Aplicaciones de la integración

AP Cálculo BC · Topic 8 · ⁨Tema 8⁩

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8.1

Finding the Average Value of a Function on an Interval · ⁨Encontrar el Valor Promedio de una Función en un Intervalo⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.B: Determine the average value of a function using definite integrals.

CHA-4.B.1 The average value of a continuous function $f$ over an interval $[a, b]$ is $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

Español

Comprensión Duradera (CHA-4): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios a lo largo de un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-4.B: Determinar el valor promedio de una función utilizando integrales definidas.

CHA-4.B.1 El valor promedio de una función continua $f$ sobre un intervalo $[a, b]$ es $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

The average value 平均值 of $f$ over $[a,b]$ is the integral divided by the width:

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

It is the constant height a rectangle would need to have the same area as the region under $f$. Do not confuse this with the average rate of change (which uses the derivative).

Worked example. The average value of $f(x)=x^2$ on $[0,3]$ is $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$.

Español

El valor promedio 平均值 de $f$ sobre $[a,b]$ es la integral dividida por el ancho:

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

Es la altura constante que tendría un rectángulo para tener el mismo área que la región bajo $f$. No confunda esto con la tasa de cambio promedio (que usa la derivada).

Ejemplo resuelto. El valor promedio de $f(x)=x^2$ en $[0,3]$ es $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$.

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El valor promedio de una función

y = ax³ + bx² + cx + d

El valor promedio de $f$ en $[a,b]$ es su integral dividida por el ancho — la altura constante cuyo rectángulo tiene la misma área que la bajo la curva.

8.2

Connecting Position, Velocity, and Acceleration Using Integrals · ⁨Conectar Posición, Velocidad y Aceleración Usando Integrales⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.C: Determine values for positions and rates of change using definite integrals in problems involving rectilinear motion.

CHA-4.C.1 For a particle in rectilinear motion over an interval of time, the definite integral of velocity represents the particle's displacement over the interval of time, and the definite integral of speed represents the particle's total distance traveled over the interval of time.

Español

Comprensión Duradera (CHA-4): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios a lo largo de un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-4.C: Determinar valores para posiciones y tasas de cambio utilizando integrales definidas en problemas de movimiento rectilíneo.

CHA-4.C.1 Para una partícula en movimiento rectilíneo sobre un intervalo de tiempo, la integral definida de la velocidad representa el desplazamiento de la partícula durante dicho intervalo de tiempo, y la integral definida de la rapidez representa la distancia total recorrida por la partícula durante el intervalo de tiempo.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

For straight-line motion, integration reverses differentiation:

$$v(t)=\int a(t)\,dt,\qquad s(t)=\int v(t)\,dt.$$

Two key distinctions: displacement 位移 is $\int_a^b v\,dt$ (net change in position), while total distance 总路程 is $\int_a^b |v|\,dt$ (splitting where $v$ changes sign). Speed is $|v|$.

Español

Para el movimiento en línea recta, la integración invierte la diferenciación:

$$v(t)=\int a(t)\,dt,\qquad s(t)=\int v(t)\,dt.$$

Dos distinciones clave: el desplazamiento 位移 es $\int_a^b v\,dt$ (cambio neto en la posición), mientras que la distancia total 总路程 es $\int_a^b |v|\,dt$ (dividiendo donde $v$ cambia de signo). La velocidad es $|v|$.

8.3

Using Accumulation Functions and Definite Integrals in Applied Contexts · ⁨Usando Funciones de Acumulación e Integrales Definidas en Contextos Aplicados⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.D: Interpret the meaning of a definite integral in accumulation problems.

CHA-4.D.1 A function defined as an integral represents an accumulation of a rate of change.
CHA-4.D.2 The definite integral of the rate of change of a quantity over an interval gives the net change of that quantity over that interval.

Learning Objective CHA-4.E: Determine net change using definite integrals in applied contexts.

CHA-4.E.1 The definite integral can be used to express information about accumulation and net change in many applied contexts.

Español

Comprensión perdurable (CHA-4): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de un cambio a lo largo de un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-4.D: Interpretar el significado de una integral definida en problemas de acumulación.

CHA-4.D.1 Una función definida como una integral representa la acumulación de una tasa de cambio.
CHA-4.D.2 La integral definida de la tasa de cambio de una cantidad sobre un intervalo proporciona el cambio neto de dicha cantidad a lo largo de ese intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-4.E: Determinar el cambio neto mediante integrales definidas en contextos aplicados.

CHA-4.E.1 La integral definida puede utilizarse para expresar información sobre acumulación y cambio neto en diversos contextos aplicados.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

When a rate is given (flow rate, sales per day), the definite integral gives the accumulated total, and $\int_a^b R(t)\,dt$ carries the units of $R$ times time. A common setup: initial amount $+\int(\text{rate in}-\text{rate out})\,dt$ gives the amount at a later time. Always interpret the answer in context, with units.

Español

Cuando se da una tasa (tasa de flujo, ventas por día), la integral definida da el total acumulado, y $\int_a^b R(t)\,dt$ lleva las unidades de $R$ por tiempo. Una configuración común: cantidad inicial $+\int(\text{rate in}-\text{rate out})\,dt$ da la cantidad en un tiempo posterior. Siempre interprete la respuesta en contexto, con unidades.

8.4

Finding the Area Between Curves Expressed as Functions of x · ⁨Encontrar el Área Entre Curvas Expresadas como Funciones de x⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.1 Areas of regions in the plane can be calculated with definite integrals.

Español

Comprensión duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en el área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-5.A: Calcular áreas en el plano usando la integral definida.

CHA-5.A.1 Las áreas de regiones en el plano se pueden calcular con integrales definidas.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

The area between $y=f(x)$ (top) and $y=g(x)$ (bottom) from $a$ to $b$ is

$$\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.$$

Find the intersection points for the limits, and always subtract top minus bottom.

Worked example. Between $y=x$ and $y=x^2$ (crossing at $x=0,1$, with $y=x$ on top), the area is $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16$.

Español

Un alfarero dando forma a un recipiente: los volúmenes de revolución giran una región plana alrededor de un eje — Un alfarero modelando un recipiente: volúmenes de revolución rotan una región plana alrededor de un eje

El área entre $y=f(x)$ (arriba) y $y=g(x)$ (abajo) desde $a$ hasta $b$ es

$$\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.$$

Encuentre los puntos de intersección para los límites, y siempre reste arriba menos abajo.

El área entre dos curvas es la integral de la superior menos la inferior — El área entre dos curvas es la integral de arriba menos abajo

Ejemplo resuelto. Entre $y=x$ y $y=x^2$ (cruzándose en $x=0,1$, con $y=x$ arriba), el área es $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16$.

8.5

Finding the Area Between Curves Expressed as Functions of y · ⁨Encontrar el Área Entre Curvas Expresadas como Funciones de y⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.2 Areas of regions in the plane can be calculated using functions of either $x$ or $y$.

Español

Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-5.A: Calcular áreas en el plano utilizando la integral definida.

CHA-5.A.2 Las áreas de regiones en el plano pueden calcularse utilizando funciones tanto de $x$ como de $y$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

When curves are easier to describe as $x=f(y)$, integrate with respect to $y$ instead, using right minus left:

$$\int_c^d\big(f_{\text{right}}(y)-g_{\text{left}}(y)\big)\,dy.$$

Choosing to integrate in $y$ can avoid splitting the region into several pieces.

Español

Cuando las curvas son más fáciles de describir como $x=f(y)$, integre respecto a $y$ en su lugar, usando derecha menos izquierda:

$$\int_c^d\big(f_{\text{right}}(y)-g_{\text{left}}(y)\big)\,dy.$$

Elegir integrar en $y$ puede evitar dividir la región en varias piezas.

8.6

Finding the Area Between Curves That Intersect More Than Twice · ⁨Encontrar el Área Entre Curvas que Se Intersecan Más de Dos Veces⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.3 Areas of certain regions in the plane may be calculated using a sum of two or more definite integrals or by evaluating a definite integral of the absolute value of the difference of two functions.

Español

Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas relacionados con la acumulación de cambios en el área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-5.A: Calcular áreas en el plano utilizando la integral definida.

CHA-5.A.3 El área de ciertas regiones en el plano puede calcularse mediante una suma de dos o más integrales definidas, o evaluando la integral definida del valor absoluto de la diferencia de dos funciones.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

If two curves cross several times, the top and bottom switch. Split the region at each intersection and integrate each piece with the correct top-minus-bottom (or use $\int|f-g|$), then add the pieces.

Español

Si dos curvas se cruzan varias veces, arriba y abajo intercambian. Divida la región en cada punto de intersección e integre cada pieza con el correcto arriba menos abajo (o use $\int|f-g|$), luego sume las piezas.

8.7

Volumes with Cross Sections: Squares and Rectangles · ⁨Volúmenes Secciones Transversales: Cuadrados y Rectángulos⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.1 Volumes of solids with square and rectangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.

Español

Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas relacionados con la acumulación de cambios en el área o el volumen a lo largo de un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-5.B: Calcular volúmenes de sólidos con secciones transversales conocidas mediante integrales definidas.

CHA-5.B.1 Los volúmenes de sólidos con secciones transversales cuadradas y rectangulares pueden determinarse utilizando integrales definidas y las fórmulas del área para estas figuras.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

If a solid's cross sections 横截面 perpendicular to the $x$-axis are squares or rectangles, integrate their area. With side length equal to the distance between two curves, a square cross section gives

$$V=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)^2\,dx.$$

The method is always "integrate the cross-sectional area."

Español

Si las secciones transversales 横截面 perpendiculares al eje $x$ de un sólido son cuadrados o rectángulos, integre su área. Con longitud de lado igual a la distancia entre dos curvas, una sección transversal cuadrada da

$$V=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)^2\,dx.$$

El método siempre es "integrar el área de la sección transversal."

8.8

Volumes with Cross Sections: Triangles and Semicircles · ⁨Volúmenes con Secciones Transversales: Triángulos y Semicírculos⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.2 Volumes of solids with triangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
CHA-5.B.3 Volumes of solids with semicircular and other geometrically defined cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
- Illustrative examples for CHA-5.B.3:
  - The volume of a funnel whose cross sections are circles can be found using the area formula for a circle and definite integrals (see 2016 AB Exam FRQ #5(b)).
  - The volume of a solid whose cross sectional area is defined using a function can be found using the known area function and a definite integral (see 2009 AB Exam FRQ #4(c)).

Español

Comprensión duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en el área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-5.B: Calcular volúmenes de sólidos con secciones transversales conocidas utilizando integrales definidas.

CHA-5.B.2 Los volúmenes de sólidos con secciones transversales triangulares pueden encontrarse usando integrales definidas y las fórmulas de área para estas figuras.
CHA-5.B.3 Los volúmenes de sólidos con secciones transversales semicirculares u otras definidas geométricamente pueden encontrarse usando integrales definidas y las fórmulas de área para estas figuras.
- Ejemplos ilustrativos para CHA-5.B.3:
  - El volumen de un embudo cuyas secciones transversales son círculos puede calcularse usando la fórmula del área de un círculo y las integrales definidas (consulte la Pregunta de Respuesta Abierta #5(b) del Examen AB de 2016).
  - El volumen de un sólido cuya área de sección transversal está definida mediante una función puede calcularse usando la función de área conocida y una integral definida (consulte la Pregunta de Respuesta Abierta #4(c) del Examen AB de 2009).

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Same idea, different area formula: for equilateral-triangle cross sections use $A=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$, and for semicircular ones $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$ (with $s$ the distance between the curves). Substitute the area formula and integrate.

Español

Misma idea, fórmula de área diferente: para secciones transversales de triángulo equilátero use $A=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$, y para semicirculares use $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$ (con $s$ la distancia entre las curvas). Sustituya la fórmula del área e integre.

8.9

Volume with Disc Method: Revolving Around the x- or y-Axis · ⁨Volumen con Método de Discos: Rotando Alrededor del Eje x o y⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.1 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis may be found by using definite integrals with the disc method.

Español

Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-5.C: Calcular volúmenes de sólidos de revolución utilizando integrales definidas.

CHA-5.C.1 Los volúmenes de sólidos de revolución alrededor del eje $x$ o $y$ pueden determinarse mediante el uso de integrales definitas con el método de discos.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Solids of revolution: the disc method

Revolving a region around an axis makes a solid whose cross sections are discs. The disc method 圆盘法 integrates $\pi(\text{radius})^2$:

$$V=\pi\int_a^b \big(R(x)\big)^2\,dx,$$

where the radius $R$ is the distance from the curve to the axis. Use $dy$ when revolving around the $y$-axis.

Worked example. Revolving the region under $y=\sqrt{x}$ from $0$ to $4$ about the $x$-axis gives discs of radius $\sqrt{x}$: $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$.

Español

Sólidos de revolución: el método del disco

Rotar una región alrededor de un eje produce un sólido cuyas secciones transversales son discos. El método de discos 圆盘法 integra $\pi(\text{radius})^2$:

$$V=\pi\int_a^b \big(R(x)\big)^2\,dx,$$

donde el radio $R$ es la distancia de la curva al eje. Use $dy$ cuando rote alrededor del eje $y$.

El método de los discos: girar y=f(x) alrededor del eje genera discos de radio f(x) — El método de los discos: al rotar y=f(x) alrededor del eje genera discos de radio f(x)

Ejemplo resuelto. Al hacer girar la región bajo $y=\sqrt{x}$ desde $0$ hasta $4$ alrededor del eje $x$, se obtienen discos de radio $\sqrt{x}$: $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$.

Girar una región alrededor de un eje genera un sólido de revolución — Al girar una región alrededor de un eje se genera un sólido de revolución

Vocabulary · ⁨Vocabulario⁩ Train · ⁨Entrenar⁩

English · ⁨Inglés⁩	Chinese · ⁨Chino⁩	Pinyin
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	平均值	píng jūn zhí
displacement/dɪˈspleɪsmənt/	位移	wèi yí
total distance/ˈtəʊtl ˈdɪstəns/	总路程	zǒng lù chéng
cross sections/krɒs ˈsekʃnz/	横截面	héng jié miàn
disc method/dɪsk ˈmeθəd/	圆盘法	yuán pán fǎ

8.10

Volume with Disc Method: Revolving Around Other Axes · ⁨Volumen con el Método del Disco: Rotación alrededor de otros ejes⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.2 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line in the plane may be found by using definite integrals with the disc method.

Español

Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-5.C: Calcular volúmenes de sólidos de revolución utilizando integrales definidas.

CHA-5.C.2 Los volúmenes de sólidos de revolución alrededor de cualquier línea horizontal o vertical en el plano pueden determinarse mediante el uso de integrales definidas con el método del disco.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

When the axis of revolution is a horizontal or vertical line like $y=k$ (not an axis), the radius adjusts: $R=|f(x)-k|$. Set up the radius as the distance from the curve to that line, then integrate $\pi R^2$ as before.

Español

Cuando el eje de rotación es una línea horizontal o vertical como $y=k$ (que no es un eje principal), el radio se ajusta: $R=|f(x)-k|$. Establece el radio como la distancia desde la curva hasta esa línea, luego integra $\pi R^2$ como antes.

8.11

Volume with Washer Method: Revolving Around the x- or y-Axis · ⁨Volumen con el Método de las Arandelas: Rotación alrededor del eje x o y⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.3 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

Español

Comprensión perdurable (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-5.C: Calcular volúmenes de sólidos de revolución utilizando integrales definidas.

CHA-5.C.3 Los volúmenes de sólidos de revolución alrededor del eje $x$ o $y$-axis cuyas secciones transversales tienen forma de anillo pueden encontrarse mediante integrales definidas usando el método de arandelas.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Volume by the washer method

If the region does not touch the axis, revolving leaves a hole, so cross sections are washers (rings). The washer method 垫圈法 subtracts the inner disc:

$$V=\pi\int_a^b\Big(R_{\text{outer}}^2-R_{\text{inner}}^2\Big)\,dx.$$

Identify the outer and inner radii as distances from each curve to the axis.

Español

Volumen mediante el método de las arandelas

Si la región no toca el eje, al rotarla queda un agujero, por lo que las secciones transversales son arandelas (anillos). El método de las arandelas 垫圈法 resta el disco interior:

$$V=\pi\int_a^b\Big(R_{\text{outer}}^2-R_{\text{inner}}^2\Big)\,dx.$$

Identifica los radios exterior e interior como distancias desde cada curva hasta el eje.

Vocabulary · ⁨Vocabulario⁩ Train · ⁨Entrenar⁩

English · ⁨Inglés⁩	Chinese · ⁨Chino⁩	Pinyin
washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/	垫圈法	diàn juàn fǎ
arc length/ɑːk leŋθ/	弧长	hú zhǎng

8.12

Volume with Washer Method: Revolving Around Other Axes · ⁨Volumen con el Método de las Arandelas: Rotación alrededor de otros ejes⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.4 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

Español

Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-5.C: Calcular volúmenes de sólidos de revolución utilizando integrales definidas.

CHA-5.C.4 Los volúmenes de sólidos de revolución alrededor de cualquier línea horizontal o vertical cuyas secciones transversales son anulares pueden hallarse mediante integrales definidas usando el método de arandelas.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

As with discs, revolving around a line $y=k$ or $x=k$ shifts both radii – each becomes the distance from its curve to that line. Sketch the region and the axis, label $R_{\text{outer}}$ and $R_{\text{inner}}$, then integrate the difference of squares.

Español

Al igual que con los discos, girar alrededor de una línea $y=k$ o $x=k$ desplaza ambos radios: cada uno se convierte en la distancia desde su curva hasta esa línea. Dibuja la región y el eje, etiqueta $R_{\text{outer}}$ y $R_{\text{inner}}$, luego integra la diferencia de cuadrados.

8.13

The Arc Length of a Smooth Curve and Distance Traveled · ⁨La longitud de arco de una curva suave y la distancia recorrida⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (CHA-6): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in length over an interval.

Learning Objective CHA-6.A: Determine the length of a curve in the plane defined by a function, using a definite integral. BC ONLY

CHA-6.A.1 The length of a planar curve defined by a function can be calculated using a definite integral. BC ONLY

Español

Comprensión Duradera (CHA-6): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación del cambio en longitud sobre un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-6.A: Determinar la longitud de una curva en el plano definida por una función, utilizando una integral definida. SOLO BC

CHA-6.A.1 La longitud de una curva plana definida por una función puede calcularse mediante una integral definida. SOLO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

The arc length 弧长 of $y=f(x)$ from $a$ to $b$ is

$$L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx.$$

This BC-only formula comes from summing tiny hypotenuses $\sqrt{dx^2+dy^2}$. The same idea gives the distance a particle travels along a curved path.

Worked example. Find the arc length of $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ from $x=0$ to $x=3$. Here $f'(x)=x^{1/2}$, so $1+(f')^2=1+x$ and

$$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

Español

La longitud de arco 弧长 de $y=f(x)$ desde $a$ hasta $b$ es

$$L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx.$$

Esta fórmula exclusiva de BC proviene de sumar pequeñas hipotenusas $\sqrt{dx^2+dy^2}$. La misma idea proporciona la distancia que recorre una partícula a lo largo de una trayectoria curva.

Ejemplo resuelto. Hallar la longitud de arco de $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ desde $x=0$ hasta $x=3$. Aquí $f'(x)=x^{1/2}$, por lo tanto $1+(f')^2=1+x$ y

$$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

The Golden Gate Bridge and its sweeping main cables — El cable principal del puente cuelga como una curva suave; una integral proporciona su longitud exacta.

8.13

Exam tips · ⁨Consejos para el examen⁩

English

Area between curves is $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — find the intersection points for the limits and keep top minus bottom.
For a volume of revolution, add up disc/washer cross-sections of area $\pi r^2$ (or $\pi(R^2-r^2)$).
The average value of $f$ on $[a,b]$ is $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
Accumulated change is $\int$ of a rate: total = initial value $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
Integration means "adding up infinitely many tiny pieces" — set up the integrand as one thin slice.

Español

El área entre curvas es $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — encuentre los puntos de intersección para los límites y mantenga la resta de la función superior menos la inferior.
Para un volumen de revolución, sume las secciones transversales de disco/anillo de área $\pi r^2$ (o $\pi(R^2-r^2)$).
El valor promedio de $f$ sobre $[a,b]$ es $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
El cambio acumulado es $\int$ de una tasa: total = valor inicial $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
La integración significa "sumar infinitas piezas pequeñas": configure el integrando como una fina rebanada.

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