2}(1-\cos 4\theta)\,d\theta=\left[\theta-\tfrac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}.$$

El área de una región polar se barre como la mitad de la integral de r cuadrado d theta — La región sombreada es un abanico de finos sectores barridos desde $\alpha$ hasta $\beta$; cada uno tiene área $\tfrac12 r^2\,d\theta$, por lo que el total es $\tfrac12\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$.

9.9

Finding the Area of the Region Bounded by Two Polar Curves · ⁨Cálculo del área de la región acotada por dos curvas polares⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.D: Calculate areas of regions defined by polar curves using definite integrals. BC ONLY

CHA-5.D.2 Areas of regions bounded by polar curves can be calculated with definite integrals. BC ONLY

Español

Comprensión perdurable (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambio en el área o el volumen a lo largo de un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-5.D: Calcular áreas de regiones definidas por curvas polares mediante integrales definidas. SOLO BC

CHA-5.D.2 Las áreas de regiones delimitadas por curvas polares se pueden calcular con integrales definidas. SOLO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

For the area between an outer curve $r_1$ and an inner curve $r_2$, subtract the sectors:

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta\big(r_1^2-r_2^2\big)\,d\theta.$$

Find the intersection angles first (set $r_1=r_2$), and be careful which curve is outer over each interval – they can swap.

Español

Para el área entre una curva exterior $r_1$ y una curva interior $r_2$, reste los sectores:

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta\big(r_1^2-r_2^2\big)\,d\theta.$$

Encuentre primero los ángulos de intersección (igualando $r_1=r_2$), y tenga cuidado de qué curva es la exterior en cada intervalo: pueden intercambiarse.

9.9

Exam tips · ⁨Consejos para el examen⁩

English

For parametric curves, $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/dt}{dx/dt}$; speed is $\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}$.
A vector-valued function carries the same information — differentiate/integrate it component by component.
In polar, convert with $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$; area swept is $\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
Watch the direction of tracing (the sign of $dx/dt$) and set correct $\theta$-limits for polar area.
Eliminate the parameter to recover the ordinary $y$-vs-$x$ shape when it helps.

Español

Para curvas paramétricas, $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/dt}{dx/dt}$; la rapidez es $\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}$.
Una función vectorial contiene la misma información — difériéntela/intégrala componente a componente.
En polares, convierta con $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$; el área barrida es $\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
Preste atención a la dirección del trazado (el signo de $dx/dt$) y establezca los límites correctos de $\theta$ para el área polar.
Elimine el parámetro para recuperar la forma ordinaria de $y$ vs $x$ cuando ello sea útil.

Interactive lessons on this topic · ⁨Lecciones interactivas sobre este tema⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.⁩

Past Papers · ⁨Exámenes Anteriores⁩

More topics in AP Cálculo BC · ⁨Más temas en AP Cálculo BC⁩