AP Cálculo BC

Consejos

Cálculo BC de AP contiene todo el contenido de AB y añade funciones paramétricas, polares y vectoriales, técnicas avanzadas de integración, integrales impropias, crecimiento logístico y —la mayor adición— sucesiones e series infinitas, incluyendo series de Taylor y Maclaurin con límites de error.

Las series son donde se gana o pierde en BC. Las pruebas de convergencia deben elegirse, no probarse una tras otra: ante una serie, debes saber en segundos a qué prueba apunta su forma y ser capaz de nombrar la prueba y verificar sus condiciones.

BC también informa un puntaje parcial de AB, por lo que el material de AB sigue siendo plenamente evaluable y no debe quedar rezagado.

Las notas cubren el material de AB y BC en orden del CED, dando a las series el espacio que necesitan. Los exámenes pasados publicados están en la biblioteca. Dado que el puntaje parcial de AB proviene del mismo examen, las unidades de AB permanecen en las notas con toda la profundidad, en lugar de ser resumidas.

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Límites y Continuidad

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1.1

Presentando el Cálculo: ¿Puede ocurrir un cambio en un instante?

Syllabus

Comprensión Duradera (CHA-1): El cálculo nos permite generalizar el conocimiento sobre el movimiento a una variedad de problemas que involucran cambios.

Objetivo de Aprendizaje CHA-1.A: Interpretar la tasa de cambio en un instante en términos de las tasas de cambio promedio sobre intervalos que contienen dicho instante.

CHA-1.A.1 El cálculo utiliza los límites para comprender y modelar cambios dinámicos.
CHA-1.A.2 Dado que una tasa de cambio promedio divide el cambio en una variable por el cambio en otra, la tasa de cambio promedio no está definida en un punto donde el cambio en la variable independiente sería cero.
CHA-1.A.3 El concepto de límite nos permite definir la tasa de cambio instantánea en términos de las tasas de cambio promedio.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

El cálculo es la matemática del cambio 变化和 del acumulación 累积. Responde dos grandes preguntas: qué tan rápido está cambiando algo ahora mismo, y cuánto se ha acumulado hasta ahora. La Unidad 1 construye la única herramienta sobre la que descansan ambas preguntas: el límite 极限.

Comienza con un acertijo. El velocímetro de un coche marca $60$ km/h. ¿Qué significa eso en un único instante 瞬间? La velocidad es distancia sobre tiempo. Pero en un solo instante no pasa tiempo ni se recorre distancia, por lo que la fracción parece $\tfrac{0}{0}$ – indefinida.

La tasa promedio de cambio 平均变化率 utiliza todo un intervalo 区间: el cambio en una cantidad dividido por el cambio en otra. Se divide por cero, y por tanto es indefinida, cuando el cambio en la entrada sería cero.
La tasa instantánea de cambio 瞬时变化rate es lo que queremos en un punto. Es el valor al que la tasa promedio se aproxima 趋近 a medida que el intervalo se encoge hacia una longitud cero.

El movimiento astuto no es sustituir cero (indefinido), sino observar hacia qué se aproxima la tasa promedio a medida que el intervalo se hace cada vez más pequeño. Ese valor al que se aproxima es un límite. Así, el cálculo nos permite describir el cambio en un instante – como un límite de tasas promedios sobre intervalos cada vez más cortos. Esta idea impulsa la derivada 导数 (Unidad 2) y, ejecutada al revés, la integral 积分 (Unidad 6). Todo lo demás en esta unidad define límites cuidadosamente y los calcula de manera confiable.

Explorar

Explorar la pendiente en un instante

y = bx² + d

Desliza el punto a lo largo de la curva. La línea tangente muestra la tasa de cambio exacta $\frac{dy}{dx}$ allí — el valor al que se acercan las tasas promedio a medida que el intervalo se reduce a un solo instante. La pendiente cambia con la posición, por lo que el cambio sí tiene un valor en cada instante.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
interval/ˈɪntəvl/	区间	qū jiān
instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/	瞬时变化率	shùn shí biàn huà lǜ
approaches/əˈprəʊtʃɪz/	趋近	qū jìn
derivative/dɪˈrɪvətɪv/	导数	dǎo shù
integral/ˈɪntɪɡrəl/	积分	jī fēn
arbitrarily/ˌɑːbɪˈtrerɪli/	任意地	rèn yì dì
sufficiently/səˈfɪʃəntli/	足够	zú gòu
behavior/bɪˈheɪvjə/	行为	xíng wéi
graphically/ˈɡræfɪkli/	用图象	yòng tú xiàng
numerically/njuːˈmerɪkli/	用数值	yòng shù zhí
analytically/ˌænəˈlɪtɪkli/	用解析式	yòng jiě xī shì
left-hand limit/left hænd ˈlɪmɪt/	左极限	zuǒ jí xiàn
right-hand limit/raɪt hænd ˈlɪmɪt/	右极限	yòu jí xiàn
one-sided limits/wʌn ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪts/	单侧极限	dān cè jí xiàn
open circle/ˈəʊpən ˈsɜːkl/	空心圆	kōng xīn yuán

1.2

Definiendo Límites y Usando la Notación de Límites

Syllabus

Comprensión duradera (LIM-1): El razonamiento basado en definiciones, teoremas y propiedades puede utilizarse para justificar afirmaciones sobre límites.

Objetivo de aprendizaje LIM-1.A: Representar límites analíticamente utilizando la notación correcta.

LIM-1.A.1 Dada una función $f$, el límite de $f(x)$ cuando $x$ se acerca a $c$ es un número real $R$ si $f(x)$ puede hacerse arbitrariamente cercano a $R$ al tomar $x$ suficientemente cercano a $c$ (pero no igual a $c$). Si el límite existe y es un número real, la notación común es $\lim_{x \to c} f(x) = R$.
- Afirmación de exclusión: La definición epsilon-delta de un límite no se evalúa en el Examen de Cálculo AB o BC de AP. Sin embargo, los profesores pueden incluir este tema en el curso si lo permiten el tiempo disponible.

Objetivo de aprendizaje LIM-1.B: Interpretar límites expresados en notación analítica.

LIM-1.B.1 Un límite puede expresarse de múltiples formas, incluyendo gráficamente, numéricamente y analíticamente.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una curva de puente suave: los límites describen el valor al que se acerca una gráfica al hacer zoom

Dada una función $f$, el límite de $f(x)$ cuando $x$ se acerca a $c$ es un número real $R$ si $f(x)$ puede hacerse arbitrariamente 任意地 cercano a $R$ tomando $x$ suficientemente 足够 cerca de $c$ – pero no igual a $c$. Escribimos

$$\lim_{x \to c} f(x) = R$$

y lo leemos: "el límite de $f(x)$, cuando $x$ se acerca a $c$, es igual a $R$".

Las últimas palabras son el corazón de un límite: describe el comportamiento 行为 de $f$ cerca de $c$, no el valor en $c$. La función puede estar indefinida en $c$, o definida pero igual a algo diferente; al límite no le importa.

Un límite puede mostrarse de tres formas: gráficamente 用图象, numéricamente 用数值 (una tabla), y analíticamente 用解析式 (álgebra). Aprender a transitar entre estas representaciones es una habilidad fundamental.

(Nota: la definición epsilon-delta de un límite no se evalúa en el Examen AP, por lo que este folleto no la utiliza.)

1.3

Estimando Valores de Límites desde Gráficas

Syllabus

Comprensión duradera (LIM-1): El razonamiento basado en definiciones, teoremas y propiedades puede utilizarse para justificar afirmaciones sobre límites.

Objetivo de aprendizaje LIM-1.C: Estimar límites de funciones.

LIM-1.C.1 El concepto de límite incluye los límites laterales.
LIM-1.C.2 La información gráfica de una función puede usarse para estimar sus límites.
LIM-1.C.3 Debido a problemas de escala, las representaciones gráficas de funciones pueden omitir comportamientos importantes de la función.
LIM-1.C.4 Un límite puede no existir para ciertas funciones en valores específicos de $x$. Algunas razones por las que el límite podría no existir son si la función es ilimitada, si oscila cerca de este valor o si el límite por la izquierda no es igual al límite por la derecha.
- Ejemplos ilustrativos para LIM-1.C.4:
  - $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} = \infty$
  - $\lim_{x \to 0} \dfrac{|x|}{x}$ no existe.
  - $\lim_{x \to 0} \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ no existe.
  - $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}$ no existe.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una gráfica es a menudo la forma más rápida de leer un límite. Para encontrar $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)$, desliza tu dedo a lo largo de la curva hacia $x = c$ desde ambos lados y pregunta: ¿hacia qué altura se dirige la curva?

Traza desde la izquierda (entradas menores que $c$): esto da el límite lateral izquierdo 左极限, $\displaystyle \lim_{x \to c^-} f(x)$.
Traza desde la derecha (entradas mayores que $c$): esto da el límite lateral derecho 右极限, $\displaystyle \lim_{x \to c^+} f(x)$.
Estos son los límites laterales 单侧极限. Si ambos se dirigen a la misma altura $R$, entonces el límite bidireccional existe y $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = R$.

Crucialmente, ignora el propio punto. Las gráficas marcan la diferencia entre el límite y el valor:

Un círculo abierto 空心圆 marca una altura a la que la curva se acerca pero no alcanza – un "agujero" 空洞.
Un círculo cerrado 实心圆 marca el valor real $f(c)$.

Así, una curva puede acercarse a $R = 3$ desde ambos lados (límite es $3$) mientras un punto relleno se encuentra a una altura de $5$ (valor $f(c) = 5$). El límite es $3$; no es necesario que coincidan.

Un límite no existe (escrito frecuentemente como DNE) cuando los dos lados discrepan (un salto 跳跃), cuando la función es ilimitada 无界 (crece sin límite), o cuando oscila 振荡 para siempre cerca de $c$. Por ejemplo:

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}\ \text{DNE}, \qquad \lim_{x \to 0} \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\ \text{DNE}.$$

Observa la escala 比例 de una gráfica: una imagen alejada puede ocultar un comportamiento importante cerca de un punto, así que confirma con álgebra cuando puedas.

Un límite existe en x=2 aunque el valor de la función f(2) sea diferente — El círculo abierto es la altura a la que se acerca la curva (el límite); el punto lleno es el valor real $f(2)$ -- no necesitan coincidir.

Explorar

Leer un límite desde el gráfico

y = ax² + bx + c

El límite cuando $x\to c$ es la altura hacia la cual se dirige la curva desde ambos lados — trata sobre hacia dónde va la función, no su valor en $c$. Sigue la curva hacia un $x$ y lee el $y$ al que se aproxima.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
limit/ˈlɪmɪt/	极限	jí xiàn
at a single instant/ætə ˈsɪŋɡl ˈɪnstənt/	瞬间	shùn jiān
average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/	平均变化率	píng jūn biàn huà lǜ
hole/həʊl/	空洞	kōng dòng
closed circle/kləʊzd ˈsɜːkl/	实心圆	shí xīn yuán
jump/dʒʌmp/	跳跃	tiào yuè
unbounded/ʌnˈbaʊndɪd/	无界	wú jiè
oscillates/ˈɒsɪleɪts/	振荡	zhèn dàng
scale/skeɪl/	比例	bǐ lì

1.4

Estimando Valores de Límites desde Tablas

Syllabus

Comprensión duradera (LIM-1): El razonamiento basado en definiciones, teoremas y propiedades puede utilizarse para justificar afirmaciones sobre límites.

Objetivo de aprendizaje LIM-1.C: Estimar límites de funciones.

LIM-1.C.5 La información numérica puede emplearse para estimar límites.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Cuando tienes datos o una fórmula pero no una imagen, una tabla 表格 de valores estima un límite numéricamente. Elige entradas que se acerquen a $c$ desde ambos lados y observa las salidas.

Por ejemplo, para estimar $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ (que es $\tfrac{0}{0}$ en $x=2$):

$x$	$1.9$	$1.99$	$1.999$	$\to 2 \leftarrow$	$2.001$	$2.01$	$2.1$
$f(x)$	$3.9$	$3.99$	$3.999$	?	$4.001$	$4.01$	$4.1$

Ambos lados marchan hacia $4$, así que estimamos que el límite es $4$. Una tabla solo sugiere un valor; es una estimación numérica, no una prueba.

1.5

Determinando Límites Usando Propiedades Algebraicas de Límites

Syllabus

Comprensión duradera (LIM-1): El razonamiento basado en definiciones, teoremas y propiedades puede utilizarse para justificar afirmaciones sobre límites.

Objetivo de aprendizaje LIM-1.D: Determinar los límites de funciones mediante teoremas de límites.

LIM-1.D.1 Los límites laterales pueden determinarse analítica o gráficamente.
LIM-1.D.2 Los límites de sumas, restas, productos, cocientes y funciones compuestas se pueden encontrar utilizando teoremas de límites.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La mayoría de los límites se encuentran analíticamente usando teoremas de límite 极限定理. Si $\lim_{x\to c} f(x)$ y $\lim_{x\to c} g(x)$ existen, el límite de una combinación es la misma combinación de los límites:

Suma / resta: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\pm g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x) \pm \lim_{x\to c}g(x)$
Producto: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\,g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x)\cdot\lim_{x\to c}g(x)$
Cociente: $\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}$, siempre que el límite del denominador no sea $0$.
Función compuesta 复合函数: si $g$ es continua en $\lim_{x\to c} f(x)$, entonces $\displaystyle \lim_{x\to c} g\big(f(x)\big) = g\!\left(\lim_{x\to c} f(x)\right)$.

La regla práctica: para una función construida a partir de polinomios, raíces y similares, primero intenta la sustitución directa 直接代入 – pon $x = c$ dentro. Si obtienes un número real, ese es el límite. Los límites laterales obedecen los mismos teoremas, leídos desde una sola dirección.

1.6

Determinando Límites Usando Manipulación Algebraica

Syllabus

Comprensión perdurable (LIM-1): El razonamiento basado en definiciones, teoremas y propiedades puede utilizarse para justificar afirmaciones sobre límites.

Objetivo de aprendizaje LIM-1.E: Determinar los límites de funciones utilizando expresiones equivalentes a la función o el teorema del emparedado.

LIM-1.E.1 Puede ser necesario o conveniente reorganizar expresiones en formas equivalentes antes de evaluar límites.
- Ejemplos ilustrativos para LIM-1.E.1:
  - Factorización y división de factores comunes en funciones racionales
  - Multiplicación por una expresión que involucra el conjugado de una suma o diferencia con el fin de simplificar funciones que contienen radicales
  - Uso de formas alternativas de funciones trigonométricas

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La sustitución directa a veces da la forma indeterminada 未定式 $\tfrac{0}{0}$. Esto no significa que el límite falle; significa que debes reescribir la función en una forma equivalente 等价形式 que elimine el problema, y luego sustituir. Tres movimientos estándar:

Factorizar y cancelar 因式分解并约分 una función racional 有理函数. Ejemplo: $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4$.
Multiplicar por el conjugado 共轭 para simplificar una radical 根式. Ejemplo: $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{x\big(\sqrt{x+1}+1\big)} = \frac{1}{2}$.
Usar formas alternativas de funciones trigonométricas (identidades) para simplificar.

El factor cancelado es la razón por la que la gráfica original tenía un agujero: las dos funciones coinciden en todas partes excepto en $x=c$, por lo que comparten el mismo límite allí.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
radical/ˈrædɪkl/	根式	gēn shì

1.7

Seleccionando Procedimientos para Determinar Límites

Syllabus

Este tema tiene como objetivo centrarse en la habilidad de seleccionar un procedimiento adecuado para determinar límites. Se debe proporcionar a los estudiantes oportunidades para practicar cuándo y cómo aplicar todos los objetivos de aprendizaje relacionados con la determinación de límites.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Este es un tema de habilidades, no nuevo contenido: elige la herramienta correcta para el límite frente a ti.

Intenta la sustitución directa primero. Una respuesta real significa que has terminado.
¿Obtienes $\tfrac{0}{0}$? Reescribe – factoriza y cancela, usa el conjugado, o una identidad trigonométrica – y luego sustituye.
¿Un número distinto de cero sobre $0$ (como $\tfrac{5}{0}$)? El límite es infinito o DNE – verifica el signo desde cada lado (mira las asíntotas verticales abajo).
Cuando $x\to\pm\infty$? Compara los términos dominantes 主导 (mira los límites en el infinito).
¿Atrapado entre dos funciones? Puede aplicarse el teorema del emparedado 夹逼定理.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
dominant/ˈdɒmɪnənt/	主导	zhǔ dǎo
squeeze theorem/skwiːz ˈθɪərəm/	夹逼定理	jiā bī dìng lǐ
discontinuous/dɪskənˈtɪnjuːəs/	间断	jiàn duàn
Removable discontinuity/rɪˈmuːvəbl dɪskɒntɪˈnjuːɪti/	可去间断	kě qù jiàn duàn
Jump discontinuity/dʒʌmp dɪskɒntɪˈnjuːɪti/	跳跃间断	tiào yuè jiàn duàn
Infinite discontinuity/ˈɪnfɪnət dɪskɒntɪˈnjuːɪti/	无穷间断	wú qióng jiàn duàn

1.8

Determinando Límites Usando el Teorema del Emparedado

Syllabus

Comprensión perdurable (LIM-1): El razonamiento basado en definiciones, teoremas y propiedades puede utilizarse para justificar afirmaciones sobre límites.

Objetivo de aprendizaje LIM-1.E: Determinar los límites de funciones utilizando expresiones equivalentes de la función o el teorema del empedrado.

LIM-1.E.2 El límite de una función puede encontrarse utilizando el teorema del empedrado.
- Ejemplos ilustrativos para LIM-1.E.2: El teorema del empedrado puede usarse para demostrar que $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ y $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = 0$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

El teorema del emparedado 夹逼定理 (también llamado teorema del sándwich) encuentra un límite atrapando la función entre otras dos. Si $g(x) \le f(x) \le h(x)$ cerca de $c$, y

$$\lim_{x\to c} g(x) = \lim_{x\to c} h(x) = L,$$

entonces $f$ está empaquetada hacia el mismo lugar: $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = L$.

Los dos resultados famosos demostrados de esta manera, usados a lo largo del cálculo, son:

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \qquad\text{and}\qquad \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x} = 0.$$

El Teorema del Encaje atrapa x² sin(1/x) entre menos x² y x²

1.9

Conectando Múltiples Representaciones de Límites

Syllabus

Este tema se centra en la conexión entre las distintas representaciones. Se debe proporcionar a los estudiantes oportunidades para practicar cuándo y cómo aplicar todos los objetivos de aprendizaje relacionados con los límites, así como para traducir información matemática desde una única representación o a través de múltiples representaciones.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Otro tema de habilidades: el mismo límite vive en una gráfica, una tabla y una forma algebraica, y deberías poder traducir entre ellas. Una gráfica muestra la forma y cualquier agujero o salto; una tabla da evidencia numérica; el álgebra da un valor exacto y una razón. Las respuestas sólidas usan una representación para confirmar otra.

1.10

Explorando Tipos de Discontinuidades

Syllabus

Comprensión duradera (LIM-2): El razonamiento basado en definiciones, teoremas y propiedades puede utilizarse para justificar afirmaciones sobre la continuidad.

Objetivo de aprendizaje LIM-2.A: Justificar conclusiones sobre la continuidad en un punto utilizando la definición.

LIM-2.A.1 Los tipos de discontinuidades incluyen discontinuidades evitables, discontinuidades de salto y discontinuidades debidas a asíntotas verticales.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una función es discontinua 间断 en $c$ cuando su gráfica "se rompe" allí. Hay tres tipos:

Discontinuidad evitable 可去间断 – un solo agujero. El límite bidireccional existe, pero el punto falta o está mal colocado.
Discontinuidad de salto 跳跃间断 – los dos límites laterales existen pero discrepan, por lo que la curva salta.
Discontinuidad infinita 无穷间断 – la función explota hacia $\pm\infty$ en una asíntota vertical 垂直渐近线.

Los tres tipos de discontinuidad: removible, salto e infinita

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
table/ˈteɪbl/	表格	biǎo gé
limit theorems/ˈlɪmɪt ˈθɪərəmz/	极限定理	jí xiàn dìng lǐ
Composite/ˈkɒmpəzɪt/	复合函数	fù hé hán shù
direct substitution/daɪˈrekt ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	直接代入	zhí jiē dài rù
indeterminate form/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːm/	未定式	wèi dìng shì
equivalent form/ɪˈkwɪvələnt fɔːm/	等价形式	děng jià xíng shì
Factor and cancel/ˈfæktə ænd ˈkænsl/	因式分解并约分	yīn shì fēn jiě bìng yuē fēn
rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/	有理函数	yǒu lǐ hán shù
conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/	共轭	gòng è

1.11

Definiendo la Continuidad en un Punto

Syllabus

Comprensión duradera (LIM-2): El razonamiento basado en definiciones, teoremas y propiedades puede utilizarse para justificar afirmaciones sobre la continuidad.

Objetivo de aprendizaje LIM-2.A: Justificar conclusiones sobre la continuidad en un punto utilizando la definición.

LIM-2.A.2 Una función $f$ es continua en $x = c$ si $f(c)$ existe, $\lim_{x \to c} f(x)$ existe y $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La continuidad se define mediante una prueba de tres partes. Una función $f$ es continua 连续 en $x=c$ exactamente cuando se cumplen las tres condiciones:

$$\boxed{\;f(c)\text{ exists}\quad\text{and}\quad \lim_{x\to c} f(x)\text{ exists}\quad\text{and}\quad \lim_{x\to c} f(x) = f(c)\;}$$

En palabras: el punto está ahí, el límite está ahí, y ambos coinciden. Si alguna falla, $f$ es discontinua en $c$. Esta prueba es la columna vertebral de casi toda pregunta de continuidad, así que apréndela como una lista de verificación.

1.12

Confirmando la Continuidad en un Intervalo

Syllabus

Comprensión duradera (LIM-2): El razonamiento basado en definiciones, teoremas y propiedades puede utilizarse para justificar afirmaciones sobre la continuidad.

Objetivo de aprendizaje LIM-2.B: Determinar los intervalos en los que una función es continua.

LIM-2.B.1 Una función es continua en un intervalo si es continua en cada punto del intervalo.
LIM-2.B.2 Las funciones polinómicas, racionales, potenciales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en todos sus puntos de definición.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una función es continua en un intervalo 在区间上 continuo si es continua en cada punto de ese intervalo. Rara vez verificamos punto por punto, porque familias enteras son continuas en sus dominios:

Las funciones polinómicas, racionales, potenciales, exponenciales 指数, logarítmicas 对数和 trigonométricas 三角 son continuas en cada punto de sus dominios.

Así, una función racional es continua en todas partes excepto donde su denominador es cero; $\ln x$ es continua para $x>0$; etc. Conocer esto te permite declarar la continuidad rápidamente y correctamente.

1.13

Eliminando Discontinuidades

Syllabus

Comprensión duradera (LIM-2): El razonamiento con definiciones, teoremas y propiedades puede utilizarse para justificar afirmaciones sobre la continuidad.

Objetivo de aprendizaje LIM-2.C: Determinar valores de $x$ o resolver para parámetros que hagan continuas funciones discontinuas, si es posible.

LIM-2.C.1 Si el límite de una función existe en una discontinuidad de su gráfica, entonces es posible eliminar la discontinuidad definiendo o redefiniendo el valor de la función en ese punto, de modo que sea igual al valor del límite de la función cuando $x$ se acerca a dicho punto.
LIM-2.C.2 Para que una función definida por tramos sea continua en un límite de la partición de su dominio, el valor de la expresión que define la función en un lado del límite debe ser igual al valor de la expresión que define el otro lado del límite, así como al valor de la función en el límite.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Si el límite existe en un agujero, la discontinuidad es evitable: redefine la función en ese único punto para que sea igual al límite, y la gráfica se repara. Formalmente, establece el valor faltante como $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)$.

Para una función definida a trozos 分段函数, la continuidad en un límite $x=c$ requiere que las dos piezas se encuentren: el valor de la pieza izquierda, el valor de la pieza derecha y $f(c)$ deben ser todos iguales. Este es un escenario común en exámenes: resuelves para un parámetro 参数 (una constante desconocida) que hace que las piezas coincidan:

$$\lim_{x\to c^-} f(x) = \lim_{x\to c^+} f(x) = f(c).$$

1.14

Conectando Límites Infinitos y Asíntotas Verticales

Syllabus

Comprensión duradera (LIM-2): El razonamiento basado en definiciones, teoremas y propiedades puede utilizarse para justificar afirmaciones sobre la continuidad.

Objetivo de aprendizaje LIM-2.D: Interpretar el comportamiento de las funciones mediante límites que involucran infinito.

LIM-2.D.1 El concepto de límite puede extenderse para incluir límites infinitos.
LIM-2.D.2 El comportamiento asintótico e ilimitado de las funciones puede describirse y explicarse utilizando límites.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La idea de límite se extiende a límites infinitos 无穷极限. Cuando una función crece sin cerca cerca de $x=c$, escribimos $\lim_{x\to c} f(x) = \pm\infty$. Esto describe una asíntota vertical en $x=c$: la gráfica abraza la línea vertical $x=c$ y se dispara hacia $\pm\infty$.

Esto sucede donde un número distinto de cero se divide por algo que se acerca a $0$, como en un cero de un denominador que no se cancela. Siempre verifica cada lado por separado – los dos lados pueden dispararse en direcciones opuestas (uno a $+\infty$, otro a $-\infty$).

Un límite infinito en una asíntota vertical x = c, donde los dos lados se disparan hacia infinidades opuestas — Cerca de una asíntota vertical, la gráfica se pega a la línea $x=c$, y los dos lados pueden dispararse a infinitos opuestos.

Explorar

Explorar un límite infinito en una asíntota vertical

y = a/(x − b) + c

Cuando $x \to 0$, la curva $y=\frac{1}{x}$ se dispara hacia $+\infty$ desde la derecha y $-\infty$ desde la izquierda — la línea $x=0$ es una asíntota vertical que el gráfico abraza pero nunca toca.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/	垂直渐近线	chuí zhí jiàn jìn xiàn
continuous/kənˈtɪnjuːəs/	连续	lián xù
continuous on an interval/kənˈtɪnjuːəs ɒn ən ˈɪntəvl/	在区间上连续	zài qū jiān shàng lián xù
exponential/ˌekspəˈnenʃl/	指数	zhǐ shù
logarithmic/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk/	对数	duì shù
trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/	三角	sān jiǎo
piecewise-defined function/ˈpiːswaɪz dɪˈfaɪnd ˈfʌŋkʃn/	分段函数	fēn duàn hán shù
parameter/pəˈræmɪtə/	参数	cān shù
infinite limits/ˈɪnfɪnət ˈlɪmɪts/	无穷极限	wú qióng jí xiàn
limits at infinity/ˈlɪmɪts æt ɪnˈfɪnɪti/	无穷远处的极限	wú qióng yuǎn chù de jí xiàn
end behavior/end bɪˈheɪvjə/	末端行为	mò duān xíng wéi

1.15

Conectando Límites en el Infinito y Asíntotas Horizontales

Syllabus

Comprensión duradera (LIM-2): El razonamiento basado en definiciones, teoremas y propiedades puede utilizarse para justificar afirmaciones sobre la continuidad.

Objetivo de aprendizaje LIM-2.D: Interpretar el comportamiento de las funciones mediante límites que involucran el infinito.

LIM-2.D.3 El concepto de límite puede extenderse para incluir límites en el infinito.
LIM-2.D.4 Los límites en el infinito describen el comportamiento extremo (o conductual).
LIM-2.D.5 Las magnitudes relativas de las funciones y sus tasas de cambio pueden compararse utilizando límites.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

También podemos dejar que la entrada crezca: los límites en el infinito 无穷远处的极限 describen el comportamiento final 末端行为 de una función cuando $x\to\pm\infty$. Si las salidas se estabilizan hacia un valor finito $L$, entonces $y=L$ es una asíntota horizontal 水平渐近线.

Para una función racional, compara los grados 次数 del numerador y el denominador:

grado superior < grado inferior $\Rightarrow$ el límite es $0$ (asíntota $y=0$);
grado superior = grado inferior $\Rightarrow$ el límite es la razón de los coeficientes principales 首项系数之比;
grado superior > grado inferior $\Rightarrow$ la función es ilimitada (sin asíntota horizontal).

De manera más general, comparamos las magnitudes relativas 相对大小 (tasas de crecimiento relativo) de las funciones: muy lejos, una exponencial supera a cualquier polinomio, y un polinomio supera a cualquier logaritmo. En el examen, "cuando $t\to\infty$, ¿qué cantidad es mayor/dónde se asienta la tasa?" se responde con un límite en el infinito.

A limit at infinity produces a horizontal asymptote

Explorar

Explorar el comportamiento extremo y una asíntota horizontal

y = a/(x − b) + c

Lejos hacia la izquierda y la derecha, la curva se nivela hacia $y=\mathbf{c}$ — eso es $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)$, la asíntota horizontal. Cambia $\mathbf{c}$ para mover el nivel al que se asienta.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/	水平渐近线	shuǐ píng jiàn jìn xiàn
degrees/dɪˈɡriːz/	次数	cì shù
ratio of the leading coefficients/ˈreɪʃɪəʊ ɒvðə ˈliːdɪŋ ˌkəʊɪˈfɪʃənts/	首项系数之比	shǒu xiàng xì shù zhī bǐ
relative magnitudes/ˈrelətɪv ˈmæɡnɪtjuːdz/	相对大小	xiāng duì dà xiǎo
Intermediate Value Theorem/ˌɪntəˈmiːdɪət ˈvæljuː ˈθɪərəm/	介值定理	jiè zhí dìng lǐ
existence theorem/eɡˈzɪstəns ˈθɪərəm/	存在性定理	cún zài xìng dìng lǐ

1.16

Trabajando con el Teorema del Valor Intermedio (TVI)

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-1): Los teoremas de existencia nos permiten extraer conclusiones sobre el comportamiento de una función en un intervalo sin precisar su ubicación exacta.

Objetivo de Aprendizaje FUN-1.A: Explicar el comportamiento de una función en un intervalo utilizando el Teorema del Valor Intermedio.

FUN-1.A.1 Si $f$ es una función continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y $d$ es un número entre $f(a)$ y $f(b)$, entonces el Teorema del Valor Intermedio garantiza que existe al menos un número $c$ entre $a$ y $b$ tal que $f(c) = d$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

El Teorema del Valor Intermedio 介值定理 es un teorema de existencia 存在性定理 – garantiza que existe un valor sin decirte dónde:

Signos opuestos de f(a) y f(b) atrapan una raíz entre a y b — Signos opuestos de f(a) y f(b) encierran una raíz entre a y b

Si $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a,b]$, y $d$ es cualquier número entre $f(a)$ y $f(b)$, entonces hay al menos un número $c$ en $(a,b)$ tal que $f(c)=d$.

Una curva ininterrumpida no puede saltarse una altura entre sus extremos – debe pasar por cada una de ellas.

Habilidad de examen – cómo justificar con el TVI. Estas preguntas aparecen casi cada año (por ejemplo, "¿Debe haber un valor $c$ con $R(c)=155$?" o "¿Existe un momento en que $r'(t)=-6$?"). Una justificación de crédito completo tiene tres movimientos:

Declara la continuidad. Di que la función es continua en $[a,b]$ (a menudo porque es diferenciable, o se da como continua).
Muestra que $d$ está atrapado. Calcula los dos valores en los extremos y muestra que el objetivo $d$ se encuentra entre ellos, p. ej. $f(a) < d < f(b)$.
Concluye por nombre. "Por el Teorema del Valor Intermedio, hay un $c$ en $(a,b)$ tal que $f(c)=d$."

Saltarse la declaración de continuidad, o no mostrar que $d$ está entre los extremos, pierde el punto – el teorema requiere ambas condiciones.

Ejemplo resuelto. Evalúa $\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2-5}{2x^2+x}$. Divide el numerador y el denominador por la potencia más alta, $x^2$: $\dfrac{3-5/x^2}{2+1/x}\to\dfrac{3-0}{2+0}=\dfrac{3}{2}$. Debido a que el límite es un número finito, la línea $y=\tfrac{3}{2}$ es una asíntota horizontal de la gráfica.

El Teorema del Valor Intermedio: una curva continua toca cada altura entre f(a) y f(b) — Una curva continua desde $(a,f(a))$ hasta $(b,f(b))$ debe cruzar cada altura $d$ intermedia al menos una vez.

Explorar

Por qué una curva continua no puede saltar un valor

y = ax³ + bx² + cx + d

El Teorema del Valor Intermedio: una función continua en $[a,b]$ toma cada $y$ entre $f(a)$ y $f(b)$ en algún punto interior. Una curva ininterrumpida no puede saltar sobre una altura — debe pasar a través de ella.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
change/tʃeɪndʒ/	变化	biàn huà
accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/	累积	lěi jī

1.16

Consejos para el examen

Un límite describe hacia qué $f(x)$ se acerca, lo cual no necesita ser igual a $f(a)$ — el límite bidireccional existe solo si ambos lados coinciden.
Intenta la sustitución directa primero; para una forma $\tfrac00$, factoriza y cancela o racionaliza antes de sustituir.
Una función es continua en $a$ cuando el límite existe, $f(a)$ está definida y son iguales.
Usa el Teorema del Valor Intermedio para garantizar una raíz: una función continua que cambia de signo en $[a,b]$ toma todos los valores intermedios.
Lee las asíntotas horizontales del comportamiento final (límites en $\pm\infty$) y las asíntotas verticales donde el denominador (no el numerador) es cero.

Diferenciación: Definición y propiedades fundamentales

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2.1

Average and Instantaneous Rates of Change at a Point

Syllabus

Comprensión perdurable (CHA-2): Las derivadas nos permiten determinar las tasas de cambio en un instante aplicando límites al conocimiento sobre las tasas de cambio en intervalos.

Objetivo de aprendizaje CHA-2.A: Determinar las tasas de cambio promedio utilizando cocientes de diferencia.

CHA-2.A.1 Los cocientes de diferencia $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ y $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ expresan la tasa de cambio promedio de una función sobre un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-2.B: Representar la derivada de una función como el límite de un cociente de diferencia.

CHA-2.B.1 La tasa de cambio instantánea de una función en $x=a$ puede expresarse mediante $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ o $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, siempre que el límite exista. Estas son formas equivalentes de la definición de la derivada y se denotan como $f'(a)$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una montaña rusa en la subida inicial: la derivada mide la tasa de cambio instantánea — Una montaña rusa en una cuesta de ascenso: la derivada mide la tasa de cambio instantánea

La derivada desde los primeros principios

La Unidad 1 construyó el límite. La Unidad 2 lo utiliza para definir la derivada – la tasa de cambio exacta en un punto.

La tasa instantánea de cambio es la pendiente de la tangente en un punto — La tasa de cambio instantánea es la pendiente de la recta tangente en un punto

Sobre un intervalo, la tasa de cambio promedio es un cociente de diferencias. Aparecen dos formas equivalentes:

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \qquad\text{and}\qquad \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

La primera usa un paso de tamaño $h$ desde $a$; la segunda usa dos puntos $x$ y $a$. Ambas calculan $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ sobre el intervalo.

La tasa de cambio instantánea en $x=a$ es hacia lo que se aproxima el cociente de diferencias cuando el intervalo se reduce a cero. Este límite es la derivada en $a$, escrita como $f'(a)$:

$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},$$

siempre que el límite exista.

Explorar

De la tasa promedio a la tasa instantánea

y = ax³ + bx² + cx + d

Desliza el punto: la secante a través de dos puntos cercanos se inclina hacia la tangente a medida que se fusionan. La pendiente de la tangente es la derivada — la tasa de cambio instantánea.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
derivative/dɪˈrɪvətɪv/	导数	dǎo shù
difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/	差商	chà shāng
instantaneous/ˌɪnstənˈteɪnɪəs/	瞬时	shùn shí
first principles/fɜːst ˈprɪnsɪplz/	用定义求导	yòng dìng yì qiú dǎo
notations/nəʊˈteɪʃnz/	记号	jì hào
slope/sləʊp/	斜率	xié lǜ
tangent line/ˈtændʒənt laɪn/	切线	qiè xiàn

2.2

Definición de la Derivada y Lectura de su Notación

Syllabus

Comprensión perdurable (CHA-2): Las derivadas nos permiten determinar tasas de cambio instantáneas aplicando límites al conocimiento sobre tasas de cambio en intervalos.

Objetivo de aprendizaje CHA-2.B: Representar la derivada de una función como el límite de un cociente de diferencias.

CHA-2.B.2 La derivada de $f$ es la función cuyo valor en $x$ es $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, siempre que dicho límite exista.
CHA-2.B.3 Para $y=f(x)$, las notaciones para la derivada incluyen $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$ y $y'$.
CHA-2.B.4 La derivada puede representarse gráficamente, numéricamente, analíticamente y verbalmente.

Objetivo de aprendizaje CHA-2.C: Determinar la ecuación de una recta tangente a una curva en un punto dado.

CHA-2.C.1 La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Deje que el punto $a$ varíe y la derivada se convierte en una nueva función:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

Esta es la definición de la derivada (a veces llamada derivar "por definición" o por primeros principios). Su valor en cada $x$ es la tasa de cambio instantánea allí.

Las notaciones comunes para la derivada de $y=f(x)$ son:

$$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$

La derivada puede representarse gráfica, numérica, analítica y verbalmente; esté preparado para moverse entre ellas.

Significado geométrico. La derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica allí. Así, la recta tangente en $x=a$ pasa por $\big(a, f(a)\big)$ con pendiente $f'(a)$:

$$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$

Escribir esta recta es una tarea rutinaria en los exámenes, así que mantenga la forma punto-pendiente lista.

Las pendientes de las secantes se acercan a la pendiente de la tangente: la derivada es el límite de las tasas promedio

2.3

Estimación de una Derivada en un Punto

Syllabus

Comprensión duradera (CHA-2): Las derivadas nos permiten determinar las tasas de cambio en un instante aplicando límites al conocimiento sobre las tasas de cambio en intervalos.

Objetivo de aprendizaje CHA-2.D: Estimar derivadas.

CHA-2.D.1 La derivada en un punto puede estimarse a partir de información proporcionada en tablas o gráficas.
CHA-2.D.2 Se puede utilizar tecnología para calcular o estimar el valor de la derivada de una función en un punto.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

No siempre tiene una fórmula. Cuando una función está dada por una tabla o una gráfica, estime la derivada $f'(a)$ con un cociente de diferencias sobre un intervalo pequeño alrededor de $a$. Una tabla con valores a ambos lados de $a$ proporciona la mejor estimación:

$$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$

La tecnología (una calculadora) también puede estimar una derivada en un punto.

Habilidad de examen (aparece casi todos los años). Preguntas como "Aproxime $M'(7.5)$ usando la tasa de cambio promedio de $M$ sobre el intervalo $5 \le t \le 10$" piden exactamente este cociente de diferencias. Muestre la configuración:

$$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$

Se requiere crédito completo si se sustituyen los números y se incluyen las unidades correctas (unidades de salida por unidad de entrada), ya que provienen de modelos del mundo real.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
table/ˈteɪbl/	表格	biǎo gé
units/ˈjuːnɪts/	单位	dān wèi
differentiable/ˈdɪfərenʃɪəbl/	可导	kě dǎo
continuous/kənˈtɪnjuːəs/	连续	lián xù
corner/ˈkɔːnə/	尖点	jiān diǎn
vertical tangent/ˈvɜːtɪkl ˈtændʒənt/	垂直切线	chuí zhí qiè xiàn
power rule/ˈpaʊə ruːl/	幂法则	mì fǎ zé
Constant multiple/ˈkɒnstənt ˈmʌltɪpl/	常数倍	cháng shù bèi
polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	多项式	duō xiàng shì
product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/	乘积法则	chéng jī fǎ zé
quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/	商法则	shāng fǎ zé
identities/aɪˈdentɪtiz/	恒等式	héng děng shì
second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/	二阶导数	èr jiē dǎo shù

2.4

Diferenciabilidad y Continuidad: Cuándo Existe una Derivada

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-2): Reconocer que la derivada de una función puede ser también una función nos permite desarrollar conocimiento sobre los comportamientos relacionados de ambas.

Objetivo de aprendizaje FUN-2.A: Explicar la relación entre diferenciabilidad y continuidad.

FUN-2.A.1 Si una función es diferenciable en un punto, entonces es continua en ese punto. En particular, si un punto no pertenece al dominio de $f$, entonces tampoco pertenece al dominio de $f'$.
FUN-2.A.2 Una función continua puede dejar de ser diferenciable en algún punto de su dominio.
- Ejemplos ilustrativos para FUN-2.A.2:
  - Los límites laterales del cociente de diferencias no son iguales, como en $f(x)=|x|$ en $x=0$.
  - La recta tangente es vertical y no tiene pendiente, como en $f(x)=\sqrt[3]{x}$ en $x=0$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La diferenciabilidad es más fuerte que la continuidad. La relación clave:

Si $f$ es diferenciable en un punto, entonces $f$ es continua allí.

Así, la diferenciabilidad implica continuidad. Lo contrario es falso: una función continua puede dejar de ser diferenciable. Dos formas en que esto ocurre:

Un punto anguloso: los límites del cociente de diferencias izquierdo y derecho no coinciden, como con $f(x)=|x|$ en $x=0$.
Una tangente vertical: la pendiente es infinita (sin número real), como con $f(x)=\sqrt[3]{x}$ en $x=0$.

Dos formas en que una función continua no es diferenciable: una esquina y una tangente vertical — Dos formas en que una función continua no es diferenciable: un punto anguloso y una tangente vertical

Además, un punto fuera del dominio de $f$ no puede estar en el dominio de $f'$. Use la contrapositiva en el examen: si $f$ no es continua en $a$, entonces $f$ no es diferenciable en $a$.

2.5

Regla de la Potencia

Syllabus

Comprensión perdurable (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.

Objetivo de aprendizaje FUN-3.A: Calcular derivadas de funciones familiares.

FUN-3.A.1 La aplicación directa de la definición de derivada y de reglas específicas pueden utilizarse para calcular la derivada de funciones de la forma $f(x)=x^{r}$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Desde aquí usamos reglas en lugar de la definición de límite cada vez. La regla de la potencia maneja cualquier potencia de $x$:

$$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$

Funciona para potencias enteras, potencias negativas ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$) y raíces ($\sqrt{x}=x^{1/2}$): reescriba primero como una potencia, luego aplique la regla.

Explorar

Una función potencia y su pendiente creciente

y = ax³ + bx² + cx + d

La regla de la potencia $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ baja el exponente como factor. Para $x^3$, la pendiente crece rápidamente a medida que $x$ se aleja de 0 — la curva se vuelve más pronunciada.

2.6

Reglas de Constante, Suma, Diferencia y Múltiplo Constante

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.

Objetivo de Aprendizaje FUN-3.A: Calcular derivadas de funciones conocidas.

FUN-3.A.2 Las sumas, diferencias y múltiplos constantes de funciones pueden diferenciarse mediante reglas de derivación.
FUN-3.A.3 La regla de la potencia combinada con las propiedades de suma, diferencia y múltiplo constante se puede utilizar para encontrar las derivadas de funciones polinómicas.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Estas reglas le permiten derivar término a término:

Constante: $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (una constante no cambia).
Múltiplo constante: $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$.
Suma / diferencia: $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$.

Combinadas con la regla de la potencia, derivan cualquier polinomio término a término. Ejemplo:

$$\frac{d}{dx}\big(4x^3 - 5x + 7\big) = 12x^2 - 5.$$

2.7

Derivadas de cos x, sin x, e^x y ln x

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.

Objetivo de Aprendizaje FUN-3.A: Calcular derivadas de funciones familiares.

FUN-3.A.4 Pueden utilizarse reglas específicas para encontrar las derivadas de las funciones seno, coseno, exponencial y logarítmica.

Comprensión Duradera (LIM-3): El razonamiento basado en definiciones, teoremas y propiedades puede emplearse para determinar un límite.

Objetivo de Aprendizaje LIM-3.A: Interpretar un límite como una definición de derivada.

LIM-3.A.1 En algunos casos, reconocer una expresión que corresponde a la definición de la derivada de una función cuya derivada ya se conoce ofrece una estrategia para determinar un límite.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Aprenda estas cuatro derivadas fundamentales de memoria:

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$

$$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$

Note el signo negativo en la derivada del coseno, y que $e^{x}$ es su propia derivada.

Un límite que es realmente una derivada (LIM-3.A.1). A veces un límite es secretamente la definición de una derivada conocida. Si reconoce

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

para una función $f$ cuya derivada conoce, simplemente evalúe $f'(a)$. Por ejemplo, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.

Explorar

La forma de sen x (cuya pendiente es cos x)

y = asen(bx + c) + d

La derivada de $\sin x$ es $\cos x$: la pendiente de la curva seno es máxima donde el seno cruza cero y cero en sus picos. Observa la curva para sentir dónde su pendiente es pronunciada o plana.

2.8

Regla del Producto

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar las reglas de derivación puede simplificar la diferenciación.

Objetivo de Aprendizaje FUN-3.B: Calcular derivadas de productos y cocientes de funciones diferenciables.

FUN-3.B.1 Las derivadas de productos de funciones diferenciables se pueden encontrar utilizando la regla del producto.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

El producto de dos funciones no se deriva multiplicando las derivadas. Use la regla del producto:

$$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$

"Derivada del primero por el segundo, más el primero por la derivada del segundo." Ejemplo:

$$\frac{d}{dx}\big(x^2 e^{x}\big) = 2x\,e^{x} + x^2 e^{x}.$$

Las preguntas de examen a menudo construyen una nueva función a partir de piezas dadas, p. ej., $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, y le piden combinar reglas mientras leen valores de una tabla.

2.9

Regla del Cociente

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.

Objetivo de Aprendizaje FUN-3.B: Calcular derivadas de productos y cocientes de funciones diferenciables.

FUN-3.B.2 Las derivadas de cocientes de funciones diferenciables se pueden encontrar utilizando la regla del cociente.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Para un cociente, use la regla del cociente:

$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}.$$

"Por abajo por la derivada de arriba, menos arriba por la derivada de por abajo, todo dividido por el cuadrado de por abajo." El orden importa debido al signo negativo, así que escriba el numerador con cuidado. Ejemplo:

$$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$

2.10

Derivadas de Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.

Objetivo de Aprendizaje FUN-3.B: Calcular derivadas de productos y cocientes de funciones diferenciables.

FUN-3.B.3 Reordenar las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante mediante identidades permite su diferenciación utilizando las reglas de derivación.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Las derivadas trigonométricas restantes no se memorizan por separado: las reescribe con identidades y aplica la regla del cociente (o del producto). Por ejemplo, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, así que la regla del cociente da

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$

El mismo método (escribir $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) da $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$ y $-\csc x\cot x$.

Derivadas de orden superior. Derivar $f'$ nuevamente da la segunda derivada $f''(x)$ (o $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) – la tasa de cambio de la tasa de cambio. Una parte de examen como "Encuentre $k''(3)$" solo significa derivar dos veces y luego sustituir. También puede estimar una segunda derivada a partir de una tabla aplicando el método de tasa de cambio promedio a los valores de $f'$.

Ejemplo resuelto. Derive $g(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ con la regla del cociente $\left(\tfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$: tome $u=\sin x$, $v=x$, dando $g'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}$. Mantenga el orden $u'v-uv'$ en el numerador — intercambiar los términos invierte el signo y hace perder la puntuación.

2.10

Consejos para el examen

La derivada es la pendiente de la tangente – el límite de la pendiente de la secante $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ cuando $h\to0$.
Memorice las reglas: potencia, producto, cociente, y las derivadas de $\sin$, $\cos$, $e^x$ y $\ln x$.
La diferenciabilidad implica continuidad, pero no al revés (un punto anguloso o cúspide es continuo pero no diferenciable).
Distinga la tasa de cambio promedio (pendiente de la secante sobre un intervalo) de la tasa de cambio instantánea (la derivada en un punto).
Escriba la ecuación de la recta tangente como $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.

Diferenciación: funciones compuestas, implícitas e inversas

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3.1

La Regla de la Cadena

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.

Objetivo de Aprendizaje FUN-3.C: Calcular derivadas de composiciones de funciones diferenciables.

FUN-3.C.1 La regla de la cadena proporciona un método para derivar funciones compuestas.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Un camino de montaña: las funciones compuestas anidan tasas de cambio (regla de la cadena)

La regla de la cadena

La Unidad 2 diferencia funciones simples diferenciadas. La Unidad 3 diferencia funciones construidas dentro de otras funciones. La regla de la cadena 链式法则 diferencia una función compuesta 复合函数 $f\big(g(x)\big)$:

$$\frac{d}{dx}\,f\big(g(x)\big) = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$$

"Derivada de la función externa (dejando el interior intacto), multiplicada por la derivada del interior." La derivada interna $g'(x)$ es la parte que los estudiantes suelen olvidar, así que siempre pregúntese "¿qué es lo interno y cuál es su derivada?". Ejemplo:

$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$

En notación leibniziana, con $y=f(u)$ y $u=g(x)$, la regla se escribe $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ — el término intermedio $du$ parece "cancelarse". Las preguntas de examen a menudo proporcionan una tabla para $f$, $g$, $f'$, $g'$ y solicitan $h'(a)$ donde $h(x)=f\big(g(x)\big)$; evalúe $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ leyendo los valores.

Ejemplo resuelto. Diferencia $h(x)=(2x^2+1)^5$. La función externa es "(algo)$^5$" y la interna es $2x^2+1$:

$$h'(x)=5(2x^2+1)^4\cdot 4x=20x(2x^2+1)^4.$$

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
chain rule/tʃeɪn ruːl/	链式法则	liàn shì fǎ zé
composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/	复合函数	fù hé hán shù
Implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/	隐函数求导	yǐn hán shù qiú dǎo
inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/	反函数	fǎn hán shù
reciprocal/rɪˈsɪprəkl/	倒数	dào shǔ
inverse trigonometric functions/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/	反三角函数	fǎn sān jiǎo hán shù
second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/	二阶导数	èr jiē dǎo shù
concavity/kənˈkævɪti/	凹凸性	āo tū xìng

3.2

Diferenciación Implícita

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar las reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.

Objetivo de aprendizaje FUN-3.D: Calcular derivadas de funciones definidas implícitamente.

FUN-3.D.1 La regla de la cadena es la base de la diferenciación implícita.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Algunas curvas están definidas implícitamente — mediante una ecuación en $x$ e $y$ que no está despejada para $y$, como $x^2+y^2=25$. La diferenciación implícita 隐函数求导 encuentra $\dfrac{dy}{dx}$ sin despejar $y$ previamente. Es simplemente la regla de la cadena, tratando a $y$ como una función de $x$.

El método: derive ambos lados con respecto a $x$; cada vez que derive un término con $y$, multiplique por $\dfrac{dy}{dx}$ (la regla de la cadena); luego despeje algebraicamente $\dfrac{dy}{dx}$. Para $x^2+y^2=25$:

$$2x + 2y\frac{dy}{dx}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.$$

Ejemplo resuelto. Encuentra la tangente a $x^2+y^2=25$ en $(3,4)$. Aquí $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$, así que la línea tangente es $y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3)$ – perpendicular al radio, como predice la geometría.

La diferenciación implícita proporciona la tangente a un círculo, perpendicular al radio — Diferenciación implícita proporciona la tangente a un círculo, perpendicular al radio

Habilidad de examen – "Demuestre que $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". Este enunciado exacto aparece casi todos los años (por ejemplo, "Demuestre que $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Dado que el objetivo está dado, debe mostrar cada paso algebraico con claridad: derive ambos lados, aplique las reglas del producto/cadena a los términos mixtos $xy$, agrupe todos los términos $\dfrac{dy}{dx}$ en un lado, factorice y divida. Una línea final correcta que omita el álgebra obtiene pocos puntos. Las partes subsiguientes suelen pedir la recta tangente, o dónde la tangente es horizontal ($\tfrac{dy}{dx}=0$, por lo tanto el numerador es $0$) o vertical (el denominador es $0$).

3.3

Diferenciación de Funciones Inversas

Syllabus

Comprensión perdurable (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.

Objetivo de aprendizaje FUN-3.E: Calcular derivadas de funciones inversas y trigonométricas inversas.

FUN-3.E.1 La regla de la cadena y la definición de una función inversa pueden utilizarse para encontrar la derivada de una función inversa, siempre que dicha derivada exista.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Si $g$ es la función inversa 反函数 de $f$ (es decir, $f(g(x))=x$), la regla de la cadena vincula sus derivadas:

$$g'(x) = \frac{1}{f'\big(g(x)\big)},\qquad\text{provided } f'\big(g(x)\big)\neq 0.$$

En palabras: la derivada de la inversa en un punto es el recíproco 倒数 de la derivada de la función original en el punto correspondiente. Un escenario de examen común proporciona una tabla y un punto $(a,b)$ en $f$ (por lo tanto $(b,a)$ está en $g$), y luego pide $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.

Ejemplo resuelto. Si $f(2)=5$ y $f'(2)=3$, y $g$ es la inversa de $f$, entonces $(5,2)$ yace en $g$ y $g'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.

La función inversa es la imagen especular de la función en la recta y = x

Explorar

Una exponencial y su inversa el log

y = a·e^(bx) + c

Las funciones inversas se reflejan a través de $y=x$ y sus pendientes son recíprocas. Donde una es pronunciada, su inversa es suave.

3.4

Diferenciación de Funciones Trigonométricas Inversas

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.

Objetivo de aprendizaje FUN-3.E: Calcular derivadas de funciones inversas y funciones trigonométricas inversas.

FUN-3.E.2 La regla de la cadena aplicada junto con la definición de una función inversa, o la fórmula para la derivada de una función inversa, pueden utilizarse para encontrar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La misma idea da las derivadas de las funciones trigonométricas inversas 反三角函数. Las tres que debe conocer:

$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$

Combine estas con la regla de la cadena cuando la entrada sea ella misma una función, por ejemplo $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.

3.5

Selección de Procedimientos para Calcular Derivadas

Syllabus

Este tema está destinado a centrarse en la habilidad de seleccionar un procedimiento adecuado para el cálculo de derivadas. Se debe brindar a los estudiantes oportunidades para practicar cuándo y cómo aplicar todos los objetivos de aprendizaje relacionados con el cálculo de derivadas.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Un tema de habilidad: las derivadas reales mezclan varias reglas, así que lea primero la estructura de la expresión, de afuera hacia adentro.

¿Es una suma? Derive término a término.
¿Un producto o cociente? Aplique esa regla, y espere usar la regla de la cadena internamente.
¿Una compuesta (algo dentro de algo)? Regla de la cadena.
¿Dada implícitamente? Diferenciación implícita.

Nombre la operación más externa, aplique su regla y recorra hacia adentro. El orden evita errores de signo y de contabilidad que cuestan puntos.

3.6

Cálculo de Derivadas de Orden Superior

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.

Objetivo de aprendizaje FUN-3.F: Determinar derivadas de orden superior de una función.

FUN-3.F.1 Derivar $f'$ produce la segunda derivada $f''$, siempre que exista la derivada de $f'$; repetir este proceso genera derivadas de orden superior de $f$.
FUN-3.F.2 Las derivadas de orden superior se representan mediante diversas notaciones. Para $y = f(x)$, las notaciones para la segunda derivada incluyen $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$ e $y''$. Las derivadas de orden superior pueden denotarse como $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ o $f^{(n)}(x)$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Derivar $f'$ produce la segunda derivada 二阶导数 $f''$; repetir esto genera derivadas de orden superior. Las notaciones:

$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$

La segunda derivada mide cómo cambia la pendiente; impulsa la concavidad 凹凸性和 aceleración en unidades posteriores. Para encontrar $f''$ implícitamente, derive nuevamente la expresión para $\dfrac{dy}{dx}$ (con las reglas del cociente y la cadena), y luego sustituya $\dfrac{dy}{dx}$ de vuelta.

Explorar

La segunda derivada es la pendiente de la pendiente

y = ax³ + bx² + cx + d

Diferenciar nuevamente da $f''$, la tasa a la que cambia la pendiente. Donde la pendiente está aumentando, la curva se curva hacia arriba.

3.6

Consejos para el examen

Use la regla de la cadena para funciones compuestas — derive la parte exterior, luego multiplique por la derivada de la parte interna (el factor más olvidado).
Para la diferenciación implícita, derive ambos lados con respecto a $x$ y adjunte $\tfrac{dy}{dx}$ cada vez que se derive $y$, luego despeje.
Obtenga la segunda derivada derivando dos veces (velocidad → aceleración).
Combine las reglas cuidadosamente en expresiones anidadas (cadena dentro de producto, etc.).
La gráfica de la función inversa es el reflejo en $y=x$; su pendiente es el recíproco de la original en el punto correspondiente.

Aplicaciones contextuales de la diferenciación

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4.1

Interpretación del Significado de la Derivada en Contexto

Syllabus

Comprensión duradera (CHA-3): Las derivadas nos permiten resolver problemas del mundo real que involucran tasas de cambio.

Objetivo de aprendizaje CHA-3.A: Interpretar el significado de una derivada en contexto.

CHA-3.A.1 La derivada de una función puede interpretarse como la tasa de cambio instantánea con respecto a su variable independiente.
CHA-3.A.2 La derivada puede utilizarse para expresar información sobre tasas de cambio en contextos aplicados.
CHA-3.A.3 La unidad de $f'(x)$ es la unidad de $f$ dividida por la unidad de $x$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una vez que puedas calcular derivadas, las usas para describir el mundo real. La derivada $f'(x)$ es la tasa de cambio instantánea de $f$ con respecto a su entrada. Leer y reportar esta tasa correctamente es una habilidad evaluada.

Las unidades importan. La unidad de $f'(x)$ es la unidad de $f$ dividida por la unidad de $x$. Si $C(t)$ es un número de acres y $t$ está en semanas, entonces $C'(t)$ está en acres por semana. En el examen, "Interpretar el significado de $g'(140)$ usando unidades correctas" requiere una oración completa: el valor, la cantidad, la palabra de tasa "por", y el momento. Por ejemplo: "$g'(140)=2.3$ significa que en $x=140$, la cantidad está aumentando a razón de aproximadamente $2.3$ unidades por unidad de $x$."

4.2

Movimiento Rectilíneo: Posición, Velocidad y Aceleración

Syllabus

Comprensión duradera (CHA-3): Las derivadas nos permiten resolver problemas del mundo real que implican tasas de cambio.

Objetivo de aprendizaje CHA-3.B: Calcular tasas de cambio en contextos aplicados.

CHA-3.B.1 La derivada puede utilizarse para resolver problemas de movimiento rectilíneo que involucran posición, rapidez, velocidad y aceleración.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Para una partícula que se mueve sobre una línea, tres funciones del tiempo están vinculadas mediante diferenciación:

En una gráfica de velocidad-tiempo, el área es el desplazamiento y la pendiente es la aceleración

posición $s(t)$;
velocidad $v(t)=s'(t)$ – con signo; su signo indica la dirección;
aceleración $a(t)=v'(t)=s''(t)$.

Lecturas clave (partes frecuentes del examen):

La partícula está en reposo cuando $v(t)=0$.
Se mueve hacia la derecha/arriba cuando $v(t)>0$ y hacia la izquierda/abajo cuando $v(t)<0$; cambia de dirección donde $v$ cambia de signo.
La rapidez es $|v(t)|$. La rapidez está aumentando cuando $v$ y $a$ tienen el mismo signo (la partícula acelera), y disminuyendo cuando tienen signos opuestos.

Distingue cuidadosamente entre velocidad (tiene dirección) y rapidez (no tiene) – el examen prueba esta diferencia exacta.

Ejemplo resuelto. Una partícula se mueve con $s(t)=t^3-6t^2+9t$. Entonces $v(t)=3(t-1)(t-3)$, por lo que está en reposo en $t=1$ y $t=3$ y cambia de dirección en cada uno. En $t=2$, $v=-3<0$ y $a(2)=6(2)-12=0$; justo después, $a>0$ mientras $v<0$, por lo que la partícula está frenando allí.

Explorar

La velocidad es la pendiente de la posición

y = ax³ + bx² + cx + d

Para el movimiento en línea recta, la velocidad es la derivada (pendiente) de la posición y la aceleración es la derivada de la velocidad. Desliza el punto para leer la velocidad instantánea.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
position/pəˈzɪʃn/	位置	wèi zhì
velocity/vəˈlɒsɪti/	速度	sù dù
acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/	加速度	jiā sù dù
at rest/æt rest/	静止	jìng zhǐ
Speed/spiːd/	速率	sù lǜ

4.3

Tasas de cambio en contextos aplicados distintos del movimiento

Syllabus

Comprensión perdurable (CHA-3): Las derivadas nos permiten resolver problemas del mundo real que involucran tasas de cambio.

Objetivo de aprendizaje CHA-3.C: Interpretar tasas de cambio en contextos aplicados.

CHA-3.C.1 La derivada puede utilizarse para resolver problemas que involucran tasas de cambio en contextos aplicados.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La misma idea de derivada modela cualquier cantidad cambiante: un tanque que se vacía, una población que se expande, una taza que se enfría. Siempre que un problema diga "la tasa a la que...", está describiendo una derivada. Lee las unidades para saber qué tasa de qué cantidad tienes, luego interpreta en contexto.

4.4

Introducción a Tasas Relacionadas

Syllabus

Comprensión Duradera (CHA-3): Las derivadas nos permiten resolver problemas del mundo real que involucran tasas de cambio.

Objetivo de Aprendizaje CHA-3.D: Calcular tasas de cambio relacionadas en contextos aplicados.

CHA-3.D.1 La regla de la cadena es la base para derivar variables en un problema de tasas de cambio relacionadas con respecto a la misma variable independiente.
CHA-3.D.2 Otras reglas de diferenciación, como la regla del producto y la regla del cociente, también pueden ser necesarias para derivar todas las variables con respecto a la misma variable independiente.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una montaña rusa: las tasas relacionadas conectan qué tan rápido cambian las cantidades vinculadas juntas

En un problema de tasas relacionadas, varias cantidades cambian juntas con el tiempo, y conoces algunas tasas pero quieres otra. El motor es la regla de la cadena: diferencia una relación con respecto al tiempo $t$. Cada variable se convierte en una función de $t$, por lo que cada derivada toma un factor "$\,/\,dt$". También pueden ser necesarias las reglas del producto y del cociente.

Un globo ascendente: las tasas relacionadas vinculan cómo cambian juntos el radio, el volumen y la altura

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
related rates/rɪˈleɪtɪd reɪts/	相关变化率	xiāng guān biàn huà lǜ
local linearity/ˈləʊkl lɪˈnɪərɪti/	局部线性	jú bù xiàn xìng
linear approximation/ˈlɪnɪə əˌprɒksɪˈmeɪʃn/	线性近似	xiàn xìng jìn sì
concavity/kənˈkævɪti/	凹凸性	āo tū xìng
underestimate/ˌʌndəˈrestɪmət/	低估	dī gū
overestimate/ˌəʊvəˈrestɪmət/	高估	gāo gū
indeterminate form/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːm/	未定式	wèi dìng shì
L'Hospital's Rule/ˈelhɒspɪtlz ruːl/	洛必达法则	luò bì dá fǎ zé

4.5

Resolución de Problemas de Tasas Relacionadas

Syllabus

Comprensión duradera (CHA-3): Las derivadas nos permiten resolver problemas del mundo real que involucran tasas de cambio.

Objetivo de aprendizaje CHA-3.E: Interpretar las tasas relacionadas en contextos aplicados.

CHA-3.E.1 La derivada puede utilizarse para resolver problemas de tasas relacionadas; es decir, encontrar la tasa a la que cambia una cantidad relacionándola con otras cantidades cuyas tasas de cambio son conocidas.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Un procedimiento confiable – y una plantilla de crédito completo en el examen:

Nombra las variables y escribe las tasas dadas y la tasa desconocida (ej. "$\dfrac{dh}{dt}=-2$ cm/día, encuentra $\dfrac{dV}{dt}$").
Escribe una ecuación que relacione las cantidades (a menudo una fórmula geométrica o de volumen).
Diferencia ambos lados con respecto a $t$ (regla de la cadena) – antes de sustituir números.
Sustituye los valores conocidos en el instante de interés, y resuelve para la tasa desconocida.
Indica la respuesta con unidades y el signo correcto (una cantidad decreciente tiene una tasa negativa).

Sustituir números demasiado pronto es el error clásico: diferencie primero la relación general y luego sustituya.

Ejemplo resuelto. El volumen de un globo esférico crece a una tasa de $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$. De $V=\tfrac43\pi r^3$, diferencie primero: $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$. En $r=5$, $100=4\pi(25)\dfrac{dr}{dt}$, por lo tanto $\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{1}{\pi}\approx0.32\ \text{cm/s}$.

Un globo inflando vincula dV/dt y dr/dt a través de la regla de la cadena

4.6

Aproximación de valores usando linealidad local y linealización

Syllabus

Comprensión duradera (CHA-3): Las derivadas nos permiten resolver problemas del mundo real que implican tasas de cambio.

Objetivo de aprendizaje CHA-3.F: Aproximar un valor en una curva utilizando la ecuación de una recta tangente.

CHA-3.F.1 La recta tangente es la gráfica de una aproximación lineal local de la función cerca del punto de tangencia.
CHA-3.F.2 Para una aproximación por recta tangente, el comportamiento de la función cerca del punto de tangencia puede determinar si el valor de la recta tangente es una subestimación o una sobreestimación del valor correspondiente de la función.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Linealidad local y linealización

Cerca de un punto de tangencia, una curva suave se parece a su recta tangente – esto es linealidad local. Así, la recta tangente proporciona una aproximación lineal (linealización) de la función cerca de ese punto:

$$f(x) \approx L(x) = f(a) + f'(a)(x-a).$$

Úsala para estimar $f$ en un $x$ cercano a $a$.

¿Sobreestimación o subestimación? La respuesta sigue de la curvatura 凹凸性. Si la gráfica es cóncava hacia arriba cerca de $a$ (se curva por encima de su tangente), el valor de la línea tangente es una subestimación 低估. Si es cóncava hacia abajo, la línea tangente queda por encima de la curva, dando una sobreestimación 高估. Las partes del examen prueban este razonamiento, así que justifica con el signo de $f''$.

La recta tangente es una aproximación lineal local; la concavidad corrige la sobreestimación o subestimación

Explorar

Aproximar una curva con su línea tangente

y = ax³ + bx² + cx + d

Linealidad local: cerca de un punto, una curva suave parece su línea tangente, por lo que la tangente proporciona una buena aproximación lineal de los valores cercanos.

4.7

Using L'Hospital's Rule for Indeterminate Forms

Syllabus

Comprensión duradera (LIM-4): La Regla de L'Hospital nos permite determinar los límites de algunas formas indeterminadas.

Objetivo de aprendizaje LIM-4.A: Determinar los límites de funciones que resultan en formas indeterminadas.

LIM-4.A.1 Cuando el cociente de dos funciones tiende a $\dfrac{0}{0}$ o $\dfrac{\infty}{\infty}$ en el límite, tales formas se denominan indeterminadas.
- Declaración de exclusión: Existen muchas otras formas indeterminadas, como $\infty - \infty$, por ejemplo; sin embargo, estos temas no serán evaluados ni en el Examen de Cálculo AP AB ni en el Examen de Cálculo AP BC. No obstante, los docentes pueden incluir estos temas si lo permiten el tiempo disponible.
LIM-4.A.2 Los límites de las formas indeterminadas $\dfrac{0}{0}$ o $\dfrac{\infty}{\infty}$ pueden evaluarse mediante la Regla de L'Hospital.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Cuando la sustitución directa en un cociente de límites da la forma indeterminada $\dfrac{0}{0}$ o $\dfrac{\infty}{\infty}$, puedes usar la Regla de L'Hôpital:

$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)},$$

siempre que exista el límite del lado derecho. Diferencia el numerador y el denominador por separado (esto no es la regla del cociente), luego intenta el límite nuevamente. Primero confirma que la forma realmente sea $\tfrac{0}{0}$ o $\tfrac{\infty}{\infty}$ – aplicar la regla a cualquier otra forma es un error.

Ejemplo resuelto. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$ da $\tfrac00$, por lo que diferencie numerador y denominador: $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$. Y $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}$ también es $\tfrac00$; se convierte en $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2e^{2x}}{1}=2$.

4.7

Consejos para el examen

En problemas de movimiento: la velocidad es la derivada de la posición, la aceleración es la derivada de la velocidad; la rapidez aumenta cuando la velocidad y la aceleración comparten un signo.
Para tasas relacionadas, diferencia la ecuación que relaciona las cantidades con respecto al tiempo, luego sustituye los valores dados al final.
Usa la recta tangente para una aproximación lineal cerca de un punto conocido; es precisa solo cerca de él.
Lee el signo de una tasa: positivo significa que las cantidades se mueven juntas, negativo significa opuesto.
Siempre indica las unidades e interpreta la respuesta en contexto.

Aplicaciones analíticas de la diferenciación

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5.1

Uso del Teorema del Valor Medio

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-1): Los teoremas de existencia nos permiten extraer conclusiones sobre el comportamiento de una función en un intervalo sin precisar su ubicación exacta.

Objetivo de Aprendizaje FUN-1.B: Justificar conclusiones sobre funciones aplicando el Teorema del Valor Medio en un intervalo.

FUN-1.B.1 Si una función $f$ es continua en el intervalo $[a, b]$ y diferenciable en el intervalo $(a, b)$, entonces el Teorema del Valor Medio garantiza la existencia de un punto dentro de ese intervalo abierto donde la tasa de cambio instantánea es igual a la tasa de cambio promedio en el intervalo.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

The Mean Value Theorem

El Teorema del Valor Medio (TVM) vincula la tasa de cambio promedio con una instantánea:

Si $f$ es continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$, entonces existe al menos un punto $c$ en $(a,b)$ donde
$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

En palabras: en algún lugar dentro del intervalo, la tasa instantánea es igual a la tasa promedio. Geométricamente, alguna línea tangente es paralela a la línea que une los extremos.

El Teorema del Valor Medio: alguna tangente es paralela a la secante sobre el intervalo

Habilidad de examen. Al igual que el TVI, el TVM es un teorema de existencia, y las preguntas te piden justificar. Para obtener la puntuación completa necesitas: (1) declarar que $f$ es continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$; (2) calcular la tasa promedio $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$; (3) concluir "por el TVM existe un $c$ en $(a,b)$ con $f'(c)$ igual a ese valor". Ambas hipótesis deben ser nombradas.

Ejemplo resuelto. Para $f(x)=x^2$ en $[1,3]$ la tasa promedio es $\dfrac{9-1}{2}=4$; establecer $f'(c)=2c=4$ da $c=2$, que yace en $(1,3)$ – el punto garantizado.

Explorar

El Teorema del Valor Medio en acción

y = ax³ + bx² + cx + d

El Teorema del Valor Medio garantiza un punto donde la tangente es paralela a la secante a través de un intervalo — la tasa instantánea es igual a la tasa promedio en algún lugar dentro.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
Mean Value Theorem/miːn ˈvæljuː ˈθɪərəm/	中值定理	zhōng zhí dìng lǐ
Extreme Value Theorem/ekˈstriːm ˈvæljuː ˈθɪərəm/	极值定理	jí zhí dìng lǐ
critical point/ˈkrɪtɪkl pɔɪnt/	临界点	lín jiè diǎn
local (relative) extrema/ˈləʊkl ekˈstremə/	局部极值	jú bù jí zhí

5.2

Extreme Values, Global vs Local Extrema, and Critical Points

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-1): Los teoremas de existencia nos permiten sacar conclusiones sobre el comportamiento de una función en un intervalo sin localizar con precisión dicho comportamiento.

Objetivo de Aprendizaje FUN-1.C: Justificar conclusiones sobre funciones aplicando el Teorema del Valor Extremo.

FUN-1.C.1 Si una función $f$ es continua en el intervalo $(a, b)$, entonces el Teorema del Valor Extremo garantiza que $f$ tiene al menos un valor mínimo y al menos un valor máximo en $[a, b]$.
FUN-1.C.2 Un punto de una función donde la primera derivada es igual a cero o no existe es un punto crítico de la función.
FUN-1.C.3 Todos los extremos locales (relativos) ocurren en puntos críticos de una función, aunque no todos los puntos críticos son extremos locales.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La cima de una montaña: los extremos y los puntos críticos marcan los valores más altos y más bajos

El Teorema del Valor Extremo (TVE) garantiza que existen extremos: una función continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ alcanza tanto un máximo absoluto como un mínimo absoluto en él.

En un máximo o mínimo la derivada es cero

Un punto crítico es un punto interior donde $f'(x)=0$ o $f'(x)$ no existe. Todos los extremos locales (relativos) ocurren en puntos críticos, pero no todos los puntos críticos son extremos. Por lo tanto, los puntos críticos son los candidatos; debe probar cada uno.

5.3

Where a Function Increases or Decreases

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender algunos comportamientos de la función.

Objetivo de aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función basándose en el comportamiento de sus derivadas.

FUN-4.A.1 La primera derivada de una función puede proporcionar información sobre la función y su gráfica, incluyendo los intervalos en los que la función es creciente o decreciente.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La primera derivada indica dónde $f$ sube o baja:

$f'(x) > 0$ on an interval $\Rightarrow$ $f$ is increasing there;
$f'(x) < 0$ $\Rightarrow$ $f$ is decreasing.

En el examen, "encuentra los intervalos donde $f$ es creciente" significa: encuentra los puntos críticos, luego prueba el signo de $f'$ entre ellos, y justifica con el signo de $f'$ (una razón explícita, no solo un intervalo).

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
increasing/ɪnˈkriːsɪŋ/	递增	dì zēng
decreasing/ˈdiːkriːsɪŋ/	递减	dì jiǎn

5.4

The First Derivative Test for Local Extrema

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de dicha función.

Objetivo de Aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función en base al comportamiento de sus derivadas.

FUN-4.A.2 La primera derivada de una función puede determinar la ubicación de los extremos relativos (locales) de la función.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Para clasificar un punto crítico $x=c$ como máximo local, mínimo local o ninguno, verificar cómo cambia $f'$ de signo allí:

$f'$ changes $+$ hasta $-$ at $c$ $\Rightarrow$ local maximum;
$f'$ changes $-$ hasta $+$ at $c$ $\Rightarrow$ local minimum;
$f'$ hace no change sign $\Rightarrow$ neither.

Always state the sign change as your justification.

Ejemplo resuelto. Para $f(x)=x^3-3x^2$, $f'(x)=3x(x-2)$ es cero en $x=0,2$. Los signos dan $+,-,+$, por lo que $x=0$ es un máximo local ($f=0$) y $x=2$ un mínimo local ($f=-4$).

El signo de f-prima establece dónde una función aumenta o disminuye y localiza sus extremos locales — Donde $f' > 0$ la gráfica sube y donde $f' < 0$ baja; un máximo local se sitúa donde $f'$ pasa de $+$ a $-$, un mínimo local donde pasa de $-$ a $+$.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
local maximum/ˈləʊkl ˈmæksɪməm/	极大值	jí dà zhí
local minimum/ˈləʊkl ˈmɪnɪməm/	极小值	jí xiǎo zhí

5.5

The Candidates Test for Absolute Extrema

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de la función.

Objetivo de Aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función basándose en el comportamiento de sus derivadas.

FUN-4.A.3 Los extremos absolutos (globales) de una función en un intervalo cerrado solo pueden ocurrir en puntos críticos o en los extremos del intervalo.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

En un intervalo cerrado, los extremos absolutos (globales) ocurren solo en puntos críticos o extremos. La prueba de candidatos:

Listar todos los puntos críticos en $[a,b]$ y los dos extremos.
Evaluación $f$ at each candidate.
La salida más grande es el máximo absoluto; la más pequeña es el mínimo absoluto.

Muestra la tabla de valores: la comparación es el argumento.

5.6

Concavity and Points of Inflection

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de la función.

Objetivo de Aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función basándose en el comportamiento de sus derivadas.

FUN-4.A.4 La gráfica de una función es cóncava hacia arriba (hacia abajo) en un intervalo abierto si la derivada de la función es creciente (decreciente) en dicho intervalo.
FUN-4.A.5 La segunda derivada de una función proporciona información sobre la función y su gráfica, incluidos los intervalos de concavidad hacia arriba o hacia abajo.
FUN-4.A.6 La segunda derivada de una función puede utilizarse para localizar puntos de inflexión en la gráfica de la función original.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

El second derivative describes bending:

$f'' > 0$ $\Rightarrow$ $f$ es cóncava hacia arriba (curvándose como una taza; $f'$ es creciente);
$f'' < 0$ $\Rightarrow$ $f$ is concave down ($f'$ is decreasing).

Un punto de inflexión es donde la concavidad cambia, es decir, donde $f''$ cambia de signo (no simplemente donde $f''=0$). Informe su coordenada $x$ y justifique con el cambio de signo de $f''$.

La concavidad proviene del signo de la segunda derivada; cambia en un punto de inflexión

Explorar

Encontrar dónde cambia la concavidad

y = ax³ + bx² + cx + d

Concavidad es el signo de la segunda derivada: cóncava hacia arriba donde la curva retiene agua, cóncava hacia abajo donde se derrama. Un punto de inflexión es donde cambia.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/	下凹	xià āo
point of inflection/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/	拐点	guǎi diǎn

5.7

The Second Derivative Test for Extrema

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender algunos comportamientos de la función.

Objetivo de Aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función basándose en el comportamiento de sus derivadas.

FUN-4.A.7 La segunda derivada de una función puede determinar si un punto crítico es la ubicación de un máximo o mínimo relativo (local).
FUN-4.A.8 Cuando una función continua tiene solo un punto crítico en un intervalo de su dominio y dicho punto crítico corresponde a un extremo relativo (local) de la función en ese intervalo, entonces ese punto crítico también corresponde al extremo absoluto (global) de la función en el intervalo.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una alternativa para clasificar un punto crítico $c$ donde $f'(c)=0$:

$f''(c) > 0$ $\Rightarrow$ concave up $\Rightarrow$ local minimum;
$f''(c) < 0$ $\Rightarrow$ concave down $\Rightarrow$ local maximum;
$f''(c) = 0$ $\Rightarrow$ la prueba es inconclusa; volver a la prueba de la primera derivada.

Caso especial: si una función continua tiene solo un punto crítico en un intervalo y es un extremo local, ese punto también es el absoluto extremo allí.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/	上凹	shàng āo

5.8

Sketching a Function and Its Derivative

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de dicha función.

Objetivo de Aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función basándose en el comportamiento de sus derivadas.

FUN-4.A.9 Las características clave de las funciones y sus derivadas pueden identificarse y relacionarse con sus representaciones gráfica, numérica y analítica.
FUN-4.A.10 La información gráfica, numérica y analítica obtenida de $f'$ y $f''$ puede emplearse para predecir y explicar el comportamiento de $f$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Las características clave de $f$, $f'$ y $f''$ se reflejan mutuamente. Para dibujar o leer gráficos:

$f$ creciente $\Leftrightarrow$ $f'$ sobre el eje; $f$ tiene un máximo local $\Leftrightarrow$ $f'$ cruza de $+$ a $-$.
$f$ cóncava hacia arriba $\Leftrightarrow$ $f'$ creciente $\Leftrightarrow$ $f''$ sobre el eje; $f$ tiene un punto de inflexión $\Leftrightarrow$ $f'$ tiene un extremo local $\Leftrightarrow$ $f''$ cruza cero.

5.9

Connecting $f$, $f'$, and $f''$

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de la función.

Objetivo de aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función basándose en el comportamiento de sus derivadas.

FUN-4.A.11 Las características clave de las gráficas de $f$, $f'$ y $f''$ están relacionadas entre sí.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Esta es la habilidad de leer una gráfica para describir otra. Una configuración de examen muy común proporciona la gráfica de $f'$ y pregunta sobre $f$: ¿dónde es creciente $f$ (donde $f'>0$), dónde están los extremos de $f$ (donde $f'$ cruza cero, con un cambio de signo), dónde es cóncava hacia arriba $f$ (donde $f'$ es creciente)? Responde las preguntas sobre $f$ usando la altura y la pendiente de la gráfica de $f'$.

Explorar

Leer pendiente y curvatura a partir del gráfico

y = ax³ + bx² + cx + d

Donde $f'>0$ la función crece; donde $f''>0$ se curva hacia arriba. Deslice la tangente para conectar la forma de $f$ con los signos de sus primeras y segundas derivadas.

5.10

Introducción a problemas de optimización

Syllabus

Comprensión perdurable (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de dicha función.

Objetivo de aprendizaje FUN-4.B: Calcular valores mínimos y máximos en contextos aplicados o en el análisis de funciones.

FUN-4.B.1 La derivada puede emplearse para resolver problemas de optimización; es decir, para encontrar un valor mínimo o máximo de una función en un intervalo dado.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Optimisation: the best box

La optimización utiliza la derivada para encontrar el valor más grande o más pequeño de una cantidad en un intervalo. Es la maquinaria de candidatos/prueba de derivada aplicada a un objetivo real.

Cercas cerradas: la optimización encuentra las dimensiones que maximizan el área para una longitud fija de cerca — Fenced enclosures: optimization finds the dimensions that maximize area for a fixed fence length

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
Optimization/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/	最优化	zuì yōu huà

5.11

Resolviendo Problemas de Optimización

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de la misma.

Objetivo de aprendizaje FUN-4.C: Interpretar los valores mínimos y máximos calculados en contextos aplicados.

FUN-4.C.1 Los valores mínimo y máximo de una función adquieren significados específicos en contextos aplicados.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

A dependable procedure:

Escriba la cantidad a optimizar como función de una variable (utilice una ecuación de restricción para eliminar los términos adicionales).
State the interval of allowed inputs.
Encuentre los puntos críticos ($f'=0$ o no definidos) y pruébelos (prueba de la primera o segunda derivada, o prueba de candidatos si el intervalo es cerrado).
Responde la pregunta formulada, con unidades e interpretación en contexto: el máximo área, el mínimo costo, etc.

Ejemplo resuelto. Con $100\ \text{m}$ de valla para un corral rectangular contra una pared (solo tres lados vallados), deja que los extremos sean $x$ y el lado lejano $y=100-2x$. El área $A(x)=x(100-2x)=100x-2x^2$ tiene $A'(x)=100-4x=0$ en $x=25$; dado que $A''=-4<0$ esto es el máximo, dando $y=50$ y $A=1250\ \text{m}^2$.

5.12

Explorando Comportamientos de Relaciones Implícitas

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de la misma.

Objetivo de Aprendizaje FUN-4.D: Determinar puntos críticos de relaciones implícitas.

FUN-4.D.1 Un punto en una relación implícita donde la primera derivada es igual a cero o no existe, constituye un punto crítico de la función.

Objetivo de Aprendizaje FUN-4.E: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función definida implícitamente basándose en evidencia de sus derivadas.

FUN-4.E.1 Las aplicaciones de las derivadas pueden extenderse a funciones definidas implícitamente.
FUN-4.E.2 Las segundas derivadas que involucran diferenciación implícita pueden ser relaciones de $x$, $y$ y $\dfrac{dy}{dx}$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Todo esto se extiende a relaciones definidas implícitamente. Un punto crítico de una relación implícita es donde $\dfrac{dy}{dx}=0$ (tangente horizontal) o es indefinido (tangente vertical). Dado que $\dfrac{dy}{dx}$ suele ser una relación en $x$ y $y$, y la segunda derivada implica $x$, $y$ y $\dfrac{dy}{dx}$, sustituye tu expresión de la primera derivada nuevamente al encontrar $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, luego razona sobre la concavidad a partir de su signo.

5.12

Consejos para el examen

$f'>0$ significa creciente, $f'<0$ decreciente; los candidatos para extremos son donde $f'=0$ o es indefinido.
Clasifique un punto crítico con el cambio de signo de la primera derivada o la prueba de la segunda derivada ($f''>0$ mínimo, $f''<0$ máximo).
$f''>0$ es cóncava hacia arriba, $f''<0$ cóncava hacia abajo; un punto de inflexión es donde cambia la concavidad ($f''$ cambia de signo).
Para un extremo absoluto en un intervalo cerrado, también verifique los extremos del intervalo.
Justifica cada conclusión citando el signo de $f'$ o $f''$: el examen exige el razonamiento, no solo la respuesta.

Integración y acumulación de cambios

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6.1

Explorando acumulaciones de cambio

Syllabus

Comprensión perdurable (CHA-4): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambio a lo largo de un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-4.A: Interpretar el significado de las áreas asociadas con la gráfica de una tasa de cambio en su contexto.

CHA-4.A.1 El área de la región entre la gráfica de una función de tasa de cambio y el eje $x$ representa la acumulación de cambio.
CHA-4.A.2 En algunos casos, la acumulación de cambio puede evaluarse utilizando geometría.
CHA-4.A.3 Si una tasa de cambio es positiva (negativa) sobre un intervalo, entonces el cambio acumulado es positivo (negativo).
CHA-4.A.4 La unidad para el área de una región definida por una tasa de cambio es la unidad de la tasa de cambio multiplicada por la unidad de la variable independiente.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Un tanque de agua: la integración acumula el cambio: volumen total a partir de una tasa de flujo

Donde una derivada mide una tasa, una integral 积分 mide una acumulación 累积 – un total construido a partir de una tasa. Si una tasa de cambio actúa durante un intervalo, el área entre su gráfica y el eje da el cambio acumulado neto. Esta idea de "área = cambio total" es la base del cálculo integral.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
integral/ˈɪntɪɡrəl/	积分	jī fēn

6.2

Aproximación de áreas con sumas de Riemann

Syllabus

Comprensión duradera (LIM-5): Las integrales definidas pueden aproximarse mediante métodos geométricos y numéricos.

Objetivo de aprendizaje LIM-5.A: Aproximar una integral definida utilizando métodos geométricos y numéricos.

LIM-5.A.1 Las integrales definidas pueden aproximarse para funciones que se representan gráficamente, numéricamente, analítica y verbalmente.
LIM-5.A.2 Las integrales definidas pueden aproximarse mediante una suma de Riemann izquierda, una suma de Riemann derecha, una suma de Riemann del punto medio o una suma trapezoidal; las aproximaciones pueden calcularse utilizando particiones uniformes o no uniformes.
LIM-5.A.3 Las integrales definidas pueden aproximarse mediante métodos numéricos, con o sin tecnología.
LIM-5.A.4 Dependiendo del comportamiento de una función, puede ser posible determinar si una aproximación para una integral definida es una subestimación o una sobreestimación del valor de la integral definida.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La integral como área (sumas de Riemann)

Las sumas trapezoidales aproximan el área

Una suma de Riemann 黎曼和 estima el área bajo una curva sumando las áreas de rectángulos finos. Divide $[a,b]$ en subintervalos y usa la altura de la función en el extremo izquierdo, extremo derecho, o punto medio de cada uno. Una suma trapezoidal 梯形法 usa trapecios en su lugar, promediando las dos alturas de los extremos – usualmente más precisa. Con más rectángulos más finos, la estimación mejora.

Una suma de Riemann aproxima el área bajo una curva con rectángulos

Tiras de ancho h aproximan el área bajo una curva

Habilidad de examen: debes ser capaz de calcular estimaciones izquierda, derecha, de punto medio y trapezoidal a partir de una tabla o gráfica, e indicar si cada una sobreestimó o subestimó basándose en si la función es creciente/decreciente o cóncava hacia arriba/abajo.

Explorar

Aproximar el área con rectángulos

y = ax³ + bx² + cx + d

Una suma de Riemann aproxima el área bajo una curva con rectángulos. Añade más rectángulos, más delgados, y la estimación converge hacia el integral definido exacto.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
Riemann sum/ˈriːmən sʌm/	黎曼和	lí màn hé
trapezoidal sum/ˈtræpɪzɔɪdl sʌm/	梯形法	tī xíng fǎ
definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	定积分	dìng jī fēn

6.3

Sumas de Riemann, Notación de Sumatoria y Notación de Integral Definida

Syllabus

Comprensión Duradera (LIM-5): Las integrales definidas pueden aproximarse mediante métodos geométricos y numéricos.

Objetivo de Aprendizaje LIM-5.B: Interpretar el caso límite de la suma de Riemann como una integral definida.

LIM-5.B.1 El límite de una suma de Riemann aproximante puede interpretarse como una integral definida.
LIM-5.B.2 Una suma de Riemann, que requiere una partición de un intervalo $I$, es la suma de productos, cada uno de los cuales es el valor de la función en un punto de un subintervalo multiplicado por la longitud de dicho subintervalo de la partición.

Objetivo de Aprendizaje LIM-5.C: Representar el caso límite de la suma de Riemann como una integral definida.

LIM-5.C.1 La integral definida de una función continua $f$ sobre el intervalo $[a, b]$, denotada por $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$, es el límite de las sumas de Riemann cuando los anchos de los subintervalos se acercan a 0. Es decir, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x_i$, donde $n$ es el número de subintervalos, $\Delta x_i$ es el ancho del $i$-ésimo subintervalo y $x_i^*$ es un valor en el $i$-ésimo subintervalo.
LIM-5.C.2 Una integral definida puede traducirse al límite de una suma de Riemann relacionada, y el límite de una suma de Riemann puede escribirse como una integral definida.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Escribir una suma de Riemann con notación de sumatoria $\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x$ y dejar que el número de rectángulos crezca sin límite da el área exacta – la integral definida 定积分:

$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x.$$

La integral es el límite de sumas de Riemann; $a$ y $b$ son los límites de integración.

6.4

El Teorema Fundamental del Cálculo y Funciones de Acumulación

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-5): El Teorema Fundamental del Cálculo conecta la diferenciación con la integración.

Objetivo de Aprendizaje FUN-5.A: Representar funciones de acumulación mediante integrales definidas.

FUN-5.A.1 La integral definida puede utilizarse para definir nuevas funciones.
- Ejemplos ilustrativos para FUN-5.A.1: $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 Si $f$ es una función continua en un intervalo que contiene a $a$, entonces $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, donde $x$ pertenece al intervalo.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

El Teorema Fundamental del Cálculo

Una función de acumulación 累积函数 $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ da el área acumulada desde $a$ hasta $x$. El Teorema Fundamental del Cálculo (FTC) 微积分基本定理 dice que su derivada es el integrando:

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x).$$

La diferenciación y la integración son operaciones inversas. Con un límite superior variable y la regla de la cadena, $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt=f(u(x))\,u'(x)$.

La función de acumulación añade área firmada; el FTC dice que su derivada es f

Explorar

Acumular el área como una integral

y = ax³ + bx² + cx + d

Una función de acumulación $\int_a^x f(t)\,dt$ construye área firmada a medida que $x$ se mueve. El Teorema Fundamental dice que su derivada es simplemente $f(x)$.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/	累积	lěi jī
accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/	累积函数	lěi jī hán shù
Fundamental Theorem of Calculus (FTC)/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/	微积分基本定理	wēi jī fēn jī běn dìng lǐ
antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/	原函数	yuán hán shù
indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	不定积分	bù dìng jī fēn
u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	换元积分	huàn yuán jī fēn
Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/	分部积分	fēn bù jī fēn
Partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/	部分分式	bù fèn fēn shì

6.5

Interpretación del Comportamiento de las Funciones de Acumulación

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-5): El Teorema Fundamental del Cálculo conecta la diferenciación y la integración.

Objetivo de aprendizaje FUN-5.A: Representar funciones de acumulación mediante integrales definidas.

FUN-5.A.3 Las representaciones gráficas, numéricas, analíticas y verbales de una función $f$ proporcionan información sobre la función $g$ definida como $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Porque $g'(x)=f(x)$, la gráfica de $f$ te dice todo sobre $g$: $g$ aumenta donde $f>0$, disminuye donde $f<0$, tiene extremos donde $f$ cruza cero, y es cóncava hacia arriba donde $f$ es creciente. Leer estas conexiones fuera de una gráfica de $f$ es una tarea clásica de respuesta libre.

6.6

Aplicación de Propiedades de Integrales Definidas

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-6): Reconocer oportunidades para aplicar conocimientos de geometría y reglas matemáticas puede simplificar la integración.

Objetivo de Aprendizaje FUN-6.A: Calcular una integral definida utilizando áreas y propiedades de las integrales definidas.

FUN-6.A.1 En algunos casos, una integral definida puede evaluarse utilizando geometría y la relación entre la integral definida y el área.
FUN-6.A.2 Las propiedades de las integrales definidas incluyen la integral de una constante por una función, la integral de la suma de dos funciones, la inversión de los límites de integración y la integral de una función sobre intervalos adyacentes.
FUN-6.A.3 La definición de la integral definida puede extenderse a funciones con discontinuidades evitables o de salto.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Las integrales definidas obedecen reglas útiles: invertir los límites niega el valor ($\int_b^a=-\int_a^b$), una integral sobre un intervalo de ancho cero es $0$, se suman sobre intervalos adyacentes ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$), y las constantes se factorizan. Usa esto para combinar o dividir valores integrales dados.

6.7

El Teorema Fundamental del Cálculo y las Integrales Definidas

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-6): Reconocer oportunidades para aplicar conocimientos de geometría y reglas matemáticas puede simplificar la integración.

Objetivo de Aprendizaje FUN-6.B: Evaluar integrales definidas analíticamente usando el Teorema Fundamental del Cálculo.

FUN-6.B.1 Una antiderivada de una función $f$ es una función $g$ cuya derivada es $f$.
FUN-6.B.2 Si una función $f$ es continua en un intervalo que contiene a $a$, la función definida por $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ es una antiderivada de $f$ para $x$ en el intervalo.
FUN-6.B.3 Si $f$ es continua en el intervalo $[a, b]$ y $F$ es una antiderivada de $f$, entonces $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La forma de evaluación del FTC calcula una integral definida a partir de una antiderivada 原函数 $F$ (donde $F'=f$):

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

Así que integrar una tasa de cambio sobre $[a,b]$ da el cambio neto en la cantidad – el resultado más usado en el curso.

Ejemplo resuelto. $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$: una antiderivada es $F(x)=x^2+x$, así que el valor es $F(3)-F(1)=12-2=10$.

Una integral definida es el área firmada entre la curva y el eje x

6.8

Encontrar Antiderivadas e Integrales Indefinidas

Syllabus

Comprensión perdurable (FUN-6): Reconocer oportunidades para aplicar conocimientos de geometría y reglas matemáticas puede simplificar la integración.

Objetivo de aprendizaje FUN-6.C: Determinar antiderivadas de funciones e integrales indefinidas, utilizando el conocimiento de las derivadas.

FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ es una integral indefinida de la función $f$ y se puede expresar como $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, donde $F'(x) = f(x)$ y $C$ es cualquier constante.
FUN-6.C.2 Las reglas de diferenciación proporcionan la base para encontrar antiderivadas.
FUN-6.C.3 Muchas funciones no poseen antiderivadas en forma cerrada.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una integral indefinida 不定积分 $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ es la familia de todas las antiderivadas (de ahí la constante de integración $C$). Invierte cada regla de derivación: la regla de potencia se convierte en $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (para $n\neq-1$), con $\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C$, y las antiderivadas de $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, y $\sec^2 x$ vienen directamente de sus derivadas.

6.9

Integración por Sustitución

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-6): Reconocer oportunidades para aplicar conocimientos de geometría y reglas matemáticas puede simplificar la integración.

Objetivo de aprendizaje FUN-6.D: Para los integrandos que requieren sustitución o reordenamientos en formas equivalentes: (a) Determinar integrales indefinidas. (b) Evaluar integrales definidas.

FUN-6.D.1 La sustitución de variables es una técnica para encontrar primitivas.
FUN-6.D.2 Para una integral definida, la sustitución de variables requiere cambios correspondientes en los límites de integración.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

sustitución u 换元积分 invierte la regla de la cadena: elige $u=g(x)$ de modo que también aparezca $g'(x)$, transformando $\int f(g(x))g'(x)\,dx$ en $\int f(u)\,du$. Recuerda convertir $dx$ a $du$ y, para una integral definida, cambia los límites a valores $u$ o vuelve a $x$ al final.

6.10

Integración mediante división larga y completado del cuadrado

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-6): Reconocer oportunidades para aplicar conocimientos de geometría y reglas matemáticas puede simplificar la integración.

Objetivo de aprendizaje FUN-6.D: Para integrandos que requieren sustitución o reordenamientos en formas equivalentes: (a) Determinar integrales indefinidas. (b) Evaluar integrales definidas.

FUN-6.D.3 Las técnicas para encontrar primitivas incluyen reordenamientos en formas equivalentes, tales como la división larga y completar el cuadrado.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Cuando un integrando racional es "demasiado pesado" (grado del numerador $\ge$ grado del denominador), la división larga lo reescribe como un polinomio más una fracción propia que puedes integrar. El completado del cuadrado en un denominador lo convierte en una forma como $u^2+a^2$, lo que lleva a una antiderivada arcotangente $\frac1a\arctan\frac{u}{a}+C$.

6.11

Integración por partes

Syllabus

Comprensión perdurable (FUN-6): Reconocer oportunidades para aplicar conocimientos de geometría y reglas matemáticas puede simplificar la integración.

Objetivo de aprendizaje FUN-6.E: Para los integrandos que requieren integración por partes: (a) Determinar integrales indefinidas. SOLO BC (b) Evaluar integrales definidas. SOLO BC

FUN-6.E.1 La integración por partes es una técnica para encontrar antiderivadas. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La integración por partes 分部积分 invierte la regla del producto:

$$\int u\,dv = uv-\int v\,du.$$

Elige $u$ para simplificar cuando se diferencie y $dv$ para que sea fácil de integrar (la guía LIATE: logaritmos, trigonométricas inversas, algebraicas, trigonométricas, exponenciales). Maneja productos como $\int x e^x\,dx$ y $\int x\ln x\,dx$, a veces aplicándola dos veces.

Ejemplo resuelto. Para $\int x e^x\,dx$, elige $u=x$ ($du=dx$) y $dv=e^x\,dx$ ($v=e^x$):

$$\int x e^x\,dx = x e^x-\int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C.$$

6.12

Integración mediante fracciones parciales lineales

Syllabus

Comprensión perdurable (FUN-6): Reconocer oportunidades para aplicar conocimientos de geometría y reglas matemáticas puede simplificar la integración.

Objetivo de aprendizaje FUN-6.F: Para los integrandos que requieren integración por fracciones parciales lineales: (a) Determinar integrales indefinidas. SOLO BC (b) Evaluar integrales definidas. SOLO BC

FUN-6.F.1 Algunas funciones racionales se pueden descomponer en sumas de cocientes de factores lineales no repetidos a los cuales se pueden aplicar técnicas básicas de integración. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Las fracciones parciales 部分分式 dividen una función racional con un denominador factorizable en una suma de fracciones más simples:

$$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b},$$

cada una de las cuales se integra como un logaritmo. Esta técnica es esencial para la ecuación diferencial logística en la siguiente unidad.

6.13

Evaluación de integrales impropias

Syllabus

Comprensión duradera (LIM-6): El uso de límites nos permite demostrar que las áreas de regiones no acotadas pueden ser finitas.

Objetivo de aprendizaje LIM-6.A: Evaluar una integral impropia o determinar que la integral diverge. SOLO BC

LIM-6.A.1 Una integral impropia es una integral que tiene uno o ambos límites infinitos, o bien un integrando que no está acotado en el intervalo de integración. SOLO BC
LIM-6.A.2 Las integrales impropias se pueden determinar mediante límites de integrales definidas. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Integrales impropias: convergen o divergen

Una integral impropia 反常积分 tiene un límite infinito de integración o una discontinuidad infinita en el integrando. Evalúala como un límite: $\int_a^\infty f\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx$. Si el límite es un número finito, la integral converge 收敛; de lo contrario, diverge 发散.

Ejemplo resuelto. $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1$, por lo tanto converge a $1$. Por el contrario, $\int_1^\infty \frac1x\,dx$ da $\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ y diverge – la misma forma del integrando puede ir en cualquier dirección.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/	反常积分	fǎn cháng jī fēn
converges/kənˈvɜːdʒɪz/	收敛	shōu liǎn
diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/	发散	fā sàn

6.14

Selección de Técnicas para la Antidiferenciación

Syllabus

Este tema está destinado a centrarse en la habilidad de seleccionar un procedimiento adecuado para la antiderivación. Se debe brindar a los estudiantes oportunidades para practicar cuándo y cómo aplicar todos los objetivos de aprendizaje relacionados con la antiderivación.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

El examen BC espera que reconozcas qué método corresponde: reglas básicas, sustitución (un patrón de la regla de la cadena), por partes (un producto), fracciones parciales (una racional factorizable) o división larga/completado del cuadrado. Ser capaz de mirar una integral y elegir la herramienta correcta rápidamente es en sí mismo una habilidad evaluada.

6.14

Consejos para el examen

La integración es antidiferenciación; usa la regla de potencia $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ y no olvides el $+C$.
El Teorema Fundamental conecta los dos: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, y $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
Aproxima una integral definida con sumas de Riemann o la regla trapezoidal a partir de una tabla de valores.
Una integral definida es un área firmada (por debajo del eje cuenta como negativa); divide en cambios de signo para el área total.
Usa sustitución u y recuerda cambiar los límites (o back-substitute) en consecuencia.

Ecuaciones diferenciales

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7.1

Modelización de situaciones con ecuaciones diferenciales

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de aprendizaje FUN-7.A: Interpretar enunciados verbales de problemas como ecuaciones diferenciales que involucran una expresión derivada.

FUN-7.A.1 Las ecuaciones diferenciales relacionan una función de una variable independiente y las derivadas de dicha función.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una ecuación diferencial 微分方程 relaciona una función con sus derivadas. Muchas situaciones reales se describen mediante una tasa: "la población crece a una tasa proporcional a su tamaño" se convierte en $\dfrac{dP}{dt}=kP$. Establecer la ecuación a partir de una descripción verbal –identificar qué cambia y a qué es proporcional– es la primera habilidad.

7.2

Verificación de soluciones para ecuaciones diferenciales

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de Aprendizaje FUN-7.B: Verificar soluciones a ecuaciones diferenciales.

FUN-7.B.1 Las derivadas pueden utilizarse para verificar que una función es solución de una ecuación diferencial dada.
FUN-7.B.2 Pueden existir infinitas soluciones generales para una ecuación diferencial.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una solución es una función que satisface la ecuación. Para verificar una solución propuesta, diferenciarla y sustituir en la ecuación, verificando que ambos lados coincidan. Una solución general contiene una constante $C$; una solución particular fija $C$ a partir de una condición.

7.3

Esbozo de campos de pendientes

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de aprendizaje FUN-7.C: Estimar soluciones a ecuaciones diferenciales.

FUN-7.C.1 Un campo de pendientes es una representación gráfica de una ecuación diferencial en un conjunto finito de puntos del plano.
FUN-7.C.2 Los campos de pendientes proporcionan información sobre el comportamiento de las soluciones a ecuaciones diferenciales de primer orden.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Campos de pendientes y curvas solución

Un campo de pendientes 斜率场 dibuja un segmento de línea corto en muchos puntos, cada uno con la pendiente $\dfrac{dy}{dx}$ que da la ecuación en ese punto. Representa la familia de curvas solución sin resolverla. Para esbozarlo, evalúe el lado derecho en cada punto de la cuadrícula y dibuje un segmento con esa pendiente.

Un campo de pendientes muestra la pendiente en todas partes; las curvas solución la siguen — Un campo de pendientes muestra el gradiente en todos los puntos; las curvas solución lo siguen

Explorar

Leer una ecuación diferencial como un campo de pendientes

Un campo de pendientes dibuja la pendiente $dy/dx$ en cada punto. Una curva solución se abre paso, siempre tangente a los pequeños segmentos — puedes dibujarla siguiendo el flujo.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	微分方程	wēi fēn fāng chéng
slope field/sləʊp fiːld/	斜率场	xié lǜ chǎng

7.4

Razonamiento utilizando campos de pendientes

Syllabus

Comprensión perdurable (FUN-7): La resolución de ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de aprendizaje FUN-7.C: Estimar soluciones a ecuaciones diferenciales.

FUN-7.C.3 Las soluciones a las ecuaciones diferenciales son funciones o familias de funciones.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una curva solución sigue los segmentos como un bote siguiendo una corriente. A partir de un campo de pendientes puede esbozar la solución particular que pasa por un punto dado, describir el comportamiento a largo plazo y localizar dónde las soluciones se nivelan (pendientes cercanas a cero) –razonamiento sobre soluciones puramente a partir de la imagen.

7.5

Aproximación de soluciones usando el método de Euler

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de Aprendizaje FUN-7.C: Estimar soluciones a ecuaciones diferenciales.

FUN-7.C.4 El método de Euler proporciona un procedimiento para aproximar una solución a una ecuación diferencial o un punto en una curva de solución. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Método de Euler

El método de Euler 欧拉方法 aproxima numéricamente una solución avanzando paso a paso a lo largo del campo de pendientes. Partiendo de un punto conocido, dé un paso pequeño $\Delta x$ y actualice:

$$y_{\text{new}}=y_{\text{old}}+\frac{dy}{dx}\cdot\Delta x.$$

Repita para cada paso. Pasos más pequeños dan una mejor aproximación. (Esta es una técnica solo para BC.)

Habilidad de examen: ser capaz de realizar dos o tres pasos de Euler a mano a partir de una tabla, y saber que el método de Euler subestima o sobrestima dependiendo de la concavidad de la solución.

Ejemplo resuelto. Aproximar $y(1)$ para $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, con paso $\Delta x=0.5$. Paso 1: la pendiente en $(0,1)$ es $0+1=1$, por lo tanto $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$. Paso 2: la pendiente en $(0.5,1.5)$ es $0.5+1.5=2$, por lo tanto $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/	欧拉方法	ōu lā fāng fǎ

7.6

Encontrar soluciones generales usando separación de variables

Syllabus

Comprensión perdurable (FUN-7): La resolución de ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de aprendizaje FUN-7.D: Determinar soluciones generales a ecuaciones diferenciales.

FUN-7.D.1 Algunas ecuaciones diferenciales pueden resolverse mediante separación de variables.
FUN-7.D.2 La antiderivación puede utilizarse para encontrar soluciones generales a ecuaciones diferenciales.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Escherichia coli bajo un microscopio: las ecuaciones diferenciales modelan el crecimiento exponencial — E. coli bajo un microscopio: las ecuaciones diferenciales modelan el crecimiento exponencial

Una ecuación diferencial separable 可分离 puede escribirse con todas las $y$'s en un lado y todas las $x$'s en el otro, luego integrarse:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx.$$

Esto produce la solución general (con una $+C$), el principal método analítico para resolver ecuaciones diferenciales en este curso.

Ejemplo resuelto. Resolver $\dfrac{dy}{dx}=xy$ con $y(0)=2$. Separando, $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ da $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$, por lo tanto $y=Ae^{x^2/2}$. La condición $y(0)=2$ da $A=2$, por lo tanto $y=2e^{x^2/2}$.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
separable/ˈsepərəbl/	可分离	kě fēn lí
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	初始条件	chū shǐ tiáo jiàn
exponential growth or decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ɔː dɪˈkeɪ/	指数增长	zhǐ shù zēng zhǎng
logistic model/ləˈdʒɪstɪk ˈmɒdl/	逻辑斯蒂模型	luó jí sī dì mó xíng
carrying capacity/ˈkæriɪŋ kəˈpæsɪti/	环境容纳量	huán jìng róng nà liàng

7.7

Búsqueda de soluciones particulares usando condiciones iniciales

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de Aprendizaje FUN-7.E: Determinar soluciones particulares a ecuaciones diferenciales.

FUN-7.E.1 Una solución general puede describir infinitas soluciones a una ecuación diferencial. Solo existe una solución particular que pasa por un punto dado.
FUN-7.E.2 La función $F$ definida por $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ es una solución particular a la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, satisfaciendo $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Las soluciones a las ecuaciones diferenciales pueden estar sujetas a restricciones de dominio.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una condición inicial 初始条件 (un punto conocido, p. ej. $y(0)=5$) fija la constante $C$. Resuelva para la solución general, sustituya la condición para encontrar $C$, y luego escriba la solución particular. Tenga cuidado con el dominio –una solución particular es válida solo en el intervalo que contiene el punto inicial.

La constante da lugar a una familia de curvas; una condición inicial selecciona una de ellas — La constante da una familia de curvas; una condición inicial selecciona una

7.8

Modelos exponenciales con ecuaciones diferenciales

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de aprendizaje FUN-7.F: Interpretar el significado de una ecuación diferencial y sus variables en un contexto dado.

FUN-7.F.1 Aplicaciones específicas del hallazgo de soluciones generales y particulares a ecuaciones diferenciales incluyen el movimiento a lo largo de una línea y el crecimiento y decaimiento exponencial.
FUN-7.F.2 El modelo para el crecimiento y decaimiento exponencial que surge de la afirmación "La tasa de cambio de una cantidad es proporcional al tamaño de la cantidad" es $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Objetivo de aprendizaje FUN-7.G: Determinar soluciones generales y particulares para problemas que involucran ecuaciones diferenciales en un contexto dado.

FUN-7.G.1 El modelo de crecimiento y decaimiento exponencial, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, con condición inicial $y = y_0$ cuando $t = 0$, tiene soluciones de la forma $y = y_0 e^{kt}$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Crecimiento exponencial vs. logístico

La ecuación $\dfrac{dy}{dt}=ky$ indica que la tasa de cambio es proporcional a la cantidad, lo que produce un crecimiento o decrecimiento exponencial. Al separar variables se obtiene

$$y=y_0 e^{kt},$$

donde $k>0$ corresponde al crecimiento y $k<0$ al decrecimiento. Esto modela el crecimiento ilimitado de poblaciones, la desintegración radiactiva y los intereses compuestos continuamente.

Una taza de café enfriándose: la ley de enfriamiento de Newton es un modelo clásico de ecuaciones diferenciales

Explorar

Un modelo de crecimiento/decayimiento exponencial

y = a·e^(bx) + c

La ecuación $dy/dt=ky$ tiene soluciones exponenciales: la cantidad cambia a una tasa proporcional a sí misma, dando crecimiento ilimitado ($k>0$) o decayimiento hacia cero ($k<0$).

7.9

Modelos logísticos con ecuaciones diferenciales

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de aprendizaje FUN-7.H: Interpretar el significado del modelo de crecimiento logístico en un contexto dado. SOLO BC

FUN-7.H.1 El modelo para el crecimiento logístico que surge del enunciado "La tasa de cambio de una cantidad es directamente proporcional conjuntamente al tamaño de la cantidad y a la diferencia entre la cantidad y la capacidad de carga" es $\dfrac{dy}{dt} = ky(a - y)$. SOLO BC
FUN-7.H.2 La ecuación diferencial logística y las condiciones iniciales pueden interpretarse sin resolver la ecuación diferencial. SOLO BC
FUN-7.H.3 El valor límite (capacidad de carga) de una ecuación diferencial logística cuando la variable independiente tiende a infinito puede determinarse utilizando el modelo de crecimiento logístico y las condiciones iniciales. SOLO BC
FUN-7.H.4 El valor de la variable dependiente en una ecuación diferencial logística en el punto en que cambia más rápidamente puede determinarse utilizando el modelo de crecimiento logístico y las condiciones iniciales. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

El crecimiento real está limitado por los recursos, por lo que el modelo logístico 逻辑斯蒂模型 añade una capacidad de carga 环境容纳量 $L$:

$$\frac{dP}{dt}=kP\!\left(1-\frac{P}{L}\right).$$

El crecimiento es casi exponencial cuando $P$ es pequeño, se ralentiza a medida que $P$ se aproxima a $L$, y se detiene en $P=L$. Hechos clave de la curva logística: la población se estabiliza en $L$ ($\lim_{t\to\infty}P=L$), y crece más rápido cuando $P=\tfrac{L}{2}$ (el punto de inflexión de la curva en forma de S). Se espera que leas $L$ y el valor de crecimiento más rápido directamente desde la ecuación.

Ejemplo resuelto. Para $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$, la capacidad de carga es $L=2000$ (la población se estabiliza allí), y el crecimiento es más rápido cuando $P=\dfrac{L}{2}=1000$ – ambos valores se leen directamente de la ecuación, sin necesidad de resolver.

El modelo logístico crece más rápido en P=L/2 y se estabiliza en la capacidad de carga L

7.9

Consejos para el examen

Resuelve una ecuación separable agrupando todas las $y$ en un lado y todas las $x$ en el otro, luego integra ambos lados (añade $+C$ una sola vez).
Usa la condición inicial para encontrar $C$ (una solución particular).
Esboza o lee un campo de pendientes: los pequeños segmentos muestran $\tfrac{dy}{dx}$ en cada punto, y una curva de solución los sigue.
Reconoce modelos exponenciales $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (crecimiento/decaimiento).
Una ecuación diferencial da la pendiente; debes integrar para recuperar la función.

Aplicaciones de la integración

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8.1

Encontrar el Valor Promedio de una Función en un Intervalo

Syllabus

Comprensión Duradera (CHA-4): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios a lo largo de un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-4.B: Determinar el valor promedio de una función utilizando integrales definidas.

CHA-4.B.1 El valor promedio de una función continua $f$ sobre un intervalo $[a, b]$ es $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

El valor promedio 平均值 de $f$ sobre $[a,b]$ es la integral dividida por el ancho:

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

Es la altura constante que tendría un rectángulo para tener el mismo área que la región bajo $f$. No confunda esto con la tasa de cambio promedio (que usa la derivada).

Ejemplo resuelto. El valor promedio de $f(x)=x^2$ en $[0,3]$ es $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$.

Explorar

El valor promedio de una función

y = ax³ + bx² + cx + d

El valor promedio de $f$ en $[a,b]$ es su integral dividida por el ancho — la altura constante cuyo rectángulo tiene la misma área que la bajo la curva.

8.2

Conectar Posición, Velocidad y Aceleración Usando Integrales

Syllabus

Comprensión Duradera (CHA-4): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios a lo largo de un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-4.C: Determinar valores para posiciones y tasas de cambio utilizando integrales definidas en problemas de movimiento rectilíneo.

CHA-4.C.1 Para una partícula en movimiento rectilíneo sobre un intervalo de tiempo, la integral definida de la velocidad representa el desplazamiento de la partícula durante dicho intervalo de tiempo, y la integral definida de la rapidez representa la distancia total recorrida por la partícula durante el intervalo de tiempo.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Para el movimiento en línea recta, la integración invierte la diferenciación:

$$v(t)=\int a(t)\,dt,\qquad s(t)=\int v(t)\,dt.$$

Dos distinciones clave: el desplazamiento 位移 es $\int_a^b v\,dt$ (cambio neto en la posición), mientras que la distancia total 总路程 es $\int_a^b |v|\,dt$ (dividiendo donde $v$ cambia de signo). La velocidad es $|v|$.

8.3

Usando Funciones de Acumulación e Integrales Definidas en Contextos Aplicados

Syllabus

Comprensión perdurable (CHA-4): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de un cambio a lo largo de un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-4.D: Interpretar el significado de una integral definida en problemas de acumulación.

CHA-4.D.1 Una función definida como una integral representa la acumulación de una tasa de cambio.
CHA-4.D.2 La integral definida de la tasa de cambio de una cantidad sobre un intervalo proporciona el cambio neto de dicha cantidad a lo largo de ese intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-4.E: Determinar el cambio neto mediante integrales definidas en contextos aplicados.

CHA-4.E.1 La integral definida puede utilizarse para expresar información sobre acumulación y cambio neto en diversos contextos aplicados.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Cuando se da una tasa (tasa de flujo, ventas por día), la integral definida da el total acumulado, y $\int_a^b R(t)\,dt$ lleva las unidades de $R$ por tiempo. Una configuración común: cantidad inicial $+\int(\text{rate in}-\text{rate out})\,dt$ da la cantidad en un tiempo posterior. Siempre interprete la respuesta en contexto, con unidades.

8.4

Encontrar el Área Entre Curvas Expresadas como Funciones de x

Syllabus

Comprensión duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en el área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-5.A: Calcular áreas en el plano usando la integral definida.

CHA-5.A.1 Las áreas de regiones en el plano se pueden calcular con integrales definidas.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Un alfarero dando forma a un recipiente: los volúmenes de revolución giran una región plana alrededor de un eje — Un alfarero modelando un recipiente: volúmenes de revolución rotan una región plana alrededor de un eje

El área entre $y=f(x)$ (arriba) y $y=g(x)$ (abajo) desde $a$ hasta $b$ es

$$\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.$$

Encuentre los puntos de intersección para los límites, y siempre reste arriba menos abajo.

El área entre dos curvas es la integral de la superior menos la inferior — El área entre dos curvas es la integral de arriba menos abajo

Ejemplo resuelto. Entre $y=x$ y $y=x^2$ (cruzándose en $x=0,1$, con $y=x$ arriba), el área es $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16$.

8.5

Encontrar el Área Entre Curvas Expresadas como Funciones de y

Syllabus

Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-5.A: Calcular áreas en el plano utilizando la integral definida.

CHA-5.A.2 Las áreas de regiones en el plano pueden calcularse utilizando funciones tanto de $x$ como de $y$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Cuando las curvas son más fáciles de describir como $x=f(y)$, integre respecto a $y$ en su lugar, usando derecha menos izquierda:

$$\int_c^d\big(f_{\text{right}}(y)-g_{\text{left}}(y)\big)\,dy.$$

Elegir integrar en $y$ puede evitar dividir la región en varias piezas.

8.6

Encontrar el Área Entre Curvas que Se Intersecan Más de Dos Veces

Syllabus

Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas relacionados con la acumulación de cambios en el área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-5.A: Calcular áreas en el plano utilizando la integral definida.

CHA-5.A.3 El área de ciertas regiones en el plano puede calcularse mediante una suma de dos o más integrales definidas, o evaluando la integral definida del valor absoluto de la diferencia de dos funciones.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Si dos curvas se cruzan varias veces, arriba y abajo intercambian. Divida la región en cada punto de intersección e integre cada pieza con el correcto arriba menos abajo (o use $\int|f-g|$), luego sume las piezas.

8.7

Volúmenes Secciones Transversales: Cuadrados y Rectángulos

Syllabus

Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas relacionados con la acumulación de cambios en el área o el volumen a lo largo de un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-5.B: Calcular volúmenes de sólidos con secciones transversales conocidas mediante integrales definidas.

CHA-5.B.1 Los volúmenes de sólidos con secciones transversales cuadradas y rectangulares pueden determinarse utilizando integrales definidas y las fórmulas del área para estas figuras.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Si las secciones transversales 横截面 perpendiculares al eje $x$ de un sólido son cuadrados o rectángulos, integre su área. Con longitud de lado igual a la distancia entre dos curvas, una sección transversal cuadrada da

$$V=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)^2\,dx.$$

El método siempre es "integrar el área de la sección transversal."

8.8

Volúmenes con Secciones Transversales: Triángulos y Semicírculos

Syllabus

Comprensión duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en el área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-5.B: Calcular volúmenes de sólidos con secciones transversales conocidas utilizando integrales definidas.

CHA-5.B.2 Los volúmenes de sólidos con secciones transversales triangulares pueden encontrarse usando integrales definidas y las fórmulas de área para estas figuras.
CHA-5.B.3 Los volúmenes de sólidos con secciones transversales semicirculares u otras definidas geométricamente pueden encontrarse usando integrales definidas y las fórmulas de área para estas figuras.
- Ejemplos ilustrativos para CHA-5.B.3:
  - El volumen de un embudo cuyas secciones transversales son círculos puede calcularse usando la fórmula del área de un círculo y las integrales definidas (consulte la Pregunta de Respuesta Abierta #5(b) del Examen AB de 2016).
  - El volumen de un sólido cuya área de sección transversal está definida mediante una función puede calcularse usando la función de área conocida y una integral definida (consulte la Pregunta de Respuesta Abierta #4(c) del Examen AB de 2009).

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Misma idea, fórmula de área diferente: para secciones transversales de triángulo equilátero use $A=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$, y para semicirculares use $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$ (con $s$ la distancia entre las curvas). Sustituya la fórmula del área e integre.

8.9

Volumen con Método de Discos: Rotando Alrededor del Eje x o y

Syllabus

Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-5.C: Calcular volúmenes de sólidos de revolución utilizando integrales definidas.

CHA-5.C.1 Los volúmenes de sólidos de revolución alrededor del eje $x$ o $y$ pueden determinarse mediante el uso de integrales definitas con el método de discos.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Sólidos de revolución: el método del disco

Rotar una región alrededor de un eje produce un sólido cuyas secciones transversales son discos. El método de discos 圆盘法 integra $\pi(\text{radius})^2$:

$$V=\pi\int_a^b \big(R(x)\big)^2\,dx,$$

donde el radio $R$ es la distancia de la curva al eje. Use $dy$ cuando rote alrededor del eje $y$.

El método de los discos: girar y=f(x) alrededor del eje genera discos de radio f(x) — El método de los discos: al rotar y=f(x) alrededor del eje genera discos de radio f(x)

Ejemplo resuelto. Al hacer girar la región bajo $y=\sqrt{x}$ desde $0$ hasta $4$ alrededor del eje $x$, se obtienen discos de radio $\sqrt{x}$: $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$.

Girar una región alrededor de un eje genera un sólido de revolución — Al girar una región alrededor de un eje se genera un sólido de revolución

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	平均值	píng jūn zhí
displacement/dɪˈspleɪsmənt/	位移	wèi yí
total distance/ˈtəʊtl ˈdɪstəns/	总路程	zǒng lù chéng
cross sections/krɒs ˈsekʃnz/	横截面	héng jié miàn
disc method/dɪsk ˈmeθəd/	圆盘法	yuán pán fǎ

8.10

Volumen con el Método del Disco: Rotación alrededor de otros ejes

Syllabus

Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-5.C: Calcular volúmenes de sólidos de revolución utilizando integrales definidas.

CHA-5.C.2 Los volúmenes de sólidos de revolución alrededor de cualquier línea horizontal o vertical en el plano pueden determinarse mediante el uso de integrales definidas con el método del disco.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Cuando el eje de rotación es una línea horizontal o vertical como $y=k$ (que no es un eje principal), el radio se ajusta: $R=|f(x)-k|$. Establece el radio como la distancia desde la curva hasta esa línea, luego integra $\pi R^2$ como antes.

8.11

Volumen con el Método de las Arandelas: Rotación alrededor del eje x o y

Syllabus

Comprensión perdurable (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-5.C: Calcular volúmenes de sólidos de revolución utilizando integrales definidas.

CHA-5.C.3 Los volúmenes de sólidos de revolución alrededor del eje $x$ o $y$-axis cuyas secciones transversales tienen forma de anillo pueden encontrarse mediante integrales definidas usando el método de arandelas.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Volumen mediante el método de las arandelas

Si la región no toca el eje, al rotarla queda un agujero, por lo que las secciones transversales son arandelas (anillos). El método de las arandelas 垫圈法 resta el disco interior:

$$V=\pi\int_a^b\Big(R_{\text{outer}}^2-R_{\text{inner}}^2\Big)\,dx.$$

Identifica los radios exterior e interior como distancias desde cada curva hasta el eje.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/	垫圈法	diàn juàn fǎ
arc length/ɑːk leŋθ/	弧长	hú zhǎng

8.12

Volumen con el Método de las Arandelas: Rotación alrededor de otros ejes

Syllabus

Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-5.C: Calcular volúmenes de sólidos de revolución utilizando integrales definidas.

CHA-5.C.4 Los volúmenes de sólidos de revolución alrededor de cualquier línea horizontal o vertical cuyas secciones transversales son anulares pueden hallarse mediante integrales definidas usando el método de arandelas.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Al igual que con los discos, girar alrededor de una línea $y=k$ o $x=k$ desplaza ambos radios: cada uno se convierte en la distancia desde su curva hasta esa línea. Dibuja la región y el eje, etiqueta $R_{\text{outer}}$ y $R_{\text{inner}}$, luego integra la diferencia de cuadrados.

8.13

La longitud de arco de una curva suave y la distancia recorrida

Syllabus

Comprensión Duradera (CHA-6): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación del cambio en longitud sobre un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-6.A: Determinar la longitud de una curva en el plano definida por una función, utilizando una integral definida. SOLO BC

CHA-6.A.1 La longitud de una curva plana definida por una función puede calcularse mediante una integral definida. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La longitud de arco 弧长 de $y=f(x)$ desde $a$ hasta $b$ es

$$L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx.$$

Esta fórmula exclusiva de BC proviene de sumar pequeñas hipotenusas $\sqrt{dx^2+dy^2}$. La misma idea proporciona la distancia que recorre una partícula a lo largo de una trayectoria curva.

Ejemplo resuelto. Hallar la longitud de arco de $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ desde $x=0$ hasta $x=3$. Aquí $f'(x)=x^{1/2}$, por lo tanto $1+(f')^2=1+x$ y

$$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

The Golden Gate Bridge and its sweeping main cables — El cable principal del puente cuelga como una curva suave; una integral proporciona su longitud exacta.

8.13

Consejos para el examen

El área entre curvas es $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — encuentre los puntos de intersección para los límites y mantenga la resta de la función superior menos la inferior.
Para un volumen de revolución, sume las secciones transversales de disco/anillo de área $\pi r^2$ (o $\pi(R^2-r^2)$).
El valor promedio de $f$ sobre $[a,b]$ es $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
El cambio acumulado es $\int$ de una tasa: total = valor inicial $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
La integración significa "sumar infinitas piezas pequeñas": configure el integrando como una fina rebanada.

Ecuaciones paramétricas, coordenadas polares y funciones vectoriales

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9.1

Definición y diferenciación de ecuaciones paramétricas

Syllabus

Comprensión duradera (CHA-3): Las derivadas nos permiten resolver problemas del mundo real que implican tasas de cambio.

Objetivo de aprendizaje CHA-3.G: Calcular derivadas de funciones paramétricas. SOLO BC

CHA-3.G.1 Los métodos para calcular derivadas de funciones de valor real pueden extenderse a funciones paramétricas. SOLO BC
CHA-3.G.2 Para una curva definida paramétricamente, el valor de $\dfrac{dy}{dx}$ en un punto de la curva es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. $\dfrac{dy}{dx}$, la pendiente de la recta tangente a una curva definida mediante ecuaciones paramétricas, se puede determinar dividiendo $\dfrac{dy}{dt}$ entre $\dfrac{dx}{dt}$, siempre que $\dfrac{dx}{dt}$ no sea igual a cero. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La Estación Espacial Internacional en órbita: las ecuaciones paramétricas describen la posición como función del tiempo

Las ecuaciones paramétricas 参数方程 expresan $x$ e $y$ cada una como funciones de un parámetro $t$ (frecuentemente el tiempo): $x=x(t)$, $y=y(t)$. Trazan una curva que no necesariamente es una función de $x$. La pendiente de la curva se encuentra mediante la regla de la cadena:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\qquad(dx/dt\neq0).$$

Ejemplo resuelto. Para $x=t^2$, $y=t^3-t$, encuentre la pendiente en $t=2$. Aquí $\dfrac{dx}{dt}=2t$ y $\dfrac{dy}{dt}=3t^2-1$, por lo tanto $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2-1}{2t}$; en $t=2$ esto resulta ser $\dfrac{11}{4}$.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
Parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/	参数方程	cān shù fāng chéng
vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/	向量值函数	xiàng liàng zhí hán shù
Polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/	极坐标	jí zuò biāo

9.2

Segundas derivadas de ecuaciones paramétricas

Syllabus

Comprensión Duradera (CHA-3): Las derivadas nos permiten resolver problemas del mundo real que involucran tasas de cambio.

Objetivo de Aprendizaje CHA-3.G: Calcular derivadas de funciones paramétricas. SOLO BC

CHA-3.G.3 $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ se puede calcular dividiendo $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)$ entre $\dfrac{dx}{dt}$. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La segunda derivada no es $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. En cambio, diferencie la primera derivada con respecto a $t$, y luego divida nuevamente por $dx/dt$:

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}.$$

Utilícela para probar la concavidad de una curva paramétrica.

9.3

Cálculo de longitudes de arco de curvas dadas por ecuaciones paramétricas

Syllabus

Comprensión duradera (CHA-6): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación del cambio en longitud sobre un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-6.B: Determinar la longitud de una curva en el plano definida por funciones paramétricas, utilizando una integral definida. SOLO BC

CHA-6.B.1 La longitud de una curva definida paramétricamente se puede calcular mediante una integral definida. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La longitud de una curva paramétrica para $t$ desde $a$ hasta $b$ es

$$L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt.$$

Esta es la versión paramétrica de la longitud de arco: sumar pequeños hipotenusas $\sqrt{dx^2+dy^2}$ sobre el parámetro.

9.4

Definición y diferenciación de funciones vectoriales

Syllabus

Comprensión perdurable (CHA-3): Las derivadas nos permiten resolver problemas del mundo real que implican tasas de cambio.

Objetivo de aprendizaje CHA-3.H: Calcular derivadas de funciones vectoriales. SOLO BC

CHA-3.H.1 Los métodos para calcular derivadas de funciones reales se pueden extender a funciones vectoriales. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una función vectorial 向量值函数 $\vec{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ proporciona un vector de posición para cada $t$. Diferénciela componente a componente: la velocidad es $\vec{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ y la aceleración es $\vec{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$. La rapidez es la magnitud $|\vec{v}|=\sqrt{x'^2+y'^2}$.

Una recta vectorial: inicie en a, luego deslice por t veces la dirección b

Explorar

Añadir componentes vectoriales

Una función vectorial empaqueta un $x(t)$ y un $y(t)$ en un solo vector. Derivar cada componente da el vector velocidad, tangente a la trayectoria.

9.5

Integración de funciones vectoriales

Syllabus

Comprensión perdurable (FUN-8): Resolver un problema de valor inicial permite determinar una expresión para la posición de una partícula que se mueve en el plano.

Objetivo de aprendizaje FUN-8.A: Determinar una solución particular dado un vector de razón y condiciones iniciales. SOLO BC

FUN-8.A.1 Los métodos para calcular integrales de funciones de valor real pueden extenderse a funciones paramétricas o vectoriales. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Integre una función vectorial componente por componente. Dada la aceleración o velocidad más una condición inicial, integre cada componente y use la condición para encontrar las constantes: recuperando la velocidad a partir de la aceleración, o la posición a partir de la velocidad.

9.6

Resolución de problemas de movimiento usando ecuaciones paramétricas y funciones vectoriales

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-8): Resolver un problema de valor inicial nos permite determinar una expresión para la posición de una partícula que se mueve en el plano.

Objetivo de aprendizaje FUN-8.B: Determinar valores para posiciones y tasas de cambio en problemas que involucran movimiento plano. SOLO BC

FUN-8.B.1 Las derivadas pueden utilizarse para determinar la velocidad, la rapidez y la aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de una curva en el plano definida mediante funciones paramétricas o vectoriales. SOLO BC
FUN-8.B.2 Para una partícula en movimiento plano sobre un intervalo de tiempo, la integral definida del vector velocidad representa el desplazamiento de la partícula (cambio neto en la posición) durante dicho intervalo, a partir del cual podríamos determinar su posición. La integral definida de la rapidez representa la distancia total recorrida por la partícula durante el intervalo de tiempo. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Para una partícula que se mueve en un plano: la posición es $\langle x(t),y(t)\rangle$, la velocidad y la aceleración son sus derivadas, la rapidez es $|\vec v|$, y la distancia recorrida en $[a,b]$ es

$$\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt.$$

Habilidad para el examen: estos problemas de movimiento en el plano aparecen en las preguntas de respuesta libre del BC casi todos los años — sea hábil al calcular la rapidez, la posición en un tiempo posterior (punto inicial más la integral de la velocidad) y la distancia total.

Ejemplo resuelto. Una partícula tiene posición $\langle t^2,\ t^3-t\rangle$. Su velocidad es $\langle 2t,\ 3t^2-1\rangle$, por lo tanto en $t=1$ la velocidad es $\langle 2,\ 2\rangle$ y la rapidez es $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$. Su posición en $t=2$ es $\langle 4,\ 6\rangle$.

9.7

Definición de coordenadas polares y diferenciación en forma polar

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar las reglas de derivación puede simplificar la diferenciación.

Objetivo de aprendizaje FUN-3.G: Calcular derivadas de funciones escritas en coordenadas polares. SOLO BC

FUN-3.G.1 Los métodos para calcular derivadas de funciones de valores reales pueden extenderse a funciones en coordenadas polares. SOLO BC
FUN-3.G.2 Para una curva dada por una ecuación polar $r = f(\theta)$, las derivadas de $r$, $x$ e $y$ con respecto a $\theta$, así como la primera y segunda derivadas de $y$ con respecto a $x$, pueden proporcionar información sobre la curva. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Trazado de una curva polar

Las coordenadas polares 极坐标 localizan un punto por su distancia $r$ al origen y su ángulo $\theta$: convierta usando $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. Una curva polar $r=f(\theta)$ es una curva paramétrica en $\theta$, por lo que su pendiente es

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta},\quad\text{with } x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta.$$

Las coordenadas polars dan un punto por su distancia r y ángulo theta — Las coordenadas polares dan un punto por su distancia r y ángulo theta

Explorar

Graficar una curva polar

En coordenadas polares, un punto está a una distancia $r$ en un ángulo $\theta$. Hacer que $r$ dependa de $\theta$ traza curvas como este cardiode.

9.8

Cálculo del área de una región polar

Syllabus

Comprensión perdurable (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación del cambio en el área o el volumen sobre un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-5.D: Calcular áreas de regiones definidas por curvas polares usando integrales definidas. SOLO BC

CHA-5.D.1 El concepto de cálculo de áreas en coordenadas rectangulares puede extenderse a las coordenadas polares. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

El área barrida por una curva polar $r=f(\theta)$ desde $\alpha$ hasta $\beta$ es

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta \big(f(\theta)\big)^2\,d\theta.$$

La región es un "abanicón" de finos sectores triangulares; elegir los límites correctos de $\theta$ (donde la curva comienza y termina de trazar la región) es el principal desafío.

Ejemplo resuelto. Encuentre el área de un pétalo de la rosa $r=2\sin(2\theta)$ (trazada para $\theta$ desde $0$ hasta $\tfrac{\pi}{2}$). Usando $\sin^2 u=\tfrac12(1-\cos 2u)$,

$$A=\frac12\int_0^{\pi/2}(2\sin 2\theta)^2\,d\theta=\int_0^{\pi/2}(1-\cos 4\theta)\,d\theta=\left[\theta-\tfrac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}.$$

El área de una región polar se barre como la mitad de la integral de r cuadrado d theta — La región sombreada es un abanico de finos sectores barridos desde $\alpha$ hasta $\beta$; cada uno tiene área $\tfrac12 r^2\,d\theta$, por lo que el total es $\tfrac12\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$.

9.9

Cálculo del área de la región acotada por dos curvas polares

Syllabus

Comprensión perdurable (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambio en el área o el volumen a lo largo de un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-5.D: Calcular áreas de regiones definidas por curvas polares mediante integrales definidas. SOLO BC

CHA-5.D.2 Las áreas de regiones delimitadas por curvas polares se pueden calcular con integrales definidas. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Para el área entre una curva exterior $r_1$ y una curva interior $r_2$, reste los sectores:

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta\big(r_1^2-r_2^2\big)\,d\theta.$$

Encuentre primero los ángulos de intersección (igualando $r_1=r_2$), y tenga cuidado de qué curva es la exterior en cada intervalo: pueden intercambiarse.

9.9

Consejos para el examen

Para curvas paramétricas, $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/dt}{dx/dt}$; la rapidez es $\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}$.
Una función vectorial contiene la misma información — difériéntela/intégrala componente a componente.
En polares, convierta con $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$; el área barrida es $\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
Preste atención a la dirección del trazado (el signo de $dx/dt$) y establezca los límites correctos de $\theta$ para el área polar.
Elimine el parámetro para recuperar la forma ordinaria de $y$ vs $x$ cuando ello sea útil.

Sucesiones e series infinitas

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10.1

Definición de Series Infinitas Convergentes y Divergentes

Syllabus

Comprensión Duradera (LIM-7): La aplicación de límites puede permitirnos determinar la suma finita de infinitos términos.

Objetivo de Aprendizaje LIM-7.A: Determinar si una serie converge o diverge. SOLO BC

LIM-7.A.1 La $n$-ésima suma parcial se define como la suma de los primeros $n$ términos de una serie. SOLO BC
LIM-7.A.2 Una serie infinita de números converge a un número real $S$ (o tiene suma $S$), si y solo si el límite de su secuencia de sumas parciales existe y es igual a $S$. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Muñecas rusas anidadas: una serie infinita sigue añadiendo términos; algunas convergen, otras divergen

Una serie infinita añade infinitos términos, $\sum_{n=1}^\infty a_n$. Su valor se define como el límite de las sumas parciales $S_N=a_1+a_2+\cdots+a_N$. Si $S_N$ se acerca a un número finito $L$, la serie converge a $L$; de lo contrario, diverge. Cada pregunta sobre convergencia es realmente una pregunta sobre el límite de las sumas parciales.

Las sumas parciales de una serie geométrica convergente ascienden hacia a/(1-r) — Para la serie geométrica con $a=1,\ r=\tfrac12$, las sumas parciales $S_1,S_2,S_3,\dots$ ascienden hacia el límite $\dfrac{a}{1-r}=2$; ese límite es el valor de la serie.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
infinite series/ˈɪnfɪnət ˈsɪəriːz/	无穷级数	wú qióng jí shù
partial sums/ˈpɑːʃl sʌmz/	部分和	bù fèn hé
converges/kənˈvɜːdʒɪz/	收敛	shōu liǎn
diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/	发散	fā sàn
geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/	几何级数	jǐ hé jí shù
integral test/ˈɪntɪɡrəl test/	积分判别法	jī fēn pàn bié fǎ
harmonic series/hɑːˈmɒnɪk ˈsɪəriːz/	调和级数	tiáo hé jí shù
Direct comparison/daɪˈrekt kəmˈpærɪsn/	直接比较	zhí jiē bǐ jiào
Limit comparison/ˈlɪmɪt kəmˈpærɪsn/	极限比较	jí xiàn bǐ jiào
alternating series/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz/	交错级数	jiāo cuò jí shù
ratio test/ˈreɪʃɪəʊ test/	比值判别法	bǐ zhí pàn bié fǎ
converges absolutely/kənˈvɜːdʒɪz ˌæbsəˈluːtli/	绝对收敛	jué duì shōu liǎn
converges conditionally/kənˈvɜːdʒɪz kənˈdɪʃənəli/	条件收敛	tiáo jiàn shōu liǎn

10.2

Trabajando con Series Geométricas

Syllabus

Comprensión perdurable (LIM-7): La aplicación de límites puede permitirnos determinar la suma finita de infinitos términos.

Objetivo de aprendizaje LIM-7.A: Determinar si una serie converge o diverge. SOLO BC

LIM-7.A.3 Una serie geométrica es una serie con una razón constante entre los términos sucesivos. SOLO BC
LIM-7.A.4 Si $a$ es un número real y $r$ es un número real tal que $|r| < 1$, entonces la serie geométrica $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}$. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Series geométricas y convergencia

Una serie geométrica $\sum ar^{n}$ tiene una razón constante $r$ entre los términos. Converge exactamente cuando $|r|<1$, y entonces

$$\sum_{n=0}^\infty ar^n=\frac{a}{1-r}.$$

Esta es la única serie cuya suma puede encontrarse exactamente, y subyace a las series de potencias más adelante en la unidad.

Ejemplo resuelto. Suma $3+\tfrac32+\tfrac34+\tfrac38+\cdots$. Aquí $a=3$ y $r=\tfrac12$ (con $|r|<1$), por lo que la suma es $\dfrac{a}{1-r}=\dfrac{3}{1-\tfrac12}=6$.

Una secuencia geométrica multiplica por la misma razón en cada paso

Explorar

Cuando converge una serie geométrica

Una serie geométrica $\sum ar^n$ converge solo cuando $|r|<1$, sumando hasta $\frac{a}{1-r}$. Cambie la razón y observe cómo las sumas parciales se estabilizan o divergen.

10.3

La Prueba del nth Término para la Divergencia

Syllabus

Comprensión duradera (LIM-7): La aplicación de límites puede permitirnos determinar la suma finita de infinitos términos.

Objetivo de aprendizaje LIM-7.A: Determinar si una serie converge o diverge. SOLO BC

LIM-7.A.5 La prueba del $n$ésimo término es una prueba de divergencia de una serie. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Si los términos no se reducen a cero, la suma no puede asentarse: si $\lim_{n\to\infty}a_n\neq0$, la serie diverge. Esta es solo una prueba de divergencia; si los términos sí van a cero, la prueba es inconclusa (la serie aún podría divergir, como la serie armónica). Verifique siempre esta prueba rápida primero.

10.4

Prueba de la Integral para la Convergencia

Syllabus

Comprensión duradera (LIM-7): La aplicación de límites puede permitirnos determinar la suma finita de infinitos términos.

Objetivo de aprendizaje LIM-7.A: Determinar si una serie converge o diverge. SOLO BC

LIM-7.A.6 El criterio de la integral es un método para determinar si una serie converge o diverge. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Si $a_n=f(n)$ para una función positiva, decreciente y continua $f$, entonces $\sum a_n$ y $\int_1^\infty f(x)\,dx$ ambas convergen o ambas divergen. La prueba de la integral convierte una pregunta sobre series en una pregunta sobre integrales impropias, y es lo que demuestra la regla de las series p mencionada a continuación.

10.5

Serie Armónica y Series p

Syllabus

Comprensión duradera (LIM-7): La aplicación de límites puede permitirnos determinar la suma finita de infinitos términos.

Objetivo de aprendizaje LIM-7.A: Determinar si una serie converge o diverge. SOLO BC

LIM-7.A.7 Además de las series geométricas, las series numéricas comunes incluyen la serie armónica, la serie armónica alternada y las series $p$. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una serie p $\sum \dfrac{1}{n^p}$ converge si $p>1$ y diverge si $p\le1$. El caso especial $p=1$, $\sum\dfrac1n$, es la serie armónica – diverge incluso aunque sus términos tiendan a cero (un hecho famoso que debe conocerse). La familia de series p es la medida estándar para las pruebas de comparación.

10.6

Pruebas de Comparación para la Convergencia

Syllabus

Comprensión duradera (LIM-7): La aplicación de límites puede permitirnos determinar la suma finita de infinitos términos.

Objetivo de aprendizaje LIM-7.A: Determinar si una serie converge o diverge. SOLO BC

LIM-7.A.8 La prueba de comparación es un método para determinar si una serie converge o diverge. SOLO BC
LIM-7.A.9 La prueba de comparación por límites es un método para determinar si una serie converge o diverge. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Compare una serie desconocida con una conocida (una serie p o una serie geométrica):

Comparación directa: si $0\le a_n\le b_n$ y $\sum b_n$ converge, entonces $\sum a_n$ también converge; si $a_n\ge b_n\ge0$ y $\sum b_n$ diverge, entonces $\sum a_n$ también diverge.
Comparación por límite: si $\lim\dfrac{a_n}{b_n}$ es un número positivo finito, las dos series se comportan igual. Esto es más fácil cuando los términos solo se parecen a una serie conocida.

10.7

Prueba de la Serie Alternante para la Convergencia

Syllabus

Comprensión duradera (LIM-7): Aplicar límites puede permitirnos determinar la suma finita de infinitos términos.

Objetivo de aprendizaje LIM-7.A: Determinar si una serie converge o diverge. SOLO BC

LIM-7.A.10 La prueba de las series alternas es un método para determinar si una serie alterna converge. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una serie alternante tiene términos que cambian de signo, $\sum(-1)^n b_n$. Converge si los $b_n$ son positivos, decrecientes y $\lim b_n=0$. Esto permite que series como $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$ converjan incluso aunque los mismos términos sin los signos (la serie armónica) diverjan.

10.8

Prueba de la Razón para la Convergencia

Syllabus

Comprensión perdurable (LIM-7): Aplicar límites puede permitirnos determinar la suma finita de infinitos términos.

Objetivo de aprendizaje LIM-7.A: Determinar si una serie converge o diverge. SOLO BC

LIM-7.A.11 El criterio de la razón es un método para determinar si una serie numérica converge o diverge. SOLO BC
- Enunciado de exclusión: La prueba del término n-ésimo para la divergencia, la prueba integral, la prueba de comparación, la prueba de comparación por límites, la prueba de series alternas y el criterio de la razón para la convergencia son evaluados en el Examen de Cálculo AP BC. Otros métodos no son evaluados en el examen. Sin embargo, los docentes pueden incluir métodos adicionales en el curso, si lo permite el tiempo.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La prueba de la razón examina $L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$:

$L<1$: la serie converge absolutamente;
$L>1$: diverge;
$L=1$: inconclusa.

Es la prueba predeterminada para series con factoriales o potencias $n$th, y es exactamente cómo encuentra el radio de convergencia de una serie de potencias.

Ejemplo resuelto. Pruebe $\displaystyle\sum \frac{n}{2^n}$. La razón es $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\dfrac{2^n}{n}=\dfrac{n+1}{2n}\to\dfrac12<1$, por lo que la serie converge.

10.9

Determinando Convergencia Absoluta o Condicional

Syllabus

Comprensión duradera (LIM-7): La aplicación de límites puede permitirnos determinar la suma finita de infinitos términos.

Objetivo de aprendizaje LIM-7.A: Determinar si una serie converge o diverge. SOLO BC

LIM-7.A.12 Una serie puede ser absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente. SOLO BC
LIM-7.A.13 Si una serie converge absolutamente, entonces converge. SOLO BC
LIM-7.A.14 Si una serie converge absolutamente, entonces cualquier serie obtenida a partir de ella mediante el reagrupamiento o reordenamiento de sus términos tiene el mismo valor. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una serie converge absolutamente si $\sum|a_n|$ converge. Converge condicionalmente si $\sum a_n$ converge pero $\sum|a_n|$ diverge (el ejemplo clásico es $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$). La convergencia absoluta es la propiedad más fuerte; la convergencia condicional depende de la cancelación de signos.

10.10

Límite del Error en Series Alternantes

Syllabus

Comprensión duradera (LIM-7): La aplicación de límites puede permitirnos determinar la suma finita de infinitos términos.

Objetivo de aprendizaje LIM-7.B: Aproximar la suma de una serie. SOLO BC

LIM-7.B.1 Si una serie alternante converge por la prueba de series alternantes, entonces el límite del error en series alternantes puede usarse para acotar qué tan lejos está una suma parcial del valor de la serie infinita. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Para una serie alternante convergente, el error al detenerse en la suma parcial $N$th es no mayor que el primer término omitido:

$$|S-S_N|\le b_{N+1}.$$

Este límite simple y poderoso le permite decir cuántos términos garantizan la precisión deseada.

10.11

Encontrando Aproximaciones de Polinomios de Taylor de Funciones

Syllabus

Comprensión duradera (LIM-8): Las series de potencias nos permiten representar funciones asociadas en un intervalo apropiado.

Objetivo de aprendizaje LIM-8.A: Representar una función en un punto como un polinomio de Taylor. SOLO BC

LIM-8.A.1 El coeficiente del término de grado $n$ en un polinomio de Taylor para una función $f$ centrada en $x = a$ es $\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}$. SOLO BC
LIM-8.A.2 En muchos casos, a medida que aumenta el grado de un polinomio de Taylor, el polinomio de grado $n$ se aproximará a la función original en algún intervalo. SOLO BC

Objetivo de aprendizaje LIM-8.B: Aproximar valores de función utilizando un polinomio de Taylor. SOLO BC

LIM-8.B.1 Los polinomios de Taylor para una función $f$ centrada en $x = a$ pueden utilizarse para aproximar los valores de $f$ cerca de $x = a$. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Aproximación de serie de Taylor

Un polinomio de Taylor aproxima una función cerca de un centro $x=a$ usando sus derivadas allí:

$$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.$$

Cada término añadido coincide con una derivada más, por lo que el polinomio se ajusta más estrechamente a la curva cerca de $a$. Centrada en $a=0$, es un polinomio de Maclaurin.

Los polinomios de Taylor de sin x se ajustan más estrechamente a la curva a medida que aumenta el grado — Los polinomios de Maclaurin de $\sin x$ – $T_1=x$, $T_3$, $T_5$ – coinciden cada vez con una derivada más en $0$, por lo que cada uno se ajusta mejor a $\sin x$ en un intervalo más amplio antes de separarse.

Habilidad de examen: sea capaz de construir un polinomio de Taylor a partir de una tabla de valores de derivadas y usarlo para estimar el valor de una función.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	泰勒多项式	tài lēi duō xiàng shì
Lagrange error bound/ˈlæɡreɪndʒ ˈerə baʊnd/	拉格朗日误差界	lā gé lǎng rì wù chā jiè
power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/	幂级数	mì jí shù
radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/	收敛半径	shōu liǎn bàn jìng
interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/	收敛区间	shōu liǎn qū jiān

10.12

Límite del Error de Lagrange

Syllabus

Comprensión perdurable (LIM-8): Las series de potencias nos permiten representar funciones asociadas en un intervalo adecuado.

Objetivo de aprendizaje LIM-8.C: Determinar el límite de error asociado a una aproximación mediante un polinomio de Taylor. SOLO BC

LIM-8.C.1 El límite de error de Lagrange puede utilizarse para determinar un intervalo máximo para el error de una aproximación por polinomio de Taylor a una función. SOLO BC
LIM-8.C.2 En algunas situaciones, el límite de error de las series alternas puede usarse para acotar el error de una aproximación por polinomio de Taylor al valor de una función. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

El límite del error de Lagrange acota qué tan lejos puede estar un polinomio de Taylor del valor verdadero:

$$|R_n(x)|\le\frac{\max\big|f^{(n+1)}(z)\big|}{(n+1)!}\,|x-a|^{\,n+1}.$$

Acote la derivada $(n+1)$th en el intervalo, luego calcule: es la forma estándar de demostrar que una estimación de Taylor es lo suficientemente precisa.

10.13

Radio e Intervalo de Convergencia de Series de Potencias

Syllabus

Comprensión duradera (LIM-8): Las series de potencias nos permiten representar funciones asociadas en un intervalo apropiado.

Objetivo de aprendizaje LIM-8.D: Determinar el radio de convergencia y el intervalo de convergencia para una serie de potencias. SOLO BC

LIM-8.D.1 Una serie de potencias es una serie de la forma $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-r)^n$, donde $n$ es un entero no negativo, $\{a_n\}$ es una secuencia de números reales y $r$ es un número real. SOLO BC
LIM-8.D.2 Si una serie de potencias converge, lo hace ya sea en un único punto o en un intervalo de convergencia. SOLO BC
LIM-8.D.3 La prueba de la razón puede utilizarse para determinar el radio de convergencia de una serie de potencias. SOLO BC
LIM-8.D.4 El radio de convergencia de una serie de potencias se puede usar para identificar un intervalo abierto en el que la serie converge, pero es necesario probar ambos extremos del intervalo para determinar el intervalo de convergencia. SOLO BC
LIM-8.D.5 Si una serie de potencias tiene un radio de convergencia positivo, entonces la serie de potencias es la serie de Taylor de la función a la que converge sobre el intervalo abierto. SOLO BC
LIM-8.D.6 El radio de convergencia de una serie de potencias obtenida mediante diferenciación o integración término a término es el mismo que el radio de convergencia de la serie de potencias original. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una serie de potencias $\sum c_n(x-a)^n$ converge para $x$ dentro de un radio de convergencia $R$ del centro $a$. Encuentre $R$ con la prueba de la razón. Luego pruebe los dos extremos por separado (la prueba de la razón es inconclusa allí) para declarar el intervalo de convergencia completo, incluyendo o excluyendo cada extremo.

Ejemplo resuelto. Encuentre el radio de convergencia de $\displaystyle\sum \frac{x^n}{n}$. La prueba de la razón da $\left|\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\dfrac{n}{x^n}\right|=|x|\dfrac{n}{n+1}\to|x|$, que es $<1$ cuando $|x|<1$, por lo tanto $R=1$. Al probar los extremos, $x=-1$ da la serie armónica alternante convergente y $x=1$ la serie armónica divergente, por lo que el intervalo es $[-1,1)$.

10.14

Encontrando Series de Taylor o Maclaurin para una Función

Syllabus

Comprensión duradera (LIM-8): Las series de potencias nos permiten representar funciones asociadas en un intervalo apropiado.

Objetivo de aprendizaje LIM-8.E: Representar una función como una serie de Taylor o una serie de Maclaurin. SOLO BC

LIM-8.E.1 Un polinomio de Taylor para $f(x)$ es una suma parcial de la serie de Taylor para $f(x)$. SOLO BC

Objetivo de aprendizaje LIM-8.F: Interpretar series de Taylor y series de Maclaurin. SOLO BC

LIM-8.F.1 La serie de Maclaurin para $\dfrac{1}{1-x}$ es una serie geométrica. SOLO BC
LIM-8.F.2 La serie de Maclaurin para $\sin x$, $\cos x$ y $e^x$ proporciona la base para construir la serie de Maclaurin de otras funciones. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Extender un polinomio de Taylor a infinitos términos da una serie de Taylor (o Maclaurin). Memorice las series de Maclaurin clave:

$$e^x=\sum\frac{x^n}{n!},\quad \sin x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad \cos x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad \frac{1}{1-x}=\sum x^n.$$

Las nuevas series provienen de manipular estas: sustituyendo, diferenciando, integrando o multiplicando.

Ejemplo resuelto. Encuentre la serie de Maclaurin para $e^{x^2}$. Sustituya $x^2$ por $x$ en $e^x=\sum\dfrac{x^n}{n!}$:

$$e^{x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x^2)^n}{n!}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\cdots,$$

que converge para todo $x$. Este truco de sustitución es mucho más rápido que diferenciar $e^{x^2}$ seis veces.

Cada término adicional de Maclaurin se ajusta mejor a la función en un rango más amplio

Explorar

La función que aproxima una serie de Taylor

y = asen(bx + c) + d

Una serie de Taylor construye una función a partir de sus derivadas en un punto; más términos se ajustan mejor a la curva (aquí $\sin x$) en un rango más amplio.

10.15

Representando Funciones como Series de Potencias

Syllabus

Comprensión perdurable (LIM-8): Las series de potencias nos permiten representar funciones asociadas en un intervalo apropiado.

Objetivo de aprendizaje LIM-8.G: Representar una función dada como una serie de potencias. SOLO BC

LIM-8.G.1 A partir de una serie conocida, se puede derivar una serie de potencias para una función dada mediante operaciones como la diferenciación o integración término a término, y utilizando diversos métodos (p. ej., procesos algebraicos, sustituciones o el uso de propiedades de las series geométricas). SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Porque una serie de potencias puede diferenciarse e integrarse término por término (dentro de su radio), puede construir nuevas series a partir de conocidas; por ejemplo, integre la serie geométrica para $\dfrac{1}{1-x}$ para obtener la serie para $-\ln(1-x)=\sum_{n\ge 1}\dfrac{x^n}{n}$, o sustituya $-x^2$ para obtener la serie para $\dfrac{1}{1+x^2}$. Representar una función como una serie de potencias le permite aproximar valores e integrales que no tienen antiderivada elemental.

Habilidad de examen: la respuesta libre de series del BC generalmente le pide derivar una nueva serie de Maclaurin a partir de una conocida, encontrar su intervalo de convergencia y usar el límite de la serie alternante o de Lagrange para estimar el error: las habilidades finales del curso.

10.15

Consejos para el examen

Prueba una serie para la convergencia con la herramienta adecuada: geométrica ($|r|<1$, suma $\tfrac{a}{1-r}$), $n$prueba del término n-ésimo, razón, integral, comparación o serie alternada.
Una suma infinita geométrica converge solo cuando $|r|<1$; de lo contrario, diverge.
Construya una serie Taylor/Maclaurin para aproximar una función; más términos dan un mejor ajuste cerca del centro.
Conozca las series de Maclaurin estándar para $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ y $\tfrac{1}{1-x}$.
Encuentre el radio/intervalo de convergencia con la prueba de la razón, luego verifique los extremos por separado.